h 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2

Transkrypt

1 Mechanika falowa podstawy Hipoteza de Broglie a Zarówno promieniowanie jak i cząstki materialne posiadają naturę dwoistą korpuskularno-falową. Z każdą mikrocząstką można związać pewien proces falowy pierwotnie mówiono o tzw. falach materii; aktualnie mówi się raczej o tzw. falach prawdopodobieństwa. Długość fali kojarzonej z cząstką wiąże z jej pędem następująca zależność: λ h p Równanie Schrödingera Skoro z cząstkami materialnymi można skojarzyć pewną falę, zatem ruch owych cząstek powinien być opisywany prawami ruchu falowego przepisu pozwalającego określić funkcję falową skojarzoną z cząstką dostarcza tzw. równanie Schrödingera (w wersji zależnej od czasu opisuje czasową ewolucję układu; w wersji niezależnej od czasu opisuje stany stacjonarne układu). Równanie Schrödingera niezależne od czasu ma następującą postać: pˆ + U ( x) E m lub po prostu h m x gdzie + U ( x) Używając pojęcia liczby falowej i wzoru de Broglie a U (x) pˆ ih x E operator pędu, operator energii potencjalnej k π π π p 1 1 me m( E U ) λ h p h h k h możemy równanie Schrödingera przepisać w nieco prostszej postaci: x + k 0 przy czym należy pamiętać, iż liczba falowa k zależy od położenia cząstki. Rozwiązanie równania Schrödingera polega na znalezieniu postaci funkcji falowej i wartości energii cząstki E zależy zatem od rozkładu energii potencjalnej U(x) związanej z siłami działającymi na cząstkę. Funkcja falowa może być w ogólnym przypadku funkcją o wartościach zespolonych zatem sama w sobie nie posiada interpretacji fizycznej.

2 Interpretacja Borna funkcji falowej Kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa p znalezienia cząstki w punkcie przestrzeni o współrzędnej x. * p Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie dx przestrzeni wynosi zatem: P( x, x + dx) p dx dx Zasada nieoznaczoności Heisenberga Jest ona konsekwencją falowo-cząstkowej natury materii. Istnieją pewne pary wielkości fizycznych (tzw. wielkości komplementarne lub sprzężone kanonicznie), których w drodze eksperymentu nie można równocześnie wyznaczyć z dowolną dokładnością obserwacja cząstki wywołuje pewne zaburzenia jej stanu. Parami wielkości sprzężonych kanonicznie są np. położenie i pęd oraz energia i czas. Iloczyn niepewności pary wielkości sprzężonych kanonicznie jest nie mniejszy niż połowa stałej Plancka dzielonej przez π. Np. h h p x x t E itd.... Uwaga!!! Ograniczenie dokładności pomiarów opisane w zasadzie nieoznaczoności nie jest spowodowane niedokładnością przyrządów pomiarowych czy metod ich użycia, lecz jest wynikiem falowej natury cząstek.

3 Interpretacja kopenhaska - filozofia mechaniki kwantowej Schrödinger sugerował, że funkcja falowa opisuje gęstość materii w przestrzeni, co oznaczało występowanie cząstek w postaci tzw. paczek falowych (obszarów przestrzeni otaczających "klasyczną" pozycję cząstki, w których można znaleźć cząstkę). To oznaczałoby, że nie ma możliwości, aby w jakichkolwiek warunkach określić dokładnie położenie cząstki, zaś temu przeczyły wyniki doświadczeń, które pozwalały na dokładną lokalizację elektronów. Elektrony według Schrödingera miały być po prostu falami materii, a ich postać cząsteczkowa, jak twierdził jest po prostu iluzją. Równanie Schrödingera (kwadrat funkcji falowej) opisywało gęstość rozkładu tej fali materii. W atomie wodoru na przykład fale materii były gęste w miejscach gdzie znajdowały się orbity opisane teorią Bohra. Rozwiązując równanie można było obliczyć bezpośrednio promienie tych orbit. Dopiero niemiecki fizyk, Max Born podał stosowaną do dziś interpretację wynikającej z równań Schrödingera funkcji falowej. Zasugerował on by nie nadawać interpretacji samej funkcji falowej, lecz kwadratowi jej wartości bezwzględnej. Takie podejście pozwalało mu określić prawdopodobieństwo zaobserwowania cząstki w określonym miejscu i czasie. Wielkość kwadratu wartości bezwzględnej funkcji falowej w dowolnym ustalonym punkcie określa nam miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajduje się w pobliżu tego punktu. Z takiej interpretacji funkcji falowej wynika statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Oznacza to, że na poziomie cząstek elementarnych materia nie istnieje z "całą pewnością" w określonych miejscach, lecz raczej wykazuje "tendencję do zaistnienia". Komentarz Einsteina do faktu zaniechania przez teorię kwantową zasady ścisłej przyczynowości oraz rezygnacji z rozważania indywidualnych przypadków na rzecz interpretacji statystycznej: Bóg nie gra w kości ze Wszechświatem. Podsumowanie Heisenberga: Nie zakładaliśmy jakoby teoria kwantowa, w przeciwieństwie do teorii klasycznej, była teorią statystyczną w tym sensie, że z dokładnych wyników eksperymentalnych pozwala wysnuć tylko wnioski typu statystycznego. W sformułowaniu prawa przyczynowości, a mianowicie:»jeśli znamy dokładnie teraźniejszość, możemy przewidzieć przyszłość«, nie konkluzja, lecz raczej przesłanka jest fałszywa. Z przyczyn zasadniczych nie możemy znać teraźniejszości we wszystkich jej szczegółach. Mechanika kwantowa uznaje oddziaływanie badanego obiektu z obserwatorem za prawdę ostateczną odrzuca tym samym przekonanie, że poza dziedziną naszej percepcji leży ukryty świat obiektywny rządzony zasadami przyczynowości, jako pozbawione sensu i bezużyteczne; w zamian za to swoje rozważania ogranicza do opisu relacji zachodzących pomiędzy obserwacjami. Determinizm, jako opis ewolucji w czasie, dotyczy funkcji falowej, a nie samych wartości pomiarów. Każdy obiekt z kwantowego mikroświata (np. elektron, foton, itd.) opisywany jest za pomocą tzw. funkcji falowej, która mówi nam, jakie jest prawdopodobieństwo tego, iż obiekt ten znajduje się w danym miejscu. W rzeczywistości (jeśli można mówić o kwantowej rzeczywistości, co jest pojęciem bardzo dyskusyjnym), obiekty kwantowe, gdy ich nie widzimy, znajdują się w superpozycji stanów, czyli we wszystkich stanach jednocześnie. Dopiero akt pomiaru (czyli redukcji lub kolapsu funkcji falowej) sprowadza obiekty do określonego stanu. Przykładem ilustrującym to pozornie absurdalne zachowanie jest słynny kot Schrödingera. Bierzemy spore pudło i wkładamy do niego kota oraz truciznę. Uwolnienie trucizny uzależniamy od przebiegu procesu kwantowego (np. rozpadu promieniotwórczego), zachodzącego z prawdopodobieństwem 1. Jeśli proces zajdzie, kot zdechnie; jeśli nie, będzie żył. Nie jest to jednak tak proste, jak się z pozoru wydaje, gdyż do czasu otwarcia pudła i dokonania pomiaru, kot będzie się znajdował w superpozycji stanów. Będzie więc jednocześnie żywy i martwy. Dopiero akt obserwacji zredukuje funkcję falową kota i ustali jego stan. To jedna z możliwych interpretacji funkcji falowej. Istnieją jeszcze inne, w tym np. interpretacja s-f Everetta. Mówi ona, iż fakt pomiaru rozszczepia wszechświat na dwa równoległe: w jednym z nich kot dalej miauczy, a w drugim toczą go robaki.

4 Przykłady rozwiązań niezależnego od czasu równania Schrödingera CZĄSTKA SWOBODNA U ( x) E - dowolne 0 k i k x A e ± me / h * * ± ikx m ikx A e Ae A const ściśle określony pęd położenie całkowicie nieokreślone

5 CZĄSTKA W JAMIE POTENCJAŁU x < 0 U ( x) 0 0 x a x > a E - dowolne ikx ( x) C1e + C e ikx ( 0) ( a) sin k a 0 0 ka nπ, n ± 1, ±, K h k E π h n 8 m 8ma Energia cząstki znajdującej się w jamie potencjału jest skwantowana.

6 PRÓG POTENCJAŁU U ( x) 0 x 0 U 0 x > 0

7 BARIERA POTENCJAŁU U 0 x) U 0 ( 0 x < 0 0 x x > a a

8 KWANTOWY OSCYLATOR HARMONICZNY U ( x) k x Energia kwantowego oscylatora harmonicznego przyjmuje wartości dyskretne E n 1 ( + ) hω n ω k m n 0,1,, K!!!!! Energia drgań zerowych

9 ATOM WODOROPODOBNY U ( r) 1 4πε 0 Ze r zagadnienie trójwymiarowe Ponieważ potencjał ma charakter sferyczny zatem najwygodniej jest przejść do współrzędnych sferycznych Rozwiązania równania Schrödingera przetransformowanego do współrzędnych sferycznych mają postać n, l, m - to tzw. liczby kwantowe; numerują one poszczególne dopuszczalne rozwiązania równania Schrödingera; pojawiają się również w wyrażeniach na fizyczne wielkości określające stan kwantowy elektronu w atomie, kwantując ich wartości - w ten sposób ze zwykłych indeksów matematycznych stają się fizycznymi liczbami kwantowymi. główna liczba kwantowa: orbitalna liczba kwantowa: magnetyczna liczba kwantowa:

10 Główna liczba kwantowa określa energie stanów związanych elektronu w atomie wodoropodobnym. Wartość bezwzględna orbitalnego momentu pędu elektronu jest określona przez wartości orbitalnej liczby kwantowej l, a rzut wektora na wybraną oś określony jest przez liczbę magnetyczną m l. Dozwolone wartości tych liczb określone są z kolei przez wartość głównej liczby kwantowej n. Dla zadanej wartości liczby l jest możliwych l+1 wartości liczby m l i tyle też jest możliwych ustawień wektora momentu pędu względem wybranej osi. Warunki kwantyzacji nie narzucają jednak żadnych ograniczeń na wartości rzutu orbitalnego momentu pędu na dwie pozostałe osie prostopadłe do osi wyróżnionej. Oznacza to, że kierunek wektora L może się "obracać" wokół osi Z. SPIN ELEKTRONU Jego wartość i rzut na wyróżnioną (np. przez kierunek pola magnetycznego) oś są określone przez wyrażenia takie same jak dla wektora orbitalnego momentu pędu, tylko z innymi liczbami kwantowymi. s ms 1 ± 1 magnetyczna liczba spinowa