Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie

Transkrypt

1 Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie Schrödingera, zasada nieoznaczoności Heisenberga, ruch cząstki swobodnej, cząstka w studni potencjału, zjawisko tunelowe, kwantowy oscylator harmoniczny

2 Hipoteza fal materii de Broglie a: cząstka materialna ma własności falowe opisane monochromatyczną falą płaską tzw. Falą materii (fala de Broglie a), której parametry falowe i są związane z wielkościami mechanicznymi cząstki p i E. E h oraz h p gdzie E energia cząstki, p pęd cząstki Interpretacja hipotezy de Broglie a stanowi dodatkowe uzasadnienie reguły kwantyzacji Bohra. I postulat kwantowy Bohra: Moment pędu L elektronu krążącego z prędkością dookoła jądra atomowego po orbicie kołowej o promieniu r musi spełniać warunek : L mr nh / stąd r n, n,,3,... Każda stacjonarna orbita w modelu Bohra zawiera całkowitą liczbę długości fali, która dokładnie pasuje do danego obwodu Stojąca fala de Broglie a na orbicie bohrowskiej o liczbie kwantowej n = 3

3 Dualizm falowo-korpuskularny: podobnie jak i promieniowanie tak i cząstki materialne mogą w zależności od typu doświadczenia wywołać efekty charakterystyczne dla fal lub dla cząstek. Promieniowanie i materia mają cechy falowe i korpuskularne niezależnie od wartości i E ale nie zawsze możliwe jest doświadczalne potwierdzenie tych cech. - ze względu na małą wartość stałej Planck a (h = 6,63x -34 Js) Formułując hipotezę fal materii de Broglie oparł się na pracy William a R. Hamiltona William R. Hamilton 85: podstawowe prawa optyki i mechaniki można przedstawić w matematycznie identycznej postaci Zasada najmniejszego czasu Fermata (65) określająca drogę promienia świetlnego w różnych ośrodkach, daje się sprowadzić do opisującej ruch punktu materialnego zasady najmniejszego działania Maupertuisa (74) Erwin Schrödinger: stworzenie mechaniki falowej teoria bardziej adekwatna do opisu mikrostruktury świata PROBLEM znalezienie równania falowego opisującego dyskretne stany energetyczne atomu ROZWIĄZANIE odgadnięte intuicyjnie równanie Schrödingera

4 Fale de Broglie a związane z poruszającymi się cząstkami materii mają specyficzny kwantowy charakter, nie mający odpowiednika w fizyce klasycznej. Funkcja falowa x, y, z, t - opisuje rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danej chwili w określonym punkcie przestrzeni. Prawdopodobieństwo d znalezienia cząstki w elemencie objętości dv: d dv * gdzie * jest funkcją sprzężoną do jest gęstością prawdopodobieństwa: Normalizacja funkcji: dv - podstawowy parametr charakteryzujący stany mikroelementów. d dv - określa prawdopodobieństwo znajdowania się cząstki w danym punkcie przestrzeni - określa natężenie fali de Broglie a Przy pomocy funkcji falowej mogą być obliczane średnie wartości wielkości fizycznych charakteryzujące dany obiekt. Średnia wartość odległości pomiędzy elektronem a jądrem: r r dv * r dv Średnia wartość kwadratu odległości pomiędzy elektronem a jądrem: r r dv r * dv

5 Równanie Schrödingera (96 r.) w mechanice kwantowej spełnia rolę newtonowskiego równania ruchu w mechanice klasycznej. - wyznacza funkcję falową (x, y, z, t) - równanie falowe - prawdziwe dla dowolnej cząstki poruszającej się z prędkością << c (c prędkość światła w próżni) i t U x, m y,z, t gdzie m masa cząstki, U(x, y, z, t) energia potencjalna cząstki w polu sił, w którym cząstka się porusza Erwin Schrödinger (887-96) h /,5 x i y z 34 Js - jednostka urojona gdzie h stała Plancka - operator Laplace a Warunki, jakie musi spełniać funkcja falowa: - Funkcja musi być skończona, ciągła i jednoznaczna; / x, / y, / z - Pochodne powinny być ciągłe dx dy dz - Funkcja powinna być całkowalna, tzn. całka powinna mieć wartość skończoną.

6 Stacjonarne równanie Schrödingera niezależne od czasu r-nie Schrödingera - funkcja falowa nie zależy od czasu - energia potencjalna U = U(x, y, z) jest niezależna od czasu Funkcja falowa w postaci iloczynu funkcji (x, y, z) oraz (t): x, y,z, t x, y,zt Równanie Schrödingera po podstawieniu funkcji =: Ux, y, z i t m m Dzieląc obie strony przez iloczyn otrzymamy: Ux, y,z i t funkcja x, y, z funkcja t Obie strony równania są równe stałej -E: i t E U x, m y,z E m Równanie z funkcją przestrzenna (x, y, z ) zapisujemy w postaci: E U Funkcje (x, y, z ) spełniające r-nie stacjonarne przy zadanym U funkcje własne Wartości E, dla których istnieją rozwiązania r-nia stacjonarnego wartości własne

7 Rozwiązania równania z funkcją zależną od czasu (t): Równanie Schrödingera jako równanie falowe / eiet Gdzie = (t = ) wartość funkcji w momencie początkowym Klasyczne r-nie fali Stacjonarne r-nie Schrödingera 4 S S m E U faz Na podstawie wzoru de Broglie a otrzymamy: faz m h Energia kinetyczna cząstki: m / E U m E U 8 h Korzystając z powyższych wzorów: m m 4 faz x, y,z, t x, y,z e Rozwiązanie r-nia Schrödingera: iet / E h Zależność prawdziwa dla dowolnych obiektów w mechanice kwantowej lub falowej Stan cząstki opisuje okresowa funkcja czasu z częstością kołową: E / Związek pomiędzy energią cząstki E a częstością fali de Broglie a jest jedna z podstawowych zależności w mechanice kwantowej

8 W9. Operatory składowych pędu i położenia Operatory odpowiadające składowym pędu: Postać wektorowa OPERATORA PĘDU: pˆ x ih x pˆ i pˆ y ih y p z ih z Operatory współrzędnych położenia: xˆ x Postać wektorowa OPERATORA POŁOŻENIA: ŷ y ẑ z rˆ r RÓWNANIE WŁASNE DANEGO PROBLEMU: Âu au Gdzie A operator odpowiadający klasycznej obserwabli a wartość własna, u funkcja własna przynależna do wartości własnej Wartości własne operatora przyporządkowanego pewnej wielkości fizycznej (obserwabli) przedstawiają te wszystkie wartości danej wielkości, które można otrzymać w wyniku dobrze przeprowadzonego pomiaru fizycznego. UWAGA: Aby operator mógł reprezentować wielkość fizyczną musi być liniowy (spełniać zasadę superpozycji), a jego wartości własne muszą być liczbami rzeczywistymi (operator hermitowski inaczej samosprzężony).  cu cu câu câu  Â

9 W9. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Zasada nieoznaczoności Heisenberga (97): wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie się układów mikroświata istnieją pary, dla których nie jest możliwy jednoczesny, ścisły pomiar obu wielkości tworzących daną parę. x p y p z p x y z h / h / h / Nie jest możliwa równoczesna dokładna znajomość położenia i pędu cząstki E t h / Im dokładniej chcemy określić energię układu, tym mniej określony staje się czas, w którym zaszło rozważane zdarzenie Gdzie x, y, z miary nieokreśloności położenia (niepewności w wyznaczeniu) p x, p y, p z miary nieokreśloności pędu, E i t niepewność w wyznaczeniu energii i czasu

10 Ruch cząstki swobodnej W przypadku ruchu swobodnego cząstki jej energia potencjalna U =, a prędkość = const. Stacjonarne r-nie Schrödingera cząstki swobodnej: m Rozwiązanie stacjonarnego r-nia Schrödingera cząstki swobodnej: d E dx Ae ikx Be A, B pewne stałe k liczba falowa cząstka porusza się wzdłuż osi x ikx gdzie E k m h x x, y,z, t Be ikx ikx iet / Rozwiązanie pełnego r-nia Schrödingera cząstki swobodnej: Ae e x, y,z, t A'e E i t me x B'e E i t me x - Rozwiązanie jest superpozycją dwóch płaskich monochromatycznych fal o tej samej częstości E / - Jedna z fal rozchodzi się w kierunku +x i ma amplitudę A, a druga rozchodzi się w kierunku x i ma amplitudę B - Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni jest niezależne od czasu.

11 Cząstka w pudle Cząstka o masie m znajduje się w jamie potencjału w obszarze ograniczonym między x = i x = L - Idealizacja ruchu cząsteczki w stanie gazowym zamkniętej w pojemniku, przypadek jednowymiarowy Rozwiązanie stacjonarnego r-nia Schrödingera cząstki wewnątrz pudła (U=) k Ae ikx Be ikx isin kx Bcoskx isin kx A coskx U x L k Csin kx Dcoskx E A, B, C, D pewne stałe k liczba falowa k k m Funkcja falowa musi być równa zero gdy x = oraz x = L: L stąd otrzymujemy: k k L D Csin kl kl n L n k k - w jamie potencjału powinna mieścić się całkowita wielokrotność połówek fal de Broglie a L nx L Normalizacja funkcji: dx C sin C k L L stąd otrzymujemy: C L /

12 Cząstka w pudle n h 8mL Wartości własne energii cząstki: n,,... Energia nie może być dowolna (- jest SKWANTOWANA) En Funkcja falowa opisująca położenie cząstki: n x n liczba kwantowa L / nx sin L Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki: x L nx sin L

13 W9. Kwantowomechaniczny oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny (np. punktowa masa na sprężynie) Zależność F(x) = -kx Energia potencjalna V(x) Energia całkowita (hamiltonian): h m d dx Równanie Schrödingera: x x Ex m

14 W9. Kwantowomechaniczny oscylator harmoniczny Funkcje falowe oscylatora harmonicznego h h h n 4 n m x H m x exp m x Eneriga oscylatora harmonicznego,,3,... n n E n h

15 Bariera potencjału o wysokości U Elektron o energii całkowitej E Zjawisko tunelowe zgodnie z prawami fizyki kwantowej istnieje skończone prawdopodobieństwo, że elektron o energii E przejdzie przez barierę potencjału o energii U (U >E) Prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m i energii E przez prostokątną barierę o szerokości L i wysokości U jest równe współczynnikowi przejścia T: T T e kl gdzie k 8 m U h E Dla bariery o dowolnym kształcie: x, x współrzędne początku i końca bariery potencjału, T współczynnik stały bliski T T e x x m U xedx /

16 Zjawisko tunelowe odgrywa istotną rolę gdy przezroczystość bariery nie jest zbyt mała (R, T ). Dla prostokątnej bariery potencjału zachodzi to wtedy, gdy spełniony jest warunek: a m U EL Warunek jest spełniony gdy wymiary bariery potencjału są porównywalne z wymiarami atomu. Np. dla elektronu o masie m = -3 kg gdy U - E = ev i L = - m a oraz T /e Gdy szerokość bariery L = - m: a 8 oraz T e - Wraz ze zwiększeniem masy cząstki (m) i różnicy U E przezroczystość bariery maleje. ZJAWISKO TUNELOWE jest zjawiskiem czysto kwantowym dla h pojęcie przezroczystości bariery potencjału traci sens.

17 Mikroskopowy obraz cząsteczek można uzyskać za pomocą mikroskopu elektronowego. STM (Scaning Tunnel Microscope) skaningowy mikroskop elektronowy Elektroda sondująca Napięcie mv do V Rejestrowany prąd - EFEKT TUNELOWY Obrazowanie struktur o rozmiarach -Å

18 W. Atom wodoru w ujęciu mechaniki kwantowej Funkcja Hamiltona przedstawiająca całkowitą energię elektronu w atomie wodoru: H p Vr Gdzie p pęd elektronu, V(r) potencjał zależny od położenia elektronu, r = (x,y,z) m Operator pędu p i oraz jego składowe p x i x, p y i, y p z i z Operator Hamiltona H m Vr Operator Laplace a x y z Korzystając z tego operatora otrzymujemy zależne od czasu r-nie Schrödingera Hr, t i r, t Równanie Schrödingera możemy uprościć podstawiając funkcję r, t exp Et r i t Równanie Schrödingera niezależne od czasu H E Rozwiązanie zbiór wartości własnych

19 W. Atom wodoru w ujęciu mechaniki kwantowej Hamiltonian dla atomu wodoru H m 4 Ponieważ w hamiltonianie występuje tylko zależność od odległości (r) przechodzimy do układu współrzędnych sferycznych r r,, Ze r Funkcja falowa zapisana we współrzędnych sferycznych n,l,m m im r R P cose nl l Gdzie n, m, l są liczbami kwantowymi (n główna liczba kwantowa, l orbitalna liczba kwantowa, m magnetyczna liczba kwantowa). Część radialna Część kątowa Energia całkowita E n m Z e 4 4 n Zależy od n (główna liczba kwantowa, n =,, 3, ), opisuje stany związane atomu

20 W. Atom wodoru w ujęciu mechaniki kwantowej Część kątowa funkcji falowej F l,m m im, P cose l l = l = F, 4 Nie zależy od kątów - sfera F, F 3 cos 4 3 4, 3 sine /8 i z r 3 8 x y r Zależność kątowa funkcji falowej (P m l ) w stanie s i w stanie p Część radialna funkcji falowej R n,l N n,l e n r r l L l n Gdzie funkcja L n+ l+ jest pochodną wielomianów Laguerre a L n+ n r

21 W. Orbitale atomowe Orbital atomowy Orbital jest funkcją falową jednego elektronu - (x,y,z,t). (x,y,z,t) - gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu w danym punkcie przestrzeni. Orbitale atomowe opisują wszystkie elektrony, które w danym momencie nie uczestniczą w tworzeniu wiązań chemicznych ale są przypisane do określonych jąder atomowych. Rodzaje orbitali atomowych Orbital s o kształcie kuli Orbital p o kształcie hantli Orbital d i f o kształcie będącym kombinacją hantli i torusów