Własności falowe materii

Transkrypt

1 Część 3 Własności falowe materii 1. Rozpraszanie promieni X 2. Fale De Brogliea 3. Rozpraszanie elektronu 4. Ruch falowy 5. Transformata Fouriera 6. Zasada nieokreśloności 7. Cząsteczka w pudle 8. Prawdopodobieństwo, funkcje falowe i interpretacja kopenhaska 9. Fale czy cząstki? Louis de Broglie ( ) I w ten sposób dotarłem do ogólnej koncepcji, którą kieruje się w moich badaniach: zarówno dla materii jak i promieniowania, w szczególności dla światła, konieczne jest wprowadzenie jednocześnie koncepcji korpuskularneji jak i pojęcia fali. - Louis de Broglie, 1929 Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech,

2 3.1: Rozpraszanie promieni X W roku 1912 Max von Laue zasugerował, że jeśli promienie rentgenowskie są formą promieniowania elektromagnetycznego, to powinny być dostrzegane efekty dyfrakcyjne. Kryształy działają jako trójwymiarowe siatki dyfrakcyjne, rozpraszają fale i produkują zauważalne efekty dyfrakcji. Płyta fotograficzna Próbka Wiązka promieni X

3 Prawo Bragga William Lawrence Bragg zinterpretował rozpraszanie promieni X jako odbicie wiązki padającej od zestawu płaszczyzn tworzonych przez atomy w krysztale. Są dwa warunki konstruktywnej interferencji rozproszonego promieniowania X: 1) Kąt padania wiązki musi być równy kątowi odbicia fali wychodzącej. 2) Różnica długości dróg musi być równa całkowitej wielokrotności długości fali. Prawo Bragga: nλ = 2d sinθ (n = całkowite) Padająca fala płaska

4 Spektrometr Bragga Spektrometr Bragga rozprasza promienie rentgenowskie przechodzące przez kryształy. Poprzez obroty kryształem i detektorem bada się intensywność światła po dyfrakcji w zależności od kąta rozpraszania. Gdy wiązka promieni X przechodzi przez sproszkowany kryształ z kropek robią się pierścienie.

5 3.2: Fale De Broglie a W swojej pracy z 1923 roku, książę Louis V. de Broglie zasugerował, że cząstki posiadające masę powinny mieć właściwości podobne do fali promieniowania elektromagnetycznego. Ich energię można zapisać jako: Jeśli fale światła mogą zachowywać się jak cząstki, dlaczego cząstki materii nie mogłyby zachowywać się jak fale? hν = pc hν = pλν Tak więc długość fali materii nazywamy długość fali de Broglie a: Louis V. de Broglie ( )

6 3.3: Rozpraszanie Elektronów W 1925 roku Davisson i Germer doświadczalnie stwierdzili, ugięcie elektronów (podobnie jak promieni X) na krysztale niklu. George P. Thomson ( ), zaobserwował w eksperymentach dyfrakcję elektronów na celuloidzie, złocie, aluminium i platynie. Losowo zorientowane próbki polikrystaliczne z SnO2 produkowały pierścienie.

7 Dyfrakcja fal przechodzących przez szczeliny Spektrogramy dyfrakcyjne Fraunhofera Jedna szczelina Dwie szczeliny W 1803 roku, Thomas Young zaobserwował spektrogram światła przechodzącego przez dwie szczeliny, który potwierdził falową naturę światła. Ale teraz wiemy, że cząstki są również falami. Więc powinny wykazywać podobne obrazy przy przejściu przez szczeliny, zwłaszcza parę szczelin.

8 Eksperyment z elektronami przechodzącymi przez podwójną szczelinę C. Jönssonowi z Tübingen w Niemczech, udało się w 1961 zaobserwować interferencję elektronów na podwójnej szczelinie. Wykorzystał w tym celu bardzo wąskie szczeliny i stosunkowo dużą odległość między szczelinami a ekranem obserwacji. Eksperyment ten wykazał, że światło (fale) i elektrony (cząstki) zachowują się w dokładnie ten sam sposób.

9 Uzasadnienie warunku kwantyzacji Bohra Jednym z założeń Bohra w jego model atomu wodoru, było że moment pędu elektronu w stanie stacjonarnym jest nħ. Okazuje się, że jest to równoważne ze stwierdzeniem, że orbita elektronu składa się z całkowitej liczby długości fal de Broglie a: Jeśli za, podstawimy obwód orbity podzielony przez n: Obwód L = rp = rh λ h 2π r = n = nλ p To dostaniemy: L Długość fali de Broglie a elektronu rhn = = nħ 2π r

10 3.4: Ruch falowy Fale de Broglie a powinny być opisane w taki sam sposób jak fale światła. Fale materii powinny więc być rozwiązaniem równania falowego takiego samego jakie spełniają fale elektromagnetyczne: o rozwiązaniu: Ψ x 1 Ψ = v t W rzeczywistości równanie fal materii jest inne, tylko w niektórych przypadkach rozwiązania są takie same Ψ(x,t) = A exp[i(kx ωt θ)] Zdefiniujmy liczbę falową k i częstość kątową ω jak zwykle: i

11 Rozkład Fouriera funkcji Operacja matematyczna umożliwiająca rozkład dowolnej funkcji na składowe spektralne. Jeśli f(t) jest nieparzysta to f (t) = 1 π m= 0 F m sin(mt) Rozkład funkcji na sinusy

12 3.5: Transformata Fouriera F( ω) = f ( t) exp( iω t) dt Transformata Fouriera F(ω) nazywamy transformatą Fouriera funkcji f(t). Transformata zawiera te same informacje co pierwotna funkcja f(t). Mówimy, że f(t) jest w dziedzinie czasu, a F(ω) jest w dziedzinie częstości. F(ω) jest innym sposobem zapisu funkcji lub fali f(t). Transformatę Fouriera można odwrócić i z funkcji w dziedzinie częstości przejść do funkcji w dziedzinie czasu: 1 f ( t) = F ( ω) exp( iω t) dω 2π Odwrotna transformata Fouriera

13 Przykłady transformat Fouriera Krótki impuls f(t) F(ω) t ω Im krótszy impuls tym szersze spectrum! Średnio długi impuls t ω To jest istota zasady nieokreśloności! Długi impuls t ω

14 Szerokość impulsu Istnieje wiele definicji szerokości lub długości fali lub impulsów. t t Efektywną szerokością impulsu jest szerokość prostokąta którego wysokość i pole są takie same jak impulsu. Efektywna szerokość Pole / wysokość: 1 teff f ( t) dt f (0) 0 f(0) t eff t Podobnie możemy zdefiniować szerokości widma F(ω) lub jakiejkolwiek innej wielkości.

15 Zasada nieokreśloności (matematycznie) Zasada nieokreśloności mówi, że iloczyn efektywnych szerokości funkcji w dziedzinie czasu ( t) i częstości ( ω) jest 1. Efektywna szerokość impulsów f(t) i F(ω) o maksimum w 0: 1 1 F(0) t f ( t) dt f ( t)exp( i[0] t) dt f (0) = f (0) = f (0) 1 1 t ( ) ( ) f (0) f t dt ω F(0) F ω d ω szacowanie: π f (0) ω F( ω) dω F( ω)exp( iω dω F(0) = [0]) = F(0) F(0) 1 Mnożąc te wyniki mamy: ω t f (0) F(0) 2π F(0) f (0) lub: ω t 2π ν t 1 ν t = Iloczyn czas-szerokość pasma

16 3.6: Zasada nieokreśloności dla energii Nieokreśloność energii paczki falowej jest: E h h = ν = ω = ħ ω 2π w połączeniu z częstością kątową, którą wyprowadziliśmy wcześniej: E t = ω t 2 π ħ 1 2 Uzyskujemy zasadę nieokreśloności Energia-Czas: W wyprowadzeniu korzystaliśmy wyłącznie z definicji energii i własności fal.

17 Zasada nieokreśloności dla pędu Ta sama reguła matematyczna dotyczy x i k: k x ½ Więc również niemożliwe jest jednoczesne zmierzenie wartości k i x dla fali. Pęd można wyrazić poprzez liczbę falową k: h h p = ( h / 2 π ) k λ = 2 π / k = p =ħ k Więc nieokreśloność pędu jest równa: Ale mnożąc k x ½ przez ħ: p = ħ k x ħ 2 ħ k Otrzymujemy zasadę nieokreśloności Heisenberga:

18 Jak rozumieć zasadę nieokreśloności? Pomiar jednej wielkości zaburza pomiar drugiej. Precyzyjny pomiar czasu zakłóca energię. Precyzyjny pomiar położenia zakłóca pęd. Wehikuł Heisenberga. Problem polega na tym, że kiedy patrzysz się na prędkościomierz to tracisz orientację gdzie jesteś.

19 Minimum energii kinetycznej Jako, że z zasady nie mamy pewności co do dokładnej pozycji, 2 x =l cząstki, na przykład elektronu gdzieś wewnątrz atomu, cząstka ta nie może mieć zerowej energii kinetycznej. więc: ħ ħ p = 2 x l Średnia z dodatniej wielkości musi zawsze być większa lub równa od jej nieokreśloności: K Śr pśr ħ ħ p = x l = pśr ( p) 2m 2m ħ 2m l 2

20 3.7: Prawdopodobieństwo, funkcje falowe i interpretacja kopenhaska Dobrze, jeśli cząstki są także falą to co faluje? Prawdopodobieństwo! Funkcja falowa określa szansę (lub prawdopodobieństwo) znalezienia cząstki w określonym miejscu w przestrzeni i w danym czasie: P( x) = Ψ( x) 2 Prawdopod., że cząstka znajduje się pomiędzy x 1 a x 2 jest dane przez: x 2 Ψ ( x) x 1 2 dx Ψ 2 ( x) dx = 1 Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest 1. Nałożenie tego warunku na funkcję falową nazywa się jej normalizacją.

21 3.8: Cząstka w pudle Cząstka (fala) o masie m jest zamknięta w 1-wymiarowym pudle o długościl. Pudło wymusza na fali warunki brzegowe. Funkcja falowa musi być zero na jego ściankach i poza nim na zewnątrz. Aby prawdopodobieństwo na ścianach znikało, w pudle musimy mieć całkowitą liczbę połówek długości fali: Energia: Możliwe długości fal są skwantowane, Więc skwantowane są również energie: K p h = 2 mv = = 2 2m 2mλ

22 Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w określonym położeniu Zauważmy, że E 0 = 0 nie jest możliwym poziomem energetycznym. Koncepcja poziomów energetycznych, wprowadzona w modelu Bohra, pojawiła się w sposób naturalny za pomocą fal. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy x i x + dx w każdym stanie jest

23 3.9: Fale czy cząstki? Zmniejszanie ilości światła w eksperymencie z dwiema szczelinami Younga prowadzi do pojedynczych fotonów na ekranie. Ponieważ fotony są cząstkami, każda z nich może przechodzić tylko przez jedną szczelinę. Tak więc przy niskiej intensywności, rozkład obraz powinien być taki sam jak w eksperymencie z jedną szczeliną. x Tak naprawdę, nawet pojedynczy foton przechodzi przez obie szczeliny!

24 Eksperyment z podwójną szczeliną

25 Przez którą szczelinę przechodzi elektron? Przechodzenie światła przez podwójną szczelinę można obserwować pod mikroskopem. Kiedy elektron przechodzi przez jeden z otworów, odbija się od niego światło które obserwując możemy stwierdzić, przez która szczelinę elektron przeszedł. Pęd fotonu jest: Aby rozróżnić, przez którą szczelinę przechodzi elektron λ ph < d (odłegłość szczelin) Pęd elektronu jest: Dyfrakcja jest możliwa tylko wtedy, gdy odległość szczelin jest ~ długość falowej. Pęd fotonów użytych do określenia, przez którą szczelinę przeszedł elektron jest wystarczający aby zmodyfikować pęd elektronów, zmieniając kierunek elektronu! Próba określenia, przez którą szczelinę elektron przechodzi sama w sobie zmieni obraz dyfrakcyjny! Elektrony propagują się jako fale, ale wykrywamy je jako cząstki.

26 Wyjaśnienie dualizmu korpuskularno falowego To trochę niepokojące, że wszystko jest zarówno cząstką jak i falą. Dualizm korpuskularno falowy jest trochę mniej uciążliwy jeśli myślimy w kategoriach: Zasady Komplementarności Bohra: na fundamentalnym poziomie elementy opisu, które uzupełniają się wzajemnie i są niezbędne do uzyskania pełnej charakterystyki układu, wykluczają się nawzajem. Przykładowo, dokładny pomiar pędu wyklucza dokładną znajomość położenia, a do pełnego opisu tego, co dzieje się z cząstką, potrzebna jest znajomość jej pędu i położenia. Gdy robimy pomiary, używamy opis cząsteczkowego, ale gdy ich nie robimy, używamy opisu falowego. Kiedy obserwujemy, podstawowymi wielkościami są cząstki, gdy zaś nie obserwujemy, są nimi fale.

27 Interpretacja kopenhaska Interpretacja Bohra funkcji falowej składa się z trzech zasad: o Zasady nieokreśloności Heisenberga o Zasady komplementarności Bohra o Interpretacji statystycznej Borna, bazującej na prawdopodobieństwach wyznaczanych przez funkcję falową Te trzy koncepcje stanowią podwaliny logicznej interpretacji teorii kwantowej. Według interpretacji kopenhaskiej konstrukcje matematyczne mechaniki kwantowej są tylko użytecznymi narzędziami i pozwalają na wykonanie obliczeń zgodnych z danymi eksperymentalnymi. Same te narzędzia nie powinny być jednak traktowane dosłownie i nie muszą odzwierciedlać realnych bytów.