Ładunek elektryczny jest skwantowany

Transkrypt

1 1. WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ 1.1. Budowa materii i kwantowanie ładunku Materia w skali mikroskopowej nie jest ciągła lecz zbudowana z atomów mówimy, że jest skwantowana Powierzchnia platyny Ładunek elektryczny nie jest ciągły lecz jest wielokrotnością ładunku elementarnego e = 1, C Ładunek elektryczny jest skwantowany QM1 2015/16 1

2 1.2. Fale mechaniczne Fala to zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w przestrzeni, które mogą mieć postać impulsu lub drgań. t 1 t 2 kierunek drgań elementu sznura v Pewien fragment ośrodka materialnego zaczyna drgać wokół położenia równowagi, a dzięki sprężystym własnościom tego ośrodka drgania są przekazywane sąsiednim fragmentom i zaburzenie rozchodzi się jako fala mechaniczna. Fala harmoniczna - każdy element ośrodka drga ruchem harmonicznym prostym: ψ ( t) = A cos(2π f t + ϕ) A amplituda, f częstotliwość, ϕ faza początkowa QM1 2015/16 2

3 t=0 λ y v ψ(x,t) ψ (x,t) - wychylenie elementu w x w chwili t x Pionowe wychylenie powtarzające się w przestrzeni gdy x wzrasta o λ długość fali: 2π 2π ψ ( x) = Acos x = Acos ( x + λ) = ψ ( x + λ) λ λ x ( t) v t = x(0 Przemieszczenie piku z x(0) po czasie t do x(t) : ) Funkcja falowa fali poruszającej się w prawo: ψ ( x, t) 2π t = Acos x λ + ϕ λ T, gdzie v = λ / T spełniająca równanie fali: 2 QM1 2015/ ψ 1 ψ = x v t

4 1.3. Klasyczna teoria światła Klasyczna falowa teoria promieniowania elektromagnetycznego oparta jest na czterech równaniach Maxwella. Równanie fali elektromagnetycznej Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych przemieszczanie się zmiennych pól elektrycznych i magnetycznych. Do rozchodzenia się nie potrzebny jest ośrodek materialny, istnieją również w próżni. QM1 2015/16 4

5 Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni: v = λ ω = = T k ε µ 0 = 2, m/s własności fal elektromagnetycznych: prędkość w próżni c = (ε 0 µ 0 ) 1/2, bez względu na długość, fale poprzeczne, przenoszą energię i mogą ją przekazywać innym obiektom, ich źródłami są poruszające się z przyspieszeniem ładunki, bardzo szeroki zakres długości λ i częstotliwości ν : c = λν. QM1 2015/16 5

6 Zjawiska charakterystyczne dla fal: odbicie zmiana kierunku ruchu na granicy ośrodków bez zmiany ośrodka, załamanie na granicy ośrodków fala przechodząc do drugiego ośrodka zazwyczaj zmienia kierunek swego ruchu, rozszczepienie załamanie fal zależne od ich długości powoduje rozkład fali na fale składowe dyfrakcja ugięcie na przeszkodach, szczelinach o rozmiarach porównywalnych z długością fali, interferencja nakładanie się fal z różnych źródeł mogące doprowadzić do ich wzmocnienia lub wygaszenia, QM1 2015/16 6

7 odbicie QM1 2015/16 7

8 załamanie Prędkość rozchodzenia się światła w ośrodku v jest różna dla każdej fali ( barwy ) λ Rozszczepienie światła białego w pryzmacie Prawo załamania fali sin α = sin β v 1 v v α i w kropelce wody β v 2 QM1 2015/16 8

9 Interferencja światła na dwu szczelinach przesłona ze szczelinami λ δ r 1 r 2 α ekran P natężenie światła L >> λ Interferencja nakładanie się dwu lub więcej spójnych (ustalona różnica faz) fal harmonicznych o tych samych długościach λ. Warunek na jasny prążek (maksimum natężenia światła na ekranie w punkcie P ): różnica dróg optycznych fal docierających do P : δ = r 1 r 2 = n λ, n = 1, 2,... δ = d sinα = nλ L>>d (L odległość szczelin od ekranu, d odległość między szczelinami), QM1 2015/16 9

10 Dyfrakcja (i interferencja) światła na jednej szczelinie przesłona ze szczeliną λ α ekran P natężenie światła L >> λ Warunek na wystąpienie ciemnych prążków, czyli minimów natężenia światła: a sinα = nλ n = 0,1,2,, a szerokość szczeliny, L >> a. α kąt ugięcia QM1 2015/16 10

11 1.4. Kwantowa teoria światła Mechanika kwantowa korpuskularne (cząsteczkowe) podejście do światła. Promieniowanie elektromagnetyczne w pewnych zjawiskach należy traktować jako strumień cząstek, fotonów, obdarzonych pędem i mających określoną energię: E = hν, h = 6, J s stała Plancka, ν częstotliwość promieniowania elektromagnetycznego Idea kwantowania energii Max Planck Teoria Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego zgodna z wynikami doświadczalnymi. W oparciu o klasyczną termodynamikę i teorię fal elektromagnetycznych niemożliwe jest podanie wzoru na krzywą doświadczalną I(λ). QM1 2015/16 11

12 Ciało doskonale czarne - pochłaniające całe docierające doń promieniowanie i mające największą spośród ciał o tej samej temperaturze zdolność emisji. Widmo promieniowania ciała widmem ciągłym. Rozgrzane ciała emitują fale o różnych długościach w różnych ilościach. Ilość emitowanych fal o danej długości przez dane ciało zależy od jego temperatury. Max Planck nowa teoria promieniowania atomy i cząsteczki wysyłają promieniowanie nie w sposób ciągły, ale w postaci porcji energii zależnych jedynie od częstotliwości fali ν. natężenie Pojedyncza porcja energii to kwant długość fali λ QM1 2015/16 12

13 Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne Uwalnianie przez światło elektronów z powierzchni różnych materiałów, np. metali. katoda światło i f anoda A U Fotokomórka (fotodioda próżniowa) starego typu: fotokatoda emitująca elektrony pod wpływem padającego na nią promieniowania, anoda ma postać cienkiego pręta lub pętli z drutu W zależności od materiału z którego wykonana jest fotokatoda i bańka lampy zakres czułości rozciąga się od bliskiej podczerwieni do nadfioletu i wyżej QM1 2015/16 13

14 Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne W efekcie fotoelektrycznym maksymalna energia kinetyczna elektronu po zaabsorbowaniu fotonu o energii hν dana jest wzorem: katoda światło U anoda i f A E k E kin = hν W, W praca wyjścia równa energii potrzebnej do uwolnienia elektronu z metalu, rzędu kilku ev. ν częstotliwość promieniowania, h stała Plancka Na gruncie fizyki klasycznej niemożliwe jest poprawne wytłumaczenie wszystkich faktów doświadczalnych obserwowanych w tym zjawisku: J 1 natężenie światła ν 0 ν napięcie QM1 2015/16 h polaryzacji 14 i fo t U U

15 Na gruncie fizyki klasycznej niemożliwe jest poprawne wytłumaczenie wszystkich faktów doświadczalnych obserwowanych w tym zjawisku: 1. Maksymalna energia kinetyczna E k uwolnionych elektronów niezależna od natężenia padającego światła. E k i fot J 2 >J 1 J 1 natężenie światła ν 0 ν U h U napięcie polaryzacji 2. Występowanie zjawiska powyżej wartości progowej częstotliwości ν 0 3. Proporcjonalność maksymalnej energii kinetycznej elektronów do częstotliwości światła ν. 3. Zanik fotoprądu i fot dla napięcia hamowania U h = E k /e, a dla dużych napięć nasycenie fotoprądu QM1 2015/16 15

16 Einstein o zjawisku fotoelektrycznym: światło należy traktować jako strumień cząstek fotonów, z których każda niesie określoną porcję (kwant) energii: E = hν ν częstotliwość promieniowania, h stała Plancka jeden foton całkowicie absorbowany przez jeden elektron, który dzięki temu może uzyskać maksymalną energię kinetyczną: Ekin = hν W, W praca wyjścia równa energii potrzebnej do uwolnienia elektronu z metalu, rzędu kilku ev (wykorzystana na pokonanie sił przyciągania pochodzących od atomów z płytki oraz na pokrycie strat energii kinetycznej wskutek zderzeń elektronów wewnątrz płytki). Częstotliwość progowa: h ν 0 = W Większe natężenie światła J to większa ilość fotonów w strumieniu świetlnym większa ilość fotoelektronów i wzrost fotoprądu płynącego w obwodzie. QM1 2015/16 16

17 1.5. Dwoista natura promieniowania Dualizm falowo-korpuskularny (cząsteczkowy): Promieniowanie elektromagnetyczne ma dwoistą naturę: w jednych zjawiskach przejawia się falowy, w innych cząsteczkowy charakter promieniowania E = hν p = h / λ wielkości charakteryzujące fale ν, λ i wielkości charakteryzujące fotony E, p. Nie możemy danego procesu fizycznego z udziałem promieniowania elektromagnetycznego opisywać jednocześnie za pomocą fotonów i fal! QM1 2015/16 17

18 1.6. Fale materii Hipoteza L. de Broglie a: Korpuskularno-falowe zachowanie jest cechą również i materii. Każdej cząstce materialnej o pędzie p r i energii E przypisywana fala materii. Długość fali de Broglie a, stowarzyszonej z poruszającą się cząstką: λ = h p a jej częstotliwość: ν = E / h. Możliwość obserwacji falowych aspektów ruchu cząstek, Fala materii cząstki swobodnej Fala materii cząstki zlokalizowanej długość fali materii porównywalna, lub większa, z rozmiarami charakterystycznymi badanego układu fizycznego. QM1 2015/16 18 p r λ=h/p Dyfrakcja elektronów

19 Elektrony : E kin = 100 ev = 1, J, długość fali materii λ = 0,12 nm. Sieć krystaliczna ( odległości między płaszczyznami atomowymi rzędu 0,1 nm) pełniąca rolę siatki dyfrakcyjnej. Cząsteczka o masie 1 g: E kin = 0, J, fala materii λ = 6, nm. Obserwacja dyfrakcji nie jest możliwa - nie istnieją w przyrodzie odpowiednio małe obiekty (rozmiary jądra atomowego ~ 10 6 nm ). Działo elektronowe Folia metalowa Wiązka elektronów Pierścienie dyfrakcyjne QM1 2015/16 19

20 Falowa natura elektronów interferencja na dwu szczelinach przesłona ekran θ Warunek wystąpienia maksimum natężenia: d sinθ = nλ d odległość między środkami szczelin, n =1,2,.. rząd maksimum wiązka elektronów po elektronach po 100 elektronach po elektronach Analogia z interferencją światła na dwu szczelinach QM1 2015/16 20

21 Zachowanie elektronów przechodzących przez kryształy analogiczne do zachowania promieniowania rentgenowskiego (fali elektromagnetycznej) Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego oraz elektronów na folii aluminiowej Promieniowanie rentgenowskie (promieniowanie X) promieniowanie elektromagnetyczne o λ rzędu 0,1 0,01 nm. QM1 2015/16 21

22 Wiązka elektronów lub promieni X Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego oraz elektronów na kryształach θ θ d Maksimum natężenia wiązki odbitej od płaszczyzn sieciowych, gdy spełniony warunek Bragga: 2d sinθ = nλ d odległość między płaszczyznami sieciowymi kryształu, θ - kąt odbicia, 2δ - różnica dróg optycznych Doświadczenie Davissona-Germera: δ θ d θ δ Z prawa Bragga: 2d sinθ λ = n = Z hipotezy de Broglie a: λ = h p = h 2mE 2δ = n λ QM1 2015/16 22

23 Praktyczne zastosowanie metod dyfrakcji cząstek elementarnych: do badania struktur krystalicznych, określania struktur magnetycznych kryształów za pomocą rozpraszania neutronów (neutronografia) Falowa natura cząstek wykorzystana w mikroskopie elektronowym. Odbiciowy mikroskop elektronowy (SEM) Transmisyjny mikroskop elektronowy (TEM) QM1 2015/16 23

24 pyrrhotite. SEM JEOL 200 kv Electron Microscopy QM1 2015/16 24

25 Zdolność rozdzielcza mikroskopu zależy od długości fali λ. Obrazy dwóch leżących blisko siebie obiektów zachodzą na siebie i mogą się zlewać w jedną plamę lub być od siebie odseparowane. natężenie światła Warunek na pierwsze minimum dyfrakcyjne: asinα = λ Zdolność rozdzielcza mikroskopów elektronowych, w których zamiast wiązki światła stosuje się wiązkę elektronów, może być 1000 razy większa niż optycznych QM1 2015/16 25

26 Obrazy z mikroskopu elektronowego QM1 2015/16 26

27 Zasada komplementarności : modele: falowy i korpuskularny wzajemnie się uzupełniają. W danym doświadczeniu możemy obserwować zawsze tylko jeden charakter promieniowania lub materii falowy lub korpuskularny ale nigdy oba równocześnie! 1.7. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie układu w skali mikroskopowej można wyróżnić pary o tej własności, że niemożliwe jest jednoczesne przeprowadzenie ścisłego pomiaru obu wielkości z danej pary: x p h / 2, E t h / 2, x gdzie h = h / 2π = 1, J s QM1 2015/16 27

28 Zasady nieoznaczoności odbiciem praw natury, a nie konsekwencją niedokładności przyrządów pomiarowych. Ograniczenie nakładane na dokładność iloczynu obu wielkości, a nie na dokładność każdej z tych wielkości osobno możliwy dokładny pomiar jednej wielkości z pary, ale kosztem olbrzymiej niedokładności drugiej. p r p r λ=h/p Cząstka swobodna fala materii Ψ(x,t) ma dobrze określoną długość λ p = h /λ dobrze określony pęd i jego nieoznaczoność p = 0, ale nieoznaczoność położenia x =, czyli cząstka może się znajdować gdziekolwiek! Cząstka zlokalizowana fala materii Ψ(x,t) ma źle określoną długość λ źle określony pęd i jego nieoznaczoność p duża, ale nieoznaczoność położenia x mała, czyli cząstkę można zlokalizować w pewnym obszarze! W świecie makroskopowym zasada Heisenberga nie jest istotna, ponieważ wielkość stałej Plancka h jest bardzo mała. QM1 2015/16 28

29 1.8. Funkcja falowa Fala materii, stowarzyszona z każdą mikroskopową cząstką, opisywana za pomocą funkcji falowej : Ψ( r, t) Ogólnie: Ψ = a + i b to funkcja zespolona, i 2 = 1 liczba urojona. p r Cząstka swobodna Re Ψ =a, Im Ψ =b Ψ k ( x, t) = C e i ( k x ω t ) Gdzie C amplituda fali, Re Ψ = C cos ( k Im Ψ x ω t) + i C sin ( k x ω t) k = 2π / λ = p / h, ω = 2πν = E / h Funkcja falowa zawiera w sobie całą informację o cząstce lub układzie cząstek określa stan kwantowomechaniczny cząstki lub układu ( pierwszy postulat mechaniki kwantowej ). QM1 2015/16 29

30 Funkcje falowe: Ψ = a + i b f. zespolona, i liczba urojona, a Ψ * = a i b funkcja z nią sprzężona Probabilistyczna teoria Maxa Borna: jeśli w chwili Ψ( r t dokonamy pomiaru położenia cząstki opisywanej funkcją falową, t), to prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru wykaże położenie cząstki w infinitezimalnym elemencie objętości dτ = dx dy dz, wokół punktu określonego przez, jest równe: Ψ r r r (, t) Ψ(, t) dτ = Spełniają równanie falowe Schrödingera, nie mają samoistnego znaczenia fizycznego wielkości zespolonych nie da się zmierzyć żadnym przyrządem fizycznym. związek pomiędzy własnościami funkcji falowej a zachowaniem się opisywanej przez nią cząstki wyrażony za pośrednictwem gęstości prawdopodobieństwa: Ψ( r, t) 2 r Ψ(, t) już mierzalnej wielkości. QM1 2015/ dτ

31 Pamiętaj: gęstość prawdopodobieństwa zawsze rzeczywista i nieujemna! p r Ψ( r, t) 2 Re Ψ( x, t) Pomiędzy cząstką a falą korelacja przestrzenna, tj. znacząca amplituda funkcji falowej w położeniu zajmowanym przez cząstkę Ψ( r, t) 2 x gęstość prawdopodobieństwa w tym obszarze posiada znaczące wartości, a poza nim prawie zerowa. Znamy (, t) Ψ r r obliczymy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym obszarze w przypadku jednowymiarowym: a b x 2 d x. QM1 2015/16 31 P ab b = Ψ ( x, t ) a

32 Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek w przestrzeni równe 1. Funkcje spełniające ten warunek normalizacji to funkcje unormowane: + Ψ( r, t) 2 dτ = 1. Średnie położenie cząstki wartość oczekiwana położenia: x = x Ψ( x, t) 2 dx Pojęcie toru cząstki w sensie klasycznym nie istnieje w mechanice kwantowej!! Teoria probabilistyczna M.Borna Zasada nieokreśloności Heisenberga x px h/ 2 QM1 2015/16 32