Równania Maxwella i równanie falowe

Transkrypt

1 Równania Maxwella i równanie falowe Prezentacja zawiera kopie folii omawianch na wkładzie. Niniejsze opracowanie chronione jest prawem autorskim. Wkorzstanie niekomercjne dozwolone pod warunkiem podania źródła. Sergiusz Patela

2 Równania Maxwella B H D + J D ρ B Równania materiałowe: Z definicji J gęstość prądu [A/m ], ρ gęstość ładunku [C/m 3 ] D B ε ε + P µ H µ H + M 7 µ 4π 1 N A ε µ c Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 3

3 Wielkości fizczne w równaniach Maxwella Smbol Wielkość fizczna Jednostka SI Oznaczenie Natężenie pola elektrcznego Volt na metr V / m D Indukcja elektrczna Coulomb na metr kwadratow C / m P Polarzacja H Natężenie pola magnetcznego Amper na metr A / m M Magnetzacja j Gęstość prądu Amper na metr kwadratow A / m B Indukcja magnetczna Tesla T ρ Gęstość ładunku elektrcznego Coulomb na metr sześcienn C / m 3 σ Przewodność elektrczna Siemens na metr S / m µ Przenikalność magnetczna Henr na metr H / m ε Przenikalność elektrczna Farad na metr F / m Smbol Wielkość fizczna Wartość c Szbkość światła w próżni.998 x 1 8 m/s µ Przenikalność magnetczna próżni 4p x 1-7 H/m ε Przenikalność elektrczna próżni x 1-1 F/m Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 4

4 Operator różniczkowe Gradient Φ ( x,, Φ z) + + x i Φ j Φ z k Dwergencja F F F( x,, z) + + F z x z Rotacja F F ( ) + F F F z x z Fx F x,, z i j + k z z i j k z F F F x z Operator Laplace a Φ Φ Φ Φ + + z Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 5

5 Tożsamości operatorowe (wektorowe) rot rotf F F F ( ) ( ) ( F G ) G ( F ) F ( G ) ( Φ F ) Φ F + Φ F ( Φ F ) Φ F + F Φ (1) () (3) (4) F, G -wektor, Φ -skalar Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 6

6 Warunki brzegowe wektorów indukcji Twierdzenie Ostrogradskiego - Gaussa FdV F ds n B 1 S w. brzeg. dla pola B D BdV BdS nˆ B nˆ B1 nˆ ( B B1 ) ρ V S w. brzeg. dla pola D σ ρ dv nˆ ( D D1 ) Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 7

7 Warunki brzegowe wektorów natężenia twierdzenie Stokesa F ds F dl 1 C R. Maxwella w. brzeg. dla pola H Całkujem po poweirzchni S D H + J D HdS + tw. Stockesa n H H K S ( 1 ) J ds w. brzeg. dla pola B n ( ) 1 Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 8

8 Warunki brzegowe - podsumowanie Składowe normalne nˆ ( B B1 ) n ( D D ) ˆ 1 σ Składowe stczne n H H K ( 1 ) n ( ) 1 Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 9

9 Wprowadzenie równania falowego (ośrodek jednorodn) Na pierwsze z równań Maxwella działam lewostronnie operatorem rotacji ( ) B t Lewą stronę równania przekształcam korzstając z tożsamości operatorowej grad div Prz braku ładunków objętościowch div B H Prawa strona µ t t jeżeli założm, że ośrodek jest jednorodn i izotropow ( µ const) to: µ ( H ) za rot H podstawiam drugie D H t równanie Maxwella: t µε wprowadziliśm równanie falowe: µε Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 14

10 Równania falowe dla ośrodka jednorodnego µε H H µε Rozwiązania mogą mieć postać (fala płaska) ψ i e ( ωt k r ) gdzie: k ω με Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 15

11 Postać równania falowego dla fali płaskiej Jednm z rozwiązań równania falowego: są funkcje postaci (fala płaska): µε e j ( ω t βz ) β -stała propagacji (rzut wektora falowego na kierunek propagacji z) Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 6

12 Układ współrzędnch i struktura światłowodu planarnego Y X -t Z Równanie falowe µε Rozwiązanie w strukturze planarnej (mod T): ( x ) exp [ j ( ωt β z )] Podstawiając postulowane rozwiązanie do równania falowego otrzmam: [ ] π ω k β gdzie: k λ v x, v 1 µε Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 7

13 Wprowadzenie równania falowego w strukturze światłowodu planarnego - mod T (1) µε + + z t () x () x () [( ω β )] [( ω β )] x i t z i t z exp exp exp [ i( ωt βz) ] x i t z [ ] () exp ( ω β ) [ ] { iβ ( x) [ i( ωt βz) ]} β ( ) x [ i( ωt βz) ] ( ) ( ω β ) z z z x i t z exp z exp exp { iω x i ωt βz } ω ( x) i( ωt βz) ( ) [( ω β )] ( ) [( )] t t t x i t z exp exp t exp [ ] Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 8

14 Wprowadzenie równania falowego w strukturze światłowodu planarnego - mod T () () x exp [ i( ω t βz )] + β () x exp [ i( ω t βz )] µε { ω () x exp [ i( ω t βz )]} () x x [ β µεω ] () x n c, c 1, v 1 π π ω v µ ε µε k n c n λ λ ω v x [ k β ] + lub: () x x β ω c n () x np. B. Crosignani,... Światłowod tlekeomunikacjne, J.. Midwinter, Światłowod telekomunikacjne np. T. Temir, Integrated Optics, A. Yariv, Optical waves in crstlas Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 9

15 Warunki brzegowe dla światłowodu planarnego - mod T n n H H K ( 1 ) ( 1 ) Mod T posiada tlko jedną niezerową składową pola elektrcznego -, i dwie składowe pola magnetcznego - H z ih Z pierwszego r. Maxwella + def. operatora rotacji i ( ) ( ) ( ωt βz),, x z t x e B x z B t Z harmonicznej zależności od czasu x iωµ H z H z 1 i iωµ ωµ Warunki brzegowe: 1 1 Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 3

16 Ptania kontrolne 1. Równania Maxwella - wmienić i opisać. Wprowadzić równanie falowe 3. Warunki brzegowe wmienić i wjaśnić pojęcie 4. Jak zmieni się postać warunków brzegowch jeżeli ustalim układ współrzędnch i postać struktur. Wjaśnić na przkładzie światłowodu planarnego. Sergiusz Patela, Podstaw teorii światłowodów. Równania Maxwella i równanie falowe 31