Fotonika. Plan: Wykład 9: Interferencja w układach warstwowych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fotonika. Plan: Wykład 9: Interferencja w układach warstwowych"

Patryk Wojciechowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Fotonika Wykład 9: Interferencja w układach warstwowych Plan: metody macierzowe - macierze przejścia i rozpraszania Proste układy warstwowe powłoki antyrefleksyjne interferometr Fabry-Pérot tunelowanie optyczne mody dielektrycznego falowodu planarnego

9 Układ warstwowy Rozważmy układ składający się z N nieskończonych jednorodnych i izotropowych warstw o płaskich i równoległych granicach. Na układ pada z zewnątrz monochromatyczna fala płaska o polaryzacji TE bądź TM. Interesuje nas współczynnik transmisji i odbicia całej struktury. λ 0 1 n n+1 N I x1 y x n, n xn n 1, n 1 xn Spostrzeżenie wewnątrz każdej warstwy mogą wystąpić jedynie 2 fale płaskie różniące się znakiem składowej wektora falowego kx

10 Układ warstwowy Rozpatrzmy pojedynczy element układu warstwowego - warstwę ośrodka jednorodnego, albo granicę pomiędzy dwoma ośrodkami: U U M U 2 U 1 [ ] [ ][ ] U 2+ U 2 A B U 1+ = C D U1 M= [ ] A B C D Macierz transmisji (przejścia) Uwaga: - podobnie możemy opisać działanie każdej części układu (wielu warstw), lub całego układu. - taki opis wymaga założenia liniowości układu

11 Wypadkowa macierz przejścia U + U2 + 1 M U 2 U 1 [ ] [ ][ ] + U2 U 2 M1 + A B U1 = C D U1 M2 M= Macierz transmisji (przejścia) M3 Macierz wypadkowa całego układu: M = M N M N 1 M 1 [ ] A B C D M4

12 Macierz rozpraszania U + U2 + 1 S U 2 U1 [ ] [ ][ ] U 2+ = t 12 r 21 U 1+ r 12 t 21 U 2 U 1 Macierz rozpraszania: [ t 12 r 21 S= r 12 t 21 ] - elementy macierzy rozpraszania odpowiadają współczynnikom odbicia i transmisji (można je wyznaczyć przy pomocy wzorów Fresnela, lub przy wykorzystaniu funkcji przenoszenia dla propagacji) - reguła składania dla macierzy rozpraszania nie odpowiada mnożeniu macierzy

13 Relacja między macierzami przejścia i rozpraszania [ ] [ t 12 r 21 1 AD BC S= = C r 12 t 21 D M= [ ] [ B 1 ] 1 t 12 t 21 r 12 r 21 r 21 A B = C D t 21 r 12 1 ]

14 Przykład: macierze dla propagacji i dla granicy warstw Ψ( x)=u + ( x)+ U (x) Macierz S dla propagacji: S= [ exp (i ϕ) 0 0 exp (i ϕ) [ 1 r r r 1+ r =U =U ik xd U 2+ =U + ( x 0 + d )=U 1+ e i k U 2 =U ( x 0 + d )=U 1 e + ( x0) ( x0 ) Macierz M dla propagacji: ] M= Macierz S dla granicy warstw: S= U U [ exp (i ϕ) 0 0 exp( i ϕ) Dla padania prostopadłego: ϕ=k d =n k 0 d Dla padania skośnego: ϕ=k x d ] Macierz M dla granicy warstw: ] M= Hz Ze wzorów Fresnela dla wybranej polaryzacji: r Hz r TM = Ez (znaki jak na slajdzie 37 /wykł 4 dla r r TM,lub r r TE ) Hz ϵ 1 k T, x ϵ 2 k I, x ϵ1 k T, x + ϵ2 k I, x Hz t TM =1 r TM [ ] 1 1 r 1+r r 1 Ez r TE = Ez μ 1 k T, x μ 2 k I, x μ1 k T, x +μ 2 k I, x Ez t TE =1 r TE x d

15 Układ 3 warstw r' r n0 S1 = S 2= [ [ n1 d ϕ=k x d =k 0 d n1 n2 =k 0 d n21 (k y / k 0 )2 ][ ][ t 12 r 21 1 r r = r 1+ r r 12 t 21 t 23 r 32 1 r ' = r ' r 23 t 32 r ] r' 1+ r ' r' t 12 t 23 exp (i ϕ) dla padania ukośnego współczynnik odbicia od pierwszej granicy ośrodków (n0 do n1) współczynnik odbicia od drugiej granicy ośrodków (n1 do n2). Dla n0 = n2 mamy r=-r'. ] Zmodyfikowane wzory Airy: (1 r ' ) (1 r ) exp(i ϕ) 1 r 21 r 23 exp(2 i ϕ) 1+r r ' exp (2 i ϕ) t t r exp(2 i ϕ) r +r ' exp(2 i ϕ) r 13 =r = 1 r 21 r 23 exp (2 i ϕ) 1+ r r ' exp(2 i ϕ) t 13= dla padania prostopadłego = (Wyrażenia na dwa pozostałe współczynniki otrzymujemy zamieniając miejscami indeksy 1 i 3 oraz odpowiednio zmieniając kolejność i znaki współczynników odbicia Fresnela) Dla n0 = n2 : 2 t 13= (1 r ) exp(i ϕ) 2 1 r exp(2 i ϕ) r (1 exp(2 i ϕ)) r 13= 2 1 r exp (2 i ϕ)

16 Przykład: powłoka antyrefleksyjna r n0 r' n1 d n2 r 13= r + r ' exp (2 i ϕ) =0 1+ r r ' exp(2 i ϕ) r + r ' exp (2 i ϕ)=0 Przykładowe rozwiązanie: r =r ' exp (2 i ϕ)= 1

17 Przykład: powłoka antyodbiciowa r n0 r' n1 d n2 r 13= r + r ' exp (2 i ϕ) =0 1+ r r ' exp(2 i ϕ) r + r ' exp (2 i ϕ)=0 Przykładowe rozwiązanie: r =r ' exp (2 i ϕ)= 1 n 1= n 0 n 2 n 0 < n1 < n 2 Współczynnik załamania Dla granicy powietrza i szkła wykorzystuje się np. MgF2, TiO2 ϕ=2 π n 1 d / λ=π /2+ m π d = λ (1+ 2 m) 4 n1

Przykład: powłoka antyrefleksyjna http://optics.

phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html http://www.us.

18 Przykład: powłoka antyrefleksyjna /english/products/coating.html

19 Przykład: powłoka antyrefleksyjna Prostopadłe padanie światła n 0 =1 n 2 =1.5 Brak powłoki n 1 =n 0 ( R= R n 2 n0 n2 +n 0 ) 2 n1 =1.1 n 1= n 0 n 2

20 Przykład: powłoka antyodbiciowa TE R Ukośne padanie światła (pi/4) TM TM R - przy padaniu ukośnym powstają odbicia od powłoki - dla polaryzacji TM, dla której występuje kąt Brewstera, odbicia są niższe

22 Przykład: warstwa dielektryka (interferometr Fabry-Pérot) -Nazwy interferometr Fabry-Perot używa się gdy układ pozwala na zmianę odległości d pomiędzy powierzchniami odbijającymi. W przeciwnym wypadku mówi się o płytce (etalonie) FP, tym niemniej opis matematyczny w obu sytuacjach jest taki sam. r n0 r' n1 d r = r ' n0 t 13= Natężeniowy współczynnik transmisji: (1 r 2 ) exp (i ϕ) 2 1 r exp(2 i ϕ) r (1 exp(2 i ϕ)) r 13= 2 1 r exp (2 i ϕ) r T = t 13 = r 2 Re(r exp (2 i ϕ)) 2 2 ω n1 d Periodyczność: 2 ϕ=2 k 0 n 1 d cos θ= cos θ=m 2 π c

27 Przykład: warstwa dielektryka (interferometr Fabry-Pérot) Cienka powierzchnia: (np. bańka mydlana ) 2 d cosθ=m λ / n1 Kąt padania [rad]

28 Przykład: warstwa dielektryka (interferometr Fabry-Pérot)

29 Przykład: warstwa powietrza - warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (tunelowanie) r r' n0 n0 d n y x n0> n 2 r =1 k y 0

30 Przykład: warstwa powietrza - warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (tunelowanie) r r' n0 n0 d n n0> n 2 r =1 r =exp(i ρ),ρ R i ϕ=i k x d = d k 2y k 20 n 2 = κ d< 0 y x

31 Przykład: warstwa powietrza - warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (tunelowanie) r r' n0 n0 d n n0> n t 13= 2 r =1 (1 r 2 ) exp (i ϕ) 2 1 r exp(2 i ϕ) r (1 exp( 2 i ϕ)) r 13= 2 1 r exp (2 i ϕ) r =exp(i ρ),ρ R i ϕ=i k x d = d k 2y k 20 n 2 = κ d< 0 x y 2 2 (1 r ) exp( κ d ) T = t 13 = 1 r 2 exp( 2 κ d ) 2 2

32 Przykład: warstwa powietrza - warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (tunelowanie) H z TM d =+, λ =0.5μ m I =0.245 H z TM d =λ=0.5 μ m I =0.245

33 Przykład: warstwa powietrza - warunki całkowitego wewnętrznego odbicia (tunelowanie) d =, =0.5 um współczynnik odbicia d = =0.5um

Podobne dokumenty

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 12, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład, 0..07 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz Radosław Łapkiewicz Wykład - przypomnienie superpozycja