Kartografia matematyczna

Transkrypt

1 Wykład III Kartografia matematyczna Odwzorowania walcowe Krystian Kozioł Kraków 0 0 9

2 Odwzorowania walcowe Podział Ze względu na połoŝenie walca: - normalne - porzeczne - ukośne Ze względu na liczbę punktów stycznych: - brak punktów styczności - styczne - sieczne Ze względu na występujące zniekształcenia: - dowolne - wiernoodległościowe - wiernokątne - wiernopolowe

3 Odwzorowania walcowe normalne Odwzorowanie walcowe normalne to odwzorowanie kuli na płaszczyznę, w którym obrazem południków są proste równoległe o odstępach równych odstępom południków na równiku, natomiast obrazem równoleŝników są proste prostopadłe do obrazów południków Na pobocznicy walca przyjmujemy układ współrzędnych o środku w punkcie na równiku, osi x stycznej do południka zerowego i osi y stycznej do równika.

4 Odwzorowania walcowe konstrukcja siatek

5 Układ geograficzny x P P Walec x = f(φ) y = Rλ z = 0 λ φ y P

6 Z równania sfery ds E = F 0 = 1 R R d + R 1 = d 1 ϕ cos ϕ λ G = R 1 cos ϕ - I forma kwadratowa dla sfery Z równania walca df E = 0 = dϕ F G = R [ f '( ϕ ] dϕ R d ds + = ) λ - I forma kwadratowa dla walca Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu walcowym będzie miał postać: m = ds ds 1 = f ( ϕ) dϕ + R d R dϕ + R cos ϕ λ dλ

7 Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania. Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleŝników (linii parametrycznych). Skala w kierunku południków f '( ϕ) 1 df a = = = R R dϕ E R Skala w kierunku równoleŝników 1 G b = = cosϕ R cosϕ Następnie szukamy odwzorowania o z góry zadanych własnościach lub odwzorowania o znanej konstrukcji geometrycznej.

8 Odwzorowania walcowe Rzut ortograficzny x = f(φ) y = Rλ z = 0

9 Odwzorowania walcowe Rzut stereograficzny położenie styczne x = f(φ) y = Rλ z = 0

10 Odwzorowania walcowe Rzut stereograficzny położenie sieczne x = f(φ) y = Rλ z = 0

11 Odwzorowania walcowe Rzut środkowy położenie styczne x = f(φ) y = Rλ z = 0

12 Odwzorowania walcowe Rzut środkowy położenie sieczne x = f(φ) y = Rλ z = 0

13 ZałoŜenie wstępne : 1 df x = R * sin(φ) y = R*λ 1 cos Odwzorowania walcowe równopolowe Lamberta = f ( ) R sin + C a * b = 1 = 1 df R cos( ϕ) dϕ R dϕ ϕ Równanie w odwzorowaniu Lamberta przyjmuje zatem postać Skale w kierunkach głównych odpowiednio: a = cos(φ) 1 b = 1/cos(φ) 1 co odpowiada: skróceniu dł. w kierunku południków wydłuŝeniu dł. w kierunku równoleŝników P ϕ P = ϕ R x y πr Zniekształcenia kątów: sin (ω/) = - sin (φ) / (1+ cos (φ)) kąty będą ulegać powiększeniu

14 Odwzorowania walcowe równopolowe Lamberta - konstrukcja analityczna

15 1 R df 1 = dϕ cosϕ Odwzorowania walcowe Wiernokątne Mercatora Zakładamy tym razem warunek równokątności: a = b co prowadzi do równania dϕ df = R cosϕ dϕ f ( ϕ) = R + cosϕ C dϕ dϕ π ϕ π ϕ sin + cos dϕ π ϕ tg + cos 4 = = lntg + + cosϕ Zatem = 1 π ϕ x = R ln tg + + C 4 dla π ϕ + 4 ϕ = 0 x( ϕ) = 0 C = π 4 0 ϕ C

16 Odwzorowania walcowe Wiernokątne Mercatora = + = λ ϕ π R y R x 4 ln tg Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać: Skale w kierunkach głównych są następujące: 1 cos 1 = = ϕ b a 1 cos 1 = = ϕ b a f - wydłuŝenie w kierunku południków i równoleŝników, - powiększenie pola powierzchni.

17 Odwzorowania walcowe Wiernokątne Mercatora ortodroma loksodroma Długość loksodromy szczególnie w okolicach okołorównikowych jest niewiele dłuŝsza niŝ długość linii geodezyjnej S = λ* ctg(α)

18 Odwzorowanie powstaje przez rozwinięcie na płaszczyźnie wszystkich południków i równika wiernie, czyli skala w kierunku południków powinna być równa jedności: df = Rdϕ f ϕ) = Rϕ + C x = Rϕ y = R λ Odwzorowania walcowe równoodległościowe tzw. rzut prosty ( dla ϕ = 0 f ( ϕ) = 0 C = 0 Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać: Skale w kierunkach głównych : a =1 b = 1 1 cosϕ - zachowanie długości w kierunku południków 1 1 ω cosϕ cosϕ 1 sin = = 0 1 cosϕ cosϕ - wydłuŝenie w kierunku równoleŝników. Zniekształcenie kątów będzie równe: co oznacza, Ŝe β 1 β Zniekształcenie pola: f = a b 1 = 1 cosϕ - powiększenie pola powierzchni - kąty ulegają powiększeniu

19 Odwzorowania walcowe równoodległościowekonstrukcja siatki

20 Odwzorowania walcowe Ułożenie ukośne Przy sporządzaniu odwzorowań poprzecznych lub ukośnych stosuje się tą samą metodę zamiany współrzędnych jak przy odwzorowaniach płaszczyznowych. Biegun naleŝy zastąpić innym odpowiednio dobranym punktem o współrzędnych φ 0, λ 0, a następnie obliczyć współrzędne azymutalneα,δwodniesieniu do tego punktu., P0, P1 ) ( P ) α = kat ( P = luk P δ = luk( P0 M ) Następnie oblicza się współrzędne prostokątne wg wzorów x = x(90 o δ ) y = R α 1

21 Odwzorowania walcowe Ułożenie ukośne W połoŝeniu ukośnym oś walca jest nachylona do osi ziemskiej pod kątem większym od 0, ale mniejszym od 90, a pobocznica walca jest styczna wzdłuŝ horyzontalnego koła wielkiego leŝącego w płaszczyźnie prostopadłej do nachylonej osi walca. Jeśli walec jest sieczny, to miejscami wspólnymi z kulą są dwa almukantaraty połoŝone w jednakowych odległościach od koła horyzontalnego. W siatkach walcowych ukośnych, podobnie jak w poprzecznych, siatką wertykałów i almukantaratów, jako siatka kierunków głównych, odwzorowuje się na linie proste, takŝe wzajemnie prostopadłe.

22 Odwzorowania walcowe równopolowe Lamberta konstrukcja analityczna

23 P 1 x O P Odwzorowania walcowe Współrzędne prostokątne Walec jest w tym przypadku styczny do kuli wzdłuż południka λ 0 dobranego tak, aby przechodził przez środek obszaru, który zostaje odwzorowany. λ 0 ξ R P 0 η R Równik y δ α P η = luk ξ = luk( P 0 P1) ( P 1 P) kat( P OP1) 0 ξ = R η kat( POP 1 ) = R ξ α = η Ten obrany południk wraz z równikiem stanowić będą osie współrzędnych krzywoliniowych na kuli. W odwzorowaniach poprzecznych najdogodniejszym jest uŝycie współrzędnych prostokątnych sferycznych ξ (ksi), η (eta). PołoŜenie punktu na kuli określimy więc przez podanie takich współrzędnych wyraŝonych w jednostkach długości, tak jak je zmierzono na kuli. Kąty odpowiadające tym długościom wynoszą w mierze łukowej : ξ, R η R

24 ds = µ ( du + dv Współrzędne izometryczne Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywane są izometrycznymi, jeŝeli długość ds na powierzchni moŝna wyrazić wzorem: ) gdzie: µ - dowolna funkcja parametrów u i v. JeŜeli zatem współrzędne u i v są izometrycznymi to zachodzą następujące związki: F = 0 i E = G = µ Twierdzenie: Współrzędne u i v są izometryczne jeŝeli: siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną, przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = ε jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = ε (gdzie ε to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba) Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q Dla której dq = M db N cos B Współrzędna q będzie równa: czyli po rozwiązaniu q B = π q = ln tg + 4 otrzymamy zatem: M N cos B 0 db B 1 esin B 1 + esin B ds = N cos B( dq + dl e ) gdzie: q - współrzędna izometryczna e - mimośród elipsoidy

25

26

27

28

29

30 Współrzędne izometryczne Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q Dla której dq = M N cos B db otrzymamy zatem: ds = N cos B ( dq + dl ) Współrzędna q będzie równa: q B = M N cos B 0 db czyli po rozwiązaniu q π = ln tg + 4 B esin esin B B e gdzie: q - współrzędna izometryczna e - mimośród elipsoidy

31 Odwzorowania walcowe Ułożenie poprzeczne Ogólne wzory odwzorowań walcowych poprzecznych mają postać: ξ x = R = ξ R y = η y R Tak więc odwzorowanie walcowe równopolowe poprzeczne wyraŝa się funkcjami: x =ξ y η = R sin R odwzorowanie walcowe równokątne (Mercatora) wyraŝa się funkcjami x =ξ x =ξ y = π R ln tg + 4 y = η η R odwzorowanie walcowe rówoodległościowe wyraŝa się funkcjami: Współrzędne x,y poprzecznego odwzorowania Mercatora nazywa się współrzędnymi Gaussa dla kuli lub współrzędnymi hannowerskimi dla kuli, poniewaŝ Gauss zastosował je do opracowań kartograficznych rejonu Hannower.

32 Odwzorowania walcowe stosowane Najczęściej używane odwzorowania walcowe to: 1.Mercatora (M-Mercator Projection) -odwzorowanie normalne walcowe wiernokątne elipsoidy - walec jest styczny w równiku.. Uniwersalne poprzeczne Mercatora (UTM- Universal Transwersal Mercator) -odwzorowanie poprzeczne walcowe wiernokątne -walec sieczny do elipsoidy symetralnie do południka osiowego danej strefy. 3.Gaussa-Krügera-odwzorowanie walcowe poprzeczne wiernokątne elipsoidy - walec styczny w południku osiowym danej strefy.

33

34 Odwzorowania walcowe Poprzeczne Mercatora UTM Universal Transverse Mercator UTM powszechnie akceptowane do tworzenia map topograficznych, jest to wersja odwzorowania walcowego poprzecznego Gaussa-Krugera (Transverse Mercator) ale z przecinającym Ziemię walcem Ziemia jest podzielona na 60 stref północnych i południowych, każda o szerokości 6 stopni długości geograficznej, każda strefa ma swój południk środkowy, strefy 1N i 1S zaczynająsięna 180Wiwzrastająna. DLA POLSKI DWIE STREFY 33N (centralny 15 E) i 34N (centralny 1 E))

35 Odwzorowania walcowe Poprzeczne Mercatora Aby określić numer strefy danej długości geograficznej należy do długości (W ujemne) dodać 180, wynik podzielić przez 6 i zaokrąglić do większej całkowitej. np.19e=19+180=199, 199/6= >>>34 UTM został stworzony dla potrzeb NATO, oprócz numerów stref wprowadzono literowe oznaczeniaszerokości odadoz(nasod80saib,nanod84ny,z)

36 Odwzorowania walcowe Odwzorowania mało dokładne to odwzorowania kuli. Wykonuje się je dla map w skalach poniżej 1 : Mapy dokładniejsze są wykonywane w odwzorowaniach wiernokątnych elipsoidy - bądź wprost na płaszczyznę bądź na pobocznicę walca. Odwzorowania stosowane dla map w skalach 1:500 do 1: oparte są na modelu elipsoidy

37

38 DEFINICJA Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych Spełnia następujące warunki: południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej, skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m 0 =1, a 0 =b 0 =1.

39 Kształt siatki kartograficznej: Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego) Równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleŝniki na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika)

40 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Obraz całej elipsoidy ma postać porozcinanych pasów południkowych. Ograniczenie obszaru do wąskich pasów południkowych ma na celu minimalizację zniekształceń odwzorowawczych. Linie zniekształceń długości są liniami prostymi równoległymi do obrazu południka osiowego. A wartość tych zniekształceń rośnie szybko wraz z oddalaniem się od południka osiowego.

41 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera

42 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Element łuku: ds = ( MdB) + ( N cos BdL ds = dx + dy, ) - a elipsoidzie, - na płaszczyźnie Uwaga: łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe. Wprowadzimy szerokość izometryczną q: π B 1 e sin B q = ln tg esin B e dq = MdB N cos B aŝeby: ds = N cos B dq + dl Szerokość izometryczna sprawia, Ŝe otrzymujemy równe wartości łuków południka i równoleŝnika dla równych przyrostów dq i dl.

43 Skala odwzorowania: Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Wykorzystując fakt, Ŝe dq i dl są róŝniczkami niezaleŝnych zmiennych B i L moŝna zapisać skalę jako funkcję zmiennych zespolonych: ds 1 ( dx + idy )( dx idy ) m = m = ds N cos B ( dq + idl)( dq idl) Warunek równokątności odwzorowania oznacza,ŝe skale są niezaleŝna od azymutu elementów liniowych ds i ds (równe w kaŝdym punkcie)

44 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Po rozwinięciu w szereg Taylora funkcji f(q+il) względem il, po oddzieleniu części rzeczywistej od urojonej otrzymamy: x 4 l l 3 = S + N sin Bcos B + N sin Bcos B η 4 ( 5 t + 9η + 4 ) +... gdzie: y 3 l 3 = ln cos B + N cos B η 6 t = tg B ( 3 1 t + ) +... η = e cos B

45 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Elementarne skale długości i pól Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej moŝna ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego: 4 4 y y m = 1+ (1 + ) + 4 η y y m = 1+ + N 4 N R 4 R 4 Elementarną skalę pól p obliczymy jako kwadrat skali m: y p = 1+ + R y 3R 4 4 Gdzie: R średni promień krzywizny.

46 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Położenie sieczne PołoŜenie sieczne oznacza, Ŝe powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuŝ linii przebiegających w przybliŝeniu południkowo. Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń: wzdłuŝ linii przecięcia obu powierzchni zniekształcenia będą zerowe, na obszarze między liniami przecięcia zniekształcenia będą mniejsze lecz ujemne (skurczenie) o maksymalnej wartości bezwzględnej na południku środkowym, na pozostałym obszarze zniekształcenia będą mniejsze ale dodatnie, tym większe im większa będzie odległość od linii przecięcia. cia. Odwzorowanie sieczne charakteryzuje skala długości m 0 na południku środkowym. Współrzędne w odwzorowaniu siecznym oblicza się z wzoru: x y siecz siecz = = m m 0 xstycz, zaś elementarna skala długości w dowolnym punkcie będzie równa: 0 y stycz msiecz = m0m stycz

47 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Współrzędne cechowane Z wzorów na współrzędne x, y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane. X = x L + dl Y = y + c [ m] l gdzie: c 0 = m, L 0 = długość geodezyjna południkaśrodkowego w [ ], l szerokość pasa odwzorowawczego w [ ] (najczęściej 3 lub 6 ), dl =3 dla pasa 6-stopniowego i dl =0 dla pasa trzy-stopniowego

48 Odwzorowanie Gaussa-Krűgera Elementarne skale długości i pól Schemat geometryczny realizacji odwzorowania Gaussa-Krügera Ogólny algorytm odwzorowania Gaussa-Krügera moŝna zapisać następująco: Wzory te równieŝ obejmują przekształceni odwrotne:

49 Temat 3: Obliczenie współrzędnych na płaszczyźnie w odwzorowaniu Gaussa-Krugera w układzie PSWG000

50

51

52

53

54

55 Dane do tematu NR 3 Elipsoida WGS 84 a = ,0000m b =635675,3141m e =0, Do obliczenia: e =0, Współrzędne lokalne pkt 1. Zbieżność południków w pkt 1 Odwzorowanie Gaussa Krugera 3. Współrzędne przybliżone pkt i3 Południki osiowe: 15, 18, 1, 4 4. Obliczenie poprawek redukcyjnych Skala na południku osiowym m 0 =0,99993 kierunków 5. Obliczenie kątów zredukowanych w Pkt1 trójkącie prostoliniowym B = , Obliczenie skali liniowej boków L = , Obliczenie dł. Boków w trójkącie Kąty prostoliniowym K 1 = , Obliczenie azymutów w trójkącie K = ,7016 prostoliniowym K 3 = , Obliczenie współrzędne G-K pkt Długości 10.Obliczenie współrzędnych w układzie D 1- = 666,535 PSWG 000 D -3 = 93646,915 D 3-1 = 97664,515 Azymut A 1- = A NumerGR*1 + N*1 A = 4 1 3,500