Wzór Faà di Bruno. Paweł Sztonyk. Wrocław, Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska
|
|
|
- Alicja Wasilewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wzór Faà di Bruno Paweł Sztonyk Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Wrocław, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
2 Życiorys bł. Faà Di Bruno Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
3 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
4 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
5 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
6 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
7 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
8 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
9 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
10 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, zm r. w Turynie Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
11 Życiorys bł. Faà Di Bruno Francesco Faà di Bruno ur w Aleksandrii Akademia Wojskowa w Turynie Studia matematyczne w Paryżu pod kierunkiem A. Cauchy ego Profesor na Uniwersytecie Turyńskim 1871 (funkcje eliptyczne, formy dwuliniowe) Przyjaźń z Janem Bosco i Dzieło św. Zyty 1859, założnie Zgromadzenia Sióstr Minimitek 1881 Święcenia kapłańskie 1876 Muzyk, kompozytor, zm r. w Turynie Beatyfikowany w 1988 r. przez Jana Pawła II Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
12 Wzór Faà di Bruno Jeżeli funkcje f, g mają odpowiednią ilość pochodnych, to d m (g f) (t) = dtm ( m! f ) (t) b1 ( f ) (t) b2 ( f (m) ) bm (t) b 1!b 2!...b m! g(k) (f(t)), 1! 2! m! gdzie sumę wyznaczają wszystkie liczby całkowite nieujemne b 1,..., b m takie, że b 1 + 2b mb m = m oraz k := b 1 + b b m. Cavaliere Francesco Fa a di Bruno, Sullo sviluppo delle Funzioni, Annali di Scienze Matematiche e Fisiche 6 (1855) Cavaliere Francesco Fa a di Bruno, Note sur une nouvelle formule de calcul diff erentiel, Quarterly J. Pure Appl. Math. 1 (1857) T. A. [J. F. C. Tiburce Abadie], Sur la diff erentiation des fonctions de fonctions, Nouvelles Annales de Math ematiques 9 (1850) A. [J. F. C. Tiburce Abadie], Sur la diff erentiation des fonctions de fonctions. S eries de Burmann, de Lagrange, de Wronski, Nouvelles Annales de Math ematiques 11 (1852) L. F. A. Arbogast, Du Calcul des D erivations, Levrault, Strasbourg, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
13 Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
14 Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
15 Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
16 Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. d 2 ( 2! f (t) (g f) (t) = dt2 0!1! g (f(t)) 1! + 2! 2!0! g (f(t)) ) 0 ( f ) (t) 1 2! ( f ) (t) 2 ( f (t) 1! 2! ) 0 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
17 Wzór Faà di Bruno Przykłady: Dla m = 2 mamy b 1 + 2b 2 = 2 b 1 = 0, b 2 = 1, b 1 = 2, b 2 = 0. d 2 ( 2! f ) (t) 0 ( f ) (t) 1 (g f) (t) = dt2 0!1! g (f(t)) 1! 2! + 2! ( f ) (t) 2 ( f (t) 2!0! g (f(t)) 1! 2! = g (f(t))f (t) + g (f(t)) ( f (t) ) 2 ) 0 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
18 Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
19 Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
20 Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
21 Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, b 1 = 3, b 2 = 0, b 3 = 0. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
22 Wzór Faà di Bruno Dla m = 3 mamy b 1 + 2b 2 + 3b 3 = 3 b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 1, b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 0, b 1 = 3, b 2 = 0, b 3 = 0. d 3 ( dt 3 (g f) (t) = 3! f ) (t) 0 ( f ) (t) 0 ( f ) (t) 1 0!0!1! g (f(t)) 1! 2! 3! + 3! ( f ) (t) 1 ( f ) (t) 1 ( f ) (t) 0 1!1!0! g (f(t)) 1! 2! 3! + 3! ( f ) (t) 3 ( f ) (t) 0 ( f ) (t) 0 3!0!0! g (f(t)) 1! 2! 3! = g (f(t))f (t) + 3g (f(t))f (t)f (t) + g (f(t)) ( f (t) ) 3 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
23 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
24 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Zbiór {1, 2} ma dwa podziały: {1, 2} B 2,1 (x 1, x 2 ) = x 2 {1}, {2} B 2,2 (x 1 ) = x 2 1 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
25 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Podziały zbiorów: Zbiór {1} ma tylko jeden podział: {1}, któremu odpowiada B 1,1 (x 1 ) = x 1. Zbiór {1, 2} ma dwa podziały: {1, 2} B 2,1 (x 1, x 2 ) = x 2 {1}, {2} B 2,2 (x 1 ) = x 2 1 Zbiór {1, 2, 3} ma pięć podziałów: {1, 2, 3} B 3,1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 {1}, {2, 3} {1, 2}, {3} {1, 3}, {2} B 3,2 (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 {1}, {2}, {3} B 3,3 (x 1 ) = x 3 1. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
26 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dalej, mamy np. 7 podziałów {1, 2, 3, 4} na dwa bloki: {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} B 4,2 (x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 x 3 + 3x 2 2 Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
27 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dalej, mamy np. 7 podziałów {1, 2, 3, 4} na dwa bloki: {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} B 4,2 (x 1, x 2, x 3 ) = 4x 1 x 3 + 3x 2 2 Ogólnie: B m,k (x 1, x 2,..., x m k+1 ) = 1 k! j j k =m j i 1 ( m j 1,..., j k ) x j1 x jk Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
28 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Wzór Faà di Bruno można wyrazić w następujący sposób: d m dt m g(f(t)) = g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( b2 f (t)) (m) bm, gdzie sumę wyznaczają podziały zbioru {1, 2,..., m} oraz k jest liczbą bloków, a b i liczbą bloków o dokładnie i elementach. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
29 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Wzór Faà di Bruno można wyrazić w następujący sposób: d m dt m g(f(t)) = g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( b2 f (t)) (m) bm, gdzie sumę wyznaczają podziały zbioru {1, 2,..., m} oraz k jest liczbą bloków, a b i liczbą bloków o dokładnie i elementach. Zatem d m m dt m g(f(t)) = k=1 ) g (k) (f(t))b m,k (f (t), f (t),..., f (m k+1) (t). John Riordan, Derivatives of composite functions, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
30 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
31 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
32 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
33 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
34 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
35 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
36 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
37 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
38 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
39 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {2, 4}, {1, 3} {2}, {1, 3, 4} {2}, {1, 3}, {4} {1}, {2}, {3} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
40 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella Dowód indukcyjny: Podziały {1, 2,..., n, n + 1} otrzymamy z podziału {1, 2,..., n} poprzez dodanie elementu n + 1 do bloków podziału. Przykład - podziały {1, 2, 3}: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3}, {4} {1}, {2, 3} {1, 4}, {2, 3} {1}, {2, 3, 4} {1}, {2, 3}, {4} {3}, {1, 2} {3, 4}, {1, 2} {3}, {1, 2, 4} {3}, {1, 2}, {4} {2}, {1, 3} {2, 4}, {1, 3} {2}, {1, 3, 4} {2}, {1, 3}, {4} {1}, {2}, {3} {1, 4}, {2}, {3} {1}, {2, 4}, {3} {1}, {2}, {3, 4} {1}, {2}, {3}, {4} Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
41 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), dt Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
42 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
43 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
44 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
45 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) +... ) bm ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
46 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 ( ) bm+1 f (m) (t) ) bm ) bm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
47 Wersja kombinatoryczna i wielomiany Bella d m+1 dt m+1 g(f(t)) = d dt d dt ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t), ( g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) ( ) ) b2 f (m) bm (t) = g (k+1) (f(t)) ( f (t) ) b 1 +1 ( f (t) ) ( ) b2 f (m) bm (t) + g (k) (f(t))b 1 ( f (t) ) b 1 1 ( f (t) ) b 2 +1 (f (m) (t) + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 b 2 ( f (t) ) b 2 1 (f (m) (t) g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 ( ) bm+1 f (m) (t) ) bm ) bm + g (k) (f(t)) ( f (t) ) b 1 ( f (t) ) b2 b m (f (m) (t)) bm 1 f (m+1) (t) Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
48 Wersja wyznacznikowa d m dt g(f(t)) = m ( m ) f g ( m 1 1 ( m ) f g ( m 1 2 ) f g. ( m 2 1 ( m 3 0 ) f g. ) f g ) f g ( m 1 m 2) f (m 1) ( g m 1) f (m) g ) f (m 2) g ( m 2) f (m 1) g ) f (m 3) g ( m 3) f (m 2) g ( m 2 m 3 ( m 3 m 4. ( 1 ) 0 f g ( 1 ) 1 f g ( 0 ) 0 f g gdzie f (i) oznacza f (i) (t) oraz g k interpretujemy jako g (k) (f(t)). Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
49 Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy g(f(t + h)) = m=0 d m dt m g(f(t))hm m!, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
50 Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy z drugiej strony g(f(t + h)) = g(f(t + h)) = k=0 m=0 d m dt m g(f(t))hm m!, g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k. k! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
51 Wzór Taylora Dla odpowienio regularnych funkcji f i g mamy z drugiej strony g(f(t + h)) = g(f(t + h)) = k=0 m=0 Porównując powyższe szeregi otrzymujemy d m d m dt m g(f(t))hm m!, g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k. k! 1 g(f(t)) równa się współczynnikowi przy hm m! dtm Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
52 Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
53 Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 d m dh m g(f(t + h)) h=0 m = k=0 g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! g (k) (f(t)) k! { d m (f(t + h) f(t))k dhm } h=0, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
54 Wzór Taylora Możemy po prostu zróżniczkować obustronnie wzgledem zmiennej h i położyć h = 0: g(f(t + h)) = k=0 d m dh m g(f(t + h)) h=0 m = k=0 Stąd otrzymujemy g (k) (f(t)) (f(t + h) f(t)) k, k! g (k) (f(t)) k! d m m dt m g(f(t)) = k=0 { d m (f(t + h) f(t))k dhm g (k) (f(t)) A m,k (f(t)), k! } h=0, gdzie A m,k (f(t)) = k j=0 ( ) k k j dm ( f(t)) j dt m (f(t))j. Charles Jordan, Calculus of Finite Differences, 2nd ed., Chelsea, New York, Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
55 Wzór Taylora Literatura: W. P. Johnson, The Curious History of Faa di Bruno s Formula, American Mathematical Monthly 109 (3) (2002), , A. D. D. Craik,Prehistory of Faa di Bruno s Formula, American Mathematical Monthly 112 (2) (2005), , Dziękuję za uwagę! Paweł Sztonyk (Politechnika Wrocławska) Faà di Bruno Wrocław, / 14
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna Rok akademicki: 2018/2019 Kod: BIT-1-101-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: Poziom studiów:
Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu
Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej
Dariusz Jakóbczak Podstawy analizy matematycznej skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki Politechniki Koszalińskiej Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej Koszalin 2007 1 Spis treści Literatura...3
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2018 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine
Dynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu w postaci
Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym
Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym zbiorze. [1] T. Banakh, O. Chervak, T. Martynyuk, M. Pylypovych,
Obliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Losy absolwentów Liceum Ogólnokształcącego im. Jana Pawła II w Kleszczowie
Losy absolwentów Liceum Ogólnokształcącego im. Jana Pawła II w Kleszczowie Szczegółowa rekrutacja na uczelnie wyższe w świetle klasy IIIA Klasy IIIA, o profilu matematyczno-językowym, w której rekrutacja
EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
Z-ETI-1002-W1 Analiza Matematyczna I Calculus I. stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne) Katedra Matematyki dr Marcin Stępień
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego Z-ETI-1002-W1
1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek
Z-LOGN1-004 Analiza matematyczna I Mathematical analysis I
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOGN1-004 Analiza matematyczna I Mathematical analysis I A. USYTUOWANIE
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Analiza matematyczna 1A (03-MO1S-12-AMa1A) 1. Informacje ogólne koordynator
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do analizy matematycznej (03-MO1S-12-WAMa)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do analizy matematycznej (03-MO1S-12-WAMa) 1. Informacje ogólne koordynator modułu
Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce
Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce Grzegorz Siudem 12 czerwca 2017 1 Zajęcia wprowadzające 21.02 [1h] Wprowadzenie w tematykę wykładu (regulamin, etc.). Rekurencja wież z Hanoi (por. rozdział
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 5
![[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 5](/thumbs/54/34980313.jpg "[ m ] > 0, 1. K l a s y f i k a c j a G 3, E 2, S 1, V 1, W 2, A 0, C 0. S t r o n a 1 z 1 5")
S z c z e g ó ł o w y o p i s i s z a c o w a n y z a k r e s i l o c i o w y m a t e r i a ł ó w b u d o w l L p N A Z W A A R T Y K U Ł U P R Z E Z N A C Z E N I E D A N E T E C H N I C Z N E C E C H
PROFESOR TADEUSZ ŚWIĄTKOWSKI DOBRY DUCH POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ
Scientific Issues Jan Długosz University in Częstochowa Mathematics XIX (2014) 277 286 PROFESOR TADEUSZ ŚWIĄTKOWSKI DOBRY DUCH POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ IZABELA JÓŹWIK, MAŁGORZATA TEREPETA Abstract Profesor
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
LWOWSKA SZKOŁA MATEMATYCZNA
LWOWSKA SZKOŁA MATEMATYCZNA KRÓTKI KURS HISTORII MATEMATYKI WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH POLITECHNIKA WARSZAWSKA AUTORZY: ANNA KACHNYCZ MONIKA NOWAK KIRA IVANOVA Lwów, 17 lipca 1934 roku, kawiarnia
Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje
Równanie Pella Sławomir Cynk
Równanie Pella Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku John Pell ur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Anglia zm. 12 grudnia 1685 w Londynie. Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor
1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Analiza matematyczna. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie Katedra Matematyki dr Beata Maciejewska
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje od roku akademickiego
MACIERZE FIBONACCIEGO GENEROWANE PRZEZ OPERACJE RÓŻ NICOWE
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR 3 (186) 2011 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej MACIERZE FIBONACCIEGO GENEROWANE PRZEZ OPERACJE RÓŻ NICOWE STRESZCZENIE Na gruncie teorii
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Z-ID-202 Analiza matematyczna II Calculus II
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2015/2016 Z-ID-202 Analiza matematyczna II Calculus II A. USYTUOWANIE MODUŁU W
Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
Odniesienie symbol I [1] [2] [3] [4] [5] Efekt kształcenia
![Odniesienie symbol I [1] [2] [3] [4] [5] Efekt kształcenia](/thumbs/92/110361306.jpg "Odniesienie symbol I [1] [2] [3] [4] [5] Efekt kształcenia")
Efekty dla studiów pierwszego stopnia profil ogólnoakademicki, prowadzonych na kierunku Matematyka, na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Użyte w poniższej tabeli: 1) w kolumnie 4 określenie Odniesienie
Twierdzenie Ponceleta Sławomir Cynk
Twierdzenie Ponceleta Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku Rozważmy następujący problem geometryczny Dla danych dwóch okręgów C 1 i C 2 na płaszczyźnie skonstruować n kąt, którego krawędzie (proste zawierające
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Analiza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Z-ID-102 Analiza matematyczna I
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus I Obowiązuje od roku akademickiego 2015/2016 Z-ID-102 Analiza matematyczna I A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej
Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza
Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus. Ekonomia. I stopień ogólnoakademicki. studia stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Mateusz Masternak
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
OSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
R.Nowosad. S.Margol J.Czyż. 3a N P S N P S N P S OBOWIĄZUJE OD 19 LISTOPADA 2018 R. Poniedziałek. Wtorek. Środa. Czwartek. Piątek
OBOWIĄZUJE OD 19 LISTOPADA 2018 R. Poniedziałek 1a 2a 3a 1 8:00-8:45 KJ j.angielski 24 JC wf S1 2 8:50-9:35 MS wf S2 JC e_wczesnoszk 3 RN e_wczesnoszk 25 3 9:45-10:30 MS e_wczesnoszk 24 JC e_wczesnoszk
R.Nowosad. S.Margol J.Czyż
OBOWIĄZUJE OD 22 PAŹDZIERNIKA 2018 R. Czwartek Środa Wtorek Poniedziałek 1a 2a 3a 1 8:00-8:45 KJ j.angielski 24 JC wf S1 2 8:50-9:35 MS wf S2 JC e_wczesnoszk 3 RN e_wczesnoszk 25 3 9:45-10:30 MS e_wczesnoszk
Oczekiwania w zakresie informatyki wobec kandydatów na studia w PWr
Oczekiwania w zakresie informatyki wobec kandydatów na studia w PWr Marek Klonowski Marek.Klonowski@pwr.wroc.pl Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska 2 grudnia
Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka 2 Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM-1-201-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Medyczna Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Zliczanie Podziałów Liczb
Zliczanie Podziałów Liczb Przygotował: M. Dziemiańczuk 7 lutego 20 Streszczenie Wprowadzenie Przez podział λ nieujemnej liczby całkowitej n rozumiemy nierosnący ciąg (λ, λ 2,..., λ r ) dodatnich liczb
Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions Kierunek studiów (jeśli
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 60 45
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA M2 Nazwa w języku angielskim MATHEMATICAL ANALYSIS M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu
Załącznik nr 1 do Zarządzenia Rektora UR Nr 4/2012 z dnia 20.01.2012r. SYLABUS Nazwa przedmiotu Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Analiza matematyczna Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, Instytut Fizyki
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
FOTO-HISTORIA Peregrynacja obrazu Pana Jezusa Miłosiernego oraz relikwii Św. S. Faustyny i Bł. Jana Pawła II Złoty Jubileusz Sióstr Karmelitanek Na pielgrzymim szlaku Msza św. na Wierchach Uroczystość
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Teoria sterowania Obliczenia symboliczne w środowisku MATLAB Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Calculus I Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 Z-LOGN1-004 Analiza Matematyczna I A. USYTUOWANIE MODUŁU W
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
S.Margol J.Czyż. D.Wlizło
Czwartek Środa Wtorek Poniedziałek 1a 1b 2a N P S 1 8:00-8:45 WD e_wczesnoszk 1 MS e_wczesnoszk 2 JC e_wczesnoszk 3 2 8:50-9:35 WD e_wczesnoszk 1 MS zaj_komputer 2 JC e_wczesnoszk 3 3 9:45-10:30 WD e_wczesnoszk
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Analiza matematyczna
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Mathematical analysis
11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Minimum programowe dla studentów MIĘDZYWYDZIAŁOWYCH INDYWIDUALNYCH STUDIÓW SPOŁECZNO-HUMANISTYCZNYCH - studia licencjackie I stopnia
ROK AKADEMICKI 209-2020 Minimum programowe dla studentów MIĘDZYWYDZIAŁOWYCH INDYWIDUALNYCH STUDIÓW SPOŁECZNO-HUMANISTYCZNYCH - studia licencjackie I stopnia Kierunek: FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ Rozszerzenie
1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.
Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)
Analiza zawartości dokumentów za pomocą probabilistycznych modeli graficznych
Analiza zawartości dokumentów za pomocą probabilistycznych modeli graficznych Probabilistic Topic Models Jakub M. TOMCZAK Politechnika Wrocławska, Instytut Informatyki 30.03.2011, Wrocław Plan 1. Wstęp
1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza zespolona (03-MO2S-12-AZes) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania
Transmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,
ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW
Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA
WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Zagadnienia na egzamin licencjacki
Zagadnienia na egzamin licencjacki Kierunek: matematyka, specjalność: nauczanie matematyki i informatyki w zakresie zajęć komputerowych Zaleca się, by egzamin dyplomowy składał się z co najmniej trzech
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Nazwa Przedmiotu: Analiza matematyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: podstawowy Rok studiów, semestr: rok pierwszy, semestr I
KARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTEPNE CELE KURSU
WYDZIAŁ KARTA PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu w języku polskim Nazwa przedmiotu w języku angielskim Kierunek studiów (jeśli dotyczy) Specjalność (jeśli dotyczy) Stopień studiów i forma Rodzaj przedmiotu Kod
SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
O zbiorach małych w polskich grupach abelowych
O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład