ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

Transkrypt

1 Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012

2 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA DO WYDANIA PIĄTEGO... xiii Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE Oznaczenia logiczne Zbiory. Odwzorowania zbiorów Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych Ciągi liczbowe Granica ciągu liczbowego Warunek Cauchy ego Granica górna i dolna Szeregi liczbowe Szeregi bezwzględnie zbieżne Szeregi o wyrazach dodatnich Zadania Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych Podzbiory przestrzeni metrycznej Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej Odwzorowania ciągłe Przykłady funkcji ciągłych Przestrzenie zupełne Przestrzenie zwarte Przestrzenie spójne Zadania... 75

3 658 Spis treści Rozdział 3. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych Przestrzeń funkcji ciągłych Ciągi funkcyjne Szeregi funkcyjne Zadania Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ Pochodna Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej Interpretacje fizyczne pochodnej Twierdzenia Lagrange a i Cauchy ego oraz ich zastosowania Pochodne wyższych rzędów Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej Twierdzenie Taylora Zastosowania pochodnych wyższych rzędów Szereg Taylora Całka Riemanna Całka jako funkcja górnej granicy całkowania Technika wyznaczania całki nieoznaczonej Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych: szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi Zadania Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO Krzywe płaskie Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych Krzywizna krzywej Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań Długość łuku Obliczanie pól i objętości Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce Zadania Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH BANACHA Przestrzenie liniowe...193

4 Spis treści Odwzorowania liniowe Przestrzenie unormowane Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej Ciągłe odwzorowania liniowe *. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych Ciągłe odwzorowania wieloliniowe Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha Słaba pochodna Twierdzenie o wartości średniej Przypadek, gdy E = R n, E = R m Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań Pochodne wyższych rzędów Wzór Taylora. Ekstrema lokalne Zadania Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Całkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni Banacha Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy ego Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy ego od warunków początkowych oraz od parametru Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy ego Twierdzenie Peano Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy ego Równanie liniowe Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów *. Układy dynamiczne *. Dowody twierdzeń Lasoty Yorke a oraz Schaudera o punkcie stałym Zadania Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE A Miara abstrakcyjna Generator miary Funkcje mierzalne Miara Lebesgue a Całka względem miary Całka Lebesgue a; porównanie z całką Riemanna Twierdzenie Fubiniego...371

5 660 Spis treści 84. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue a *. Całka Lebesgue a Stieltjesa *. Przestrzenie funkcji całkowalnych Zadania Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE Przestrzeń tensorów Iloczyn zewnętrzny Pola wektorowe Formy różniczkowe Lemat Poincaré Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach Rozmaitości zanurzone w R n Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach) Formy różniczkowe na rozmaitościach Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach *. Ogólne pojęcie rozmaitości *. Twierdzenie Frobeniusa Zadania Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Wiadomości wstępne Różniczkowalność w sensie zespolonym Przykłady funkcji holomorficznych Całka funkcji zmiennej zespolonej Wzór całkowy Cauchy ego Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane Residua Przekształcenie Laplace a i jego zastosowanie do równań różniczkowych *. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej Zadania Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI Przestrzenie liniowo-topologiczne Podstawowe klasy funkcji...557

6 Spis treści Dystrybucje i ich pochodne Dystrybucje temperowane Przekształcenie Fouriera na S i S Zadania Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA Pojęcie przestrzeni Hilberta Twierdzenie o rzucie prostopadłym Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta Analiza widmowa operatorów samosprzężonych Zadania Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ A. Przestrzenie topologiczne B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych C. Aksjomaty oddzielania D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte E. Przestrzenie parazwarte F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA A. Podstawowe pojęcia i przykłady B. Widmo elementu w algebrze C. Charaktery algebr Banacha Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA A. Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego LITERATURA SKOROWIDZ NAZW...643