O kształcie komory silników rotacyjnych

Transkrypt

1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚC I MATEMATYCZNE IV (1961) B. KOPOCIŃSKI (W'rocław) O kształcie komory silników rotacyjnych W niniejszej pracy rozpatrzymy dwa różne zagadnienia. Pierwszym będzie znalezienie krzywych zamkniętych, po których ślizgają się wierzchołka. n1i wieloboki foremne. DTugin1 zagadnieniem będzie znalezienie krzywych zamkniętych, po których ślizgają się wieloboki foremne styczne każdym bokiem do krzywej. Na krzywych tych można zbudować silniki z wirującym tłokiem przyjmując, w pierwszym przypadku, krzywą jako przekrój komory silnika i wielobok jako przekrój wirującego w niej tłoka oraz, w drugim przypadku, wielobok jako przekrój komory silnika i krzywą jako przekrój tłoka. Pewne rozwiązanie pietwszego zagadnienia dla trójkąta pozwoliło Feliksowi Wa,nklowi zbudować Silnik rotacyjny. W silniku tym, w komorze specjalnego kształtu, obraca się ślizgając się po ściankach komory wirnik w kształcie graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt równoboczny. Kształt komory jest tak dobrany, że wirnik w czasie ruchu odcina pewne części komory, których objętości w czasie obrotu tłoka zmieniają się powodując kolejne fazy pracy silnika: wessanie mieszanki, kompresję, rozprężenie i wydech po wybuchu. W dalszych rozważaniach skupimy uwagę tylko na przekrojach i będziemy mówili o krzywej jako przekroju komory i o trójkącie jako przekroju wirnika. W silniku Wankla zakłada się dodatkowo, że środek trójkąta porusza się po kole. Założenie to jest istotne dla silnika, gdyż poprr.ez ten ruch silnik n1oże wykonywać pracę. Innyn1, ogólniejszyrn zagadnieniern jest szukanie krzywych, po których ślizga się wierzchołkami trójkąt równoboczny bez żadnych dodatkowych założeń. Rozwiązując to zagadnienie musielibyśmy środek trójkąta prowadzić po krzywych z rodziny wszystkich krzywych ciąglyeh. Zauważrny, że gdy środek trójkąta zajmuje w czasie obrotu trójkąta stałe położenie, otrzymujemy jako rozwiązanie koło. Koło nie nad<:tje się jednak do budowy komory, ponieważ trójkąt ślizgający się po nim odcina części niezmienne w czasie obrotu, przez co nie ma kolejnych faz pracy silnika. Zadaniem naszym jest, dla danego wieloboku foremnego, znaleźć klasę krzywych ciągłych zamkniętych, po których ten wielobok ślizga

2 284 B. Kopociński się wierzchołkami, przy czym każdy wierzchołek o biega całą krzywą, a środek wieloboku zakreśla koło. Zagadnienie to rozwiążemy szczegółowo dla trójkąta równobocznego, przy czym zauważymy, że rozumowania przenoszą się na wszystkie wieloboki foremne. Oznaczmy przez O środek koła, przez C środek ciężkości trójkąta i przyjmijmy, że~ wysokości trójkąta ma długość 1, a długość promienia Y Rys. l X OC wynosi p (patrz rys. 1). Weźmy układ współrzędnych o początku w punkcie O i szukajmy równań parametrycznych tych krzywych. Parametrem niech będzie czas mierzony od pewnej chwili t = O. Przyjmijmy, że w położeniu początkowym, dla t = O wierzchołek trójkąta leży w punkcie (p l, O), a środek C w punkcie (p, 0). Niech cp(t) będzie kątem obrotu trójkąta dookoła punktu C mierzonyn1 od pewnego kierunku cp (O) i niech fj(t) będzie kątem obrotu punktu C dookoła punktu O. Niech cp(t) i lj(t) będą funkcjami ciągłymi. Oznaczmy położenie wierzchołka trójkąta przez (X, Y); wówczas (l) X= coscp(t)+pcosfj(t), Y = sin cp (t) +p sin,& (t). Ponieważ ruch trójkąta po krzywej n1usi być okresowy, n1usi istnieć taki okres czasu T, O <T< oo, po upływie którego trójkąt powróci na swoje położenie początkowe. Niech w tyn1 czasie punkt C obiegnie k razy punkt O, a trójkąt obróci się dookoła swego środka o kąt ~k'rc. By ruch odbywał się po całej krzywej, przyjmujemy k' :f= 3, 6, 9,..., tak żeby po czasie T każdy wierzchołek nie zajmował swojego położenia, tylko położenie swojego poprzednika. Otrzymujemy więc warunek: istnieją T (O< T< oo), k =l, 2, 3,..., k' i= 3, 6, 9,... takie, że (2) cp(t+t) = 1k'rc+cp(t), f} (t+ T) = 2krc +f} (t). Znaleźliśmy rodzinę krzywych zależną od parametru liczbowego i funkcyjnego. Udowodnimy, że krzywe te spełniają warunki naszego zadania. Niech parametr zmienia się w przedziale ( O, 1 1 ); w tym czasie każdy wierzchołek trójkąta przebiegnie część naszej krzywej do miejsca, gdzie w chwili początkowej znajdował się jego poprzednik. W rezultacie otrzymamy pewną krzywą zamkniętą. Ponieważ w następnym przedziale czasowym (T, 2T), jeśli nie rozróżniamy wierzchołków między

3 O kształcie komory silników rotacyjnych 285 sobą, otrzymujemy sytuację jak w poprzednim okresie czasu, więc ruch będzie się odbywał po tej samej krzywej. W czasie 3T każdy wierzchołek przejdzie co najmniej raz przez każdy punkt krzywej; ruch punktu C po kole oraz ciągłość krzywej otrzymujemy bezpośrednio z warunków ruchu i warunków określających funkcje cp (t) i f} (t). Klasyfikacją krzywych (l) w ogólnym przypadku nie będziemy się zajmowali. Ogólnie biorąc łatwo udowodnić, że dla dowolnego łuku L można znaleźć krzywą (l) taką, że łuk L jest jej częścią składową. Szkic dowodu jest następujący. Jednostkę długości oraz p dobieramy tak, by można było łuk L położyć w wycinku pierścienia kół o środku w O i promieniach 1-p, l+ p. Kąt wycinka niech nie przekracza ~n. Następnie prowadzimy po L jeden wierzchołek trójkąta i w ten sposób otrzymujemy pewne części funkcji cp (t), f} (t), które łatwo uzupełnić do funkcji spełniających warunki (2). Zbadajmy teraz nasze krzywe w przypadku szczególnym, gdy cp(t) =t i #(t) = 3t. Jest to przypadek jednostajnego obrotu punktu C dookoła punktu O, mogący n1ieć praktyczne zastosowanie w konstrukcji silnika. W tym przypadku bowiem moment bezwładności silnika jest stały, co przy dużej ilości obrotów n1oże mieć znaczenie. Równania (l) przyjrnują postać (3) X = cos t+ p cos3t, Y = sin t+ p sin3t, o ::::;:; t < 27t. Otrzyn1aliśrny więc jednopararnetrową rodzinę krzywych. Bysunek 2 przedstawia krzywe dla p przyjn1ującego wartości ~' ł Dla p > ł otrzy- --r-~~~~~-----r~ )( X Hys. 2 mujemy krzywą przecinającą się z sobą. Krzywe takie z punktu widzenia konstrukcji silnika są bezużyteczne i w dalszym ciągu nie będziemy się nimi zajmowali, zakładając p ::::;:; ł Klasyfikację tych krzywych przeprowadzin1y w oparciu o właści-

4 286 B. Kopociński w ości krzywizny. Obliczmy więc krzywiznę każdej z tych krzywych oraz jej pochodną: (4) (5) K = _1-t- ~-7 p~--±- 1_2p_c_o_~~~ (1+ 9p + 2 6pcos2t) ' dk 6p sin2t(45p p cos2t-l) --= d t (l+ 9p + 2 6pcos2t) 5 ; 2 Z równania ( 4) znajdujemy, że K = O dla i ~ p < ł (krzywa ma punkty spłaszczenia), K nie istnieje dla p = ł (krzywa ma ostrze), a nierówność K <O ma rozwiązanie dla i< p ~. ł (krzywa jest wklęsła). f Z równania ( 5) otrzymujemy ekstrema krzywizny: mamy dla O <p < ft- dwa minima na: przecięciu z osią Oy i dwa maksima na przecięciu z osią Ox, oraz dla'~.< p.~ ł osiem ekstremów: cztery minima na przecięciu z osiami współrzędnych i cztery maksima pomiędzy nimi. Krzywe nasze możemy więc podzielić na następujące kategorie: l. dla O< p ~-h- owale wypukłe o czterech ekstremach krzywizny kształtu elipsy, 2. dla -{ 5 <p ~- ~ -owale o ośmiu ekstremach krzywizny, 3. dla~< p ~ ł- krzywe mające wklęsłości, 4. dla p > ł -krzywe przecinające Rys. 3 H. Steinhaus postawił zagadnienie znalezienia krzywych, po których ślizga się kwadrat lub, ogólniej, wielobok foremny, przy czym jego środek zakreśla koło i przez każdy punkt krzywej może przechodzić każdy wierzchołek. Zagadnienie to rozwiązujemy w podobny sposób jak dla przypadku trójkąta i otrzymujemy dla ruchów jednostajnych dla n-boku foremnego równania: się. X= cost+ pcosnt, (6) O~ t< 2rc; Y = sin t+ p sin n t, dla równań (6) możemy przeprowadzić dyskusję jak w przypadku trójkąta, czego tu nie będziemy robili. Krzywe (6) są wypukłe dla p ~ 1/n 2 Zauważmy jeszcze, że dla n = 12 oraz p ~ 1 ~ 4 otrzymujemy krzywe wypukłe, po których ślizgają się równocześnie trójkąt i kwadrat, zakreślając środkami to samo koło. Krzywą (6) dla n = 4 przy p =i przedstawia rysunek 3. Na krzywej tej można zbudować silnik, którego wi:r;nikiem będzie kwadrat.

5 O kształcie komory silników rotacyjnych 287 Drugim zagadnieniem tutaj rozpatrywanym będzie szukanie krzywych, po których ślizga się ścianami wielobok foremny, przy czym jego środek zakreśla koło. N a wstępie rozpatrzymy krzywe o stałej szerokości i za pomocą tych krzywych skonstruujemy rozwiązanie naszego zagadnienia. H. Steinhaus podał przykłady takich krzywych (Kalejdoskop matematyczny, Warszawa 1954). Niech xcosa+ysina = p(a), O~. a< 2rc, będzie rodziną prostych, których odległość od początku układu współrzędnych jest równa p (a). Je żeli p (a) spełnia warunek (7) p(a)+p(a+rc) = 2d, d- stała liczba, dla każdego a, to obwiednia tych prostych, jeśli istnieje i jest krzywą zamkniętą wypukłą, jest krzywą o stałej szerokości 2d. Warunek (7) oznacza, że dla każdej prostej tej rodziny istnieje w niej prosta do niej równoległa i odd~jlona od niej o stałą. Gdy obwiednia jest krzywą zamkniętą wypukłą, leży pomiędzy tymi prostymi, a więc jest krzywą o stałej szerokości. Je żeli p (a) daje się rozwinąć w szereg Fouriera, warunek ( 7) możemy napisać w postaci równoważnej 00 (8) p(a) =d+ _2 1 (a 2 k_ 1 sin(2k-l)a+b 2 k_ 1 cos(2k-l)a). k=l Można dowieść, że obwiednia prostych dla 00 (9) p(a) =d+}; (an( 2 k-l)sinn(2k-l)a+bn( 2 k-i)cosn(2k-l)a) k=l daje rozwiązanie naszego zagadnienia dla (n+ 1)-boku foremnego. Dowód tego twierdzenia oraz badanie tych obwiedni jest kłopotliwe rachunkowo, z badamy więc obwiednię tych prostych w przypadku szczególnym, gdy p(a) = l+pcosna, p> O, O~ a< 27t. Wówczas (10) xcosa+ysina = l+pcosna, p> O, O~ a< 27t. Udowodnimy, że (a) obwiednia tych prostych jest krzywą po której ślizga się (n+ l)-bok foremny, (b) środek tego (n+ l )-boku zakreśla kolo. D o wód. Zan1knij1ny naszą krzywą prostymi (11) k=o,l,...,n;

6 288 B. Kopociński proste te należą do rodziny (10), a każde dwie sąsiednie proste przecinają się pod kątem 2nj(n+ 1). Niech Pk,k+l będzie punktem przecięcia k-tej i (k+ 1)-szej prostej; łatwo sprawdzić, że odległość Pk,k+l od Pk-I,k nie zależy od a i wynosi 2tg(2rc/(n+ 1)). Oznacza to, że wielobok zamykający obwiednię ma równe boki oraz że długość boku nie zależy od położenia wieloboku. Ponieważ na początku założyliśmy, że wielobok ten ma równe kąty, więc jest on foremny. Tym samym część (a) została udowodniona. Niech Lk,k+I oznacza dwusieczną k-tej i ( k + l )-szej prostej. Punkt przecięcia dwusiecznych L 0, u L _ 1, 0 wyzn~cza środek wie lo boku i ma współrzędne: X = pcos(n+ l) a, Y = p sin (n+ l) a, O~ a< 2n, Rys. 4 a więc środek wieloboku zakreśla koło. Obwiednię prostych (10) możemy także wyznaczyć: x = cosa + p /2 [(n+ l)cos (n-l) a- (n-l)cos(n+ l) a], (12) O ~ a < 2n. y = sin a-p /2 [ (n + l) sin (n- l) a + (n - l) sin (n+ l) a], Obliczając krzywiznę tych krzywych znajdujemy, że są one wypukłe i nie rnają punktów osobliwych dla O ~ p ~. lf(n-1) (n+ l). Rysunek 4 pokazuje krzywą (12) dla kwadratu n = 3; warto zaznaczyć, że dla n = 12 otrzymujemy krzywą, po której ślizga się bokami i trójkąt i kwadrat.