PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATURĄ MAJ Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony ( zadania 1 19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów. 4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego. 8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 180 minut Liczba punktów do uzyskania: 50

2 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony W każdym z zadań wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0 1) Dane są proste l 1 : y = 2x 28, l 2 : y = 1 2 x 1, l 3 : y = 1 3 x + 2 i l 4 : 9x 13y 58 = 0. Wszystkie one przechodzą przez punkt (18, 8). A. Prosta l 3 jest obrazem prostej l 4 w symetrii względem prostej l 2. B. Prosta l 4 jest obrazem prostej l 2 w symetrii względem prostej l 3. C. Prosta l 2 jest obrazem prostej l 1 w symetrii względem prostej l 4. D. Prosta l 1 jest obrazem prostej l 3 w symetrii względem prostej l 4. Zadanie 2. (0 1) Niech a = log 2 3 i b = log 5 3. Wtedy A. log = B. log = 2a + 2b a b ab C. log 3 = D. log 3 = ab a + b Zadanie 3. (0 1) Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż wtedy, gdy A. α = 1 6 π B. α = 1 3 π C. α = 1 2 π D. α = 5 3 π Zadanie 4. (0 1) Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej prawdopodobne. A. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie. B. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie. C. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie. D. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym.

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 3 BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

4 4 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem. Zadanie 5. (0 2) Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej jedna cyfra i przynajmniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr. Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry odpowiedzi.

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 5 Zadanie 6. (0 2) Dwa różne rozwiązania równania x 2 11x + 1 = 0 to x 1 i x 2. Bez rozwiązywania tego równania oblicz wartość (x 1 ) 5 + (x 2 ) 5. Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej.

6 6 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 7. (0 2) Rozwiąż nierówność 2xx ( + 3) x + 3 ( x + 2)( x 5) ( x + 2)( x 5) dla x 2 i x 5. Odpowiedź:...

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 7 Zadanie 8. (0 2) W niewypukłym czworokącie ABCD dane są długości boków: AB = 4, BC = 3, CD = 5, AD = 6 oraz kąt wklęsły ABC = 300. Na rysunku kąt ADC oznaczony został jako x. D x B C A a) Oblicz cos x. b) Oblicz pole czworokąta ABCD. Odpowiedź: a)... b)...

8 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 9. (0 3) Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n 2 10n + 24)(n 2 8n + 15) jest dla każdego n = 0, 1, 2, 3,... podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7).

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 9 Zadanie 10. (0 3) a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek? b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić przeciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą? A D S B F C E Odpowiedź: a)... b)...

10 10 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 11. (0 3) Na pewną groźną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano tani i łatwy w użyciu test na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test wykrywa chorobę u chorej osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że osoba jest chora, nawet jeśli osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora? Odpowiedź: a)... b)...

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 11 Zadanie 12. (0 3) a) Udowodnij, że prosta l: 3x + 4y 19 = 0 jest styczna do okręgów o 1 i o 2, gdzie o 1 : (x 2) 2 + (y 2) 2 = 1 oraz o 2 : (x 6) 2 + (y 4) 2 = 9. b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o 1 i o 2, prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych umieszczonym na następnej stronie. Znajdź równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o 1 i o 2. Narysuj ją.

12 12 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 13 Zadanie 13. (0 3) Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13 może być trapezem. Oblicz jego pole.

14 14 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 15 Zadanie 14. (0 3) S 1 S 2 S 3 O R 3 R 2 R 1 Pierwszy odcinek koła o polu P 1 powstał z okręgu o środku O i promieniu r = OR 1 = OS 1 po odcięciu odcinkiem R 1 S 1. Drugi odcinek koła powstał następująco: prosta prostopadła do półprostej OR 1 i przechodząca przez S 1 przecina półprostą OR 1 w punkcie R 2. Odcinek S 2 R 2 odcina od koła o środku w O i promieniu OR 2 = OS 2 odcinek o polu P 2. Po zatoczeniu łuku o środku w O i promieniu OR 2 powstaje punkt S 3 na półprostej OS 1 itd. powstaje nieskończony ciąg odcinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół i określ ją jako funkcję a (wyrażonego w radianach) i r. Odpowiedź:...

16 16 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 15. (0 4) Od czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 4 odcięto płaszczyzną przechodzącą przez punkt B na krawędzi AB, punkt C na krawędzi AC i D na krawędzi AD ostrosłup AB C D, przy czym AB = 3, AC = 2, AD = 1. D D C C A B B a) Oblicz objętość ostrosłupa ABCD i AB C D. b) Oblicz wysokość ostrosłupa AB C D, gdy za jego podstawę przyjmiemy B C D. Odpowiedź: a)... b)...

17 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 17 Zadanie 16. (0 4) W trójkącie ABC zaznaczono punkt A na boku BC, tak że A B : A C = 1 : 2, i punkt B na boku AC, tak że B A : B C = 3 : 1. Odcinki AA i BB przecinają się w punkcie D. Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C. Pole trójkąta BA D jest równe 14. a) Oblicz pole trójkąta ABC. b) Oblicz stosunek CD : DC. B C A D 14 A C B Odpowiedź: a)... b)...

18 18 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Zadanie 17. (0 4) Pole powierzchni całkowitej stożka to π. a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka? b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości? Odpowiedź: a)... b)...

19 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 19 Zadanie 18. (0 4) W graniastosłupie prostym prostokątnym ABCDEFGH krawędzie podstawy mają długość 3 i 4 ( AB = 4, BC = 3), a wysokość 10. Dodatkowo wyróżnione są trzy punkty: punkt B na krawędzi BF w odległości 3 od wierzchołka B, punkt C na krawędzi CG w odległości 7 od wierzchołka C i punkt D na krawędzi DH w odległości 4 od wierzchołka D. H G E F C D 7 A 4 D 4 B 3 3 B C a) Udowodnij, że płaszczyzna B C D przecina krawędź AE w punkcie A. b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa ABCDEFGH płaszczyzną B C D. c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną B C D i płaszczyzną podstawy ABCD. d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną B C D.

20 20 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony Odpowiedź: b)... c)... d)...

21 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 21 Zadanie 19. (0 4) a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku poniżej). Udowodnij, że a + b = g b + g = a a + g = b b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czworokąt z łuków, na które wierzchołki czworokąta podzieliły okrąg, jest o 180 większa niż suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie narysowany jest n-kąt, gdy n = 4). a) b)

22 22 Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony