PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

Transkrypt

1 PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta prostopadła. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej przez dany punkt. Z danego punktu zakreślamy łuk tak, by przeciął daną prostą w dwóch punktach. Z tych punktów rysujemy łuki o jednakowych promieniach. Przecięcia tych łuków wyznaczają dwa punkty. Te dwa punkty wyznaczają szukaną prostą prostopadłą. P prosta prostopadła a. Symetralna odcinka. Z końców danego odcinka zakreślamy dwa łuki o takich samych promieniach tak, by się przecięły w dwóch punktach. Te dwa punkty wyznaczają symetralną odcinka. symetralna A B

2 3. Proste równoległe. Konstrukcja prostej równoległej do danej i przechodzącej przez dany punkt. Możliwych jest parę sposobów. Na przykład: Konstruujemy prostą prostopadłą do danej w dowolnym miejscu tak jak opisałem to w 1. Do niej prowadzimy prostą prostopadłą przez dany punkt. Ostatnia prosta powinna być równoległa do danej. 4. Dwusieczna kąta. 1. Z wierzchołka danego kąta zakreślamy łuk tak, by przeciął ramiona kąta.. Z punktów przecięcia łuku z ramionami zakreślamy dwa łuki o jednakowych promieniach tak, by się przecięły w jednym punkcie. 3. Prowadzimy prostą przez uzyskany przed chwilą punkt i wierzchołek kąta. Ta prosta to dwusieczna. dwusieczna 5. Kąt przystający do danego kąta. Rysujemy dolne ramię przyszłego kąta. Z wierzchołka danego kąta rysujemy łuk tak, by przeciął oba ramiona. Taki sam łuk rysujemy z punktu, który będzie wierzchołkiem przystającego kąta. Odmierzamy cyrklem odległość między punktami przecięcia łuku z ramionami danego kąta. Odległość tę przenosimy na łuk poprowadzony w (przyszłym) kącie przystającym tak, by widać było punkt przecięcia. Przez wierzchołek i przed chwilą wyznaczony punkt prowadzimy prostą to drugie ramię kąta.

3 6. Wielokąt przystający do danego wielokąta. Na początek zajmijmy się najprostszym wielokątem trójkątem. Mamy dany trójkąt. Należy narysować trójkąt do niego przystający. Rysujemy prostą, która będzie podstawą trójkąta i odmierzamy na niej podstawę. Z jednego końca podstawy zakreślamy łuk o promieniu równym długości odpowiedniego boku trójkąta. Podobnie czynimy z drugim bokiem Łuki te przecinają się. Jest to wierzchołek trójkąta. Łączymy końce podstawy z wierzchołkiem otrzymujemy trójkąt przystający do danego. C C A B A B Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, więc konstrukcja wielokąta przystającego do danego sprowadza się do konstrukcji odpowiedniej ilości trójkątów rysowanych stopniowo w odpowiednich miejscach. 7. Styczna do okręgu. Konstrukcja stycznej do okręgu w danym jego punkcie jest prosta (sprowadza się do konstrukcji prostej prostopadłej) więc ją sobie darujemy. Zajmijmy się narysowaniem prostej stycznej przechodzącej przez punkt nie należący do okręgu.

4 Odległość dany punkt środek danego okręgu dzielimy na pół (konstrukcja symetralnej.). Chodzi o znalezienie środka tego odcinka. Rysujemy łuk o tym środku i takim promieniu, by przechodził on przez środek danego okręgu (i co za tym idzie, również przez dany punkt). Punkty przecięcia się tego łuku z okręgiem wyznaczają punkty styczności. Przez dany punkt i te punkty prowadzimy proste styczne (są dwa rozwiązania). Zastanówcie się dlaczego tak jest dobrze. B O P A 8. Okrąg styczny zewnętrznie lub wewnętrznie do danego okręgu. Konstrukcja okręgu o danym promieniu stycznego do danego okręgu w danym punkcie. Prowadzimy prostą łączącą środek danego okręgu z punktem styczności. Od punktu styczności odkładamy (na zewnątrz lub do wewnątrz, zależnie czy styczność ma być zewnętrzna czy wewnętrzna) odcinek o długości promienia szukanego okręgu. Drugi koniec tego odcinka wyznacza środek szukanego okręgu. Można go już narysować. R R 9. Styczną do dwóch okręgów. Gdy okręgi leżą na zewnątrz siebie, możliwe są cztery styczne.

5 3 1 Jeśli okręgi się przecinają mamy tylko styczne 1 i. Jeśli są styczne zewnętrznie, są trzy wspólne styczne Jeśli okręgi są styczne wewnętrznie, pozostaje tylko styczna 3 z powyższego rysunku. Nie ma wspólnych stycznych jeśli jeden okrąg jest położony wewnątrz drugiego. Zajmijmy się pierwszym przypadkiem. Konstrukcja stycznych 1,. Przypominam kolejność kolorów. Dane: czarny, kolejne etapy konstrukcji: niebieski, zielony, czerwony, pomarańczowy, jasnozielony. Konstruujemy odcinek o długości r r1. r promień większego okręgu, r 1 - promień mniejszego. Wewnątrz większego okręgu rysujemy okrąg o promieniu r r1 tak, by były współśrodkowe. Rysujemy styczne do okręgu o promieniu r r1 ze środka mniejszego. Konstrukcja stycznej do okręgu 8. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do tych stycznych przez środek większego okręgu. Otrzymujemy punkty przecięcia tych prostych z większym okręgiem. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do ostatnich prostych przez ich punkty przecięcia z okręgiem. To są szukane styczne. r 1 r r r 1 1

6 Konstrukcja stycznych 3, 4. Konstruujemy odcinek o długości r + r1. Rysujemy okrąg o promieniu r + r1 tak, by był współśrodkowy z okręgiem o promieniu r. Rysujemy styczne do okręgu o promieniu r + r1 ze środka mniejszego. Konstrukcja stycznej do okręgu 8. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do tych stycznych przez środek większego okręgu. Otrzymujemy punkty przecięcia tych prostych z większym okręgiem. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do ostatnich prostych przez ich punkty przecięcia z okręgiem. To są szukane styczne. r + r 1 r 1 r 1 r 10. Okrąg wpisany w wielokąt wypukły. Jak wiemy, środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych, a konstrukcja dwusiecznej Okrąg opisany na wielokącie wypukłym. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków. Konstrukcja symetralnej.