Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)
|
|
- Eleonora Mucha
- 10 miesięcy temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1
2 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD NORMALNY... 4 ROZKŁAD T-STUDENTA
3 Tablice gęstości lub dystrybuanty: TABLICE ROZKŁADÓW W obliczeniach statystycznych konieczne jest posługiwanie się teoretycznymi rozkładami prawdopodobieństwa w celu obliczenia np. prawdopodobieństw osiągnięcia przez zmienną losową wartości z pewnego przedziału. W tym celu korzysta się z podstawowych własności: P( X a) F( a), P( b X ) 1 F( b), P( a X b) F( b) F( a). Większość rozkładów używanych w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce dana jest w postaci wzorów opisujących ich gęstość prawdopodobieństwa. Dystrybuantę i gęstość prawdopodobieństwa łączy zależność: x F ( x) f ( t) dt. Zatem aby móc obliczyć dystrybuantę dowolnego ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa konieczne jest obliczenie całki z jego gęstości. Zwykle gęstości rozkładów prawdopodobieństwa opisane są bardzo skomplikowanymi wzorami i nie są znane sposoby ich analitycznego całkowania. W związku z tym, aby obliczyć wartość dystrybuanty danego rozkładu konieczne jest wykorzystanie metod numerycznego całkowania. Dawniej kiedy komputery nie istniały, lub nie były powszechne tworzono tablice dystrybuant różnych rozkładów na podstawie wartości całek obliczonych numerycznie, dla z góry ustalonych wartości x i parametrów rozkładów. Tablice kwantyli: W testowaniu hipotez statystycznych wygodniej jest korzystać z tablic kwantyli rozkładów. W rzeczywistości zarówno tablice dystrybuanty jak i kwantyli zawierają te same informacje, lecz podane w różny sposób ułatwiający ich wykorzystanie w danym zagadnieniu. Kwantyle oblicza się na podstawie wzoru: F( q) p, gdzie q oznacza szukaną wartość kwantyla, a p jest znanym prawdopodobieństwem. Innymi słowy poszukiwana jest taka wartość q, dla której dystrybuanta osiąga wartość p. 3
4 Inne sposoby obliczania prawdopodobieństw lub kwantyli: Obecnie komputery są tak powszechne, że w praktycznych obliczeniach nie korzysta się z tablic i są one przydatne jedynie ze względów dydaktycznych. Nawet podstawowe narzędzia biurowe (np. LibreOffice Calc, czy Microsoft Office Excel) oferują funkcje do obliczania gęstości, dystrybuanty czy kwantyli popularnych rozkładów prawdopodobieństwa. ROZKŁAD NORMALNY W literaturze zwykle spotyka się tablice rozkładu normalnego w postaci jego gęstości lub dystrybuanty. W praktycznych zastosowaniach najwygodniej jest używać tablic dystrybuanty. Zadanie 1. Wykorzystując arkusz kalkulacyjny utwórz tablicę dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego. Rozwiązanie: Gęstość rozkładu normalnego opisana jest wzorem: 1 x 2 1 f ( x) e, 2 gdzie oznacza średnią, a odchylenie standardowe. W przypadku rozkładu normalnego standaryzowanego = 0 i =1. Zatem f ( u) 1 e 2 Tablice rozkładu normalnego zwykle skonstruowane są w taki sposób, że w pierwszej kolumnie są wartości odciętych x (dla rozkładu standaryzowanego oznaczane umownie u lub z). W nagłówku tabeli znajdują się także wartości u (czyli x), ale podane z większą dokładnością. 2 u 2. 2 Tab. 1. Układ treści w tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego. u z dokładnością do 0,01 u z dokładnością wartości F(u) do 0,1 4
5 Należy zwrócić uwagę na to, że w tabeli znajdują się tylko dodatnie wartości u. Wynika to z tego, że rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym względem wartości średniej (dla rozkładu standaryzowanego = 0). Zatem wystarczy utworzyć tablicę dla jednej połowy rozkładu, gdyż druga jest identyczna. Zwykle tablice są utworzone dla prawej połowy rozkładu. Sytuacja ta jest odwzorowana na Rys. 1. W celu utworzenia tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego należy utworzyć nagłówek tablicy (liczby od 0,00 do 0,09 z krokiem 0,01) oraz pierwszą kolumnę (liczby od 0,0 do 3,0 z krokiem 0,1), a następnie odpowiednio blokując odwołania do pierwszej kolumny i nagłówka tabeli wykorzystać funkcję arkusza obliczającą skumulowane wartości rozkładu normalnego standaryzowanego. Przykładowe rozwiązanie znajduje się w pliku TabeleRozkładów.xlsx. Aby odczytać wartość dystrybuanty dla podanej wartości u należy znaleźć w lewej kolumnie tę wartość z dokładnością do 0,1, a następnie w nagłówku tabeli z dokładnością do 0,01. W miejscu przecięcia się wiersza (dokładność 0,1) i kolumny (dokładność 0,01) znajduje się szukana wartość F(u). Przykładowo w celu znalezienia dystrybuanty dla wartości u=1,25 w pierwszej kolumnie należy odszukać wartość 1,2, a następnie w nagłówku tabeli wartość 0,05 (w sumie 1,2+0,05=1,25). Szukana wartość wynosi F(u) = 0, Możliwe jest również odczytanie kwantyla rozkładu normalnego przy wykorzystaniu tablicy dystrybuanty. Należy znaleźć wartość F(u) najbliższą danej wartości p, a następnie odczytać wartość u. 5
6 Rys. 1. Wykres a) rozkładu gęstości i b) dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego z zaznaczonym obszarem ujętym w tablicy dystrybuanty. Tab. 2. Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego dla 0 u 3. 6
7 Zadanie 2. Korzystając z tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego znaleźć: a) F(1,25); F(-1,25); F(0); F(-0,1); F(0,1); b) P(U<1,25); P(U>1,25); P(U<-1,25); P(U>-1,25); P(U>-0,1); c) P(1<U<1,25); P(-1<U<1,25); P(-1<U<-0,1); d) P( U <1); P( U >1); Dla każdego przypadku wykonaj rysunek i zaznacz rozwiązanie na wykresie gęstości i dystrybuanty. Rozwiązanie: a) W pierwszej kolumnie należy odszukać wartość 1,2, a następnie w nagłówku tabeli wartość 0,05 (w sumie 1,2+0,05=1,25). Szukana wartość wynosi F(1,25) = 0, Obliczenie F(-1,25) wymaga wykorzystania symetrii funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa. Skoro funkcja f(u) jest symetryczna względem wartości 0, to pola pod nią w przedziałach (-,-1,25) i (1,25, ) są takie same. Zatem wystarczy skorzystać z własności F( u) 1 F( u). Zatem F ( 1,25) 1 F(1,25) 10, ,
8 Wartość F(0) odczytuje się dla u=0,00 (czyli u=0,0+0,00) i wynosi ona F(0)=0,5. Wartość F(-0,1) odczytuje się dla u=0,10 (czyli u=0,1+0,00) i odejmuje od 1. Wynosi ona F ( 0,1) 1 F(0,1) 10, ,
9 Wartość F(0,1) odczytuje się dla u=0,10 (czyli u=0,1+0,00). F ( 0,1) 0, b) W celu obliczenia prawdopodobieństw osiągnięcia przez zmienną losową wartości mniejszej lub większej od zadanej, należy wyrazić zagadnienie przy pomocy dystrybuanty. Następnie postępuje się identycznie jak w przykładzie a). P ( U 1,25) F(1,25) 0, P ( U 1,25) 1 F(1,25) 0,10565 P ( U 1,25) 1 F(1,25) 0,10565 P ( U 1,25) 1 F( 1,25) 1 (1 F(1,25)) 0, P ( U 0,1) 1 F( 0,1) 1(1 F(0,1)) 0,
10 c) W celu rozwiązania zadań z tego podpunktu należy wykorzystać fakt, że dla każdej zmiennej losowej ciągłej P( a X b) F( b) F( a). P ( 1U 1,25) F(1,25) F(1) 0, , P( 1 U 1,25) F(1,25) F( 1) F(1,25) (1 F(1)) 0, (1-0,841345) P( 1 U 0,1) F( 0,1) F( 1) (1 F( 0,1)) (1 F(1)) ( )- ( )=
11 d) Wyrażenie U a można zapisać inaczej jako U a U a czyli a U a. Oznacza ono zbiór pomiędzy wartościami a i a. Zatem rozwiązanie będzie następujące: P( U 1) P( 1 U 1) F(1) F( 1) F(1) (1 F(1)) ( ) Wyrażenie U a można zapisać inaczej jako U a U a. Oznacza ono zbiór wartości mniejszych od a lub większych od a. Zatem rozwiązanie będzie następujące: P( U 1) P( U (, 1) (1, )) F( 1) (1 F(1)) (1 F(1)) (1 F(1)) 2(1 F(1)) 2( ) Zadanie 3. Korzystając z tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego znaleźć kwantyle: a) q 0,1 ; b) q 0,5 ; c) q 0,9 ; Dla każdego przypadku wykonaj rysunek i zaznacz rozwiązanie na wykresie gęstości o dystrybuanty. 11
12 Rozwiązanie: Aby znaleźć kwantyle korzystając z tabeli dystrybuanty należy odnaleźć najbliższą wartość dystrybuanty do podanej wartości p. Jeśli wartość p<0,5 to należy odszukać F(-q)=1-p, a po odczytaniu wartości u p konieczna jest zmiana jej znaku na przeciwny. a) F ( q 0, 1) 0,1 F ( q0, 1) 1 0,1 0,9 Wartością najbliższą 0,9 zawartą w tabeli jest 0, Odczytując wartość u p dla wiersza i kolumny otrzymuje się kolejno 1,2 i 0,08, czyli q q 0,1 0,1 1,28 1,28 b) Kwantyl q 0,5 dzieli rozkład na dwie równe części. Wiadomo, że standaryzowany rozkład normalny jest symetryczny względem wartości 0, czyli P(U<0)=P(U>0)=0,5. Zatem q 0,5 =0 (Rys. 1). c) F ( q 0, 9) 0,9 Wartością najbliższą 0,9 zawartą w tabeli jest 0, Odczytując wartość u dla wiersza i kolumny otrzymuje się kolejno 1,2 i 0,08, czyli q 0,9 1,28 12
13 Zadanie 4. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej = 5 i odchyleniu standardowym =15. Korzystając z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwa: a) P(X<3); b) P(3<X<6); c) P(X >18). Rozwiązanie: W przypadku, gdy zachodzi potrzeba odczytania wartości dystrybuanty dla dowolnego rozkładu normalnego, konieczne jest dokonanie standaryzacji. Standaryzację przeprowadza się według wzoru: u x. Oznacza to, że dowolny rozkład normalny można sprowadzić do rozkładu standaryzowanego (w tym przypadku w celu skorzystania z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego). Aby obliczyć prawdopodobieństwo P(a<X<b) wartości a i b należy odnieść do rozkładu standardowego zgodnie z wyżej przytoczonym wzorem: u a a ; u b b Następnie należy obliczyć P(u a <U<u b ) identycznie jak w zadaniu 2. a) Dla P(X<3) obliczenia należy wykonać następujące kroki: u 3 0, ; P X 3) P( U u ) F( ), ( 3 u3 13
14 następnie korzystając z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytać wartość dystrybuanty dla u=-0,133-0,13: F ( 0,13) 1 F(0,13) 10, , b) Przebieg obliczeń dla P( 3 X 6) będzie identyczny: u 3 0, ; u 6 0, P( 3 X 6) P( u3 U u6) F( u6) F( u3) F(0,07) F( 0,13) 0, , ,07962 c) u 18 0,86667; P( X 18) P( U u18) 1 F( u18) 1 F(0,87) 10, , Zadanie 5. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej =-1 i odchyleniu standardowym =0,15. Korzystając z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego oblicz kwantyle q 0,25 i q 0,75. Rozwiązanie: Tak samo jak w zadaniu 3, należy odczytać kwantyle rozkładu standaryzowanego korzystając z tablicy. Otrzymuje się następujące wyniki: u q 0,68; 0,25 u q 0,68. 0,75 Kolejnym krokiem jest odniesienie ich do danego rozkładu nie będącego rozkładem standaryzowanym przy użyciu wzoru wykorzystanego do standaryzacji Zatem: q q x p u p q x p u q x u q q 0,15( 0,68) ( 1) 1,102; 0,25 0,25 q x q u 0,150,68 ( 1) 0,898. 0,75 0,75 p 14
15 Zadanie 6. ROZKŁAD T-STUDENTA Wykorzystując arkusz kalkulacyjny utwórz tablicę kwantyli rozkładu T-Studenta. Rozwiązanie: Gęstość rozkładu T-Studenta opisana jest wzorem: df f ( t) df 1, 1 df 2 df t df gdzie df oznacza liczbę stopni swobody (parametr rozkładu). W przypadku tego rozkładu zwyczajowo zamiast symbolu x używa się symbolu t, oznaczającego wartości zmiennej losowej. Rozkład T-Studenta przy dużych wartościach df (~30) zbiega do rozkładu normalnego standaryzowanego. Podobnie jak rozkład normalny standaryzowany jest to rozkład symetryczny względem wartości t=0. W praktycznych zastosowaniach najczęściej korzysta się z kwantyli rozkładu T-Studenta. Z tego powodu konstrukcja tablic rozkładu T-Studenta jest inna niż konstrukcja tablic rozkładu normalnego. W pierwszej kolumnie znajduje się liczba stopni swobody, która jest powiązana np. z liczebnością próby. W nagłówku tablicy znajdują się wartości poziomu istotności, jak dla testu jednostronnego i dwustronnego (Tab. 2). Wewnątrz tabeli są wartości kwantyli t prawego skrzydła rozkładu T-Studenta. Tab. 2. Układ treści w tabeli kwantyli rozkładu T-Studenta. dla testu jednostronnego dla testu dwustronnego df liczba stopni swobody wartości t dla prawego skrzydła rozkładu W przypadku odczytywania wartości dla testu jednostronnego oznacza to, że całe prawdopodobieństwo jest pod jednym z ogonów rozkładu 15
16 Rys. 2. Wykres gęstości rozkładu T-Studenta z zaznaczonym kwantylem t odczytywanym jak dla testu jednostronnego (prawostronnego). Rys. 3. Wykres gęstości rozkładu T-Studenta z zaznaczonym kwantylem t odczytywanym jak dla testu dwustronnego. Gdy konieczne jest odczytanie kwantyla dla testu lewostronnego, wykorzystuje się symetrię rozkładu T-Studenta: odczytuje się kwantyl jak dla testu jednostronnego (prawostronnego), a następnie zmienia się jego znak na przeciwny. W celu utworzenia tablicy w arkuszu kalkulacyjnym należy określić nagłówek i kolumnę określającą liczbę stopni swobody. Następnie konieczne jest użycie funkcji zwracającej kwantyle rozkładu T-Studenta dla wartości 1- (np. w arkuszu Excel: =ROZKŁ.T.ODWR(1-B$2;$A5)). Przykładowe rozwiązanie znajduje się w pliku TabeleRozkładów.xlsx. 16
17 Zadanie 7. Korzystając z tablic rozkładu T-Studenta odczytać kwantyle: a) q 0,9 b) q 0,1 dla df=5. 17
18 Rozwiązanie: a) Wartość q 0,9 odczytuje się jak dla testu jednostronnego dla =0,1: q 1, ,9 b) Wartość q 0,1 odczytuje się jak dla testu jednostronnego dla =0,1 i zmienia się znak na przeciwny: q 1, ,1 Zadanie 8. Korzystając z tablic rozkładu T-Studenta dla df=15 odczytać wartości krytyczne t spełniające warunki: a) P(t>T)=0,01 b) P(t<T)=0,99 c) P(t<T)=0,01 d) P( T >t)=0,05 e) P( T <t)=0,95 Rozwiązanie: a) Poszukiwana jest taka wartość t, począwszy od której w kierunku malejących wartości t zawierać się będzie pole pod wykresem gęstości równe 0,01. Czyli poszukiwany jest kwantyl rozkładu dla wartości p=0,01, czyli q 0,01. Korzystając z tablic, należy odczytać wartość t dla =0,01, df=15 jak dla testu jednostronnego i zmienić jego znak: t 2,
19 b) Poszukiwana jest taka wartość t, począwszy od której w kierunku rosnących wartości t zawierać się będzie pole pod wykresem gęstości równe 0,99. Czyli, jak poprzednio poszukiwany jest kwantyl rozkładu dla wartości p=0,01, q 0,01 : t 2, c) Poszukiwana jest taka wartość t, począwszy od której w kierunku rosnących wartości t zawierać się będzie pole pod wykresem gęstości równe 0,01. Czyli, poszukiwany jest kwantyl dla p=1-0,01=0,99, q 0,99. Korzystając z tablic, należy odczytać wartość t dla =0,01, df=15 jak dla testu jednostronnego: t 2, d) Poszukiwana jest taka wartość t, dla której zajdzie P (( T t) ( T t)) 0, 05, przy czym P( T t) P( T t). Innymi słowy poszukiwana jest taka wartość t, która na obu ogonach rozkładu oddzieli takie samo pole równe co do wartości połowie 0,05. Czyli poszukiwane są kwantyle q 0,025 i q 0,975. Z tablic należy odczytać wartość jak dla testu dwustronnego przy =0,05: t 2, Zatem rozwiązaniem zadania są wartości 19
20 t 2, e) Poszukiwana jest taka wartość t, dla której zajdzie P ( t T t) 0, 95, przy czym. Innymi słowy poszukiwana jest taka wartość t, dla której pomiędzy t, a t będzie pole równe 0,95. W praktyce jest to przypadek identyczny jak w zadaniu d) bowiem na obu ogonach rozkładu oddzielone zostanie takie samo pole równe co do wartości połowie 1-0,95=0,05. Czyli jak poprzednio poszukiwane są kwantyle q 0,025 i q 0,975. Z tablic należy odczytać wartość jak dla testu dwustronnego przy =0,05: t 2, Zatem rozwiązaniem zadania są wartości t 2,
Zawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.
Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to
ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego
Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH
Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej
Najprostsze z zadań z prawdopodobieństwa robi się korzystając z dystrybuanty. Zacznijmy od tego - tu mamy rozkład (wyniki pomiarów):
Najprostsze z zadań z prawdopodobieństwa robi się korzystając z dystrybuanty. Zacznijmy od tego - tu mamy rozkład (wyniki pomiarów): Ok. Średnia to środek zbioru. Zazwyczaj mamy podane także odchylenie
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
POLITECHNIKA WARSZAWSKA
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu
Zastosowanie Excela w matematyce
Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze
Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Wykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5)
TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA T1. Tablica dystrybuanty standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T2. Tablica kwantyli standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T3. Tablica kwantyli rozkładu
Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Kolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Wykład 14. Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych.
Wykład 14 Testowanie hipotez statystycznych - test zgodności chi-kwadrat. Generowanie liczb losowych. Rozkład chi-kwadrat Suma kwadratów n-zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standardowym ma rozkład
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności.
Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności. Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby
Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Estymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY
VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych
dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo
Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności
Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby
Rozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:
Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d.
Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Oprócz zmiennych i wektorów strukturami danych w R są: macierze; ramki (ang. data frames); listy; klasy S3 1 Macierze Macierze
Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych
1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;
Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:
Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Testowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA
18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.
1 Czy iloczyn macierzy, które nie są kwadratowe może być macierzą kwadratową? Podaj przykład 2 Czy każde dwie macierze jednostkowe są równe? Podaj przykład 3 Czy mnożenie macierzy przez macierz jednostkową
Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności
Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Sposoby prezentacji problemów w statystyce
S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki
ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ
ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2
II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Wykład 12 ( ): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych
Wykład 12 (21.05.07): Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Przykład Rozważamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z książki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w dąbrowie,
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Testowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona
Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je
Może faktycznie ceny na Opolszczyźnie są wyższe niż w Polsce. Ceny na Opolszczyźnie są podobne, a akurat trafiliśmy na próbę droższych piekarni.
Statystyczne testowanie hipotez: procedura, która pozwala ocenić hipotezę na temat parametru populacji w oparciu o statystykę próby. Zauważyliśmy, że ceny pieczywa w Opolu są wyższe niż gdzie indziej w
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Excel: niektóre rozkłady ciągłe (1)
MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) Ecel: niektóre rozkłady ciągłe (1) 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)...1 2. ROZKŁAD.BETA.ODW (kwantyl w rozkładzie beta)...3 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden
Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Statystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,