PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

Transkrypt

1 PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń losowych. Pojęcia pierwotne to doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne. Doświadczenie losowe jest to realizacja, zależna od nas bądź nie, rzeczywista bądź tylko umysłowa, pewnego działania takiego, że: (i) wynik doświadczenia nie da się przewidzieć przed doświadczeniem; (ii) zbiór możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) Ω jest określony z góry; (iii) może ono być powtarzane zasadniczo w tych samych warunkach. Ω - zbiór (przestrzeń) wszystkich zdarzeń elementarnych; wyróżniamy następujące typy - (i) skończony, (ii) nieskończony, ale przeliczalny, (iii) nieskończony i nieprzeliczalny. Zdarzenie losowe jest to podzbiór Ω. Co do zdarzenia losowego, zawsze można powiedzieć, zaszło ono czy nie. 1

2 Dla każdego zdarzenia losowego A określamy wartość P (A), gdzie P jest funkcją przyjmującą wartości w przedziale [0, 1] i nazywaną prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo P (A) charakteryzuje częstość zachodzenia zdarzenia losowego A; P ( ) = 0, P (Ω) = 1. Proste własności prawdopodobieństwa: 1. dla dowolnych dwóch zdarzeń losowych A i B takich, że A B =, zachodzi P (A B) = P (A) + P (B); 2. dla dowolnego zdarzenia losowego A zachodzi P (Ω \ A) = 1 P (A); 3. dla dowolnych dwóch zdarzeń losowych A i B takich, że A B, zachodzi P (A) P (B); 4. dla dowolnych dwóch zdarzeń losowych A i B zachodzi P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Prawdopodobieństwo klasyczne. Ω = {ω 1,..., ω n }, natomiast P jest takim, że wartość P ({ω i }) jest taka sama dla wszystkich 1 i n, czyli P ({ω i }) = 1/n i. Wówczas prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A wynosi P (A) = #A/#Ω. 2

3 Często z doświadczeniem losowym wiążemy pewną funkcję przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste i staramy się odpowiedzieć na pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rozważana funkcja przyjmuje wartości leżące w pewnym zbiorze? Zmienną losową nazywamy funkcję X : Ω R. Interesują nas prawdopodobieństwa P ({ω : X(ω) B}) = P (X B) dla B R. Rozróżniamy zmienne losowe skokowe (dyskretne) i zmienne losowe ciągłe. Definicja. Mówimy, że zmienna losowa X jest skokowa (ma rozkład skokowy), jeśli przyjmuje ona wartości tylko ze skończonego lub przeliczalnego zbioru S R. Taka zmienna losowa X jest w całości określona, jeśli podany jest ciąg par liczb {(x k, p k ), k = 1,..., n} lub {(x k, p k ), k = 1,..., n,...}, gdzie {x k } to są wartości, które przyjmuje zmienna losowa, a {p k } są odpowiednimi prawdopodobieństwami, z którymi przyjmowane są wartości {x k }, czyli p k = P (X = x k ) dla k = 1,..., n lub k = 1,..., n,.... Taki ciąg par liczb (czasami nazywany funkcją rozkładu prawdopodobieństwa) w całości charakteryzuje zmienną losową X. 3

4 Wówczas dla dowolnego zdarzenia losowego A zachodzi P (X A) = k:x k A p k. Oczywiście, że k p k = 1. Przykład. W loterii rozprowadzono 100 biletów, przy czym jeden bilet ma wartość wygranej 50 zł, pięć biletów ma wartość wygranej 10 zł, a pozostałe bilety są bez wygranej. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - możliwej wygranej przy wyciąganiu jednego bileta. Mamy x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 50; p 1 = 0,94; p 2 = 0,05; p 3 = 0,01. Przykłady rozkładów skokowych. 1. Rozkład dwupunktowy: S = {x 1, x 2 }, czyli P (X = x 1 ) = p, P (X = x 2 ) = 1 p, p (0, 1). Jeśli x 1 = 1, x 2 = 0, to taki rozkład nazywamy zero-jedynkowym. 2. Rozkład równomierny: S = {x 1, x 2,..., x n }, P (X = x i ) = 1/n dla wszystkich i = 1,..., n. 3. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego): S ={0, 1,..., n}, P (X = k) = ( n k) p k (1 p) n k, p (0, 1). 4. Rozkład Poissona: S = {0, 1,..., n,...}, P (X = k) = λk k! e λ, λ > 0. 4

5 Definicja. Mówimy, że zmienna losowa X jest ciągła (ma rozkład ciągły), jeśli może ona przyjmować dowolną wartość z pewnego przedziału liczbowego (nawet nieskończonego), przy czym prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie określoną z góry wartość jest równe 0. Taka zmienna losowa charakteryzuje się pewną funkcją nieujemną całkowalną f : R R + taką, że dla dowolnego podzbioru A R zachodzi P (X A) = f(x)dx. Funkcję f nazywamy gęstością zmiennej losowej X. Zachodzi A f(x)dx = 1. Przykłady rozkładów ciągłych. 1. Rozkład jednostajny na odcinku (a, b) (oznaczenie U(a, b)): f(x) = 1 b a 1 (a,b)(x), x R. 2. Rozkład wykładniczy, λ > 0 (oznaczenie E(λ)): f(x) = λe λx 1 (0, ) (x), x R. 3. Rozkład normalny (Gaussa), a R, σ > 0 (oznaczenie N(a, σ 2 )): f(x) = 1 2πσ exp( (x a)2 2σ 2 ), x R. 5