Zawartość. Zawartość

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zawartość. Zawartość"

Transkrypt

1 Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer

2 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny Rozkład normalny standardowy Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ Przedział ufności dla średniej Przedział ufności dla odchylenia standardowego Przedział ufności dla wskaźnika struktury Test dla średniej w populacji generalnej Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach Test dla przyrostu średniej w jednej populacji Test dla wariancji w populacji generalnej Test dla wskaźnika struktury w populacji gen Test zgodności χ Test niezależności χ Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne Rozkład χ 2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne dr inż. Grzegorz Biesok 2

3 1. Rozkład normalny 1. Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem: = 1 2 (1) Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego prezentuje rys. 1. σ f(x) Oznaczenia Parametry rozkładu N(m, σ) m σ średnia (jednocześnie maksimum funkcji) odchylenie standardowe zmiennej m Rys. 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego krzywa Gaussa (krzywa dzwonowa) Właściwość funkcji gęstości Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [A ; B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i B (rys. 2). ;= (2) σ f(x) Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu pod wykresem funkcji gęstości w tym przedziale A m B Rys. 2. Sposób wykorzystania funkcji gęstości do określania prawdopodobieństwa 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 3

4 Dystrybuanta rozkładu normalnego 1. Rozkład normalny Oznaczenia Parametry rozkładu N(m, σ) m σ średnia odchylenie standardowe zmiennej Dystrybuanta rozkładu normalnego dana jest wzorem: = = 1 2 (3) Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości (całce oznaczonej) w przedziale od - do x (porównaj tablica na str. 17). Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego prezentuje rys F(x) 0,5 Rys. 3. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego m Właściwość dystrybuanty Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości z przedziału [A ; B], jest równe różnicy wartości dystrybuanty w obu tych punktach. ;= (4) 1 F(B) F(x) P F(A) A B Rys. 4. Sposób wykorzystania dystrybuanty do określania prawdopodobieństwa 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 4

5 2. Rozkład normalny standardowy 2. Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standardowego dana jest wzorem: = 1 2 (5) f(z) σ =1 z m = 0 Rys. 5. Funkcja gęstości rozkład normalnego standardowego N(0;1) Zwyczajowo zmienną mającą rozkład normalny z tymi parametrami oznacza się symbolem Z. Standaryzacja zmiennej Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B], jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [za ; zb]: = ; = (6) Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennej dr inż. Grzegorz Biesok 5

6 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami m i σ Tab. 1 m σ A B Dane wejściowe Średnia analizowanej zmiennej o rozkładzie normalnym Odchylenie standardowe tej zmiennej Lewy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo Prawy kraniec przedziału, dla którego liczone jest prawdopodobieństwo Procedura 1. Obliczyć standaryzowane krańce przedziałów z A i z B = = 2. Znaleźć wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego w punktach A i B odczytując F(zA) i F(zB) z tablic korzystając z funkcji arkusza kalkulacyjnego F(zA) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zA) F(zB) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(zB) 3. Obliczyć szukane prawdopodobieństwo p = 4. Interpolacja wartości kryt. dla df spoza tablic Tab. 2 Dane wejściowe F2,, df2 Znana wartość krytyczna (F2) dla większej liczby stopni swobody df2 F1,, df1 Znana wartość krytyczna (F1) dla mniejszej liczby stopni swobody df1 F, df Poszukiwana wartość krytyczna dla zadanych df stopni swobody = (7) 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 6

7 5. Przedział ufności dla średniej 5. Przedział ufności dla średniej Tab. 3 Dane wejściowe xśr Średnia obliczona z próby Jedno z odchyleń: σ odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) s odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) ŝ odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N 1) n Liczebność próby 1 α Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu w oparciu o poziom ufności p = 1-α/2 1 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura 1. Czy znane jest σ odchylenie standardowe zmiennej w populacji generalnej? TAK TAK n 30 NIE 2. Czy n 30 NIE n<30 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α/2 z rozkładu normalnego standardowego 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α/2 z rozkładu normalnego standardowego 3. Znaleźć wart. krytyczną t 1-α/2; n-1 dla p=1 α/2 i df = n 1 stopni swobody z rozkładu t-studenta 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / = / 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = /; 1 = /; 5. Wyznaczyć przedział ufności dla średniej i błąd względny B przedział ufności to: ś ±, a zatem ś ; ś + = ś 100% Ocena możliwości wnioskowania B < 5% duża precyzja oszacowania, można wynik uogólniać wynik na populację generalną, B od 5% do 10 % należy ostrożnie uogólniać wynik na populację generalną, B > 10 % nie należy uogólniać wyniku na populację generalną robić to z zastrzeżenie o wysokim błędzie względnym dr inż. Grzegorz Biesok 7

8 6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego 6. Przedział ufności dla odchylenia standardowego Tab. 4 Dane wejściowe Jedno z odchyleń: s odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, metodą N) ŝ odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, metodą N 1) n Liczebność próby 1-α Zakładany poziom ufności (bardzo często równy 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu z przeliczenia powyższego p1 = 1-α/21 Obliczone w oparciu o poziom ufności p2 = α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura TAK n 30 s = ŝ 3. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α /2 z rozkładu normalnego standardowego 1. Czy próba była duża (n 30)? jako zwykłe (n) NIE n < Jak obliczono odchylenie z próby? 3. Znaleźć wartości krytyczne χ 2 1-α/2; n 1 dla p 1 =1 α/2 χ 2 α/2; n 1 dla p 2 = α/2 z rozkładu χ 2 dla df = n 1 stopni swobody jako skorygowane (n-1) 4. Obliczyć szerokość przedziału ufności dla odchylenia standardowego c = / 2 4. Obliczyć przedział ufności dla wariancji (c 1 ; c 2) = /; = /; 4. Obliczyć przedział ufności dla wariancji (c 1 ; c 2) = 1 /;; = 1 /;; 5. Wyznaczyć przedział ufności i błąd względny B przedział ufności to: ±, a zatem ;+ = 100% 5. Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego i błąd względny B przedział ufności dla odchylenia st. to: ; = 100% 2 Ocena możliwości wnioskowania podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej dr inż. Grzegorz Biesok 8

9 7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury 7. Przedział ufności dla wskaźnika struktury Tab. 5 Dane wejściowe w Wskaźnik struktury (frakcja, częstość względna) obliczony z próby n Liczebność próby (powinna być wielka >120 jednostek) 1-α Zakładany poziom ufności (zazwyczaj 0,95) α Prawdopodobieństwo popełnienia błędu z przeliczenia powyższego p = 1-α/2 Obliczone w oparciu o poziom ufności Procedura 1. Znaleźć wart. krytyczną z 1-α/2 dla p = 1 α /2 z rozkładu normalnego standardowego 2. Zwykły sposób szacowania 2. Ostrożny sposób szacowania 3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c = / 1 3. Obliczyć szerokość przedziału ufności c 1 = / 2 4. Wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury i błąd względny B przedział ufności to: ±, a zatem ;+ = 100% Ocena możliwości wnioskowania podobnie, jak w przypadku przedziału ufności dla średniej dr inż. Grzegorz Biesok 9

10 8. Test dla średniej w populacji generalnej 8. Test dla średniej w populacji generalnej Tab. 6 xśr σ s ŝ n m0 α Dane wejściowe Średnia obliczona z próby Jedno z odchyleń: odchylenie standardowe w populacji generalnej (o ile jest znane) odchylenie standardowe obliczone z dużej próby (zwykłe, N) odchylenie standardowe obliczone z próby (skorygowane, N 1) Liczebność próby Testowana wartość średnia w populacji generalnej Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Czy znane jest σ odchylenie standardowe cechy w populacji generalnej? TAK NIE TAK 2. Czy n 30 NIE n 30 n < Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 4. Obliczyć s X = 4. Obliczyć s X = = 4. Obliczyć s X = 1 = 5. Obliczyć wartość testową (sprawdzian) z test = ś 5. Obliczyć wartość t test = ś Weryfikacja hipotez testowych H 0: m m 0 H 1: m < m 0 H 0: m = m 0 H 1: m m 0 H 0: m m 0 H 1: m > m 0 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α = ; = ; dla p = α i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 = /; dla p = 1 α/2 i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 10

11 9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach 9. Test dla dwóch średnich w dwóch populacjach Tab. 7 Dane wejściowe x1śr śr,, x2śr x Średnie obliczone z dwóch prób, pochodzących z dwóch populacji Jedne z odchyleń: σ1, σ1 odchylenia standardowe w obu populacjach (o ile jest znane) ŝ1, ŝ2 odchylenia standardowe obliczone z obu prób (skorygowane, N-1) n1,, n2 n Liczebność obu prób α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Czy znane są σ 1 i σ 2 odchylenia standardowe cech w obu populacjach generalnych? TAK 3. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny TAK n1 i n Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny NIE 2. Czy n 1 i n 2 30 NIE n1 n2 < 30 zał.: σ1 = σ2 3. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 4. Obliczyć s X = + 4. Obliczyć s X = + 4. Obliczyć s X = Obliczyć wartość testową (sprawdzian) z test = ś ś 5. Obliczyć wartość t test = ś ś Weryfikacja hipotez testowych H 0: m 1 m 2 H 1: m 1 < m 2 H 0: m 1 = m 2 H 1: m 1 m 2 H 0: m 1 m 2 H 1: m 1 > m 2 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α = ; = ; dla p = α i df = n1+n2 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 = /; dla p = 1 α/2 i df = n1+n2 1 st. Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n1+n2 1 st dr inż. Grzegorz Biesok 11

12 10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji 10. Test dla przyrostu średniej w jednej populacji Tab. 8 Dane wejściowe xi, yi Zestaw par danych dla tych samych jednostek z tej samej populacji zi Zestaw przyrostów zi = yi xi zśr Przyrost średni sz Odchylenie standardowe przyrostów (zwykłe, N) n Liczebność próby α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Test T Wart. testowa ma rozkład t-studenta 2. Obliczyć wartość testową t test = ś 1 Weryfikacja hipotez testowych H 0: m z 0 H 1: m z < 0 H 0: m z = 0 H 1: m z 0 H 0: m z 0 H 1: m z > 0 Obszar kryt. lewostronny = ; = ; dla p = α i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. obustronny = /; dla p = 1 α/2 i df = n 1 st. swobody Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 12

13 11. Test dla wariancji w populacji generalnej 11. Test dla wariancji w populacji generalnej Tab. 9 s 2 ŝ 2 n σ 2 0 α Dane wejściowe Jedna z wariancji wariancja obliczona z dużej próby (zwykła, N) wariancja obliczona z dużej próby (skorygowane, N 1) Liczebność próby Testowana wartość wariancji w populacji generalnej Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej NIE, n < Test χ Wartość testowa ma rozkład χ 2 1. Czy badana próba była duża (n 30)? TAK, n Test Z Wartość testowa ma rozkład normalny 3. Obliczyć wartość testową χ 2 test 3. Obliczyć wartość testową z test = = 1 = = Weryfikacja hipotezy testowej ej y H 0: σ 2 = σ 2 0 H 1: σ 2 > σ 2 0 Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α = ; dla p = 1 α i df = n 1 st. swobody > > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 13

14 12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. 12. Test dla wskaźnika struktury w populacji gen. Tab. 10 Dane wejściowe wp Wskaźnik struktury obliczony z próby w0 Testowana wartość wskaźnika struktury w populacji generalnej n Liczebność próby (powinna być wielka > 120) α Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Wybór testu statystycznego i obliczenie wartości testowej 1. Test Z Wart. testowa ma rozkład normalny 2. Obliczyć s w = 1 3. Obliczyć wartość testową z test = Weryfikacja hipotez testowych H 0: w w 0 H 1: w < w 0 H 0: w = w 0 H 1: w w 0 H 0: w w 0 H 1: w > w 0 Obszar kryt. lewostronny = = dla p = α Obszar kryt. obustronny = / dla p = 1 α/2 Obszar kryt. prawostronny = dla p = 1 α 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 14

15 13. Test zgodności χ2 13. Test zgodności χ 2 Tab. 11 [n] [np] i α Dane wejściowe Badany rozkład cechy z częstościami bezwzględnymi ni (np. rozkład empiryczny z próby) Rozkład odniesienia z częstościami bezwzględnymi npi (np. teoretyczny rozkład cechy) Ilość wartości (wariantów) cechy, na przykład ilość klas Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Procedura 1. Hipotezy testowe H 0: oba rozkłady są zgodne H 1: oba rozkłady są niezgodne (są różne) 2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ 2 test Wartość cechy = Do obliczenia wartości testowej można posłużyć sie tabelą: Częstości rozkładu badanego n Częstości rozkładu odniesienia np x1 n1 np1 χ 2 1 x2 n2 np2 χ xi ni npi χ 2 i χ 2 test = Σ χ 2 i χ 2 3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = i 1 st. swobody 4. Zweryfikować hipotezy > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 15

16 14. Test niezależności χ Test niezależności χ2 Tab. 12 [n] [np] i j α Dane wejściowe Tablica korelacyjna rozkładu empirycznego dwóch cech X i Y z częstościami bezwzględnymi ni Tablica rozkładu cech teoretycznie niezależnych X i Y Ilość wartości cechy X Ilość wartości cechy Y Poziom istotności testu (zazw. 0,05) prawdopodob. popełnienia błędu Zasada konstrukcj k onstrukcji tablicy rozkładu cech teoretycznie niezależnych n: X \ Y y1 y2... yj Sumy np: X \ Y y1 y2... yj x1 n11 n12... n1j Σn1j x2 n21 n22... n2j Σn2j xi ni1 ni2 nij Σnij Sumy Σni1 Σni1... Σnij N x1 x2... xi itd. Podobnie, dla każdego pola tabeli np należy wykorzystać sumy z odpowiadających mu wierszy i kolumn w tabeli n. Procedura 1. Hipotezy testowe H 0: obie cechy są niezależne H 1: obie cechy są zależne 2. Zbudować tablicę χ 2 Dla każdej odpowiadającej sobie pary pól z tablicy n i np obliczyć = 2. Obliczyć wartość testową (sprawdzian testu) χ 2 test Jest to suma pól tablicy χ2 = 3. Znaleźć wartość krytyczną Obszar kryt. prawostronny = ; dla p = 1 α i df = (i-1)(j-1) st. swobody 4. Zweryfikować hipotezy > 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 16

17 15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) 15. Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0;1) Tablica zawiera wartości F(z) dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od - do z. F(z) pole pod krzywą N(0;1) od - do z Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]: ;= Wartości F dla ujemnych z: =1 z z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0, dr inż. Grzegorz Biesok 17

18 16. Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne 16. Rozkład t-studenta. Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu t-studenta. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej t. Prawdopodobieństwo p 0,9 0,95 0,975 0,98 0,99 0,995 0,999 0,9995 Istotność α = 2(1-p) dwustronny ob. kr. 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,001 Istotność α = (1-p) jednostronny ob. kr. 0,1 0, ,025 0,02 0,01 0, ,001 0, df = 1 3,0777 6, , , , , , , ,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9646 9, , , ,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5, , , ,5332 2,1318 2,7764 2,9985 3,7469 4,6041 7,1732 8, ,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321 5,8934 6, ,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074 5,2076 5, ,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9980 3,4995 4,7853 5, ,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554 4,5008 5, ,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498 4,2968 4, ,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693 4,1437 4, ,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058 4,0247 4, ,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545 3,9296 4, ,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123 3,8520 4, ,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768 3,7874 4, ,3406 1,7531 2,1314 2,2485 2,6025 2,9467 3,7328 4, ,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208 3,6862 4, ,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982 3,6458 3, ,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784 3,6105 3, ,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609 3,5794 3, ,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453 3,5518 3, ,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314 3,5272 3, ,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188 3,5050 3, ,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073 3,4850 3, ,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7969 3,4668 3, ,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874 3,4502 3, ,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787 3,4350 3, ,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707 3,4210 3, ,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633 3,4082 3, ,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564 3,3962 3, ,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500 3,3852 3, ,3031 1,6839 2,0211 2,1229 2,4233 2,7045 3,3069 3, ,2987 1,6759 2,0086 2,1087 2,4033 2,6778 3,2614 3, ,2958 1,6706 2,0003 2,0994 2,3901 2,6603 3,2317 3, ,2922 1,6641 1,9901 2,0878 2,3739 2,6387 3,1953 3, ,2901 1,6602 1,9840 2,0809 2,3642 2,6259 3,1737 3, ,2886 1,6577 1,9799 2,0763 2,3578 2,6174 3,1595 3, ,2872 1,6551 1,9759 2,0718 2,3515 2,6090 3,1455 3, ,2858 1,6525 1,9719 2,0672 2,3451 2,6006 3,1315 3, ,2844 1,6499 1,9679 2,0627 2,3388 2,5923 3,1176 3, ,2837 1,6487 1,9659 2,0605 2,3357 2,5882 3,1107 3, ,2832 1,6479 1,9647 2,0591 2,3338 2,5857 3,1066 3, ,2830 1,6474 1,9639 2,0582 2,3326 2,5840 3,1039 3, ,2828 1,6470 1,9634 2,0576 2,3317 2,5829 3,1019 3, ,2826 1,6468 1,9629 2,0571 2,3310 2,5820 3,1005 3, ,2825 1,6465 1,9626 2,0567 2,3305 2,5813 3,0993 3, ,2824 1,6464 1,9623 2,0564 2,3301 2,5808 3,0984 3,3003 1,2816 1,6449 1,9600 2,0537 2,3263 2,5758 3,0902 3, dr inż. Grzegorz Biesok 18

19 17. Rozkład χ2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne 17. Rozkład χ 2 (chi-kwadrat). Wartości krytyczne Tablica zawiera wartości odwróconej dystrybuanty (wartości krytyczne) rozkładu chi-kwadrat. Dla danej ilości stopni swobody (df) oraz zadanego prawdopodobieństwa pokazuje wartość zmiennej χ 2. Prawd. p = 1-1 α 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 α = 1-p prawostr. 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 ob. kryt. df = 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 36,781 40,289 42, ,260 10,196 11,689 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,076 41,638 44, ,886 10,856 12,401 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 39,364 42,980 45, ,520 11,524 13,120 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 40,646 44,314 46, ,160 12,198 13,844 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 41,923 45,642 48, ,808 12,879 14,573 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 43,195 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 44,461 48,278 50, ,121 14,256 16,047 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 45,722 49,588 52, ,787 14,953 16,791 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 46,979 50,892 53, ,707 22,164 24,433 26,509 29,051 32,345 47,269 51,805 55,758 59,342 63,691 66, ,991 29,707 32,357 34,764 37,689 41,449 58,164 63,167 67,505 71,420 76,154 79, ,534 37,485 40,482 43,188 46,459 50,641 68,972 74,397 79,082 83,298 88,379 91, ,275 45,442 48,758 51,739 55,329 59,898 79,715 85,527 90,531 95, , , ,172 53,540 57,153 60,391 64,278 69,207 90,405 96, , , , , ,196 61,754 65,647 69,126 73,291 78, , , , , , , ,328 70,065 74,222 77,929 82,358 87, , , , , , , ,550 78,458 82,867 86,792 91,471 97, , , , , , , ,852 86,923 91,573 95, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,207 19

20 18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne 18. Rozkłady ciągłe i ich wartości krytyczne Rozkład normalny Przykładowa wartość krytyczna lewostronna f(z) p = α p = 1 α z Tablice Arkusz kalk. Dystrybuanta rozkładu normalnego W tablicy znaleźć wartość poszukiwanego prawdopodobieństwa p, odczytać z pierwszej kolumny i nagłówka tablicy wartość zp =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(p) zα = (z1 α) z1 α Rozkład t-studenta t Przykładowa wartość krytyczna obustronna f(t) p = α/2 tα/2 = (t1 α/2) p = 1 α t1 α/2 p = α/2 t Tablice Arkusz kalk. Wartości kryt. rozkładu t-studenta Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p ( odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.T.ODW(2*(1-p); df) Wartość krytyczna obustronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(α; df) Wartość krytyczna jednostronna dla istotności α =ROZKŁAD.T.ODW(2*α; df) dla danej ilości stopni swobody df Rozkład χ 2 Przykładowa wartość krytyczna prawostronna f(χ 2 ) p = 1 α χ 2 1 α p = α χ 2 Tablice Arkusz kalk. Wartości kryt. rozkładu χ2 Odczytać z tablicy wartość bezpośrednio dla danego prawdopodobieństwa p ( odpowiadającej mu istotności α) i df stopni swobody Wartość krytyczna dla p =ROZKŁAD.CHI.ODW((1-p); df) Wartość krytyczna prawostr. dla istotności α =ROZKŁAD. CHI.ODW(α; df) dla danej ilości stopni swobody df 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 20

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności

Estymacja przedziałowa. Przedział ufności Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.20 2011 Zawartość Zawartość 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego)... 3 2. Podstawowy opis struktury... 3 3. Opis rozkładu jednej cechy szereg

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5)

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5) TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA T1. Tablica dystrybuanty standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T2. Tablica kwantyli standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T3. Tablica kwantyli rozkładu

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 Statystyka i analiza danych - W: Podstawy wnioskowania statystycznego Zmienne losowe, rozkład prawdopodobieństwa. Parametry rozkładu. Estymatory punktowe i przedziałowe. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności.

Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności. Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności. Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14 Statystyka #6 Analiza wariancji Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2015/2016 1 / 14 Analiza wariancji 2 / 14 Analiza wariancji Analiza wariancji jest techniką badania wyników,

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo