11 Równowagowe modele gwiazd sferycznych

Transkrypt

1 11 Równowagowe modele gwiazd sferycznych 11.1 Gwiazdowe skale czasowe Kolaps grawitacyjny i dynamiczna skala czasowa Jeżeli ciśnienie gazu nie równoważy grawitacji, to konfiguracja zapada siȩ tak długo, aż w wyniku wzrostu gradientu ciśnienia nie zostanie osi agniȩta równowaga hydrostatyczna. Zapadanie siȩ obiektu pod działaniem samograwitacji nazywa siȩ kolapsem grawitacyjnym. Przypuśćmy, że w gwieździe zbudowanej z gazu doskonałego rozkład ciśnienia i gȩstości opisany jest zależności a politropow a. Widzieliśmy w rozdziale 2, że politropowe konfiguracje równowagowe istniej a tylko dla n < 5. Oznacza to, że dla skompensowania grawitacji konieczny jest pewien gradient temperatury, a zatem niezerowy strumień promieniowania i dostateczna nieprzezroczystość gazu. Pocz atkow a fazȩ kolapsu można opisywać zaniedbuj ac całkowicie ciśnienie gazu. Wtedy ewolucjȩ promienia kuli o masie M r opisuje równanie Newtona d 2 r dt 2 = GM r r 2. Zadanie: Zakładaj ac że w chwili t = 0 makroskopowa prȩdkość wszystkich punktów wynosiła zero pokazać, że czas zapadania siȩ od wartości promienia r 0 = r(0) do r(t) dany jest przez t(r) = ( ) h 1.5τ d (r 0 ) 1 + h 2 + arctan h gdzie h = r 0 /r 1, a τ 1 d (r) = 3GMr r 3 = 4πG ρ r. Zauważmy, że jeżeli pocz atkowa konfiguracja była jednorodna w gȩstości, to τ d nie zależy od r 0 i konfiguracja pozostaje jednorodna w czasie kolapsu. Wielkość ( ) 3/2 τ d τ d (R) (4πG ρ) 1 2 R M 15 min (312) R M nazywamy dynamiczn a skal a czasow a gwiazdy. Wyznacza ona nie tylko charakterystyczny czas kolapsu, ale też daje niezłe oszacowanie podstawowego okresu pulsacji radialnych, Π 1 i czasu propagacji fali dźwiȩkowej od powierzchni do centrum, τ a. Wzory (73) i (74) z podrozdziału 3.2 daj a Π 1 = 2π σ 1 τ d. 90

2 Bezywmiarowa czȩstotliwość modu podstawowego, σ 1, dla wiȩkszości gwiazd mieści siȩ w przedziale od 1.4 do 2. Oszacujemy teraz τ a dla gwiazd politropowych zbudowanych z gazu doskonałego. Prȩdkość dźwiȩku w jednoatomowym gazie doskonałym dana jest wzorem Czas propagacji ocenimy jako 5 p v a = 3 ρ. τ a R, va 2 gdzie va 2 = 5 M p 0 ρ 3 M. Po skorzystaniu ze wzorów (15) i (57), dostajemy a nastȩpnie v 2 a = 5 GM (5 n) 3R, τ a 3τ d 1 0.2n. Dokładn a wartość τ a, dla politrop można wyliczyć ze wzoru R dr 0.6(n + 1) ξ1 τ a = = τ d θ 1 2 dξ v a λ 0 Zdanie: Proszȩ wyprowdzić ten wzór i wyliczyć τ a dla n=2,3,4. Wartości λ mamy w Tabeli 1 a wartości ostatniej całki wynosz a, odpowiedno, 10, 21 i 69. Nastȩpnie, proszȩ porównać z wynikiem przybliżonym i wyjaśnić przyczynȩ systematycznej różnicy Skala cieplna Zakładamy, że gwiazda scharakteryzowana parametrami M, R i L znajduje siȩ w równowadze hydrostatycznej. Przez L oznaczamy jasność gwiazdy, czyli całkowity strumień energii promieniowanej w jednostce czasu. Jeżeli j adrowe źródła energii i neutrinowe straty s a nieistotne, to szybkość zmian energii gwiazdy dana jest wzorem de dt = L. Skalȩ czasow a ewolucji gwiazdy wyznacza wtedy iloraz E /L. Możemy, wspieraj ac siȩ n.p. wzorem (57) dla politrop, przyj ać GM 2 /R jako ocenȩ E = 0.5 W. Dlatego wielkość τ th GM 2 ( ) 2 M RL 3 L R 107 lat. (313) M L R 0 91

3 definiujemy jako ciepln a skalȩ czasow a. Jest ona znacznie dłuższa od dynamicznej skali czasowej, ale znacznie krótsza od wieku Ziemi. Słońce musi wiȩc posiadać j adrowe źródła energii. Z tego faktu zdano sobie sprawȩ już w latach dwudziestych. Ta ocena ma zastosowanie wtedy, gdy można korzystać z przybliżenia gazu doskonałego. Więc na przykład nie dla białych karłów. Także w przypadku, gdy istotne jest wkład promieniowania do ciśnienia ocena τ th wymaga modyfikacji. Tylko nieliczne spośród obserwowanych gwiazd ewoluuj a w cieplnej skali czasowej (br azowe karły, gwiazdy typu T Tauri,...). Ponieważ jasność gwiazd ci agu głównego rośnie z mas a zazwyczaj szybciej niż M 2 (średni wykładnik wynosi 3.7), a R chociaż wolniej też rośnie, to τ th jest szybko malej ac a funkcj a masy. Na przykład, dla gwiazdy o masie M = 10M na pocz atku jej ewolucji w fazie ci agu głównego mamy τ th = lat. Czas osi agania równowagi cieplnej przez otoczkȩ gwiazdy o masie M env M jest znacznie krótszy niż τ th. Dla oceny tego czasu przyjmijmy, że ciśnienie gazu w otoczce jest ustaloną funkcją masy (p(m r ) g(m r )(M M r )/4πr 2 ), że na dnie otoczki (M r = M M env ) dany strumień promieniowania, L, i że w chwili początkowej strumień powierzchniowy wynosi L L. Pytamy po jakim czasie będziemy mieli L/L 0. Ocenę czasu dostaniemy korzystając ze wzoru (244), w którym kładziemy ɛ = 0, zakładamy symetrię sferyczną i zaniedbujemy zmiany ciśnienia. Skąd mamy ρt ds dt = ρc dt p dt = 1 L r 4πr 2 r. (314) Po pomnożeniu przez 4πr 2 /L i scałkowaniu dostajemy a stąd 1 d L dt M M M env c p T = L L, M τ th,env (M env ) = L 1 c p T. M M env Ponieważ τ th,env τ th, to nawet w szybkich fazach ewolucji można korzystać z równowagowych modeli otoczek, w których L r = L. Różnica wielu rzȩdów wielkości pomiȩdzy τ th i τ d sprawia, że ma sens rozważanie modeli gwiazd znajduj acych w stanie równowagi dynamicznej i nierównowagi cieplnej, ale założenie równowagi cieplnej zewnętrznej otoczki w czasie pulsacji nie jest już uzasadnione J adrowe skale czasowe Zapas energii j adrowej dany jest przez ilość pierwiastków powstaj acych w wyniku syntezy pomnożonych przez różnicȩ pomiȩdzy pocz atkowymi i końcowymi nadwyżkami mas ( m, rów. 287). W dokładniejszej ocenie należy pomniejszyć różnice nadwyżek mas o energiȩ unoszon a przez neutrina, ale to obniża wyliczony zapas energii o co najwyżej 10 %. W naszych ocenach pomijamy wiȩc ten efekt. 92

4 Koncentrujemy teraz uwagȩ na fazie ci agu głównego. Ilość atomów helu zsyntetyzowanych w tej fazie zapisujemy jako X 0 f M M/m He, gdzie X 0 oznacza wzglȩdn a pocz atkow a obfitość ( 0.7 dla gwiazd populacji I), a f M czȩść masy gwiazdy, która podlega syntezie w fazie ci agu głównego, której koniec wyznacza moment zakończenia syntezy helu w centrum gwiazdy. Gdyby produkty nukleosyntezy były całkowicie mieszane, to mielibyśmy f M = 1. Naprawdȩ wartość f M wynosi ok przy M = 1M i ok przy M = 10M. Z tabeli 2 znajdujemy, że różnica nadyżki masy przy syntezie jednego j adra helu wynosi E m = ( ) MeV = erg, a zatem dostȩpny zapas energii wynosi E n = X 0f M M m He erg = X 0f M M M Wynika st ad nastȩpuj ace oszacowanie czasu życia gwiazdy na ci agu głównym erg. τ ms = X 0 M L f M lat, (315) 0.7 M L gdzie przez L oznaczyliśmy średni a jasność gwiazdy w fazie palenia wodoru. Czas życia Słońca na ci agu głównym wynosi ok lat, a gwiazdy o masie M = 10M ok lat. Gwiazdy masywne, po zakończeniu fazy ciągu głównego ewoluują w skali cieplnej szybko zmieniając paramtery powierzchniowe, co odpowiada za istnienie Przerwy Hertzsprunga na diagramie H-R. Dla gwiazd o masach mniejszych niż ok. 3M, przynajmniej poczatkowo, tempem ewolucji rządzi synteza helu zachodz ac nad bezwodorowym j adrem. Gdy masa wynosi mniej niż ok. 2M tak jest aż do pocz atku syntezy wȩgla. Zapas energii j adrowej, E n, jest wtedy wiȩkszy niż dla fazy ci agu głównego. Jednak, ze wzglȩdu na znacznie wiȩksze wartości L, ta nastȩpna faza ewolucji trwa zawsze krócej. W przypadku gwiazdy o masie Słońca, lat. Różnica nadwyżek mas dla syntezy wȩgla wynosi 7.3 MeV. Czȩść z tworzonych j ader wȩgla dołacza j adro helu, co wyzwala dodatkowo 7.3 MeV. Oznacza to, że z jednostki masy wydziela się mniej niż 50% energii wydzielanej w syntezie helu. Z tego powodu, ale przede wszystkim, ze wzglȩdu na wyższe wartości L, faza syntezy wȩgla i tlenu w j adrze trwa krócej od fazy ci agu głównego. Zarówno jednak w tej fazie jak i w fazie ci agu głównego modele wyliczane przy założeniu równowagi cieplnej daj a dobre przybliżenie Rozwi azywanie równań wewnȩtrznej budowy gwiazd sferycznych Równania i warunki brzegowe Przepisujemy cztery równania wewnȩtrznej budowy: (8), (9), (246) i (248). dr = 1 4πr 2 ρ 93 (316)

5 dt = T p dp Przypomnijmy jeszcze, że zgodnie z równaniem (249), dp = GM r 4πr 4 (317) dl r = ɛ ɛ nuc ɛ ν (318) { rad jeżeli rad ad (319) ad + n jeżeli rad > ad rad = 3κL r p 16πGacM r T 4. Gradient nadadiabatyczny, n ad, uwzglȩdnia siȩ jedynie w warstwach zewnȩtrznych gwiazd, wyliczaj ac go według przepisu podanego w podrozdziale 9.5. Zależności mikroskopowe p(ρ, T, X), ɛ(ρ, T, X), ad (ρ, T, X) i κ(ρ, T, X) traktujemy jako znane dane materiałowe. Także jako dane traktujemy X(M r ). Mamy wiȩc cztery równania różniczkowe zwyczajne na cztery nastȩpuj ace funkcje: r(m r ), p(m r ), T (M r ), L(M r ). Oczywiście korzystaj ac z z zależności p(ρ, T, X), oraz z równań (317) i (319) można łatwo uzyskać wyrażenie na pochodn a ρ i zast apić nim (317). Mamy też cztery warunki brzegowe. Dla M r = 0 L r = 0 i r = 0. (320) Te nie wymagaj a komentarza. Jako zewnȩtrzne warunki brzegowe przyjmujemy dla M r = M ρ 0 i T = ( ) 1/4 ( ) 1/4 1 L T eff = 2 8πσR 2 (321) Pierwszy z warunków odpowiada p = 0. Ze wzglȩdu na ograniczenie danych materiałowych, przyjmuje siȩ pewn a mał a, ale nie zerow a wartość ρ na zewnȩtrznym brzegu. Drugi warunek wynika z równania (225), które w przybliżenu Eddingtona wyraża fakt, że gwiazda nie jest oświetlana z zewn atrz. Mamy tyle równań i warunków brzegowych ile niewiadomych funkcji. Twierdzenie Vogta-Russella, mówi ace że z materii o danym składzie chemicznym i danej masie można skonstruować jeden i tylko jeden model gwiazdy jest jednak fałszywe. Na przykład, w zakresie mas od ok 0.1 do ok. 3 M można z materii o takim składzie chemicznym jak w otoczce Słońca, zbudować zarówno gwiazdȩ ci agu głównego, w której j adrze zachodzi synteza helu jak i zimnego białego karła. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwi azań równań różniczkowych nie stosuje siȩ do problemów brzegowych. Istniej a warunki przy których nie ma żadnego rozwi azania równań. Na przykład, nasz układ równań nie ma rozwi azań dla M < 0.08M. Obiekty takie nie osi agaj a minimalnych tempertur w centrum potrzebnych do syntezy He. Zadanie: Przyjmując w przybliżeniu M r M i L r L, 94

6 równanie gazu doskonałego, rad ad i współczynnik nieprzezroczystości w postaci κ = κ 0 ρ q T s, gdzie q i s s a dodatnimi stałymi, proszȩ pokazać, że poczynaj ac od pewnej głȩbokości struktura otoczki jest w przybliżeniu politropowa. Wskazówka: Skorzystać z tego, że p i T s a szybko malej acymi funkcjami r dla r R Algorytm Równania ( ) rozwi azuje siȩ metod a iteracji ze zszywaniem w punkcie pośrednim, M r = M fit. Potrzebna jest znajomość przybliżonych wartości ρ(0) = ρ c, T (0) = T c, L oraz T eff lub R. Rozwi azanie od centrum ku górze rozpoczyna siȩ od skończonej, ale dostatecznie małej wartości M r. Wtedy, możemy położyć w (316) ρ = ρ c, skąd mamy ( ) 1/3 3Mr r =. (322) 4πρ c Z równania dla r 0, wynika Skąd i z (322) mamy gdzie p c = p(ρ c, T c ). Z (318) mamy dp dr = ρgm r r 2 ( d 2 ) p dr 2 = 4π c 3 Gρ2 c. a podstawiaj ac to do (319) otrzymujemy gdzie p = p c G ( ) 1/3 4 2 M r 2/3 3 πρ4 c, (323) L r = ɛ c M r, (324) T = T c T c Min( rad,c, ad,c ) G ( ) 1/3 4 p c 2 M r 2/3 3 πρ4 c, (325) rad,c = 3 p c κ c ɛ c. (326) 16πacG T c Tu, podobnie jak w całym głȩbokim wnȩtrzu, przyjȩliśmy n = 0. Dalej, posługuj ac siȩ różnicow a reprezentacj a równań ( ), kontynuuje siȩ wyliczanie zmiennych aż do wybranej wartości M r = M fit. Z powodów numerycznych nie dochodzi siȩ do powierzchni gwiazdy. Oznaczmy wartości czterech wybranych zmiennych zależnych w punkcie zszycia przez y j,core (j = 95

7 1, 2, 3, 4). Wartości te s a funkcjami ρ c = x 1 i T c = x 2. Całkowanie od powierzchni wgł ab wykonujemy dla próbnych wartości L = x 3 i T (M) = ( 1 2 )1/4 T eff = x 4. Przyjmuj ac, na przykład, ρ(m) = mamy już wszystkie dane do rozpoczȩcia całkowania wgł ab do M r = M fit. Wartości zmiennych zależnych w tym punkcie oznaczamy teraz y j,env. Na ogół stwierdzamy, że d j = y j,env y j,core 0. Zmieniamy wiȩc wartości x k tak długo, aż osi agniemy dopasowanie z założon a dokładności a. (Maksymalna wartość d j /y j mniejsza od ustalonej małej liczby.) Poprawki x k można wyznaczać posługuj ac siȩ n.p. metod a iteracji zakładaj ac przybliżenie liniowe w każdym kroku. Wtedy bież ace wartości x k dostajemy jako rozwi azania równań. 2 k=1 y j,core x k x k 4 k=3 y j,env x k x k = d j. (327) Pochodne cz astkowe wyliczamy numerycznie. Wyznaczone poprawki dodaje siȩ do x k i proces powtarza, aż do uzyskania wymaganej dokładności zszycia Niestabilność cieplna Równanie (327) nie ma rozwi azań jeżeli wyznacznik macierzy M jk y j,core x k y j,env x k znika. Zauważmy, że znikanie wyznacznika oznacza, że model gwiazdy jest neutralnie stabilny wzglȩdem zaburzeń nie naruszaj acych równowagi mechanicznej, które nazwiemy cieplnymi. Zmiana znaku wyznacznika w ciągu modeli gwiazd oznacza, że mamy do czynienia z przejściem do modeli niestabilnych, które nie mogą opisywać rzeczywistych obiektów. Równania opisuj ace narastania zaburzeń cieplnych dostaniemy z linearyzacji równania (244) zakładaj ac w nim zale zność czasow a wielkości zaburzonych w postaci exp(γt), niezmienność składu chemicznego oraz równowagȩ zaburzanego modelu. T γδs = δɛ δ divf ρ. Praw a stronȩ tego równania można wyrazić w formie operatora liniowego działaj acego na δs i zależnego tylko od parametrów modelu. W symetrii sferycznej mamy δ divf ρ = dδl r. St ad i z linearyzacji zależności ɛ(ρ, T ), mamy ( δt T γδs = ɛ ɛ T T + ɛ ρ 96 δρ ρ ) dδl r. (328)

8 Tu jako podstawowych zmiennych termodynamicznych używamy S i p. Korzystamy ze znanych nam zależności δt T = δp ad p + δs (329) c p i do wyeliminowania δt i δρ. W obszarach wydajnej konwekcji mamy δρ ρ = 1 Γ 1 δp p χ T χ ρ δs c p (330) dδs = 0. (331) O obszarach niewydajnej konwekcji, jako leż acych blisko powierzchni, można założyć że pozostaj a w równowadze cieplnej. Dla obszarów promienistych, będzie nam najwygodniej skorzystać ze związku d ln T L rκ (rt ) 4, który wynika z (319) z uwzględnieniem (316) i (317) i którego linearyzacja daje nam związek [ d δt T = d ln p δlr rad + (κ T 4) δt ] L r T + κ δρ ρ ρ 4δr. (332) r Przechodz ac od stosowania równania (331) do (332) należy pamiȩtać, że zaburzenie na ogół zmienia granicę obszaru konwekcji. Przesunięcie granicy dane jest przez ( ) 1 dd δm c = δd, gdzie D rad ad. Skoncentrujemy teraz uwagę na obszarze niekonwektywnym. Z (332), po skorzystaniu z (329) i (330), wynika następujące wyrażenie na zaburzenie strumienia promienistego. ( ) δl r = 4πpr4 d δs δp + ad + 4 δr L r GM r rad c p p r + b δs δp s + b p c p p, (333) gdzie oznaczyliśmy i b s 4 κ T + κ ρ χ T χ ρ b p (4 κ T ) ad κ ρ Γ 1. 97

9 Zwi azki łączące δp i δr z δs dostaniemy z linearyzacji równań (316) i (317), uwzglȩdniaj ac w pierwszym z nich (330). Mamy, kolejno, ( dδr = 2 δr r + 1 δp Γ 1 p χ ) T δs dr (334) χ ρ c p i dδp = 4 δr dp (335) r Eliminacja δr prowadzi nas do równania liniowego na δp z niejednorodności a proporcjonaln a do δs. Nie wypisuj ac tu jego postaci, ograniczamy się do zauważenia, że równanie to ma rozwi azania, poza przypadkiem neutralnej stabilności dynamicznej. Z tym wyjątkiem, rozwiązanie na δp można uzyskać metodą funkcji Greena. W ten sposób dostajemy δp(m r ) = d M r G(M r, M r ) δs c p, (336) gdzie funkcja Greena, G, zbudowana jest z rozwi azań równania jednorodnego, a wiȩc możemy j a uważać ze znan a. Odpowiednie wyrażenie na δr dostaniemy z (335) i (336), δr(m r ) = r d 4 dp M G δs r. (337) M r c p Równania (333) (336) i (337) dają nam całkowy związek pomiędzy δl r przez δs. Korzystając z niego oraz ze związków ( ) i (336) w (328). dostaniemy równanie na wartość własną γ, T γδs = N (δs), (338) gdzie N jest poszukiwanym operatorem liniowym, którego skomplikowana jawna postać nie będzie nam potrzebna. Zauważmy tylko, że jest to operator różniczkowo - całkowy i, na ogół, nie hermitowski, a to oznacza, że jego wartości własne mog a tworzyć zespolone pary γ i γ. Wynika st ad dalej, że przejście od modeli stabilnych do niestabilnych może zajść w modelu z Det(M jk ) 0. Jeżeli założymy równanie stanu doskonałego oraz stałe wspołczynniki ɛ T, ɛ ρ, κ T i κ ρ, to rozwi azań równania można szukać w postaci homologicznej z δr/r = const. Mamy wtedy z (335) δp p = 4δr r, z (334) z (319) i (320) δs c p = 3 δr r + 0.6δp p = 0.15δp p, δρ ρ = 0.75δp p δt T = 0.25δp p. 98

10 Po skorzystaniu z powyższych związków w (333), dostajemy δl r L r = ( 0.15b s + b p 1) δp p = (0.25κ T κ ρ ) δp p. Podstawiamy to wyrażenie na δl r oraz wyrażenia zaburzeń innych wielkości przez δp p do równania (328) i korzystając jeszcze z (318), dostajemy [0.6c p T γ + ɛ(ɛ T + κ T + 3ɛ ρ + 3κ ρ )] δp p = 0. Wynikaj acy st ad wzór na γ nie prowadzi do wartości niezależnej od M r. Tym nie mniej, dla przybliżonej oceny stabilności, możemy skorzystać ze scałkowanej wersji tego warunku, któr a można zapisać w postaci. γ = 5(ɛ T + κ T ) + 15(ɛ ρ + κ ρ ) 3 τ th, (339) gdzie τ th = L 1 c p T τ th. Tylko wyraz κ T jest (przeważnie )< 0, nie na tyle jednak by dostać γ > 0. To, że zaburzenia ɛ (wbrew oczekiwaniu) działaj a stabilizuj aco, wynika z przeciwnych znaków zaburzeń entropii i temperatury w przypadku homologicznym. Spodziewamy siȩ podobnej sytuacji dla realistycznych wielkoskalowych zaburzeń gwiazd zbudowanych z gazu niezdegenerowanego. Odwrotn a sytuacjȩ bȩdziemy mieli w przypadku gazu zdegenerowanego, bo wtedy dla zaburzeń cieplnych mamy i δp p δt T δs c p δt T. Nie działa ciśnieniowy zawór bezpieczeństwa i reakcje jądrowe zaczynają się w sposób eksplozywny. Podobnie dla zaburzeń zlokalizowanych w cienkich warstwach z aktywnymi reakcjami j adrowymi, co wynika z całkowej zależności pomiȩdzy δp i δs, bo nie można znacz aco zmienić ciśnienia zmieniaj ac rozkład masy w takiej warstwie. Z taką niestabilnością spotykamy się w fazie palenia helu w warstwie na zdegenerowanyn jądrem węglowo-tlenowym. Niestabilność zaczyna się od zmiany znaku części rzeczywistej w zespolone wartości γ i przejawia w formie quasiokresowych pulsów cieplnych. 99