A. Odrzywołek. Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina

Transkrypt

1 /28 A. Odrzywołek Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina Seminarium ZTWiA IFUJ, Środa,

2 2/28 A. Odrzywołek 3-sfera o promieniu R(t): Równania Einsteina: Zachowanie energii-pędu: Równanie stanu materii: Statyczny Wszechświat Einsteina: spojrzenie tradycyjne ds 2 = dt 2 + R(t) 2 [ dχ 2 + sin 2 χ dω 2] 3 Ṙ R 3 R R R 2 = 8πGρ + Λ + 4πG (ρ + 3p) = Λ ρ p + ρ = 3Ṙ R p = p(ρ)

3 3/28 A. Odrzywołek Dynamika modelu FLRW z k = +.5 V (r) = R2 3 Λ + 4GM πr 3, E =

4 4/28 A. Odrzywołek Rozwiązanie Statyczne Całkowita ilość źródła pola grawitacyjnego jest dla wszystkich wszechświatów Einsteina taka sama: 8πG (ρ E + 3 p E ) = 2 Λ natomiast podział pomiędzy gęstość i ciśnienie, a także promień 3-sfery zależy od równania stanu: 8πG ρ E = 3 R E 2 Λ 8πG p E = R E 2 + Λ

5 5/28 A. Odrzywołek Parametry wszechświata statycznego Limity teoretyczne Eddindton (93) Λ-CDM (26) ρ E 27 g/cm g/cm 3 Λ < R E < 3 2 Λ 328 Mpc 3 Mpc Λ < 8πGρ E c 2 < 2 Λ λ = 54 cm 2 Λ =.2 56 cm πc 2 ΛG M E < πc2 2 ΛG 22 M 23 M Stała Hubble a km/s/mpc km/s/mpc

6 6/28 A. Odrzywołek Niestabilność wszechswiata statycznego R(t) = R E + δr(t), ρ(t) = ρ E + δρ(t), p(t) = p E + δp(t) δr δρ = 3 δr p E + ρ E R E c2 2 R δr =, c2 = c 2 + c 2 s, c 2 s = p E ρ R(t) = R E + δr e ct/r E ρ=ρe W zależności od znaku początkowej perturbacji δr następuje ekspansja lub kolaps. Jest to najszybciej rosnący mod!

7 7/28 A. Odrzywołek Coasting Loitering Jest praktycznie niemożliwe odróżnienie modelu statycznego od modeli dynamicznych w fazie plateau

8 8/28 A. Odrzywołek Równanie dynamiki pyłowego S.W.E. ṙ 2 = Λ 3 (r )2 ( + 2/r) UWAGA: tylko dla Statycznego Wszechświata Einsteina z p =! M = 2π 2 R E 3 ρ E = πr E 2G Istnieją 3 rozwiązania równania: I. r > (A 2 ) II. r = (E) III. r < (A ) t t = dr r + 2/r Modele wg. klasyfikacji Robertsona w nawiasach

9 9/28 A. Odrzywołek Dla przypadku III. t t = 2 artanh 2 3 arsinh r/2 3r 2 + r

10 /28 A. Odrzywołek

11 /28 A. Odrzywołek Rozwiązania sferycznie symetryczne Statyczna czasoprzestrzeń sferycznie symetryczna: Równanie TOV-Λ: ds 2 = e 2ν(r) dt 2 + e 2λ(r) dr 2 + r 2 dω 2 dp dr = (ρ + p)(m + 4πr3 p /3 r 3 Λ) r 2 ( 2 m/r /3 r 2 Λ) dm dr = 4πr2 ρ

12 2/28 A. Odrzywołek Typowe rozwiązania r. TOV-Λ 2.5 Zwykle traktuje się wpływ Λ jako źródło małej poprawki do struktury relatywistycznych obiektów..5 ρ(r) z Λ = (l. ciągła) i z Λ (l. przerywana )..2

13 3/28 A. Odrzywołek Rozwiazanie z ρ = const Wstawiamy ρ(r) = ρ E, p(r) = p E do r. TOV-Λ: g rr = e 2λ = =... r 3 (4/3π(ρ E + 3 p E ) Λ/3) r 2 2 /R, gdzie: 2 E R = Λ 8πGp E E g tt = ds 2 = const dt 2 + dp p + ρ = const r 2 /R E 2 dr2 + r 2 dω 2

14 4/28 A. Odrzywołek Rozwiązanie dla r ρ(r) ρ + 2 βr (a) p(r) p + 2 br (b) gdzie: m(r) 4 3 πr3 ρ b = 4 3 πg(p + ρ )(ρ E + 3p E ρ 3p ) (c) (2a) β = b/c s 2 (2b)

15 5/28 A. Odrzywołek Rozwiązania numeryczne rho(r) rho(r) rho(r) rho(r) rho(r) rho(r)

16 6/28 A. Odrzywołek rho(r)

17 7/28 A. Odrzywołek 2.5 rho(r)

18 8/28 A. Odrzywołek 2.5 rho(r)

19 9/28 A. Odrzywołek Dla orbity kołowej: Odpychanie grawitacyjne dziury Dla dziury : g rr ṙ 2 = E2 L2 g tt r 2 V eff = 2m r 3 Λr2 + L2 r E2 2 e 2ν Jeżeli dla żadnej wartości L, E potencjał nie ma ekstremum nie istnieją orbity kołowe i występuje odpychanie.

20 2/28 A. Odrzywołek rho(r) rho(r) V(r) V(r)

21 2/28 A. Odrzywołek Rozwiązanie globalne. Równanie TOV-Λ pozwala na łatwe rozwiązanie zagadnienia początkowego dla r < R E. 2. Występuje osobliwość układu współrzędnych dla r = R E. 3. Nie wiadomo co się dzieje dla r > R E za wyjątkiem statycznego wszechświata Einsteina rho(r) rho(r)

22 22/28 A. Odrzywołek Zdeformowana 3-sfera Część przestrzenna opisana jako powierzchnia o równaniu we współrzędnych sferycznych r, χ, θ, φ: r = R(χ) w 4-wymiarowej przestrzeni Euklidesa. Dla r = R E otrzymujemy wszechświat Einsteina. Metryka ma postać: ds 2 = e 2ν(χ) dt 2 + dr dχ 2 + R 2 dχ 2 + R 2 sin 2 χ dω 2

23 23/28 A. Odrzywołek Równania Einsteina Składowa tt: (R cos χ) { ( 2R sin χ RR ( + R 2) R 2 + R 2)[ 4R sin χ (R cos χ) ]} = Składowa χχ: (Λ + 8πGρ)(R sin χ) 2 ( R 2 + R 2) 2 (R cos χ) 2 [(R sin χ) 2] ν = (Λ 8πGp) (R sin χ) 2 ( R 2 + R 2) ν = p p + ρ. Warunki brzegowe: R () = R (π) =, ρ(χ ) = ρ.

24 24/28 A. Odrzywołek Problemy z rozwiązaniem globalnym Metoda strzałów: zadajemy ρ(χ = ) = ρ i próbujemy róznych wartości R = R()

25 25/28 A. Odrzywołek Błędy numeryczne Problemy z osobliwością Rozwiązania globalne istnieją tylko dla niektórych równań stanu Założenie że geometria może być opisana jako 3-powierzchnia R = R(χ) w 4D jest błędne Rozwiązania globalne bez osobliwości nie istnieją

26 26/28 A. Odrzywołek Konstruktywny przykład globalnego rozwiązania. Wstawiam do r. Einsteina R(χ) = P + Q cos 2χ Obliczam gęstość i cisnienie: rho(chi) chi 3. Dostają pewną zależność p(ρ) w postaci parametrycznej p = p(χ), ρ = ρ(χ).

27 27/28 A. Odrzywołek.9 Linia przerywana pokazuje typowy wynik zastosowania opisanej procedury: niefizyczne równanie stanu:.8 wielowartościowość p(rho) p lub ρ ujemne dp dρ = c s 2 < Linia ciagła pokazuje, że można dopasować cisnienie centralnege tak aby obie gałęzie się pokryły i otrzymać fizycznie sensowne rho równanie stanu. Rozwiązanie globalne bez osobliwości isnieje!

28 28/28 A. Odrzywołek Co dalej? Ustalenie kiedy istnieją rozwiązania globalne Opracowanie skutecznej metody znajdywania rozwiązań globalnych Ruch w polu grawitacyjnym dziury Stabilność i ewolucja dziury Dziura w rozszerzającym się Wszechświecie? Dziura jako model pustek Oddziaływania dziura-dziura