Przykłady do zadania 3.1 :
|
|
- Ewa Chrzanowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny, normalny, wykładniczy. Transformacje zmiennej losowej. Przykłady do zadania 3. : (a) Niech X oznacza ocenę z egzaminu (w czterostopniowej skali ocen:, 3, 4, 5) losowo wybranego studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 3 4 n p n,,3,4 C Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3. p n C 4 p n, +, 3 +, 4 + C, 8 + C C, n Oba warunki spełnione są dla C,. P (X > 3) P (X 4) + P (X 5) p 3 + p 4, 4 +,, 6 (b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n c ln ( ), n, 3,..., określa rozkład pewnej n zmiennej losowej? Podać trzy różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla każdego z nich prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5, i mniejsza od 7,9999. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c (bo < ). n p n c(ln(n ) + ln(n + ) ln n) lim n n n c(ln ( ) + n ln ) c( ln ) wtedy i tylko wtedy, gdy c. ln Oba warunki są spełnione dla c. ln Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem p n trzeba jeszcze określić zbiór jej wartości, czyli różnowartościowy ciąg ( n ). Przykład. Zmienna losowa X, dla której n n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to, 3,...}.) Wtedy P (5, < X < 7, 9999) P (X 6) + P (X 7) p 6 + p 7 ( ln ( 36 ln Przykład. ) + ln ( 49 )), 7. Zmienna losowa Y, dla której n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to 6, 4, 3,,...}.) n 5 Wtedy P (5, < Y < 7, 9999) P (Y 6) p ln ( ) ln 4, 45. Przykład 3. Zmienna losowa Z, dla której n 8+n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to, 7,...}.) Wtedy P (5, < Z < 7, 9999).
2 (c) Zmienna losowa X przyjmuje wartość n n, n,,..., z prawdopodobieństwem p n proporcjonalnym do. Wyliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 4,5 i 3n mniejsza od 6,3. ciag n } jest różnowartościowy; p n c dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c. 3n p n c n n 3 c n 3 c wtedy i tylko wtedy, gdy c. 3 Wszystkie warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c, tzn. p n 3 n. P (4, 5 < X < 6, 3) P (X 6) p 3, Przykład do zadania 3. : (a) Wiadomo, że % skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż % badanych skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p, (%), n. Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród badanych. X ma rozkład Bernoulliego B(n, p, ), czyli przyjmuje wartość k k z prawdopodobieństwem p k ( ) k (, ) k (, ) k dla k,,...,. Transport jest odrzucany, gdy X > %. Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P (X > ) P (X ) P (X ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) 9, 43. (b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie dla, F () 3 (4 3) dla <, dla >. Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że () dokładnie jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń; () co najmniej jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń.
3 Model: schemat Bernoulliego, sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 5%, czyli X >, 5; p P (X >, 5) F (), n 4. 6 lim,5+ Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 5% zanieczyszczeń wśród 4 badanych (czyli ilość sukcesów w n 4 próbach). Y ma rozkład Bernoulliego B ( ) n 4, p 6, czyli przyjmuje wartość k k z prawdopodobieństwem p k ( ) ( ) 4 k ( ) 4 k k 6 6 dla k,,..., 4. Mamy zatem () P (Y ) ( 4 ) ( 6 ) ( ) 3 6, 84; ) ( () P (Y ) P (Y ) ( 4 6 ) ( ) 4 6, 99. (c) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła szóstka, p 6. X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k,,... z prawdopodobieństwami p k P (X k) ( ) k 6 ( ) 5 k Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi P (X parzyste) p k ( ) l , 45. k parzyste (Uwaga: jest ono różne od,5). l (d) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas oczekiwania na pierwsze trafienie. Wiemy, że Y ma rozkład geometryczny Geo(, ), czyli przyjmuje wartość k k z prawdop. p k, (, ) k dla k,,.... Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5. Szukane prawdopod. wynosi zatem P (Y 5) 5 p k 5, (, 9) k (, 9) 5, 4. k k 3
4 Przykłady do zadania 3.3 : (a) Dla X o rozkładzie Bernoulliego B(n, p, ) wyliczyć P (X > ) i porównać otrzymany wynik z przybliżeniem Poissona. Ze wzorów dokładnych dostajemy P (X > ) (P (X ) + P (X ) + P (X )) ( ), 99 +,, ,, 99 98, 794. Z tw. Poissona otrzymujemy przybliżenie P (X > ) p p p, 3679, 3679, 839, 83, gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona dla λ np,. Porównanie otrzymanych wartości P (X > ): wzory dokładne z tw. Poissona,794,83 (Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza tu np,.) (b) Wśród ziaren pszenicy znajduje się.6% ziaren chwastów. Oszacować na podstawie przybliżenia Poissona, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych ziaren znajduje się () co najwyżej 6 ziaren chwastów, () co najmniej 3 ziarna chwastów, (3) dokładnie 6 ziaren chwastów. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-natrafiono na ziarno chwastu, p, 6, n. Niech X oznacza liczbę sukcesów, czyli liczbę ziaren chwastów wśród ziaren. () P (X 6) 6 p k, 9998; k gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. () P (X 3) p p p, 5, 49, 446, 6, 938; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. (3) P (X 6) p 6, 66, gdzie p 6 odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. Błąd przybliżenia w każdym przypadku nie przekracza np, 36. 4
5 (c) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę, wynosi,. Reklamę wysłano do osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że () dokładnie osoby, () więcej niż osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną i przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamę, p,, n. Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów. () Wzór dokładny: P (X ) ( ) (, ) (, ), 85. Przybliżenie Poissona: P (X ) p, 77; gdzie p odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. () Wzory dokładne: P (X > ) P (X ) P (X ) P (X ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) (, 9), (, 9) 9 9 (, ) (, 9) 8, 33. Przybliżenie Poissona: P (X > ) p p p, 353, 77, 77, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. Porównanie otrzymanych wartości : wzory dokładne z tw. Poissona P (X ),85,77 P (X > ),33,333 (Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza np,.) (d) Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego na gruźlicę jest,. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p,, n. Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P (X 3). Przybliżenie Poissona: P (X 3) p p p, 353, 77, 77, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. Błąd przybliżenia nie przekracza np,. 5
6 Przykłady do zadania 3.4 : (a) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla, c 4/3 dla > była gęstością pewnego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. f()d c d 3c /3 3c wtedy i tylko wtedy, gdy c 4/3. 3 Dla takiego c f() dla każdego, więc wtedy oba warunki na gęstość są spełnione. Odp. Tak, c 3. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. dla, c /3 dla > była gęstością pewnego Całka f()d c d jest rozbieżna do c dla c lub zbieżna do dla c. /3 Zatem f() nie może być gęstością niezależnie od c. Odp. Nie. była gęstością pew- dla / [, a], (c) Czy można dobrać stałą a tak, aby funkcja f() dla [, a] nego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. a z postaci przedziału f() dla każdego dla dowolnego a f()d a d a3 3 wtedy i tylko wtedy, gdy a 3 3. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy a 3 3. Odp. Tak, dla a 3 3 funkcja f() jest gęstością. 6
7 Przykład do zadania 3.5 : Dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla <, c( 4) dla <, dla <, c( 5) dla < 3, dla 3 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Wyliczyć P (, 5 X <, 5) i P (X, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. f() dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy c (wzory bez c dają funkcje ujemne na podanych przedziałach). f(), c f()d c ( 4)d + c 3 ( 5)d 6 c wtedy i tylko wtedy, gdy c 6. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy c 6. P (, 5 X <, 5),5,5 ( ) 4 36 P (X, 5),5 f()d 6 f()d 6,5, 74,5 ( 6 9, , 5 ) ( 4)d 6 ( 5)d 6, ,5,5.5.4 f(), c 6/ P(.5 X<.5).3 P( X.5)
8 Dystrybuanta ma postać F () f(t)dt dla <, (t 4)dt dla <, ( 6 (t 4)dt dla <, ) (t 5)dt dla < 3, dla F() dla <, (( )+) dla <, 44 dla <, 3( ) 4 dla < 3, dla 3 F() F() F() F() /,
9 Przykłady do zadania 3.6 : (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja dla, F () A + B dla <, dla < była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu.3 (a) wiemy, że dla A i B spełniających warunki: B, A B funkcja F jest dystrybuantą. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego, dodatkowo F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B. Wtedy F () lim F () B + A + B F () lim F (), + dla, F () dla <, dla <. F() f() dystrybuanta gestosc Taka dystrybuanta F () jest różniczkowalna poza co najwyżej punktami i, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości f() F () dla, dla ; dla < <, poza tym. 9
10 dla, (b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F () A + B arc sin() dla <, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego dla < rozkładu. Dla wszystkich A i B funkcja F () jest lewostronnie ciągła oraz i lim F (). lim F () Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B π. ( ) π F ( ) lim F () A B + ( ) π A + B F () lim F (), + Dla takich A i B funkcja F jest niemalejąca na całej prostej, zatem jest dystrybuantą. F() f() dystrybuanta gestosc Ponadto wtedy F jest różniczkowalna poza punktami ±, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości F f() () dla, π dla < <, dla ; poza tym.
11 (c) Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae dla, F () B +, 5 dla < ln, C e dla > ln była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu.3 (b) wiemy, ze funkcja F jest dystrybuantą dla C oraz A i B spełniających warunki: A, 5, B,5 ln. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego dodatkowo F musi być funkcją ciągłą. Musimy więc mieć dodatkowo co daje A, 5, B,5 ln. A F () lim F (), 5 + B ln +, 5 F (ln ) lim F () C, 5, 5 ln + F() f(),5/ln 8 ln 8 8 ln dystrybuanta gestosc 8 Dla takich stałych A i B funkcja F () jest różniczkowalna poza - być może - punktami i ln, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości, 5e dla <, F f() () dla ;, ; ln, dla,,5 dla < < ln, dla poza tym; ln dla ln, e dla > ln
12 Przykłady do zadania 3.7 : (a) Gracz rzuca kostką do gry i otrzymuje 5 zł za liczbę oczek podzielną przez 3, a płaci 5 zł za każdy inny wynik. Ma on możliwość wykonania co najwyżej 5 rzutów, a jednocześnie musi przerwać grę po pierwszej wygranej. Niech Y oznacza wynik gracza (w zł). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y. X - czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego, sukces - liczba oczek podzielna przez 3, p 3 X ma rozkład geometryczny Geo( ), P (X k) ( ) k dla k,, ( 5) (X ), gdy X 5, Y 5 5 5, gdy X > 5. ( ) k Zatem P (Y 5 5(k )) 3 3 dla k,, 3, 4, 5 P (Y 5) 4 ) k ( 5 3) k Rozkład Y możemy także podać w tabeli: X >5 3 Y y k ( p k ,3333,,48,988,658,38 (b) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Ep(). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X., gdy, X ma rozkład wykładniczy Ep(), czyli gęstość postaci f X () e, gdy >. Dystrybuanta zmiennej losowej Z X to F Z (z) P (Z < z) P (X < z), gdy z, P ( X < z) F X ( z) F X ( z + ) F X ( z) F X ( z), gdy z > ; gdzie F X () to dystrybuanta zmiennej losowej X, tak że f X () F X() dla niemal wszystkich. F Z (z) odpowiada gęstości f Z (z) F Z(z) dla niemal wszystkich z., gdy z, Zatem f Z (z) z (f X( z) + f X (, gdy z, z)), gdy z >. z z e, gdy z >. Zauważmy, że jest to rozkład Weibulla W (, ).
13 (c) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4, 9; 5, ) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Znaleźć rozkład masy M tej kuli., gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R (r) 5, gdy r [4, 9; 5, ]. 5, 4,9 Masa kuli równa jest M a 3 R 3, gdzie a ( ) 4 7,88π /3 3, 37. Dystrybuanta zmiennej losowej M ma postać F M (m) P (M < m) P (R 3 < a 3 m) P (R < am /3 ) F R (am /3 ), gdzie F R (r) to dystrybuanta rozkładu R. Stąd M ma rozkład o gęstości f M (m) F M(m) dla niemal wszystkich m., gdy m / Zatem f M (m) a 3 m /3 f R (am /3 [m, m ) ], 5a 3 m /3, gdy m [m, m ], gdzie m ( 4,9 a ) , 39, m ( ) 5, 3 a 4378, 5. (d) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y arctgx. Gęstość rozkładu Cauchy ego C(, ) ma postać f X () Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X () f X (t)dt π arctg +. π( + ). Dystrybuanta zmiennej losowej Y arctgx to F Y (y) P (Y <y), gdy y π, P (X <tgy) F X (tgy) π y +, gdy π < y < π,, gdy y π. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y / ( π Zatem f Y (y), ) π,, gdy y ( π, ) π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U ( π, π ). Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U ( π, π ). 3
14 (e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X. X ma rozkład normalny N (, ), czyli gęstość postaci f X () π e. Dystrybuanta zmiennej losowej Y X to F Y (y) P (Y < y), gdy y, P ( X < y ) F X (y ) F X ( y + ) F X (y ) F X ( y ), gdy y > ; gdzie F X () to dystrybuanta rozkładu X. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y, Zatem f Y (y) y(f X (y ) + f X ( y )) 4 ye y4, gdy y >. π 4
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Rachunek prawdopodobieństwa MAP064 Wydział Elektroniki, rok akad. 08/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP064, 2008/09 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Listy zadań nr 7-9 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Literatura: [] A. Plucińska, E. Pluciński,
Bardziej szczegółowox x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 6.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoX P 0,2 0,5 0,2 0,1
Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoPrzegląd ważniejszych rozkładów
Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowo