Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

2 ZMIENNE LOSOWE DYSKRETNE Wyobraźmy sobie następującą grę. Rzucamy kostką sześcienną. Jeśli wyrzucimy szóstkę wygrywamy 5 zł, jeśli wyrzucimy piątkę lub czwórkę- wygrywamy 2 zł, natomiast w każdym innym przypadku przegrywamy 3 zł. Grę taką możemy przedstawić w postaci poniższej tabeli. wyrzuconaliczba wygrana Zauważmy, że w ten sposób została określona funkcja, która zdarzeniom elementarnym przyporządkowuje liczby.

3 ZMIENNE LOSOWE DYSKRETNE Z takimi przyporządkowaniami(funkcjami), które zdarzeniom przyporządkowują liczby mamy do czynienia bardzo często. Funkcje takie nazywamy zmiennymi losowymi. DEFINICJA ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ Zmienną losową dyskretną nazywamy funkcję, która zdarzeniom elementarnym pewnej dyskretnej przestrzeni probabilistycznej Ω przyporządkowuje liczby rzeczywiste. Zauważmy teraz, że zmienne losowe dyskretne można przedstawiać w postaci tabeli wartości i prawdopodobieństw: x i p i x i sątutajwartościami,jakieprzyjmujezmiennalosowa,a p i prawdopodobieństwami przyjęcia tych wartości. Oczywiste jest, że dla każdego i p i >0oraz p i =1. i

4 ZMIENNE LOSOWE DYSKRETNE, DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ Dla naszego przykładu taka tabela wyglądałaby następująco: x i p i 1 2 Wprowadzimy teraz najważniejsze pojęcie w teorii zmiennych losowych, mianowicie pojęcie dystrybuanty zmiennej losowej. DEFINICJA DYSTRYBUANTY Dystrybuantą zmiennej losowej dyskretnej X nazywamy funkcję F określonąnastępująco: F(x) = P{X< x}. Wprowadzona definicja obowiązuje również dla zmiennych losowych, które nie są zmiennymi dyskretnymi. Jest to definicja bardzo ogólna. W przypadku zmiennych losowych dyskretnych okazuje się, że dystrybuantę można wyznaczać w oparciu o poniższy wzór: 1 3 F(x) = r<x p r 1 6

5 DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ Wyznaczymy teraz dystrybuantę dla naszego przykładu(gry). Zauważmy, że ZL z przykładu przyjmuje tylko trzy wartości:-3,2 oraz 5. Zatem oś rzeczywista zostaje tu podzielona na cztery części -przedziały: (, 3], ( 3,2], (2,5]oraz (5,+ ).Korzystającz ostatniego wzoru na wyznaczanie dystrybuanty w przypadku zmiennych losowych dyskretnych otrzymujemy: 0,gdy x 3 1 F(x) = 2,gdy x ( 3,2] = ,gdy x (2,5] =1,gdy x>5 Spróbujemy teraz naszkicować wykres tak otrzymanej funkcji.

6 DYSTRYBUANTA ZMIENNEJ LOSOWEJ

7 WŁASNOŚCI DYSTRYBUANTY Zauważmy, że wykres dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej jest funkcją schodkową to znaczy sklejeniem funkcji stałych. Zauważmy również, że funkcja ta jest funkcją lewostronnie ciągłą, co na rysunku oznacza, że kółka są niezamalowane z lewej strony. Z definicji dystrybuanty wynikają jej następujące własności: PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DYSTRYBUANTY Dystrybuanta zmiennej losowej ma następujące własności: 1 Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą tzn. jest spełniona implikacja: x< y F(x) F(y) 2 Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą tzn. dla dowolnego x 0 : lim x x F(x) = F(x 0 ) 0 3 Dystrybuanta jest funkcją ograniczoną, dokładniej: lim x F(x) =0, lim x F(x) =1

8 WYZNACZANIE DYSTRYBUANTY- PRZYKŁAD PRZYKŁAD 1. Wyznaczymy teraz dystrybuantę dla ZL określonej poprzez poniższą tabelę: x i p i 0,1 0,3 0,4 0,2 Korzystając z poznanego wzoru, otrzymujemy dystrybuantę w następującej postaci: F(x) = 0,gdy x 2 0,1,gdy x ( 2,0] 0,4,gdy x (0,3] 0,8,gdy x (3,8] 1,gdy x>8 Wykres będzie analogiczny do wykresu z poprzedniego przykładu.

9 CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNYCH LOSOWYCH W sytuacjach praktycznych często potrzebujemy informacji liczbowych, które są związane z analizowaną zmienną losową. Bardzo ważnymi charakterystykami liczbowymi zmiennych losowych są między innymi: wartość średnia(oczekiwana) zmiennej losowej oraz jej wariancja. Wprowadzimy teraz te charakterystyki. DEFINICJA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Wartością oczekiwaną(inaczej wartością średnią lub pierwszym momentem) zmiennej losowej dyskretnej nazywamy liczbę określoną następująco: EX = i x i p i Wartość oczekiwana wyraża średnią wartość, jaką przyjmuje zmienna losowa.

10 CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNYCH LOSOWYCH DEFINICJA DRUGIEGO MOMENTU Drugim momentem zmiennej losowej dyskretnej nazywamy liczbę określoną następująco: EX 2 = i x 2 i p i DEFINICJA WARIANCJI Wariancją zmiennej losowej dyskretnej nazywamy liczbę określoną następująco: DX = EX 2 (EX) 2 Wariancja wyraża rozrzut wartości zmiennej losowej wokół jej wartości oczekiwanej.

11 CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE- PRZYKŁAD PRZYKŁAD 2. Rozważmy zmienną losową określoną poprzez poniższą tabelę: Wówczas: x i p i 0,1 0,4 0,2 0,3 EX = 2 0,1+1 0,4+3 0,2+5 0,3 =2,3 EX 2 = ( 2) 2 0, , , ,3 =10,1 DX = EX 2 (EX) 2 =10,1 (2,3) 2 =10,1 5,29 =4,81

12 ZASTOSOWANIA CHARAKTERYSTYK LICZBOWYCH- MODEL MARKOVITZA Jednym z zastosowań charakterystyk liczbowych zmiennych losowych jest model Markovitza. Przy inwestowaniu w akcje powinnosięwybieraćspółki,dlaktórychiloraz EX DX jestmożliwie największy. Oznacza to, że wybieramy akcje o dużej średniej cenie nominalnej i jednocześnie małym ryzyku kursowym. Na przykład jeślidlaspółkiawartościtewynoszą: EX 1 =25(zł)oraz DX 1 =10(zł 2 ),adlaspółkib: EX 2 =40(zł)oraz DX 2 =20(zł 2 ), topowinniśmywybraćakcjespółkia(stosunek2,5),anieakcje spółki B(stosunek 2).