Przykłady do zadania 6.1 :

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady do zadania 6. : (a) Gracz rzuca symetryczna kostką do gry. Jeśli wyrzuci piątkę, wygrywa zł. Jeśli wyrzuci liczbę podzielną przez 3, wygrywa 5 zł. W pozostałych przypadkach płaci zł. Niech X oznacza wygraną gracza (przy czym przegrana zł to inaczej wygrana - zł). Znaleźć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć P (X > ). P (X = ) = /6, P (X = 5) = 2/6 = /3, P (X = ) = /6 2/6 = 3/6 = /2 dla, /2 dla < 5, F () = P (X < ) = /2 + /3 = 5/6 dla 5 <, dla > P (X > ) = lim F () = /2 =, /6 /

2 (b) Na przestrzeni probabilistycznej Ω = {ω = (, y) :, y } z prawdopodobieństwem geometrycznym definiujemy zmienną losową: Z(ω) = Z(, y) = { dla y, y dla < y Wyznaczyć i narysować dystrybuantę zmiennej losowej Z y Z= z y Z=<z z z z z < y Z=y < y Z=y<z P(Z<z)= ( z) 2 dla z z F (z) = P (Z < z) = P ( < z, y ) + P (y < z, < y ) = dla z, = ( z) 2 dla < z, dla < z F(z) z 2

3 Przykład do zadania 6.2 : Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem F () = dla,, 25 2 dla <,, 5 2 +, 75 dla < 2, dla 2 <. Obliczyć P ( X <, 5), P ( < X, 5), P ( < X < 2), P ( < X 2), P (X > ), P ( X > /2).,75,25, P ( X <, 5) = F (, 5) F () = (, 5 (, 5) 2, 5 +, 75), 25 2 =, 25 P ( < X, 5) = lim F () lim F () =,5+ + = (, 5 (, 5) 2, 5 +, 75) (, 5 2 +, 75) =, 25 P ( < X < 2) = F (2) lim + F () = (, , 75) =, 75 P ( < X 2) = lim F () lim F () = = 2+ + P (X > ) = P (X ) = lim + F () = (, 5 2 +, 75) =, 75 P ( X > /2) = P (X > /2) + P (X < /2) = ( = (, 25 (, 5) 2 ) + =, lim F ()) + F (, 5) =,5+ 3

4 Przykłady do zadania 6.3 : (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja dla, F () = A 2 + B dla <, dla < była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość z przedziału (, 5;, 5). A+B B Rysunek : F () dla A =, 4 i B =, 5 Dla wszystkich A i B funkcja F () jest lewostronnie ciągła oraz F () = i lim F () =. lim Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A oraz lim F () i F (), + co daje warunki B, A B. Dla A i B spełniających te warunki funkcja F jest dystrybuantą. Wtedy P (, 5 < X <, 5) = F (, 5) =, 25A + B =, 25A + B. lim F () = F (, 5) F (, 5) =,5+ 4

5 (b) Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae dla, F () = B +, 25 dla < ln 2, C e dla > ln 2 była dystrybuantą rozkładu pewnej zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwa P (X ln 2), P (X > ln 3) i P ( < X < ). Bln A ln Rysunek 2: F () dla A =, 5, B =, 25, C =. Dla wszystkich A, B i C funkcja F () jest lewostronnie ciągła. lim F () = A = dla wszystkich A, B i C lim F () = C =, o ile C =, A i B - dowolne. Aby F była niemalejąca na całej prostej musimy mieć A, B A = F () lim F () =, 25 + B ln 2 +, 25 = F (ln 2) lim F () = C, 5 ln 2+ Zatem funkcja F jest dystrybuantą dla C = oraz A i B spełniających warunki: A, 25, B, 25/ ln 2. Wtedy P (X ln 2) = P (X > ln 3) = lim F () =, 5 =, 5 ln 2+ lim F () = ln 3+ Ae ln 3 = A/3 P ( < X < ) = F () lim + F () = e, 25, 382 5

6 Przykłady do zadania 6.4 : (a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu. Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Dystrybuanty rozkładu zmiennej T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku. Który algorytm byś wybrał? Odpowiedź uzasadnić. Rysunek. F (t). A.6 B.2 3 t Na wykresie mamy funkcję F (t) = P (T < t). Im ma mniejszą wartość, tym hasło lepiej chronione w chwili t. Zatem algorytm B chroni lepiej. (b) Na rysunku 2 znajdują się dystrybuanty rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch programów ftp A i B. Który z porównywanych programów daje gładsze opóźnienia? Dla którego małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 3 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij. F (t)..8.6 Rysunek 2. A B t Gładsze opóźnienia daje B. W przypadku A pliki przesyłane są tylko z opóźnieniami, z przedziału (,),, 3 lub 7. Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla A (bo dla A większe są wartości dystrybuanty dla małych t). Opóźnienie równe 3 jednostkom czasu ma prawdopod. dla B i,2 dla A (jest to długość skoku na wykresie). Opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla A, bo w chwili 5 wartość dystrybuanty dla A jest większa. 6