Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne. Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne

Transkrypt

1

2 Wprowadzenie Niech x będzie liczbą niewymierną; oznaczając q 0 = x oraz {x} = x x mamy x = x + {x} = q 0 + {x} = q 0 + x, gdzie x = /(x q 0 ) będzie liczbą niewymierną, większą od (bo różnica x q 0 jest liczbą niewymierną, mniejszą od ). Dlatego x q 0 = x = x + {x } = q + {x } = q + x 2, gdzie x 2 = /{x } = /(x q ) będzie znowu liczbą niewymierną, większą od. Kontynuując, otrzymujemy ciąg {x, x 2, x 3,...} liczb niewymiernych, większych od jedności i ciąg liczb naturalnych q n = x n, spełniających: x = q 0 + x, x = q + x 2,..., x n = q n + x n,

3 skąd wynika x = q 0 + q + q q n + x n. Niewymierność x-a została oddelegowana do ostatniego mianownika jasnym jest, że taka procedura może być kontynuowana usque ad infinitum (bo nie da się z liczby niewymiernej zrobić liczby wymiernej). Jeżeli w kolejnym, n-tym mianowniku zastąpić x n = q n = x n, to otrzymamy n-ty redukt nieskończonego ułamka łańcuchowego, który to ułamek reprezentuje liczbę niewymierną x.

4 Używając poznanych już relacji rekurencyjnych R n = P n Q n = q np n + P n 2 q n Q n + Q n 2, k i zastępując w niej q n przez x n dostajemy x = x np n + P n 2 x n Q n + Q n 2 Wzór ten jest słuszny dla dowolnej wartości wskaźnika, np. x = x n+p n + P n x n+ Q n + Q n, skąd po wykorzystaniu jeszcze jednego związku dla P k, Q k () x R n = x n+p n + P n x n+ Q n + Q n P n Q n = ( ) n (Q n x n+ + Q n )Q n.

5 Powyższy związek, wraz z oczywistym x n+ > q n+ dają (2) x R n < (Q n q n+ + Q n )Q n = Q n+ Q n. Łatwo udowodnimy, że Q k k, k =, 2,.... Dla k = mamy Q = q, gdzie q = x jest liczbą naturalną. Zakładając słuszność tezy dla jakiegoś k mamy Q k+ = Q k q k+ + Q k Q k + k +. Tak więc x R n <, n =, 2,... x = lim n(n + ) R n. n Z równania () (także z x n+ < q n+ + ) (3) x R n = > = (Q n x n+ + Q n )Q n (Q n (q n+ + ) + Q n )Q n Q n (Q n+ + Q n ).

6 Z kolei, z równania (2), zastępując n przez n + i wykorzystując fakt, że q n+2 dostajemy (4) x R n+ < (Q n+ + Q n )Q n+. Z relacji (3) i (4), wykorzystując po drodze Q n+ = Q n q n + Q n > Q n mamy (5) x R n+ < x R n, n =, 2,..., co oznacza, że sukcesywne redukty stanowią coraz lepsze przybliżenie niewymiernego x. Dodatkowo wzór () pozwala stwierdzić, że kolejne przybliżenia są przemiennie nad- i nie-domiarowe: x R n { > 0, dla n = 2k; < 0, dla n = 2k +. Parzyste redukty są zawsze mniejsze od x; nieparzyste większe.

7 Z przedstawionych rozważań wynika też, że dla dowolnych n, m > n mamy R m R n < n(n + ), co jeszcze raz potwierdza istnienie granicy x = lim n R n, a także pozwala uzasadnić raz jeszcze, że obliczenia x sprowadzają się do obliczeń sekwencji x i, gdzie x =,..., x n+ = ; q n = x n. x q 0 x n q n

8 Jeszcze raz podkreślmy, że reprezentacja w postaci ułamka łańcuchowego liczby niewymiernej jest nieskończona; a liczby wymiernej skończona. Gdyby nasze x było liczbą wymierną x = l, to mielibyśmy m q 0 = l, x = m l m l m m =. l l m m Ale l > l l m m ; l m m ( ) l < l m m = m. Oznaczałoby to, że kolejne mianowniki przybliżeń x i muszą monotonicznie i bez końca maleć dla rosnącego i a to, przy skończoności sekwencji m, m,..., jest niemożliwe.

9 Przykład: x =. Połóżmy (dla uwypuklenia struktury algorytmu) x = x 0 = ; q 0 = x 0 = = 3, x = = = ; q = x = = 3, x 0 q x 2 = x q = + 3 = + 3; 3 2 q 2 = x 2 = + 3 = 6, + 3 x 3 = = = = x ; q 3 = x 3 = x = 3, x 2 q x 4 = = = + 3 = x 2 ; q 4 = x 4 = x 2 = 6, x 3 q dla k =, 2, 3,... mamy: q 2k = 3, q 2k = 6. Długość okresu m = 2. Stąd = [ 3; 3, 6 ].

10 Przykład: x =, c.d albo =

11 kilka ładnych ułamków łańcuchowych π = π =

12 kilka ładnych ułamków łańcuchowych, c.d e = exp() = [2;, 2,,, 4,,, 6,,, 8,,, 0,,, 2,... ] =

13 Prawo najlepszego przybliżenia Załóżmy, że liczba niewymierna x, o rozwinięciu w postaci nieskończonego ułamka łańcuchowego, jest przybliżana przez pewną liczbę wymierną r/s, lepiej niż przez n-ty redukt ułamka R n, to znaczy (6) x r < x R n. s Ponieważ (patrz wyżej) x R n < x R n mamy też (7) x r s < x R n. Z rozważań, o położeniu kolejnych reduktów po prawej i po lewej wartości x, wynika, że x leży pomiędzy liczbami R n i R n ; z nierówności (6) i (7) że pomiędzy tymi liczbami leży także r/s; r (8) s R n < R n R n.

14 Wyrażenie po prawej stronie to R n R n = P n P n Q n = P n Q n Q n Q n =. Q n Q n Q n Q n Podstawiając do (8) mamy Q n (9) rq n sp n sq n < Q n Q n. Licznik ułamka po lewej stronie to liczba całkowita różna od zera (dla zera mielibyśmy r/s = R n, w sprzeczności z nierównością (7)). Stąd a także z faktu, że s > wynika, że rq n sp n > i, konsekwentnie, s > Q n. Udowodniliśmy twierdzenie Jeżeli pewna liczba wymierna r/s, przybliża liczbę niewymierną x lepiej niż n-ty redukt ułamka R n łańcuchowego to mianownik s tej liczby wymiernej jest większy od mianownika reduktu R n.