Dynamika Uk»adów Nieliniowych 2009 Wykład 2 1. Uk»ady dynamiczne

Transkrypt

1 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 Uk»ady dynamiczne Uk»adem dynamicznym b dziemy nazywali deterministyczn recept na dokonanie ewolucji w czasie stanu danego uk»adu. Czas moóe byƒ albo dyskretny albo wielkoñci cig»: - odwzorowania dyskretne (mapy) s przyk»adem uk»adów z dyskretnym czasem - autonomiczne równania róóniczkowe zwyczajne pierwszego rz du - przyk»adem uk»adów z czasem jako zmienn cig» r d x r r = F [x (t) ] d t Uk»ady równa½ nieautonomicznych moóna zamieniƒ na równania autonomiczne poprzez dodanie odpowiedniego równania do uk»adu. Uwagi: a) W wi kszoñci podr czników w cz Ñci "teoretycznej" rozpatruje si albo odwzorowania dyskretne albo tylko równania róóniczkowe zwyczajne. Wynika to raczej z ogranicze½ matematyki nió realnej sytuacji w przyrodzie! W tych samych podr cznikach analizuje si wiele doñwiadcze½, które ewidentnie nie mog byƒ opisane równania róóniczkowymi zwyczajnymi (konwekcja, przep»yw hydrodynamiczny, zmienność rytmu serca i inne).

2 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 2 b) óeby rozwizania by»y nieregularne w czasie (chaos deterministyczny) uk»ad dynamiczny musi byƒ odpowiednio wielowymiarowy: - w przypadku uk»adów dyskretnych - juó jednowymiarowe zagadnienia mog dawaƒ zachowania nieregularne (chaotyczne) - w przypadku uk»adów opisywanych uk»adem równa½ róóniczkowych liczba tych równa½ musi byƒ conajmniej 3 Pytanie: dlaczego w takim razie równanie róóniczkowe 2-giego rz du dla wahad»a daje odpowiedï chaotyczn? c) przestrze½ fazowa: przestrze½ wektorów x(t) - nie myliƒ z przestrzeni fazow z fizyki statystycznej: tam jest to przestrze½ {x(t), v(t)} co wynika z 2-giego rz du równa½ ruchu - natomiast tu s one -szego rz du. Odwzorowania odcinkami liniowe: Dyskretne odwzorowania jednowymiarowe ajprostszym odwzorowanie tego typu jest odwzorowanie Bernoulliego: n-krotne iterowanie odwzorowania jednowymiarowego: xn+ = σ ( xn )= 2 xn mod poczynajc od warunku pocztkowego x daje cig wartoñci x = σ(x ), x 2 = σ(σ(x )),..., x n = σ(...σ(σ(x ))

3 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 3 Wprowadzimy oznaczenie: n-krotne wykonanie odwzorowania (n-krotne złoŝenie odwzorowania) będzie oznaczone przez górny indeks n. Uwaga: n-krotne złoŝenie odwzorowania σ oznaczamy σ n. Przykład: program Modmap; a) przyjąć parametry: parametr kontrolny ; warunek początkowy dowolny z zakresu (,); argument modulo ; rząd złoŝenia b) przyjąć parametry: parametr kontrolny ; warunek początkowy dowolny z zakresu (,); argument modulo ; rząd złoŝenia Definicja: Punkt x * jest punktem sta»ym odwzorowania σ jeóeli x * = σ(x * ) tzn. punkty sta»e leó na przeci ciu wykresu σ(x) z dwusieczn kta prostego.

4 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 4 Przedstawimy teraz warunek pocztkowy w postaci binarnej: x = ν= tzn w postaci: x =,a a 2 a 3 a 4... gdzie a v przyjmuj wartoñci lub. Dla x <.5 mamy a = Dla x >.5 mamy a = Pierwsza iteracja odwzorowania σ(x ) oznacza przesuni cie cigu reprezentacji binarnej o miejsce w lewo (mnoóenie wielkoñci binarnej przez 2) oraz usuni ciu pierwszej cyfry cigu (modulo ). tzn. x =,a 2 a 3 a 4... Przy kaódej iteracji σ realizuje si wi c przesuni cie Bernoulliego Ma ono nast pujce w»asnoñci: ) Czu»oу na warunki pocztkowe JeÑli dwa warunki pocztkowe róóni si od siebie tylko na n-tym miejscu po przecinku to róónica jest powi kszana przez dzia»anie σ (2 krotnie z kaód iteracj) a ν 2 -ν

5 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 5 2) Cig iteracji σ n jest w takim samym stopniu cigiem losowym jak cig rzutów monet: zawsze moóna tak dobraƒ x aby i w zapisie binarnym odpowiada»y kolejnym or»om i reszkom rzutu monet (te cigi s wtedy izomorficzne) 3) chociaŝ badany uk»ad jest deterministyczny i rozpoczyna ruch się z warunku początkowego x [,] na skutek kolejnych iteracji odwzorowania dyskretnego stan jest ergodyczny. Oznacza to: obrazy dowolnego x [,] zblióaj si na odleg»oñƒ ε = 2 -n do kaódego punktu odcinka [,] niesko½czenie wiele razy. Przykład: program Modmap; przyjąć parametry: parametr kontrolny ; warunek początkowy dowolny z zakresu (,); argument modulo ; rząd złoŝenia a następnie 2, 4, 8,

6 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 6 Przesuni cie Bernoulliego jest bezpoñrednim powodem pojawiania si orbit periodycznych: Przyk»ad: x =... (= 2/3) x = σ(x ) =... (= /3) x 2 = σ(x ) =... (= 2/3) Mamy wi c orbit periodyczn o okresie p gdy dobierzemy warunek pocztkowy tak aby jego zapis binarny x =,a a 2...a p a a 2...a p a a 2...a p a a 2...a p itd. Przykład: program Modmap; przyjąć parametry: parametr kontrolny ; warunek początkowy a następnie argument modulo ; rząd złoŝenia Punkt y na orbicie o okresie p jest równieó punktem sta»ym mapy p-krotnie z»oóonej tj. y = σ p (y)

7 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 7 Mechanizm powstawania chaosu deterministycznego w postaci przesuni cia Bernoulliego jest ca»kowicie uniwersalny: - we wszystkich nieliniowych uk»adach dynamicznych pojawia si rozciganie a nast pnie sk»adanie Dla naszego jednowymiarowego odwzorowania σ: Pocztkowo dla x <.5 odwzorowanie σ rozciga odcinek (,x ] o czynnik 2 astępnie, gdy n > n gdzie n takie, óe 2 n x zaczyna odgrywaƒ rol funkcja modulo: odwzorowuje ona x z powrotem w odcinek jednostkowy. Innych moóliwoñci nie ma: bez modulo nie by»oby rozwiza½ ograniczonych do jakiegoñ skończonego obszaru przestrzeni fazowej.

8 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 8 Wyk»adnik Lapunowa Rozciganie powoduje, óe blisko siebie leóące punkty pod wp»ywem odwzorowania nieliniowego f(x n ) oddalaj si od siebie: gdzie λ jest wyk»adnikiem Lapunowa. pełni rolę czasu o wartościach dyskretnych a więc λ jest (średnią prędkością oddalania się (zbliŝania) trajektorii. Jak widaƒ: ε exp ( λ ( x ))= f ( x + ε ) - f ( x ) W granicy otrzymuje si Ñcis»e wyraóenie na wykładnik Lapunowa λ(x ): λ ( x )= lim lim = = lim lim ε ln F ( x df ( ln x dx - i = ) ln f ( xi ) + ε ) - ε f ( x )

9 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 9 Wykladnik Lapunowa mierzy Ñredni ubytek informacji o po»oóeniu punktu na odcinku [,) po jednej iteracji odwzorowania. Wyk»adnik Lapunowa a stabilnoñƒ punktu sta»ego Definicja: Punkt sta»y x * jest lokalnie stabilny, jeśli wszystkie punkty x w pewnym otoczeniu x * s do niego przycigane: inaczej jeñli cig iteracji x,x,x 2,...,x n,... x * Analityczne kryterium lokalnej stabilnoñci jest spe»nione dla warunku: d * dx f(x*) < dlatego, óe odleg»oñƒ od punktu sta»ego: * * * δ n += xn+ - x = f( x + δ n ) - x d * f( x ) * δ n dx Widzimy zwizek pomi dzy wyk»adnikiem Lapunowa a stabilnoñci punktu sta»ego odwzorowania. W»asnoу ta moóe byƒ uogólniona: dodatni wyk»adnik Lapunowa Ñwiadczy o niestabilnoñci rozwizania (ale nie o braku rozwizania).

10 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 Przyk»ad: Odwzorowanie trójktne ("mapa namiotowa"): (x)= a ( x ) 2 Dla a <.5 punkt sta»y x * = jest jedynym punktem stabilnym ca»ego odcinka [,) Dla a >.5 s dwa niestabilne punkty sta»e: i 2a/(+2a). Weïmy n (x n ) dla a=. Jest ono teó kawa»kami liniowe. Przykład: program TentMap Przyjmując dowolny warunek początkowy obszaru basenu atrakcji (,) oraz rząd złoŝenia Prześledzić zachowanie odwzorowania namiotowego dla < a <.5 oraz.5 <a < Sprawdzić, Ŝe dla a = osiąga się punkt stały x * = 2/3. Dla.5 <a < x * = 2a/(+2a)

11 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 Wsz dzie poza przeliczalnym zbiorem punktów: d dx Pochodna ta jest miarą stabilności rozwiązania. n n (x) = 2 j 2 -n gdzie j=,,2,...,2 n Widzimy wi c, óe odleg»oñƒ (prawie) kaŝdej pary punktów x, x +ε roñnie wyk»adniczo z n. Std wyk»adnik Lapunowa jest nie zaleŝny od warunku pocztkowego x λ = ln2 Dla dowolnej wartoñci parametru kontrolnego a λ = ln 2a i zmienia znak dla wartoñci krytycznej a c = /2 Pokaz: Wykładnik Lagunowa w funkcji parametry kontrolnego dla róŝnych odwzorowań Analogia do zjawisk krytycznych fizyki statystycznej: W poblióu punktu krytycznego a c wyk»adnik Lapunowa zmienia si zgodnie z prawem: λ (r - rc ) Wyk»adnik Lapunowa spe»nia wi c rol parametru porzdku w analogii do przejñƒ fazowych fizyki statystycznej stanów równowagi.

12 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 2 Miara niezmiennicza a pocztek: G stoñƒ niezmiennicza ρ(x) odwzorowania jednowymiarowego x n+ = f(x n ), dla x n ε [,], n=,2,... okreñla asymptotyczn g stoñƒ iteracji na odcinku jednostkowym (naturalna g stoñƒ niezmiennicza): i ρ (x) lim δ [ x - f ( x ) ] i= Uk»ad jest ergodyczny jeñli ρ(x) nie zaleóy od warunku pocztkowego x. Pokaz: Miara naturalna dla róŝnych odwzorowań jednowymiarowych W takim przypadku - podobnie jak w fizyce statystycznej - Ñrednie po czasie funkcji g(x) moóna wyraziƒ jako Ñrednie z g stoñci niezmiennicz: lim i= g( x i ) lim i= g[ f i ( x ) ] = ρ (x) g(x) dx

13 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 3 Jest to jednowymiarowy odpowiednik termodynamicznego uñredniania z klasycznej fizyki statystycznej: gdzie o o o x=[p(t),q(t)], A(x) jest dowoln funkcj lim T T T A[x ( t ) ] dt = ρ (x) A(x) wspó»rz dne uogólnione q i p dy uogólnione p spe»niaj równania Hamiltona. W klasycznej fizyce statystycznej operator Liouville'a L okreñla ewolucj w czasie gęstoñci prawdopodobie½stwa w wyraóeniu na Ñredni po zespole statystycznym: ρ& (x,t) = - i Lρ ( x,t) gdzie operator Liouville a: H H L = i - p q q p Ewolucj w czasie g stoñci iteracji ρ(x) odwzorowania dyskretnego okreñla operator Frobenius-Perona: ρ = ρ (y) δ [x - (x) n+ n f (y) ] dy dx

14 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 4 Przyk»ad: Operator Frobeniusa-Perona dla odwzorowania namiotowego Dane jest odwzorowanie: (x) = 2x, 2( - x), 2 x < 2 x tak, óe x i+ = (x i ), i=,,2,... Zamiast analizowaƒ jak odwzorowanie dzia»a na pojedy½czy punkt odcinka (,), rozpatrzmy g stoñƒ pocztkow ρ. Gdy dzia»a na ρ otrzymujemy pewn nowa g stoñc Pρ. U»amek g stoñci Pρ na odcinku [,x] jest x Pρ(s)ds Po jednej iteracji odwzorowania : punkty w [,x] pochodz z przeciwobrazu - ([,x]) odwzorowania - ([,x])= {y : (y) [,x]} (x) X x n - ([,x])

15 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 5 Łatwo obliczyƒ, óe Std x - ([,x])= [, 2 Pρ(s)ds = x 2 x] I [ - ρ(s) ds + x x,] ρ(s) ds JeÑli t funkcj górnej granicy ca»kowania zróŝniczkowaƒ po x otrzymuje si jawną postaƒ operatora Frobeniusa-Perona dla odwzorowania namiotowego: x x Pρ (x)= [ ρ( )+ ρ( - )] G stoñƒ niezmiennicza ma t w»asnoñƒ, óe: ρ (x) = ρ (y) δ [x - (y) ] dy Rozwizaniem tego ostatniego równania s równieó niestabilne punkty sta»e odwzorowania. Jednakóe przy obliczeniach numerycznych (zaokrglenia) jak rówieó na skutek fluktuacji w uk»adach rzeczywistych f prawdopodobie½stwo trafienia w taki niestabilny punkt sta»y jest nieistotne.

16 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 6 Przyk»ad: Dla odwzorowania "namiotowego" (x) z parametrem a = równanie na g stoñƒ niezmiennicz: x x ρ (x) = ρ + ρ i ma rozwizanie: ρ(x) = a wi c jest sta»a na ca»ym odcinku [,]. Odwzorowanie to jest wi c ergodyczne. W wielu wypadkach naturalna g stoñƒ niezmiennicza nie istnieje. p wtedy gdy w wyniku dzia»ania odwzorowania dyskretnego f(x) otrzymuje się asymptotycznie zbiór fraktalny (np. zbiór Cantora). Wtedy wprowadza się (ogólniejszą) gęstość iteracji µ posługując się pojęciem przeciwobrazu f - (x) odwzorowania f(x). Podobnie postąpiliśmy w przykładzie wyprowadzenia operatora Frobeniusa-Perona dla odwzorowania namiotowego. Wtedy mówimy, óe miara µ jest niezmiennicza gdy µ(s) = µ(f - (S)) gdzie S jest zbiorem, na który działa dane odwzorowanie.

17 Dynamika Uk»adów ieliniowych 29 Wykład 2 7 Przykład: Dyfuzja deterministyczna. Program: dyfuzja Uwaga: program wymaga DOS-extendera DOS4GW.EXE w tym samym katalogu lub na ścieŝce. Parametry: Parametr kontrolny.5 Przyjmij warunek początkowy: x = 2.55 Iterując krok po kroku zaobserwuj, w którą stronę trajektoria opuści wykres. Zmień warunek początkowy (klawisz i ) na 2.6 i zaobserwuj w którą stronę teraz trajektoria opuści wykres.