wiczenia z rachunku wyrównawczego Materiały pomocnicze

Transkrypt

1 wiczenia z rachunku wyrównawczego Materiały pomocnicze Kraków 1999

2 2 Spis treści 1. Prawo przenoszenia si b» dów średnich spostrzeŝeń niezaleŝnych od siebie Rozwizywanie uk»adów równa½ liniowych Uk»ad równa½ jednoznacznie okreñlony NadokreÑlony uk»ad równa½ NiedookreÑlony uk»ad równa½: Wyrównanie spostrzeóe½ bezpoñrednich Wyrównanie stacyjne (metod poñredniczc) Prawo przenoszenia si b» dów Ñrednich spostrzeóe½ skorelowanych Algorytmy rozwizywania równa½ normalnych Algorytm Banachiewicza (oparty o zasady rachunku krakowianowego) Algorytm Gaussa (metoda eliminacji kolejnych niewiadomych) Wyrównanie sieci niwelacyjnej metod poñredniczc Wyrównanie stacyjne metod zawarunkowan Wyrównanie sieci niwelacyjnej metod zawarunkowan Doprowadzanie funkcji do postaci liniowej Wyrównanie obserwacji ktowych metod poñredniczc Wyrównanie wspó»rz dnych punktu wcinanego wstecz B» dy Ñrednie wspó»rz dnych, b»d po»oóenia punktu, elipsa b» du po»oóenia Wyrównanie kierunkowego wci cia wstecz Równanie boku w sieci liniowej Warunki w sieciach triangulacyjnych Transformacja wspó»rz dnych

3 3 Definicja: 1. Prawo przenoszenia si b»» dów średnich spostrzeŝeń niezaleŝnych od siebie. Prawo przenoszenia si b»» dów pozwala na obliczanie b» du Ñredniego funkcji spostrzeóe½ niezaleónych, gdy znane s b» dy tych spostrzeóe½ lub innych elementów wchodzcych w sk»ad wzoru funkcji. Wzór na b»»d funkcji: Dana jest funkcja pomierzonych wielkoñci L : i F ' f(l 1,L 2,...,L n ) oraz b» dy Ñrednie tych wielkoñci: µ 1,µ 2,...,µ n Wtedy b»d Ñredni funkcji wyraóa si wzorem: µ F ' ± MF ML 1 2 µ 2 1 % MF ML 2 2 µ 2 2 %... % MF ML n 2 µ 2 n

4 4 Przyk»ad 1. Obliczyƒ b»d Ñredni przyrostów wspó»rz dnych )x i )y dla punktu wyznaczonego metod biegunow. x B P " AB $ A Dane s wspó»rz dne punktów osnowy A i B (traktowane jako bezb» dne), oraz wyniki pomiaru kta $ i d»ugoñci d, a takóe b» dy Ñrednie tych pomiarów. X Y A B d = m µ = ± 0.01 m, d g $ = µ = ± $ g

5 5 Rozwizanie zadania: Obliczenie wspó»rz dnych punktu P: X P ' X A % )x AP Y P ' Y A % )y AP gdzie: )x AP ' d AP ) )y AP ' d AP ) A poniewaó: " AP ' " AB % $ to: )x AP ' d AB %$) )y AP ' d AB %$) Obliczenie b»» dów Ñrednich przyrostów wspó»rz dnych: µ )x ' ± M)x Md AP 2 µ 2 d % M)x M$ 2 µ 2 $ µ )y ' ± M)y Md AP 2 µ 2 d % M)y M$ 2 µ 2 $ a po podstawieniu pochodnych: µ )x ' ± (cos(" AP )) 2 µ 2 d % (d AP ))2 µ 2 $ µ )y ' ± (sin(" AP )) 2 µ 2 d % (d cos(" AP ))2 µ 2 $

6 6 Po podstawieniu danych z przyk»adu otrzymuje si : g " AB = g " AP = )x AP = )y AP = µ )x = ± µ )y = ± Przyk»ad 2. D»ugoу boku zmierzono pi ciokrotnie, ze Ñrednim b» dem pojedynczego pomiaru ±0.03 m. Jaki jest b»d Ñredniej arytmetycznej z tych pi ciu pomiarów? Rozwizanie zadania: Funkcj jest wartoñƒ Ñrednia x, gdzie: B»d Ñredni funkcji to: x ' L 1 % L 2 % L 3 % L 4 % L 5 5 µ x ' ± Mx ML 1 2 µ 2 1 %... % Mx ML 5 2 µ 2 5 Pochodna z x wzgl dem L : i Mx ML ' 1 5 Po uwzgl dnieniu faktu, óe wszystkie pochodne czstkowe s jednakowe i óe Ñrednie b» dy wszystkich spostrzeóe½ s jednakowe, równe 0.03, otrzymujemy: m x ' ± 5@ ' ± Poniewaó 0.03 jest wartoñci b» du Ñredniego spostrzeóe½ µ, a 5 liczb spostrzeóe½ n, powyószy wzór moóna uogólniƒ do postaci: µ x ' ± µ n

7 7

8 8 2. Rozwizywanie uk»adów równa½ liniowych Układ równań nazywamy liniowym, kiedy wszystkie równania mają postać funkcji liniowej, to znaczy, Ŝe występujace w niej niewiadome są w pierwszej potędze, a działania jakie występują między nimi to dodawanie lub odejmowanie Uk»ad równa½ jednoznacznie okreñlony (np. współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych są rozwiązaniem układu równań tych prostych). Sposób wykonania zadania: 1. Dla kaódej z prostych przechodzcych przez dwa punkty u»oóyƒ równanie w postaci: a x % b y % c ' 0 gdzie: a ' y 1 & y 2 b ' x 2 & x 1 c ' x 1 (y 2 & y 1 ) & y 1 (x 2 & x 1 )

9 9 2. Dla kaódej pary prostych zestawiƒ uk»ad równa½: a 1 x % b 1 y % c 1 ' 0 a 2 x % b 2 y % c 2 ' 0 3. PowyŜszy uk»ad równa½ zapisaƒ w postaci macierzowej: A X ' L gdzie: X ' x y A ' a 1 b 1 a 2 b 2 L ' &c 1 &c 2 4. Uk»ad równa½ rozwizaƒ metodami rachunku macierzowego: - zestawiƒ macierz B = [ A -L ] - roz»oóyƒ macierz B na czynniki trapezowe G i H: B ' A &L ' ' H T G &L ) ' ' H T G ) - obliczyƒ wektor niewiadomych X z zaleónoñci: G X ' L ) Przyk»ad: Wspó»rz dne punktów: X Y A 1 1 B 7 1 C 7 9 D Równania prostych:

10 10 AC : -8x + 6y + 2 = 0 BD : -8x - 6y + 62 = 0 2. Uk»ad równa½ do rozwizania: -8x + 6y + 2 = 0-8x - 6y + 62 = 0 3. Ten sam uk»ad równa½ w postaci macierzowej: A. X ' L X ' x y ; A ' &8 6 &8 &6 ; L ' &2 &62 4. Rozk»ad macierzy B na czynniki trapezowe: B ' A &L ' &8 6 2 &8 &6 62 B ' H G ) 'H G &L ) H 11 0 B H 12 H 22 1 G 12 &L ) &L ) 2 B ' &8 0 &8 1 &0.75 & &5 5. Obliczenie wartoñci niewiadomych: X ' L ) 1 & x y ' X ' 4 5

11 NadokreÑlony uk»ad równa½ Jest to taki układ równań, w którym jest więcej równań niŝ niewiadomych. Przykładem takiej sytuacji moŝe być próba wyznaczenia współrzędnych punktu przecięcia się trzech prostych. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe te proste nie przecinają się dokładnie w jednym punkcie. X P 6 P 3 P 2 P P 1 P 5 P 4 Y Zadanie: Obliczyƒ wspó»rz dne punktu P wyznaczonego przez te 3 proste. Sposób wykonania zadania: 1. Dla kaódej z prostych przechodzcych przez dwa punkty u»oóyƒ równanie w postaci: a x % b y % c ' 0 gdzie: a ' y 1 & y 2 b ' x 2 & x 1 c ' x 1 (y 2 & y 1 ) & y 1 (x 2 & x 1 ) 2. Dla kaódej pary prostych zestawiƒ uk»ad równa½:

12 12 a 1 x % b 1 y % c 1 ' 0 a 2 x % b 2 y % c 2 ' 0 3. Aby się przekonaƒ, óe te trzy proste nie przecinaj si w jednym punkcie, lecz daj trzy róóne punkty przeci cia, moŝna kaŝdy z tych układów rozwizaƒ metod wyznacznikow: W ' a 1 b 2 & a 2 b 1 W x ' b 2 c 1 & b 1 c 2 W y ' a 2 c 1 & a 1 c 2 x ' &W x W y ' W y W 4. Zestawiƒ nadokreñlony uk»ad równa½ ( 3 równania o dwóch niewiadomych): P 1 P 2 : a 1 x % b 1 y % c 1 ' 0 P 3 P 4 : a 2 x % b 2 y % c 2 ' 0 P 5 P 6 : a 3 x % b 3 y % c 3 ' 0 5. Zapisaƒ go w postaci macierzowej: X ' L gdzie: A ' a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ; X ' x y ; L ' &c 1 &c 2 &c 3

13 13 W oparciu o te macierze zestawia się układ równań normalnych: (A A) x ' A L który moŝna zapisać stosując notację Gaussa jako: [aa]x % [ab]y ' &[ac] [ab]x % [bb]y ' &[bc] lub: j a 2 x% j aby'& j ac j abx% j b 2 y'& j bc Rozwizaniem takiego uk»adu równa½ jest: ˆx ' A A A L wykazujce w»añciwoñƒ: ˆx & L ˆx & L ' min. 6. Przeprowadziƒ rozwizanie uk»adu równa½ (5): - obliczyƒ macierz: A T A a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ' [aa] [ab] [ab] [bb] gdzie: [aa] ' a 1 a 1 % a 2 a 2 % a 3 a 3 [ab] ' a 1 b 1 % a 2 b 2 % a 3 b 3

14 14 T -1 - obliczyƒ (A A) : T - roz»oóyƒ (A A) na czynniki trójktne R: A T A ' R R [aa] [ab] [ab] [bb] ' R 11 0 R 12 R R 11 R 12 0 R obliczyƒ R : R R ' I R &1 11 R & R &1 R 11 R 12 ' R T T - obliczyƒ (A A) = R. (R ) - obliczyƒ macierz niewiadomych z równania (6).

15 15 X P 6 P 3 P 2 P P 1 P 5 P 4 Y Przyk»ad 1. Wspó»rz dne punktów: X Y P1 2 2 P P P P P Równania prostych: P1P 2: -12x + 6y + 12 = 0 P3P 4: -12x - 6y = 0 P5P 6: - 4x + 12y - 80 = 0

16 16 2. Pary równa½ wyznaczajce punkty przeci cia prostych: P P i P P : -12x + 6y + 12 = x - 6y = 0 P P i P P : -12x - 6y = x + 12y - 80 = 0 P P i P P : -12x + 6y + 12 = x + 12y - 80 = 0 3. Obliczone wspó»rz dne punktów przeci cia prostych: X Y P1P 2 i P3P 4: P P i P P : P P i P P : NadokreÑlony uk»ad równa½: (3 równania o dwóch niewiadomych) -12x + 6y + 12 = 0-12x - 6y = 0-4x + 12y - 80 = 0 5. Zapis macierzowy uk»adu równa½: X ' L gdzie: A ' &12 6 &12 &6 &4 &12 ; X ' x y ;L ' &12 &108 80

17 17 6. Rozwizanie uk»adu równa½: - obliczenie macierzy A T A A A ' A T A &12 &12 &4 6 &6 &12 6 &12 &6 &4 12 ' 304 &48 & T - roz»oóyƒ (A A) na czynniki trójktne R: A T A ' R R [aa] [ab] [ab] [bb] ' R 11 0 R 12 R R 11 R 12 0 R &48 & ' & & obliczyƒ R : R R ' I R &1 11 R & R &1 R 11 R 12 ' R & '

18 18 T T - obliczyƒ (A A) = R. (R ) ' obliczyƒ macierz niewiadomych z równania (6). ˆx ' A A A L ˆx ' &12 &12 &4 6 &6 &12 & '

19 NiedookreÑlony uk»ad równa½: Jest to układ równań, w którym jest wiecej niewiadomych niŝ równań. Układ taki, jeŝeli nie jest sprzeczny, ma nieskończenie wiele rozwiązań. a 1 x % a 2 y % a 3 z ' T 1 b 1 x % b 2 y % b 3 z ' T 2 Z zadaniem tego typu moŝna mieć do czynienia, kiedy wyznaczamy współrzędne punktu na krawędzi przecięcia się dwóch płaszczyzn. Przykład: 1x % 2y % 1z ' 2 1x % 3y % 1z ' 4 Uk»ad ten moóna zapisaƒ w postaci macierzowej : X ' L gdzie: A ' a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ;X ' x y z ;L ' T 1 T 2 A ' ;X ' x y z ;L ' 2 3

20 20 W oparciu o zestawione macierze układa się układ równań korelat: (AA T )k'l gdzie: A ' a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ;k ' k 1 k 2 ;L ' T 1 T 2 czyli: [aa]k 1 % [ab]k 2 ' T 1 [ab]k 1 % [bb]k 2 ' T 2 lub: j a 2 k 1 % j abk 2 'T 1 j abk 1 % j b 2 k 2 'T 2 Rozwizaniem takiego uk»adu jest: k '(AA T ) &1 L Pozwala to na obliczenie poszukiwanych niewiadomych: ˆx ' A T k ' A T (AA T ) &1 L W celu zrealizowania tego wzoru naleóy: - wykonaƒ mnoóenie A.A T '

21 21 T - roz»oóyƒ (A.A ) na czynniki trójktne R: A A T ' R 11 0 R 12 R R 11 R 12 0 R ' obliczyƒ R : R R ' I R &1 11 R & R &1 R 11 R 12 ' R & ' T T - obliczyƒ (AA ) = R. (R ) & & ' 5.5 &4 &4 3 - obliczyƒ macierz niewiadomych : ˆx ' A T A T L ˆx ' &4 &4 2 4 ' &1 2 &1

22 22 Wzory na obliczenie elementów macierzy trójktnych: 1. Rozk»ad na czynniki trójktne: n 11 n n 1n N ' n 21 n n 2n : : ::: : n n1 n n2... n nn N ' R r 11 r r 1n R ' 0 r r 2n !!!!!! r nn Elementy macierzy R oblicza si wed»ug nast pujcych wzorów: r 11 ' n 11 r 1j ' n 1j r 11 dla j'2,3,...,n r ij ' n ij & j i&1 k'1 i&1 n ij & j r ki r kj k'1 r ii r 2 kj dla i'j dla i j

23 23-1 Obliczenie elementów odwrotnoñci R, czyli R. -1 Macierz R i jej odwrotnoñƒ R musz spe»niaƒ nast pujce równanie: R ' I gdzie: I ' !!!!!! Majc dan macierz R: R ' r 11 r r 1n 0 r r 2n !!!!!! r -1 obliczamy elementy macierzy R : r, 11 r, r, 1n R &1 ' 0 r, r, 2n !!!!!! r, wed»ug nast pujcych wzorów: r, ij ' 1 r ij dla i'j r, ij ' & j j&1 k'1 r, ik r kj r jj dla i j

24 24 Przykład: Rozkład macierzy na czynniki trójkątne, obliczanie elementów odwrotności N' N ' R R ' R R ' I 1 3 & 5 6 & & '

25 25 3. Wyrównanie spostrzeóe½ bezpoñrednich O spostrzeŝeniach bezpośrednich mówimy wtedy, kiedy szukana wielkość jest bezpośrednio obiektem pomiaru. Dla kaŝdego pomiaru moŝna wtedy napisać równanie obserwacyjne: L i % v i ' x dla: i ' 1,2,...,n Poprawki oblicza się z równań błędów: v i ' x & L i dla: i ' 1,2,...,n Spostrzeóenia jednakowo dok»adne JeŜeli spostrzeŝenia są jednakowo dokładne wtedy wprowadzamy warunek: [vv] ' min. lub: j v 2 i ' min. Funkcja osiąga minimum kiedy jej pierwsze pochodne są równe zero: [vv] ' v 2 1 % v 2 2 % v 2 3 %... ' (x&l 1 )2 % (x&l 2 ) 2 % (x&l 3 ) 2 %... ' min. M[vv] Mx ' 2(x&L 1 ) % 2(x&L 2 ) % 2(x&L 3 ) %... ' 0 stąd: x ' L 1 % L 2 %... % L n n

26 26 Spostrzeóenia niejednakowo dok»adne: JeŜeli spostrzeŝenia są niejednakowo dokładne, czyli mają róŝne błędy średnie µ, wtedy wprowadzamy warunek: [pvv] ' min. lub: j p i v 2 i ' min. gdzie: p i ' 1 µ 2 i waga i&tego spostrzezenia Funkcja osiąga minimum kiedy jej pierwsze pochodne są równe zero: [pvv] ' p 1 v 2 1 % p 2 v 2 2 % p 3 v 2 3 %... ' ' p 1 (x&l 1 ) 2 % p 2 (x&l 2 ) 2 % p 3 (x&l 3 ) 2 %... ' min. M[vv] Mx ' 2p 1 (x&l 1 ) % 2p 2 (x&l 2 ) % 2p 3 (x&l 3 ) %... ' 0 stąd: x ' p 1 L 1 % p 2 L 2 %...p n L n p 1 % p 2 %... % p n gdzie: p i ' 1 m 2 i waga i&tego spostrzezenia Znając x poprawk v obliczamy z wzoru: i v i ' x & L i

27 27 Kontrola sumowa obliczenia poprawek: [v] ' 0 dla jednakowo dokladnych [pv] ' 0 dla niejednakowo dokladnych Kontrola ogólna: - dla jednakowo dok»adnych: [vv] ' [ll] & [l]2 n - dla niejednakowo dok»adnych: [pvv] ' [pll] & [pl]2 [p] Ocena dok»adnoñci: µ ' ± [vv] n&1 µ x ' ± µ n µ 0 ' ± [pvv] n&1 µ x ' ± µ 0 [p]

28 28 Przykład 1. (Spostrzeóenia jednakowo dok»adne) Wielkoу kta zmierzono 5-krotnie. Obliczyƒ wartoñƒ wyrównan: Tabelaryczny sposób wykonywania oblicze½: Nr L l ll v vv o '48" o '44" o '42" o '46" o '45" [ll]=65 [v]= 0 [vv]=20 x 0 ' 62 o 39 ) 42 )) )x ' [l] n ' 15 5 ' 3 x ' x 0 % )x ' 62 o 39 ) 42 )) % 3 )) ' 62 o 39 ) 45 )) Obliczenia kontrolne: [v] = 0 [vv] ' [ll] & [l]2 n ' 65 & ' 65 & 45 ' 20 Ocena dok»adnoñci: B»d Ñredni spostrzeóe½: µ ' ± [vv] n&1 ' ± 20 4 ' ± 5. ±2.2)) B»d Ñredni wartoñci wyrównanej: µ x ' ± µ n ' ± ±1 ))

29 Przykład 2.Punkt w z»owy w niwelacji (spostrzeóenia niejednakowo dok»adne) 29 Dane: WysokoÑci reperów: Zaniwelowane spadki: D»ugoу [km]: R 1 = m )h 1 = m 1.0 R 2 = m )h 2 = m 2.0 R 3 = m )h 3 = m 0.5 Obliczenie przyblióonych wysokoñci punktu w z»owego: R 1 - )h 1 = = m R 2 - )h 2 = = m R 3 - )h 3 = = m Nr W l d p' 1 d pl pll v pv pvv

30 30 x 0 ' )x ' [pl] [p] ' 3.43 mm x ' [pvv] ' [pll] & [pl]2 [p] ' µ o ' ± [pvv] n&1 ' ±3 93 mm µ x ' ± m o [p] ' ± 2 1 mm

31 31 4. Wyrównanie stacyjne (metod poñredniczc) Wyrównanie stacyjne 1 x y 2 3 W celu wyznaczenia któw x i y zmierzono kty: o '37" o '21" o '55" Zwizki mi dzy pomiarami i niewiadomymi opisuj równania obserwacyjne: L i % v i ' f i (x,y,...) W tym konkretnym wypadku: L 1 % v 1 ' x L 2 % v 2 ' y L 3 % v 3 ' x % y Niewiadome wyraóa si w postaci: x ' x 0 % )x y ' y 0 % )y

32 32 WartoÑci przyblióone niewiadomych: x 0 ' 27 o 45 ) 37 )) y 0 ' 31 o 12 ) 21 )) Po wstawieniu do równa½ obserwacyjnych wyników pomiarów i wartoñci przyblióonych niewiadomych otrzymuje si równania b»» dów: v i ' a i )x % b i )y % l i v 1 ' 1@)x % 0@)y % 0 v 2 ' 0@)x % 1@)y % 0 v 3 ' 1@)x % 1@)y % 3 Prawe strony tych równa½ tworz uk»ad nadokreñlony: 1@)x % 0@)y % 0 ' 0 0@)x % 1@)y % 0 ' 0 1@)x % 1@)y % 3 ' 0 który w postaci macierzowej moóna zapisaƒ w postaci: A@X ' L A ' ; X ' )x )y ; L ' 0 0 &3 Rozwizanie tego uk»adu zapisuje si wzorem: ˆx ' (A A) A L

33 33 A ; &1 ' & & X' &1 &1 Nast pnie oblicza si poprawki v : i V ' ˆx & L V ' v 1 v 2 v 3 ; A ' ; ˆx ' )x )y ; L ' 0 0 &3 &1 &1 A@X' &1 ; V'A@X&L' &1 &2 1 Kontrola ogólna: V ' L & L ˆx V L L L

34 34 Ocena dok»adnoñci spostrzeóe½: µ ' V m&n gdzie: m - liczba spostrzeóe½, n - liczba niewiadomych. µ ' 3 3&2 ' 1.73// Ocena dok»adnoñci niewiadomych: Q 11 Q Q 1m (A &1 ' Q 21 Q Q 2m!!!!!! Q m1 Q m2... Q mm µ xi ' µ Q ii dla i = 1,2,...,m (A &1 ' & & µ x ' 1.41 // ; µ y ' 1.41 //

35 35 5. Prawo przenoszenia si b»» dów Ñrednich spostrzeóe½ skorelowanych. Dane s: funkcja zmiennych skorelowanych: F ' F(x 1,x 2,...,x n ) oraz ich macierz kowariancji: V(x 1 ) cov(x 1,x 2 ) þ cov(x 1,x n ) Q ' cov(x 2,x 1 ) V(x 2 ) þ cov(x 2,x n )!! þ! cov(x n,x 1 ) cov(x n,x 2 ) þ V(x n ) gdzie: V(x i) -jest wariancj i-tej zmiennej, cov(x i,y j) - jest kowariancj zmiennych: i-tej i j-tej. B»d funkcji F wyraóa si wzorem: µ 2 F ' f gdzie: MF Mx 1 f ' MF Mx 2! MF Mx n f - jest macierz pochodnych z funkcji F wzgl dem poszczególnych niewiadomych:

36 36 Przyk»ad 1. (wyrównanie stacyjne) Dane s kty zmierzone na stanowisku: L 1 % v 1 ' x L 2 % v 2 ' y L 3 % v 3 ' z L 4 % v 4 ' x % y L 5 % v 5 ' y % z L 6 % v 6 ' x % y % z 1 x y z oraz ich b»d Ñredni: µ = 10" Macierz kowariancji któw wyrównanych metod spostrzeóe½ poñrednich (uk»ad równa½ nadokreñlony) oblicza si w nast pujcy sposób: Q ' µ ( A A ) &1 gdzie: a 1 b 1 c 1 a 2 a 2 c 2 A ' a 3 b 3 c 3 a 4 b 4 c 4 a 5 b 5 c 5 a 6 b 6 c 6

37 37 W podanym przyk»adzie: A ' ; A ' (A A) &1 ' 0.50 & & & & Macierz kowariancji: Q ' µ (A A) &1 ' 50 &25 0 &25 50 &25 0 &25 50 Przyk»ady obliczenia b»» dów: 1. Obliczyƒ b»d Ñredni pomiaru L po wyrównaniu: 1 F ' F(x,y,z) ' L 1 % v 1 ' x Macierz pochodnych: f ' MF Mx MF My MF Mz ' B»d Ñredni funkcji: µ F ' f f ' ±7.1 ))

38 38 2. Obliczyƒ b»d Ñredni pomiaru L po wyrównaniu: 6 F ' F(x,y,z) ' L 6 % v 6 ' x % y % z Macierz pochodnych: f ' MF Mx MF My MF Mz ' B»d Ñredni funkcji: µ F ' f f ' ±7.1 )) 3. Obliczyƒ b»d Ñredni sumy pomiarów L i L po wyrównaniu: 1 2 F ' F(x,y,z) ' L 1 % v 1 % L 2 % v 2 ' x % y Macierz pochodnych: f ' MF Mx MF My MF Mz ' B»d Ñredni funkcji: µ F ' f f ' ±7.1 ))

39 39 4. Obliczyƒ b»d Ñredni sumy wyrównanych niewiadomych: F ' F(x,y,z) ' y % z Macierz pochodnych: f ' MF Mx MF My MF Mz ' B»d Ñredni funkcji: µ F ' f f ' ±7.1 ))

40 40 6. Algorytmy rozwizywania równa½ normalnych. Dany jest uk»ad równa½ normalnych (np. dla metody poñredniczcej): [aa])x % [ab])y % [ac])z % [al] ' 0 [ab])x % [bb])y % [bc])z % [bl] ' 0 [ac])x % [bc])y % [cc])z % [cl] ' 0 oraz wartoñci kontrolne: [as] = [aa] + [ab] + [ac] + [al] [bs] = [ab] + [bb] + [bc] + [bl] [cs] = [ac] + [bc] + [cc] + [cl] Na przyk»ad: 4)x % 8)y % 12)z & 16 ' 0 8)x % 20)y % 12)z % 28 ' 0 12)x % 12)y % 24)z & 36 ' 0 oraz: [as]= 8 [bs]= 68 [cs]= 12 Przeprowadziƒ rozwizanie układu algorytmami Banachiewicza i Gaussa. Po obliczeniu wartoñci niewiadomych sprawdziƒ czy spe»niaj równanie sumowe: ([aa]%[ab]%[ac]))x % ([ab]%[bb]%[bc]))y% %([ac]%[bc]%[cc]))z % ([al]%[bl]%[cl]) ' 0 24)x % 40)y % 48)z & 24 ' 0

41 Algorytm Banachiewicza (oparty o zasady rachunku krakowianowego): (Tok czynnoñci i wzory s identyczne jak przy rozk»adzie macierzy symetrycznej na czynniki trójktne) [aa] [ab] [ac] [al] [as] [bb] [bc] [bl] [bs] [cc] [cl] [cs] r 11 ' [aa] r 12 ' [ab] r 11 r 13 ' [ac] r 11 r 14 ' [al] r 11 r 1s ' [as] r 11 r 22 ' [bb]&r 2 12 r 23 ' [bc]&r 13 r 22 r 24 ' [bl]&r 14 r 22 r 2s ' [bs]&r 1s r 22 r 33 ' [cc]&r 2 13 &r 2 23 r 34 ' [cl]&r 13 r 14 &r 23 r 24 r 33 r 3s ' [cs]&r 13 r 1s &r 23 r 2s r 33 )z ' &r 34 r 33 )y ' &r 24 &)z@r 23 r 22 )x ' &r 14 &)z@r 13 &)y@r 12 r 11

42 42 Przyk»ad 1. (Algorytm Banachiewicza) i i i )z ' 4 )y ' &3 )x ' &2 24)x % 40)y % 48)z & 24 ' 0

43 Algorytm Gaussa (metoda eliminacji kolejnych niewiadomych) [aa] [ab] [ac] [al] [as] I 1 '& [ab] [aa] I 2 '& [ac] [aa] I 3 '& [al] [aa] [bb] [bc] [bl] [bs] I [ab] I [ac] I [al] I [as] [cc] [cl] [cs] I [ac] I [al] I [as] [bb1] [bc1] [bl1] [bs1] I 4 '& [bc1] [bb1] I 5 '& [bl1] [bb1] [cc1] [cl1] [cs1] I [bc1] I [bl1] I [bs1] [cc2] [cl2] [cs2] I 6 '& [cl2] [cc2] )z ' I 6 )y ' I 4 )z % I 5 )x ' I 1 )y % I 2 )z % I 3

44 44 Przyk»ad 2. (Algorytm Gaussa) )z ' I 6 '4 )y ' I 4 )z % I 5 ' &3 )x ' I 1 )y % I 2 )z % I 3 ' &2 24)x % 40)y % 48)z & 24 ' 0

45 45 Wykonanie ƒwiczenia: Z ƒwiczenia Wyrównanie stacyjne wykorzystaƒ macierze A,P,L do u»oóenia równa½ normalnych: (A & (A ' 0 gdzie: A ' a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2!!!! a n b n c n d n ; P ' p þ 0 0 p 2 0 þ 0!!! þ! þ p n ; L ' &l 1 &l 2! &l n ; x ' )x )y )z )t ; Moóna to przedstawiƒ w zapisie klasycznym w nast pujcej postaci: [paa])x % [pab])y % [pac])z % [pad])t % [pal] ' 0 [pab])x % [pbb])y % [pbc])z % [pbd])t % [pbl] ' 0 [pac])x % [pbc])y % [pcc])z % [pcd])t % [pcl] ' 0 [pad])x % [pbd])y % [pcd])z % [pdd])t % [pdl] ' 0 A ' [paa] [pab] [pac] [pad] [pab] [pbb] [pbc] [pbd] [pac] [pbc] [pcc] [pcd] [pad] [pbd] [pcd] [pdd] &A ' [pal] [pbl] [pcl] [pdl] Przeprowadziƒ rozwizanie algorytmami Gaussa i Banachiewicza. 7. Wyrównanie sieci niwelacyjnej metod poñredniczc

46 Dane s wysokoñci reperów R i R, oraz zaniwelowane róónice wysokoñci i 1 2 d»ugoñci odpowiadajcych im cigów niwelacyjnych. Przeprowadziƒ wyrównanie przyjmujc za niewiadome wysokoñci punktów w z»owych sieci. 46 )h R 1 1 )h 4 R 2 )h 2 )h 3 )h 5 )h 7 y )h 6 z Dane: WysokoÑci reperów: Zaniwelowane spady: D»ugoÑci[km]: R = )h = R = )h = )h = )h = )h = )h = )h = Równania obserwacyjne: Wagi : p i ' 1 d i )h + v = R - x p = )h + v = R - y p = )h + v = x - y p = )h + v = x - R p = )h + v = x - z p = )h + v = y - z p = )h + v = R - z p =

47 47 Obliczenie przyblióonych wartoñci niewiadomych: x 0 = R 1 - )h 1 = y 0 = R 1 - )h 2 = z 0 = R 2 - )h 7 = Równania b»» dów: v 1 = - )x + l 1 l 1 = R 1 - x 0 - )h 1 = 0 v = - )y + l l = R - y - )h = v = )x - )y + l l = x - y - )h = v = )x + l l = x - R - )h = v = )x - )z+ l l = x - z - )h = v = )y - )z + l l = y - z - )h = v = - )z + l l = R - z - )h = Utworzenie macierzy A,L,P i x : & & &1 0 &1 A ' ; L ' 7 ; 1 0 & & & )x P ' ; x ' )y )z

48 48 Obliczenie estymatora macierzy x: ˆx ' A A L 2.57 &0.4 & A & &1 ; (A &1 ' &0.5 & X' &2.48 Obliczenie macierzy poprawek V: V ' ˆx & L V' &4.29 & ontrola ogólna: V ' L & L ˆx V L L L Ocena dokładności:

49 49 µ o ' ±4,14mm; µ x ' ±2,71mm; µ y ' ±3,21mm; µ z ' ±2.46mm 8. Wyrównanie stacyjne metod zawarunkowan Dane: Kty zmierzono na stanowisku metod róónych kombinacji: g c cc g c cc g c cc g c cc g c cc Kty te powinny spe»niaƒ nast pujce warunki: $ 1 % v 1 % $ 2 % v 2 & ($ 3 % v 3 ) ' 0 $ 2 % v 2 % $ 3 % v 3 & ($ 5 % v 5 ) ' 0 Na ich podstawie tworzy si równania odchy»ek: v 1 % v 2 & v 4 % T 1 ' 0 v 2 % v 3 & v 5 % T 2 ' 0 gdzie: T 1 ' $ 1 % $ 2 & $ 4 ' 8 cc T 2 ' $ 2 % $ 3 & $ 5 '&16 cc

50 50 Uk»ad ten moóna zapisaƒ w postaci macierzowej : V ' W gdzie: v 1 A ' & &1 ; V ' v 2 v 3 v 4 ; W ' &T 1 ' &8 &T 2 16 v 5 Rozwizaniem takiego uk»adu jest: ˆV ' A T ) W celu zrealizowania tego wzoru naleóy: - wykonaƒ mnoóenie A.A T T - roz»oóyƒ (A.A ) na czynniki trójktne R: A A T ' R 11 0 R 12 R R 11 R 12 0 R '

51 obliczyƒ R : R R ' I R &1 11 R & R &1 R 11 R 12 ' R & ' T T - obliczyƒ (AA ) = R. (R ) A@A T &1 ' & & ' & obliczyƒ macierz poprawek spostrzeóe½ : ˆV ' A T A T W V' & & &8 16 ' & &7 Obliczone w ten sposób poprawki spe»niaj warunek [vv]=min. Błąd średni spostrzeŝeń: µ'± V m&n ' ± V r ' ±8.72 cc r - liczba równań warunkowych.

52 52 Kontrola: v 1 % v 2 & v 4 % T 1 '&5%2&5%8' 0 Obserwacje wyrównane: v 2 % v 3 & v 5 % T 2 ' 2%7%7&16' 0 $ 1 + v 1 = = $ 2 + v 2 = = $ 3 + v 3 = = $ 4 + v 4 = = $ 5 + v 5 = = g c cc cc g c cc g c cc cc g c cc g c cc cc g c cc g c cc cc g c cc g c cc cc g c cc

53 53 Wzory dla przypadku spostrzeóe½ niejednakowo dok»adnych. Spostrzeóenia niejednakowo dok»adne charakteryzuj si róónymi wagami, które zapisuje si w postaci macierzy przektniowej: P ' p 1 0 þ 0 0 p 2 þ 0!!!! 0 0 þ p m Wtedy rozwizaniem uk»adu równa½ jest: ˆV ' P A T ) gdzie: P &1 ' 1 p 1 0 þ p 2 þ 0!!!! 0 0 þ 1 p m W celu zrealizowania tego wzoru naleóy: -1 T - wykonaƒ mnoóenie A.P.A -1 T - roz»oóyƒ (A.P.A ) na czynniki trójktne R: -1 - obliczyƒ R : -1 T T - obliczyƒ (A.P.A ) = R. (R ) - obliczyƒ macierz poprawek spostrzeóe½ : ˆV ' P A T ) Obliczone w ten sposób poprawki spe»niaj warunek [pvv]=min.

54 54 9. Wyrównanie sieci niwelacyjnej metod zawarunkowan Dane s wysokoñci reperów R i R, oraz zaniwelowane róónice wysokoñci i 1 2 d»ugoñci odpowiadajcych im cigów niwelacyjnych. R 1 )h 1 )h 4 R2 )h 3 )h 5 )h 2 )h 7 y )h 6 z Dane: WysokoÑci reperów: Zaniwelowane spady: D»ugoÑci[km]: R = )h = R = )h2= )h = )h = )h = )h = )h = Ogóln liczb warunków w sieci niwelacyjnej oblicza si z wzoru: w ' n & p % p ) gdzie: w - liczba warunków n - liczba zaniwelowanych spadów p - liczba wszystkich punktów sieci p'- liczba reperów

55 55 w tym mi dzy reperami naleóy u»oóyƒ: w ) ' p ) & 1 warunków. W danej sieci otrzymujemy ogóln liczb warunków: w = = 4 w tym: w' = 2-1 = 1 warunków mi dzy reperami. Warunki mi dzy reperami uk»ada si w nast pujcy sposób: R 1 & )h 1 & v 1 & )h 4 & v 4 & R 2 ' 0 Pozosta»e warunki to tak zwane zamkni cia oczek siatki: )h 1 % v 1 % )h 3 % v 3 & )h 2 & v 2 ' 0 )h 5 % v 5 & )h 6 & v 6 & )h 3 & v 3 ' 0 )h 4 % v 4 % )h 7 % v 7 & )h 5 & v 5 ' 0 Na ich podstawie uk»ada si równania odchy»ek: &v 1 & v 4 % T 1 ' 0 v 1 % v 3 & v 2 % T 2 ' 0 v 5 & v 6 & v 3 % T 3 ' 0 v 4 % v 7 & v 5 % T 4 ' 0 gdzie: T 1 ' R 1 & )h 1 & )h 4 & R 2 ' 7mm T 2 ' )h 1 % )h 3 & )h 2 '&1mm T 3 ' )h 5 & )h 6 & )h 3 '&4mm T 4 ' )h 4 % )h 7 & )h 5 ' 6mm

56 56 Uk»ad ten moóna zapisaƒ w postaci macierzowej : V ' W v 1 A' &1 0 0 & & &1 0 1 &1 0 ; V' v 2 v 3 v 4 ; W' & &1 0 1 v 5 &6 v 6 v 7 Do wyrównania obserwacji niejednakowo dokładnych wprowadzamy przektniową macierz wag: P ' p 1 0 þ 0 0 p 2 þ 0!!!! 0 0 þ p m Wtedy rozwizaniem uk»adu równa½ jest: ˆV ' P A T ) gdzie: P &1 ' d 1 0 þ 0 0 d 2 þ 0 ; czyli: P &1 '!!!! þ d m

57 57 W celu zrealizowania tego wzoru naleóy: -1 T - wykonaƒ mnoóenie A.P.A -1 T - roz»oóyƒ (A.P.A ) na czynniki trójktne R: -1 - obliczyƒ R : -1 T T - obliczyƒ(a.p.a ) = R. (R ) - obliczyƒ macierz poprawek spostrzeóe½ : ˆV ' P A T ) A@P T ' 2.5 &1 0 &1.5 &1 5 &2.5 0 ; (A@P T ) &1 ' 0 & &2 &1.5 0 & V' & &2.55 Obliczone w ten sposób poprawki spe»niaj warunek [pvv]=min. Błąd średni (błąd jednostkowy) spostrzeŝeń: µ o ' V m&n ' &3 ' 4.10mm km

58 Doprowadzanie funkcji do postaci liniowej Problem ten wyst puje zarówno w metodzie spostrzeóe½ poñrednich, jak i zawarunkowanych. Funkcja wióca niewiadome i spostrzeóenia w metodzie poñredniej, lub funkcja na»oóona na spostrzeóenia w metodzie zawarunkowanej ma bardzo cz sto postaƒ nieliniow. W celu doprowadzenia jej do postaci liniowej stosuje si rozwini cie funkcji w szereg Taylora z pomini ciem wyrazów stopnia wyószego nió pierwszy. Ogólnie, moóna to zapisaƒ w nast pujcej formie: F(x,y,z,...) ' F(x 0,y 0,z 0 )% %... Mx 0 My 0 Mz 0 gdzie: F - dana nieliniowa funkcja niewiadomych x,y,z,...; x 0,y 0,z 0 - przyblióone wartoñci niewiadomych; MF Mx 0, MF My 0, MF, Mz 0 )x, )y, )z - przyrosty niewiadomych. - wartoñci pochodnych czstkowych obliczone dla przyblióonych wartoñci niewiadomych; Ograniczenie szeregu Taylora jedynie do wyrazów stopnia pierwszego pociga za sob wymaganie by wartoñci )x,)y,)z by»y ma»e. Co to znaczy ma»e - zaleóy od rodzaju funkcji - czy jest szybko czy wolno zmienna. Przyk»ad 1. F = x 2 Po doprowadzeniu do postaci liniowej mamy: 2 F = x 0 + 2x 0 )x Jeóeli wartoñƒ przyblióona x 0=100, wtedy : F = )x

59 2 Porównanie wartoñci obliczonych dla funkcji F = x i dla jej liniowego przyblióenia w punkcie x 0=100 czyli dla F'= )x: 2 x x F róónica W kolumnie róónica zestawiono wartoñci F-F'. Na ich podstawie moóna oceniƒ, jakie wartoñci )x moóna uznaƒ za dopuszczalne. Doprowadzenie funkcji do postaci liniowej F=x 2 Punkt stycznoñci (x 0 ) x 0 x

60 Wyrównanie obserwacji ktowych metod poñredniczc Równanie kta w sieciach geodezyjnych zestawia si jako funkcj wspó»rz dnych punktów zwizanych z danym ktem. $ % v $ ' " P & " L gdzie: " i ' f i (X P, Y P, X S, Y S, X L, Y L ) x L " L " P $ S P Funkcja f moóe wyst powaƒ w jednej z nast pujcych postaci: " L ' arc tg Y L & Y S X L & X S " P ' arc tg Y P & Y S X P & X S " L ' arc sin Y L & Y S d SL " P ' arc sin Y P & Y S d SP " L ' arc cos X L & X S d SL " P ' arc cos X P & X S d SP

61 Jeóeli przyjmie si, óe tylko wspó»rz dne punktu S s niewiadomymi, rozwini cie w szereg Taylora kaódej z tych funkcji ma doprowadziƒ do powstania nast pujcego równania liniowego o dwóch niewiadomych: " ' " 0 % a S % b S 61 a S ' M" Mx S ; b S ' M" My S gdzie: Gdy niewiadomymi s wszystkie wspó»rz dne punktów, wtedy po rozwini ciu w szereg Taylora otrzymuje si dla kta nast pujce równanie liniowe: $ % v $ ' " P0 & " L0 % a S % b S % a P % b P & a L & b L Niezaleónie od tego, któr z przedstawionych wyóej funkcji rozwijamy w szereg, obliczone pochodne wyraóaj si zawsze takimi samymi wzorami: a P ' Y S &Y P d 2 b P ' &(X S &X P d 2 SP a L ' Y S &Y L d 2 b L ' &(X S &X L d 2 SL a S ' a L & a P b S ' b L & b P Wyraz wolny dla równania b» dów oblicza si jako: l $ ' " P0 & " L0 & $ Wtedy równanie b» dów dla kta przyjmuje nast pujc postaƒ: v $ ' % a S % b S % a P % b P & a L & b L % l $ Sk»adniki równania, dotyczce punktów znanych opuszcza si, gdyó z góry wiadomo, óe ich )x i )y s równe 0 (wspó»rz dne bezb» dne).

62 Przykład: Dane są współrzędne bezbłędne punktów stałych L, P (punktów celu) oraz współrzędne przybliŝone stanowiska S (wierzchołka mierzonego kąta). Znana jest równieŝ wartość pomierzonego kąta $, dla którego naleŝy ułoŝyć równanie poprawki i doprowadzić je do postaci liniowej. 62 Dane: X Y L P So o / // $ o = Równanie poprawki: S β L P $%v $ '" P &" L 'arctg Y P &Y S X P &X S &arctg Y L &Y S X L &X S Niewiadomymi w tym równaniu są współrzędne punktu S, czyli X S oraz Y S. Rozwinięcie w szereg Taylora: $%v $ ' " Po &" Lo % *" P *X S & *" L *X S % *" P *Y S & *" L *Y S Równanie błędów dla kąta: v $ 'a S %b S %l $ gdzie: l - wyraz wolny - róŝnica pomiędzy wartością teoretyczną kąta $ (obliczoną z azymutów) i jego wartścią praktyczną (pomierzoną), X = X + )x ; Y = Y + )y S So S S So S )x S, )y S - nowe niewiadome - niewielkie nieznane przyrosty współrzędnych.

63 63 Obliczenie współczynników przy niewiadomych: a S ' Y So &Y L & Y So &Y P d 2 SL d 2 // ' & % 4 b S ' &X So &X L d 2 SL % X So &X P d 2 // ' % 4 Obliczenie wyrazu wolnego: l $ '" Po &" Lo &$'135 o & 45 o &90 o 00 / 20 // '&20 // Ostateczna postać równania błędu: v $ '&85,944@)x S % 601,606@)y S & 20

64 Wyrównanie wspó»rz dnych punktu wcinanego wstecz B A C 1 2 P 3 D Dane: - Wspó»rz dne punktów znanych A, B, C i D. - Wyniki pomiaru któw $,$ i $ Tok oblicze½: 1. Obliczyƒ wspó»rz dne przyblióone punktu wcinanego P (x 0, y 0). 2. U»oóyƒ równania obserwacyjne dla któw $ 1,$ 2 i $ U»oóyƒ równania b» dów ( w postaci macierzowej moóna zapisaƒ je nastepujco): A@X ' L A ' a 1 b 1 a 2 b 2 ; X ' b 3 a 3 )x )y ; L ' l 1 l 2 l 3 Rozwizanie tego uk»adu zapisuje si wzorem: ˆx ' (A A) A L 4. Jeóeli poprawki )x i )y s wi ksze nió 1 mm, naleóy powtarzaƒ etap 3 tak d»ugo aó b d mniejsze od przyj tej wartoñci.

65 65 5. Obliczenie poprawek spostrzeóe½: V ' ˆx & L 6. Kontrola ogólna: V ' L & L ˆx 7. Ocena dok»adnoñci spostrzeóe½: µ ' V m&n gdzie: m - liczba spostrzeóe½, n - liczba niewiadomych. 8. Ocena dok»adnoñci niewiadomych: Q 11 Q Q 1n (A &1 ' Q 21 Q Q 2n!!!!!! Q n1 Q n2... Q nn µ xi ' µ Q ii dla i=1,2,...,n

66 66 Przykład. Przeprowadzić wyrównanie ścisłe metodą pośredniczącą wcięcia kątowego wstecz. Dane: X Y A B C D PO $ 1 = $ 2 = $ 3 = O / // O / // O / // Obliczone azymuty: RóŜnice azymutów: Wyraz wolny: o / // " PA = o / // " PB = o / // " PC = o / // " PD = o / // // l 1 = - 40 o / // // l 2 = - 50 o / // // l 3 = 20 Obliczenie współczynników kierunkowych: a PA ' Y P &Y // ' d 2 PA b PA ' &X P &X A d 2 PA a PB ' Y P &Y B d 2 PB b PB ' &X P &X B d 2 PB 0 ' // ' 400 ' // '& 300 // ' 300 ' 343,775 Współcz. przy niewiadomych: a = 343,775 1 b = 171,887 1

67 67 a PC ' Y P &Y // '& 400 d 2 '&515,662 PC b PC ' &X P &X C d 2 PC a PD ' Y P &Y D d 2 PD b PD ' &X P &X D d 2 // ' 0 ' // ' &300 // ' &300 '&343,775 a = 171,887 2 b = 343,775 2 a = -171,887 3 b = 343, Równania błędów: v 1 = 343,775 )x + 171,887)y v 2 = 171,887 )x + 343,775)y v 3 = -171,887 )x + 343,775)y + 20 Zapis macierzowy. (A X = L): A' 343, , , ,775 &171, ,775 ; X' )x P )y P ; L' &20 Wektor niewiadomych i wektor poprawek: X'(A 0,1338 0,0349 V'A@X&L' Ocena dokładności: 12 &15 9 Q'(A &1 ' 6,09&6 &1,4 &6 &1,4 &6 4,06 &6 ; µ'21.2 // µ x ' 0.052m µ y ' 0.042m Wyrównane współrzędne: Wyrównane obserwacje: X P = ,134 = 400,134 $ 1 = = O / // // O / // Y P = 0 + 0,035 = 0,035 $ 2 = = O / // // O / // $ 3 = = O / // // O / //

68 13. B»» dy Ñrednie wspó»rz dnych, b»»d po»oóenia punktu, elipsa b»» du po»oóenia W analizie dokładności wyrównywanych sieci geodezyjnych często uŝywamy następujących parametrów: - błędy średnie współrzędnych, - błąd połoŝenia punktu, - elipsy błędów (parametry elips błędów). 68 X µ X, µ Y - b» dy wspó»rz dnych x, y punktu P µ P - b»d po»oóenia punktu P a, b - pó»osie elipsy b» du " - kt skr cenia uk»adu X' µ Y " " P b = (µ Y ) min " Y Y' B» dy Ñrednie wspó»rz dnych µ x, µ y s niezmiennikami (zachowuj sta» wartoñƒ) dla translacji (przesuni cia), natomiast zmieniaj si w przypadku obrotu (skr cenia) uk»adu. B»d po»oóenia punktu (µ ) jest niezmiennikiem zarówno dla przesunięcia jak P i dla obrotu uk»adu wspó»rz dnych. µ P ' µ 2 x % µ2 y

69 Parametry elipsy b» du po»oóenia (", a, b) pokazuj natomiast, w jakich kierunkach wyst puje maksymalna (minimalna) wartoñƒ b» du. Parametry te moóna obliczyƒ w oparciu o znajomość macierzy kowariancyjnej współrzędnych wyrównanych punktu P. Wzory na obrót (skręcenie) układu o kąt ": 69 x ) ' x@cos"%y@sin" y ) ' y@cos"&x@sin" Parametry a, b obliczamy z prawa przenoszenia się błędów. Wzory ostateczne: a'µ x )'(µ x ) max b'µ y )'(µ y ) min a 2 ' µ 2 "@Q xx % sin 2 "@Q yy % 2@Q b 2 ' µ 2 "@Q yy % sin 2 "@Q xx & 2@Q tg2"' 2@Q xy Q xx &Q yy Q xx, Q yy, Q xy & elementy macierzy kowariancji punktu P

70 70 Przykład: W oparciu o znajomość macierzy kowariancyjnej punktu P i błędu średniego obserwacji obliczyć błędy współrzędnych, błąd połoŝenia punktu P oraz parametry elipsy błędu średniego. 1. Dane wyjściowe: Q x ' µ'±2mm 2. Błędy współrzędnych: µ x ' ±2@ 1 mm'±2mm µ y ' ±2@ 4 mm'±4mm 3. Błąd połoŝenia punktu P: µ P ' 2 2 % 4 2 mm'4,47mm 4. Parametry elipsy błędu połoŝenia punktu P: - kąt skrętu tg(2") ) ' 3 &3 (2") ) '&50 g 2"'400 g & 50 g ' 350 g "'175 g - długości półosi elipsy a'2@ 1@cos 2 175%4@sin 2 175%3@sin175@cos175 mm'1,23mm b'2@ 4@cos 2 175%1@sin 2 175&3@sin175@cos175 mm'4,30mm 5. Kontrola a 2 % b 2 ' 4,47mm'µ P

71 Wyrównanie kierunkowego wci cia wstecz. Na stanowisku P zmierzono kierunki do punktów znanych A, B, C i D. Znane s wspó»rz dne przyblióone punktu P. Obserwacje musz spe»niaƒ nast pujce równania: Kr 1 % v 1 % z' " PD Kr 2 % v 2 % z' " PC Kr 3 % v 3 % z' " PB Kr 4 % v 4 % z' " PA gdzie z jest niewiadom orientacyjn, czyli azymutem zera limbusa:

72 72 W celu u»oóenia równa½ b» dów naleóy rozwinƒ praw stron równania w szereg Taylora, oraz przeprowadziƒ orientacj stanowiska, aby obliczyƒ przyblióon wartoñƒ niewiadomej orientacyjnej z. 0 Tabela orientacji stanowiska. Stanowisk Cel Nr Kr " "-Kr Kr0 l= o kierunk "-Kr u o o o o D '00" 30 00'04" 30 00'04" 30 00'06" -2 o o o P C '05" 60 00'10" 30 00'05" 60 00'11" -1 o o o o o B '08" '15" 30 00'07" '14" +1 o o o o A '12" '20" 30 00'08" '18" +2 0 o z 0 = 30 00'06" Nast pnie dla kaódego kierunku uk»ada si równanie b» dów postaci: v i ' &)z % a i )x P % b i )y P % l i T Utworzona na tej podstawie macierz równa½ normalnych A A b dzie mia»a wymiar 3x3, tj. 3 równania o 3 niewiadomych. Istnieje moóliwoñƒ zmniejszenia tego uk»adu równa½ przez wyeliminowanie niewiadomej orientacyjnej )z.

73 Rozwizanie uk»adu równa½ normalnych w oparciu o równania b» dów zredukowane: 73 gdzie: v i ' A i )x P % B i )y P % L i )z ' j a n A i ' a i & j a n B i ' b i & j b n L i ' l i & j l n daje identyczne wyniki na )x i )y jak przedstawiony wyóej uk»ad z trzema niewiadomymi. Po wyliczeniu )x i )y oblicza si )z: )x P % j b n )y P % j l n

74 74 Przykład. Przeprowadzić wyrównanie ścisłe metodą pośredniczącą wcięcia kierunkowego wstecz. Dane: X Y A B C D PO O / // K 1 = O / // K 2 = K 3 = K 4 = O / // O / // Tabela orientacji stanowiska Stano- Cel Nr Kierunek Azymut z o = "-K K 0 = K +zo W. wolny wisko kier. K " l = "-K o o o o A '00" 0 00'00" '00" '10" 50" o o o o P B '40" 45 00'00" '20" 44 59'50" 10" o o o o C '30" 90 00'00" '30" 90 00'40" -40" o o o o D '10" '00" '50" '20" -20" o Stała orientacji: z 0 = '10" 0 Obliczenie współczynników kierunkowych (w tym przykładzie korzystamy z wyników obliczeń dla wcięcia kątowego - przykład z rozdz. 12.): a = - a = 0 b = - b = -515,662 1 PA 1 PA a = - a = 343,775 b = - b = -343,775 2 PB 2 PB a = - a = 515,662 b = - b = 0 3 PC 3 PC a = - a = 343,775 b = - b = 343,775 4 PD 4 PD

75 75. Równania błędów: v 1 = - 515,662)y - )z v 2 = 343,775 )x - 343,775)y - )z +10. v 3 = 515,662 )x - )z v 4 = 343,775 )x + 343,775)y - )z - 20 Zapis macierzowy. (A X = L): 0 &515,662 &1 343,775 &343,775 &1 A' 515,662 0 &1 343, ,775 &1 ; X' )x P )y P )z ; L' &50 & Wektor niewiadomych i wektor poprawek: 0,132 X'(A 0, Ocena dokładności: V'A@X&L' &3,5 7,9 &7,1 2,6 Q'(A &1 ' 1,17 &5 &4,18 &6 0,00407 &4,18 &6 3,78 &6 &0, ,00407 &0, ,7 ; µ'11.5 // µ x ' 0.039m µ y ' 0.022m Wyrównane współrzędne: X = ,13 = 400,132 P Y = 0 + 0,036 = 0,036 P Wyrównane obserwacje: O / // // O / // K 1 = = O / // // O / // K 2 = = O / // // O / // K 3 = = K 4 = = O / // // O / //

76 Równanie boku w sieci liniowej. Bok jako funkcja wspó»rz dnych punktów, mi dzy którymi ten bok zmierzono, charakteryzuje nast pujce równanie obserwacyjne: L AB % v AB ' (X B &X A ) 2 % (Y B &Y A ) 2 Rozwini cie funkcji w szereg Taylora: (X B &X A ) 2 % (Y B &Y A ) 2 ' ' (X B0 &X A0 ) 2 % (Y B0 &Y A0 ) 2 % MF MX A 0 )x A % MF MY A 0 )y A % MF MX B 0 )x B % MF MY B 0 )y B gdzie: MF MX A 0 ' 1 2 (X B0 &X A0 ) 2 % (Y B0 &Y A0 ) 2 2 (X B0 &X A0 ) (&1) ' & X B0 &X A0 d AB0 MF MY A 0 ' 1 2 (X B0 &X A0 ) 2 % (Y B0 &Y A0 ) 2 2 (Y B0 &Y A0 ) (&1) ' & Y B0 &Y A0 d AB0

77 77 Ostatecznie moóna zapisaƒ te pochodne w postaci: MF MF ' & cos" MX AB A MY 0 A MF MF ' cos" MX AB B MY 0 B 0 ' & sin" AB 0 ' sin" AB Std otrzymuje si równanie b» dów: v d ' & cos" AB )x A & sin" AB )y A % cos" AB )x B % sin" AB )y B % l AB gdzie: l AB ' (X B0 &X A0 ) 2 % (Y B0 &Y A0 ) 2 & L AB Przyk»ad 1. X Y A B Wartoу zmierzona: L Równanie b» dów: AB = m v AB ' & 0.6)x A & 0.8)y A % 0.6)x B % 0.8)y B & 0.02

78 Przykład 2: Dane są współrzędne przybliŝone punktów A, B oraz pomierzona długość boku AB. UłoŜyć równanie poprawki dla długości i doprowadzić je do postaci liniowej. Dane: X Y Ao Bo d = 424,251 m AB Równanie poprawki: L d % v d ' d AB ' (X B &X A ) 2 % (Y A & Y B ) 2 78 Niewiadomymi w tym równaniu są współrzędne punktów A i B. Rozwinięcie w szereg Taylora: L d % v d ' d o % *d *X A % *d *Y A % *d *X B % *d *Y B Równanie błędów dla długośc i: v d ' a A % b A % a B % b B % l d gdzie: d o - długość przybliŝona boku AB (obliczona ze współrzędnych przybliŝonych), l d - wyraz wolny - róŝnica pomiędzy długością przybliŝoną i jej wartością pomierzoną, X = X + )x ; Y = Y + )y A Ao A A Ao A X = X + )x ; Y = Y + )y B Bo B B Bo B )x, )y - nowe niewiadome - niewielkie nieznane przyrosty współrzędnych.

79 79 Obliczenie współczynników przy niewiadomych i wyrazu wolnego: a A '&cos" AB '& 2 2 ; b A '&sin" AB '& 2 2 a B ' cos" AB ' 2 2 ; b B ' sin" AB ' 2 2 l d ' d o & L d ' (700&400) 2 % (500&200) 2 & 424,251'13mm Ostateczna postać równania błędu: v d '& 2 A & 2 A % 2 B % 2 B % 13

80 Warunki w sieciach triangulacyjnych W sieciach triangulacyjnych dane s wspó»rz dne punktów nawizania, oraz zmierzone kty: Wzory na liczb warunków: Ogólna liczba warunków: w = n-2p+3+st+2e gdzie: n - liczba zmierzonych któw + liczba baz p - liczba wszystkich punktów sieci st - liczba sta»ych któw e - liczba niezaleónych poligonów zamkni tych i otwartych W tej liczbie mieszcz si nast pujce rodzaje warunków: Warunki figur: w = l -p +1 tr 2 i gdzie: l 2 - liczba celowych dwustronnych p - liczba stanowisk instrumentu i

81 81 Warunki horyzontu: w = h h gdzie: h - liczba punktów, na których zmierzono kty wokó» horyzontu Warunki sinusowe: w = l - (2p-3) s gdzie: l - liczba wszystkich celowych (boków sieci) p - liczba wszystkich punktów w sieci Warunki bazowe: w = b - 1 b gdzie: b - liczba baz (boków o znanych d»ugoñciach) Warunki sta»ego kta: w = st st gdzie: st - liczba sta»ych któw Warunki poligonowe: w = 2e e gdzie: e - liczba poligonów Ogólna liczba warunków w sieci triangulacyjnej wyraóa si wzorem: w ' w tr % w h % w s % w b % w st % w e Dla przyk»adu przedstawionego na rysunku: Ogólna liczba warunków: w = n-2p+3+st+2e = 11 gdzie: n=19 - liczba zmierzonych któw + liczba baz p=6 - liczba wszystkich punktów sieci st=1 - liczba sta»ych któw e=0 - liczba niezaleónych poligonów zamkni tych i otwartych W tej liczbie mieszcz si nast pujce rodzaje warunków: Warunki figur: w = l -p +1 = 6 tr 2 i gdzie: l =11 - liczba celowych dwustronnych 2 p =6 - liczba stanowisk instrumentu i

82 82 Warunki horyzontu: w = h = 1 h gdzie: h=1 - liczba punktów, na których zmierzono kty wokó» horyzontu Warunki sinusowe: w = l - (2p-3) = 2 s gdzie: l=11 - liczba wszystkich celowych (boków sieci) p=6 - liczba wszystkich punktów w sieci Warunki bazowe: w = b - 1 = 1 b gdzie: b=2 - liczba baz (boków o znanych d»ugoñciach) Warunki sta»ego kta: w = st = 1 st gdzie: st=1 - liczba sta»ych któw Warunki poligonowe: w = 2e = 0 e gdzie: 0 - liczba poligonów Ogólna liczba warunków w sieci: w = Sposób pisania warunków: - Warunki figur: Np. dla trójkta ADB: $ 1 % v 1 % $ 12 % v 12 % $ 13 % v 13 & 180E ' 0 Pozosta»e warunki figur moóna napisaƒ np. dla trójktów: ADE, BDE, DEF, DFC, DCB

83 83 Warunki horyzontu: $ 13 % v 13 % $ 14 % v 14 % $ 15 % v 15 % $ 16 % v 16 % $ 17 % v 17 & 360E ' 0 Warunki sinusowe: Pierwszy warunek: AD DE DB DA ' 1 sin($ 10 %v 10 ) sin($ 11 %v 11 sin($ 2 %v 2 ) sin($ 9 %v 9 sin($ 12 %v 12 ) sin($ 1 %v 1 ) ' 1 Drugi warunek: DE DF DC DB DE ' 1 sin($ 7 %v 7 ) sin($ 8 %v 8 %$ 9 %v 9 sin($ 5 %v 5 ) sin($ 6 %v 6 sin($ 2 %v 2 %$ 3 %v 3 ) sin($ 4 %v 4 sin($ 9 %v 9 ) sin($ 2 %v 2 ) ' 1 Warunek bazowy: AB BD BC ' AB BC sin($ 13 % v 13 ) sin($ 12 %v 12 sin($ 4 %v 4 ) sin($ 17 %v 17 ) ' AB AC Warunek sta»ego kta: $ 1 % v 1 % $ 2 % v 2 % $ 3 % v 3 & T ' 0 gdzie: T ' " BC & " BA

84 Transformacja wspó»rz dnych [X] X P " i X 0 Y 0 Y [Y] Transformacj wspó»rz dnych dla uk»adu z liczb punktów dostosowania większą niŝ 2 moóemy przeprowadzić przy zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów (transformacja z wyrównaniem). Wspó»rz dne punktów przeliczamy korzystajc ze znanych wzorów dla transformacji: X & X 0 ' (x & x 0 )@C & (y & y 0 )@S Y & Y 0 ' (y & y 0 )@C % (x & x 0 )@S C'k@cos"; S'k@sin" gdzie " - kt skr tu uk»adu pierwotnego wzgl dem uk»adu wtórnego, k - wspó»czynnik skali. (x, y); (X, Y) - wspó»rz dne punktu transformowanego w uk»adzie (odpowiednio) pierwotnym i wtórnym,

85 (x, y ); (X, Y ) - wspó»rz dne pewnego dowolnie obranego punktu (np. Ñrodka ci ókoñci figury okreñlonej przez zbiór punktów dostosowania) - odpowiednio w uk»adzie pierwotnym i wtórnym, 85 x o ' 1 s j 1 s x i ; X o ' 1 j X i ; 1 y o ' 1 s j Y o ' 1 j y i 1 s Y i 1 Równania poprawek: v Xi % A i ' a v Yi % B i ' b A i ' (X i & X o ); B i ' (Y i & Y o ) a i ' (x i &x o ); b i ' (y i &y o ) i'1,2,...,s ; s&liczba punktów dostosowania. Układ równań błędów (o liczbie równań 2 s) moŝemy zapisać w postaci. T. -1 T. macierzowej (A X = L) i rozwiązać wg znanego wzoru: X = (A A) A L. Niewiadomymi w tym układzie są parametry S i C. Tok obliczeń: 1. Obliczamy wielkości x, y, X, Y, a, b, A, B według powyŝej podanych o o o o i i i i wzorów. 2. Z metody najmniejszych kwadratów ([vv] = min) otrzymujemy ostatecznie: C' s j 1 A i % B i s j 1 a 2 i % b 2 i ; S' s j 1 A i & B i s j 1 a 2 i % b 2 i Parametry C, S są wynikiem rozwiązania nadokreślonego układu równań błędów.

86 86 3. Następnie obliczamy pozostałe parametry transformacji (", k): k' C 2 % S 2 ; cos"' C k ; sin"' S k 4.Wspó»rz dne wyrównane punktów transformowanych (łącznie z punktami dostosowania) obliczamy ze wzorów: X'(x&x o )@k@cos"%(y&y o )@k@sin"%x o ' (x&x o )@C%(y&y o )@S%X o Y'(y&y o )@k@cos"&(x&x o )@k@sin"%y o ' (y&y o )@C&(x&x o )@S%Y o 5. Poprawki na punktach dostosowania: V x 'X&X; V y 'Y&Y 6. Analiza dokładności przeprowadzonej transformacji: - Ðredniokwadratowe b» dy wspó»rz dnych: M x ' ('V 2 x ) s ; M y ' ('V 2 y ) s - B»d transformacji: M t ' M 2 x %M 2 y

87 87 Przyk»ad: Transformacja wspó»rz dnych Nr pkt Uk»ad pierwotny Uk»ad wtórny x y X Y , , , , , , , , , , ,091 89, , , ,000 0, ,000 50, , , , , ,000 0,000 x y X Y o o o o 266, ,667 2, ,607 s a b A B i i i i 1-366, , , , , , , , , , , ,137 C = -0,747 S = -0,671 k = 1, cos " = -0, sin " = -0, " = 153,

88 88 Nr pkt RóŜnice współrz. Wspólrz. wyrównane Poprawki wspó»rz. x - x y - y X Y V V o o w w x y , , , ,418-0,217 0, , , , ,199 0,337-0, , , ,211 89,205-0,120-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,218 Ocena dokładności M = 0,2416 x M = 0,2989 y M = 0,3843 P