Liczby półpierwsze (Semiprimes)

Transkrypt

1 Agnieszka Szczepańska Liczby półpierwsze (Semiprimes) Liczby półpierwsze (ang. semiprimes w bazach danych przyjęto uŝywać pisowni "semiprime", nie "semi-prime".) - liczby posiadające dokładnie dwa czynniki pierwsze w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze. Są to liczby n takie, Ŝe OMEGA(n)=2 gdzie OMEGA(n) jest sumą liczb pierwszych w rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze. Liczba półpierwsza takŝe zwana jest inaczej 2-prawie pierwszą (2- almost prime), bipierwszą (biprime ) lub pq - liczbą ( pq - number) jest to liczba n złoŝona naturalna, która jest postaci p*q ( p moŝe być równe q) gdzie p i q są liczbami pierwszymi. Oto kolejne początkowe liczby półpierwsze: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187 Interesującą własnością takich liczb jest następujące stwierdzenie: LICZBY PÓŁPIERWSZE WYSTĘPUJĄ MAKSYMALNIE PO TRZY OBOK SIEBIE

2 Wynika to z podzielności przez 4. Nie moŝe być 4 kolejnych liczb półpierwszych, bo jedna z nich byłaby podzielna przez 4, a więc podzielna przez 2 i przez dwa, zatem musiałaby być równa 4. Ale 4 nie naleŝy do Ŝadnej czwórki kolejnych liczb półpierwszych, bo 3 i 5 nie są półpierwsze. Oto trójki kolejnych liczb półpierwszych mniejszych niŝ 1000: (33,34,35) (85,86,87) (93,94,95) (121,122,123) (141,142,143) (201,202,203) (213,214,215) (217,218,219) (301,302,303) (393,394,395) (445,446,447) (633,634,635) (697,698,699) (841,842,843) (921,922,923) Przykładowe faktoryzacje: 33=3x11 34=2x17 35=5x7 85=5x17 86=2x43 87=3x29 93=3x31 94=2x47 95=5x19 Interesującą ciekawostką jest liczba 216 = (2 3) 3, z której obu stron znajdują się trójki liczb półpierwszych.

3 Kwadrat kaŝdej liczby pierwszej jest z definicji liczbą półpierwszą. Największą znaną liczbą półpierwszą jest dlatego kwadrat największej znanej liczby pierwszej. W marcu 2008 największą znana liczbą pierwszą była odkryta przez projekt Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS): 2 32,582,657 1 Dlatego największa znaną liczbą półpierwszą jest (2 32,582,657 1) 2, która ma ponad 19 milionów cyfr. Pierwsze w kolejności liczby półpierwsze których czynniki są róŝne (tj. niekwadratowe liczby półpierwsze ) : 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194, 201, 202, 203, 205 Wzór na liczbę półpierwszą mniejszą lub równą n jest dany wzorem :

4 Gdzie jest π x funkcją która wyznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych od danej liczby x, p zaś jest k-tą liczbą pierwszą. Liczb półpierwszych mniejszych od 10 dla n = 1, 2, 3 jest odpowiednio 3, 34, 299, 2625, 23378, , , , , , , , , Dla n=pq z p i q róŝnymi od siebie funkcja Eulera (czyli tocjent; funkcja określona jest na dodatnich liczbach całkowitych, która dla danej liczby n ma wartość - ilość liczb względnie pierwszych z liczbą n, nie większych od niej, przy czym 1 jest traktowana jako względnie pierwsza z kaŝdą liczbą) spełnia równanie: Liczby półpierwsze odgrywają znaczącą rolę w kryptografii, bowiem liczba czynników pierwszych ma bezpośredni związek ze złoŝonością obliczeniową faktoryzacji. Szyfrowane algorytmy takie jak szyfr RSA polegają na specjalnych duŝych liczbach które mają w swych rozkładach dwie duŝe liczby pierwsze. PoniŜsza tabela przedstawia kilka liczb pierwszych będących produktem dwóch duŝych i róŝnych liczb pierwszych: n=pq Liczba cyfr w n Liczba cyfr w p Liczba cyfr w q 38!

5 RSA RSA RSA Liczby półpierwsze są bardzo uŝyteczne w kryptografii i teorii liczb, szczególnie w państwowych kluczach kryptograficznych, gdzie są one uŝywane przez RSA i pseudolosową liczbę generatorów w rodzaju Blum Blum Shub. Te metody polegające na fakcie znalezienia dwóch wielkich liczb pierwszych i powiększenia ich razem są obliczeniowo proste, podczas gdy znalezienie pierwotnych czynników wydaje się być trudne. W RSA Factoring Challenge, RSA Security zaproponowało nagrody za rozkład specjalnych wielkich liczb półpierwszych i kilka tych nagród zdobyto. Wyzwanie zamknięto w Ciekawa jest takŝe Wiadomość Arecibo (przesłanie z Arecibo, przekaz z Arecibo, transmisja z Arecibo) - wiadomość radiowa skierowana do potencjalnych obcych cywilizacji pozaziemskich, wyemitowana w kosmos 16 listopada 1974 roku, za pomocą największego ziemskiego radioteleskopu w Arecibo. Wiadomość zawierała zakodowane w kodzie dwójkowym informacje o strukturze kwasu DNA, wyglądzie człowieka, liczbie ludzi na Ziemi, miejscu Ziemi w Układzie Słonecznym oraz samym radioteleskopie w Arecibo. Została wysłana w kierunku kulistej gromady gwiazd M13 w gwiazdozbiorze Herkulesa (Gromada Herkulesa, NGC 6205). Długość wiadomości wynosiła 1679 bitów. liczba 1679 = był wybierana dlatego Ŝe to jest liczba półpierwsza i dlatego tylko moŝe być postaci 23 rzędów i 73 kolumn,

6 albo 73 rzędów i 23 kolumn. Wysłana została na częstotliwości 2380 MHz (długości fali 12,6 cm). Nadawano ją przez trzy minuty. Wiadomość została zaprojektowana przez Franka Drake'a (dyrektora obserwatorium w Arecibo) i zespół osób pracujących w tym obserwatorium. Pomysłodawcami wysłania przez radioteleskop tego przekazu byli naukowcy z Cornell University, m.in. Carl Sagan. Prawidłowo odczytana, wiadomość zawiera 73 wiersze po 23 znaki (zera i jedynki). Kolejne wiersze opisują: Liczby od 1 do 10 w zapisie dwójkowym. Liczby atomowe podstwowych pierwiastków z których zbudowane są związki organiczne: wodór, węgiel, azot, tlen i fosfor. Składniki kwasu DNA (nukleotydy: adenina, tymina, cytozyna i guanina; deoksyryboza i reszty fosforanowe) Prosty schemat podwójnej spirali DNA (Ilość nukleotydów w DNA oraz podwójna helisa DNA) Średnie wymiary człowieka; Postać człowieka; Liczba ludzi na Ziemi (liczba mieszkańców naszej planety w listopadzie 1974 roku) Schemat Układu Słonecznego Schemat czaszy Radioteleskopu w Arecibo oraz średnica teleskopu (305 metrów. Graficzne przedstawienie komunikatu z Arecibo pierwszej próby nawiązania przez ludzkość komunikacji z obcymi:

7 Materiały zaczerpnięte z :