Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r.

Transkrypt

1 Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 018r. XVI POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POD PATRONATEM STAROSTY POWIATU WODZISŁAWSKIEGO ORGANIZOWANY PRZEZ POWIATOWY OŚRODEK DOSKONALENIA NAUCZYCIELI W WODZISŁAWIU ŚL. Czysta matematyka jest najlepszą grą na świecie. Jest bardziej zajmująca niż szachy, ma w sobie więcej hazardu niż poker i trwa dłużej niż rozgrywka w Monopol. Jest za darmo i nie zna żadnych ograniczeń. Można w nią grać wszędzie - Archimedes robił to w wannie. Richard J. Trudeau W części pierwszej znajdują się zadania zamknięte. Za każde z nich możesz zdobyć 4 punkty. W kratkach obok pytań zakreśl prawidłową odpowiedź. W części drugiej znajdują się zadania otwarte, uważnie zapisz rozwiązanie każdego z nich. W tej części oceniane będą rozwiązanie i sposób zapisania Twojego toku myślenia. Postaraj się dokładnie opisać, jak uzyskałeś/łaś wynik? W tym konkursie nie używamy kalkulatorów. Zadanie 1 Prawdą jest, że: Zadania zamknięte Dla dowolnej liczby a i liczby b zachodzi a b a b Jeżeli funkcje g(x) i h(x) są określone w tym samym zbiorze i są rosnące, to funkcja określona wzorem f(x)=g(x)+ h(x) jest rosnąca Dla dowolnej liczby a i liczby b zachodzi a b a b Jeżeli b>0 to zachodzi a b b a b

2 Zadanie Dana jest funkcja: f(x)= 3 x 4 x. Prawdą jest: Dziedziną tej funkcji jest zbiór <-7;1> Funkcja f(x) ma jedno miejsce zerowe x o =-1 Dziedziną funkcji jest zbiór R/ f(3)=0,4 Zadanie 3 Prawdą jest: Wielokąt jest opisany na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu. Punkt przecięcia symetralnych wszystkich boków wielokąta wypukłego jest środkiem okręgu opisanego na wielokącie W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Suma miar kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi 70 o Zadanie 4 Po rozłożeniu na czynniki wielomian w(x)=x 4-4x ++x 3 x przyjmuje postać: (x -x-)(x-1)(x+1) (x +x-)(x-1)(x+1) (x ) ( x (x ) ( x )(x-1)(x+1) )(x-1)(x+1) Zadanie 5 Wiedząc, że (a-1)(1+a+a + +a n-1 )=a n -1 zaznacz prawidłowo zapisaną sumę algebraiczną: (x 4 +x 3 +x +x+1)(x-1)=x 5-1 (6x 3 +4x +x+1)(x-1)=16x 4-1 (x 5 + x 4 +x 3 +x +x+1)(x-1)=x 6-1 (8x 3 +4x +x+1)(x-1)=16x 4-1

3 Zadanie 6 O równaniu 7x(x-)(5x+3)(x -4)(x+0,5)(x-1) =0 można powiedzieć: jest stopnia ósmego ma siedem różnych pierwiastków 0,5 jest jego dwukrotnym pierwiastkiem ma trzy różne pierwiastki całkowite Zadanie 7 mx O nierówności 0 można powiedzieć: x 1 jej dziedziną jest R / 1 ma dwa różne pierwiastki dla m=0 nierówność jest prawdziwa dla każdego x R jest zawsze prawdziwa, gdyż licznik i mianownik są dodatnie Zadanie 8 Prawdą jest: liczba jest podzielna przez 17 liczba 3 n+ - n+ +3 n - n jest wielokrotnością liczby 11 różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4 nieprawdziwa jest nierówność Zadanie 9 Dana jest funkcja f(x)=-x -6x. osią symetrii jej wykresu jest x=1,5 rzędna wierzchołka wynosi 4,5 funkcja rośnie w przedziale ;1, 5 jest to funkcja parzysta

4 Zadanie 10 Prawdą jest, że o prostych o równaniach y= i y = x można powiedzieć: Miara kąta między prostymi wynosi 35 o Miara kąta między prostymi wynosi 15 o Przecinają się w punkcie A ( 1 3; 1 3) Przechodzą przez ćwiartki I, II i III Zadanie 11 o o Wiedząc, że tg i 0 ; 90 i można powiedzieć, że: cos 7 sin kwadrat różnicy sin i cos.. wynosi. 1 sin cos 6 3 cos sin o 4 3 Zadanie 1 3 Obliczając wartość f dla funkcji f ( x) 3 x otrzymujemy:

5 Zadanie 13 Zacieniowana figura, gdzie występujące łuki są półokręgami oraz AB = BC = CD =3 cm ma: Pole= 6,5 cm Pole 6,75 cm Obwód= 3 cm Obwód= 3,5 cm Zadanie 14 Przekątna trapezu równoramiennego ma długość równą 6cm i 1 cm. Prawdą jest: 97 cm, a podstawy długości równe Pole trapezu=36 cm Wysokość trapezu =5 cm cos 0, 6,gdzie α jest katem między ramieniem trapezu a dłuższą podstawą Obwód trapezu=8 cm Zadanie 15 Prawdą jest: Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. m Ułamek nieskracalny Ma rozwinięcie dziesiętne skończone wtedy n i tylko wtedy, gdy liczbę n można zapisać w postaci 5 l. k Symetralne boków trójkąta nie zawsze przecinają się w jednym punkcie Między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi znajdują się liczby niewymierne.

6 Zadania otwarte Zadanie 1 Wykaż, że styczne do okręgu x +y -8x+4y+15=0 poprowadzone przez punkt A(3;1) są prostopadłe. Zadanie Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n 4 +7(7+n ) dzieli się przez 64. Zadanie 3 Istnieje dokładnie jedna funkcja f spełniająca dla dowolnej liczby rzeczywistej x równość f(x) + f(1 x) = x.wyznacz jej wzór. Zadanie 4 Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą. Zadanie Zakładamy, że a, b 0, 1 i a + b 1. Sprawdź, czy z równości 1wynika, a b 1 a b że a = -b? Zadanie 6 Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a +b =7, to a 4 +b 4 =31.