Rozpoznawanie obrazów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozpoznawanie obrazów"

Transkrypt

1 Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie może znajdować się twarz (y = 1) lub nie (y = 0). Zebrano następujące dane dotyczące trzech obrazów: φ 1 (x) φ 2 (x) y Tabela 1: Dane dla trzech obrazów. Chcemy przewidywać czy na nowym obrazie znajduje się twarz, czy nie. Klasyfikacja wieloklasowa Dla dźwięku x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Rozpoznajemy wypowiedziane słowa, którym nadajemy odpowiednio indeksy ze zbioru y {1, 2, 3}. Zebrano następujące dane dotyczące czterech sygnałów dźwiękowych: φ 1 (x) φ 2 (x) y Tabela 2: Dane dla czterech sygnałów dźwiękowych. Dla nowego sygnału x chcemy rozpoznać słowo y. Modele Naive Bayes i Gaussian Discriminant Analysis (GDA) Ekstrakcja cech Ekstrakcja cech musi być dostosowana do rozpatrywanego zagadnienia klasyfikacji. Zakładamy, że została ona wykonana wcześniej. 1

2 Model Rozpatrzmy model o następującej postaci: p(φ y) = N (φ µ y, Σ y ) gdzie µ y jest wektorem średnich dla klasy y, Σ y jest macierzą kowariancji dla klasy y, oraz p(y) = M(y θ) jest rozkładem wielopunktowym o parametrach θ. Wyznacz i odpowiedz: ˆ Zapisać wartość klasy w schemacie 1-na-K, reprezentując ją jako wektor 0-1 y. ˆ Wyznaczyć rozkład łączny p(φ, y). ˆ Jak upraszcza się p(φ y), jeśli przyjmiemy macierz kowariancji następującej postaci: Σ y = diag(σ 2 y). (Naive Bayes) ˆ Który z modeli GDA czy Naive Bayes zastosujesz, gdy wymiar φ jest wysoki, a który, gdy niski? ˆ Podaj liczbę parametrów dla GDA i Naive Bayes, gdy mamy D-wymiarowy wektor cech i K klas. ˆ Wyjaśnij pojęcie modelowania generującego (ang. generative modeling). ˆ Do czego uprości się rozkład wielopunktowy M(y θ) w przypadku klasyfikacji binarnej? Uczenie Oznaczmy parametry modelu przez Θ = {µ 1,..., µ K, Σ 1,..., Σ K, θ}. Dla ciągu obserwacji D = {(φ n, y n )} N n=1 wyznacz i odpowiedz (dla GDA i Naive Bayes): ˆ funkcję wiarygodności; ˆ kryterium uczenia l ML (Θ) (ujemny logarytm funkcji wiarygodności); ˆ gradienty względem odpowiednich parametrów z kryterium uczenia l ML (Θ); ˆ wartości poszczególnych parametrów z Θ minimalizujące kryterium uczenia; ˆ Jaki rozkład a priori standardowo wprowadza się na parametry rozkładu wielopunktowego, a jaki na parametry rozkładu normalnego? 2

3 Predykcja Wyznacz: ˆ rozkład warunkowy p(y φ) korzystając ze wzoru Bayesa; ˆ Dla rozkładu warunkowego p(y φ) wyznaczyć optymalny model y(φ) minimalizujący ryzyko (średnią stratę) w podejmowaniu decyzji. Przyjąć 0-1 funkcję straty 0, y = y L(y, y) = 1, y y. ˆ Dla K = 2 i D = 1, gdzie µ 0 = 1, µ 1 = 4, σ 2 0 = σ 2 1 = 1 oraz θ = 0.7 wyznacz rozkład warunkowy p(y φ) dla φ = 3 i wyznacz ostateczną predykcję y. 3

4 Rozkład dwupunktowy: DODATEK B(x θ) = θ x (1 θ) 1 x, gdzie x {0, 1} i θ [0, 1] E[x] = θ Var[x] = θ(1 θ) Rozkład wielopunktowy: D D M(x θ) = θ x d d, gdzie x d {0, 1} i θ d [0, 1] dla każdego d = 1, 2,..., D, θ d = 1 d=1 d=1 E[x d ] = θ d Var[x d ] = θ d (1 θ d ) Rozkład normalny: N (x µ, σ 2 ) = 1 { exp 2π σ E[x] = µ Var[x] = σ 2 } (x µ)2 2σ 2 Rozkład normalny wielowymiarowy: { 1 1 N (x µ, Σ) = (2π) D/2 Σ exp 1 } 1/2 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), gdzie x jest wektorem D-wymiarowym, µ D-wymiarowy wektor średnich, Σ macierz D D kowariancji E[x] = µ Cov[x] = Σ Rozkład beta: Γ(a + b) Beta(x a, b) = Γ(a)Γ(b) xa 1 (1 x) b 1, gdzie x [0, 1] oraz a > 0 i b > 0, Γ(x) = E[x] = Var[x] = a a+b ab (a+b) 2 (a+b+1) 0 t x 1 e t dt Rozkład brzegowy: Dla rozkładu ciągłego: p(x) = p(x, y)dy i dla rozładu dyskretnego: p(x) = y p(x, y) 4

5 Rozkład warunkowy: p(y x) = p(x, y) p(x) Rozkład brzegowy i warunkowy dla wielowymiarowego rozkładu normalnego: Załóżmy, że x N (x µ, Σ), gdzie x = x a x b, µ = µ a µ b wtedy mamy następujące zależności: p(x a ) = N (x a µ a, Σ a ), p(x a x b ) = N (x a ˆµ a, ˆΣ a ), gdzie ˆµ a = µ a + Σ c Σ 1 b (x b µ b ), ˆΣ a = Σ a Σ c Σ 1 b Σ T c. Twierdzenie Bayesa:, Σ = Σ a Estymator największej wiarygodności: Σ T c Σ c Σ b, p(y x) = p(x y)p(y) p(x) Danych jest N niezależnych realizacji D = {x 1... x N } wektora losowego x o rozkładzie p(x θ). Funkcją wiarygodności nazywamy następującą funkcję: N p(d θ) = p(x n θ). n=1 Zlogarytmowaną funkcję p(d θ) możemy określić zależnością: N log p(d θ) = log p(x n θ). n=1 Estymatorem największej wiarygodności nazywamy θ ML takie, że Estymator maksymalnego a posteriori: p(d θ ML ) = max p(d θ). θ Dane są rozkład a priori p(θ) parametru θ oraz N niezależnych realizacji D = {x 1... x N } wektora losowego x o rozkładzie p(x θ). Estymatorem maksymalnego a posteriori (MAP) nazywamy θ MAP maksymalizujący rozkład a posteriori: p(θ MAP D) = max p(θ D). θ 5

6 Ryzyko w podejmowaniu decyzji: Ryzyko (średnią stratę) definiujemy jako następujący funkcjonał: gdzie L(, ) oznacza funkcję straty. Wybrane własności wektorów i macierzy: R[y] = L(y, y(x)) p(x, y)dxdy, Dane są wektory x, y i macierz A symetryczna i dodatnio określona. Zachodzą wtedy następujące własności: ˆ y (x y)t A(x y) = 2A(x y) ˆ (x y)t A 1 (x y) A ˆ ln det(a) A = A 1 = A 1 (x y)(x y) T A 1 6

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 2 Detekcja twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się algorytmem gradientu prostego

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium ZALICZENIE Zadanie nr 3 Rozpoznawanie ręcznie pisanych cyfr autorzy: A. Gonczarek, P. Klukowski, J.M. Tomczak, S. Zaręba, M. Zięba Cel zadania Celem

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi. Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, Zestaw zadań ze statystyki matematycznej. Zestaw 1 1 N

Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, Zestaw zadań ze statystyki matematycznej. Zestaw 1 1 N Marek Beśka, Statystyka matematyczna 1 Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, 26.09.2016 Zestaw zadań ze statystyki matematycznej Zestaw 1 Zad. 1. Wykazać, że jeśli X 1, X 2,... są zmiennymi losowymi o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności ekstremalnych

Analiza zależności ekstremalnych Zeszyty Naukowe nr 726 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Statystyki Analiza zależności ekstremalnych. Wprowadzenie W dobie globalizacji gospodarki zarządzający ryzykiem w instytucjach finansowych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie klasyfikacji (dyskryminacji)

Zagadnienie klasyfikacji (dyskryminacji) Zagadnienie klasyfikacji (dyskryminacji) Przykład Bank chce klasyfikować klientów starających się o pożyczkę do jednej z dwóch grup: niskiego ryzyka (spłacających pożyczki terminowo) lub wysokiego ryzyka

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H W O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A W Y D Z I A Ł E L E K T R O N I K I Drukować dwustronnie P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H Grupa... Data wykonania

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku w Lokalnie Ergodycznym Środowisku Tymoteusz Chojecki UMCS, Lublin Tomasz Komorowski IMPAN, Warszawa Kościelisko, 10 września 2016, XLV Konferencja Zastosowań Matematyki T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

4.1. Wprowadzenie...70 4.2. Podstawowe definicje...71 4.3. Algorytm określania wartości parametrów w regresji logistycznej...74

4.1. Wprowadzenie...70 4.2. Podstawowe definicje...71 4.3. Algorytm określania wartości parametrów w regresji logistycznej...74 3 Wykaz najważniejszych skrótów...8 Przedmowa... 10 1. Podstawowe pojęcia data mining...11 1.1. Wprowadzenie...12 1.2. Podstawowe zadania eksploracji danych...13 1.3. Główne etapy eksploracji danych...15

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych METODY ŁĄCZENIA KLASYFIKATORÓW W ANALIZIE DYSKRYMINACYJNEJ

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych METODY ŁĄCZENIA KLASYFIKATORÓW W ANALIZIE DYSKRYMINACYJNEJ Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA MATEMATYKA METODY ŁĄCZENIA KLASYFIKATORÓW W ANALIZIE DYSKRYMINACYJNEJ Autor: Iwona Głowacka Promotor: Prof.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

Techniki uczenia maszynowego nazwa przedmiotu SYLABUS

Techniki uczenia maszynowego nazwa przedmiotu SYLABUS Techniki uczenia maszynowego nazwa SYLABUS Obowiązuje od cyklu kształcenia: 2014/20 Część A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej studiów Poziom kształcenia Profil studiów

Bardziej szczegółowo

Entropia to wielkość określająca liczbę bitów informacji zawartej w danej wiadomości lub źródle. Spełnia ona trzy naturalne warunki: I(s) jest

Entropia to wielkość określająca liczbę bitów informacji zawartej w danej wiadomości lub źródle. Spełnia ona trzy naturalne warunki: I(s) jest Entropia to wielkość określająca liczbę bitów informacji zawartej w danej wiadomości lub źródle. Spełnia ona trzy naturalne warunki: I(s) jest malejącą funkcją prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia s. I(s)

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII NAZWISKO IMIĘ Nr albumu Nr zestawu Zadanie 1. Dana jest macierz Leontiefa pewnego zamkniętego trzygałęziowego układu gospodarczego: 0,64 0,3 0,3 0,6 0,88 0,. 0,4 0,8 0,85 W okresie t stosunek zuŝycia środków

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak

ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak Tytuł: Autor: ZAAWANSOWANE METODY ANALIZ STATYSTYCZNYCH red. Ewa Frątczak Wstęp Zaawansowane metody analiz statystycznych przenoszą analizy statystyczne na kolejny wyższy poziom. Określenie tego wyższego

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo. Rafał Kucharski. Szkoła Letnia Matematyki Finansowej, Tarnów 2012

Metoda Monte Carlo. Rafał Kucharski. Szkoła Letnia Matematyki Finansowej, Tarnów 2012 Metoda Monte Carlo Rafał Kucharski kucharski@math.us.edu.pl www.math.us.edu.pl/rk Szkoła Letnia Matematyki Finansowej, Tarnów 2012 John was assisted by Henry, a foreign quant whose English was incomprehensable,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Entropia Renyi ego, estymacja gęstości i klasyfikacja

Entropia Renyi ego, estymacja gęstości i klasyfikacja Entropia Renyi ego, estymacja gęstości i klasyfikacja Wojciech Czarnecki Jacek Tabor 6 lutego 2014 1 / Wojciech Czarnecki, Jacek Tabor Renyi s Multithreshold Linear Classifier 1/36 36 2 / Wojciech Czarnecki,

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015

teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 1 zakres materiału zakres materiału 1. Czym jest teoria informacji? 2. Wprowadzenie matematyczne. 3. Entropia i informacja.

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 3. DRZEWA DECYZYJNE. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 3. DRZEWA DECYZYJNE. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska. SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 3. DRZEWA DECYZYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska BUDOWA DRZEW DECYZYJNYCH Drzewa decyzyjne są metodą indukcyjnego

Bardziej szczegółowo

Probabilistyka i statystyka - Teoria

Probabilistyka i statystyka - Teoria Probabilistyka i statystyka - Teoria 1 Prawdopodobieństwo 1. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa: P (E) 0 - prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest większe lub równe 0 by Antek Grzanka,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka

O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Wisła 2012, 7.12.2012 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN, Gliwice oraz Zakład Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Śląski, Katowice 7 Czerwca 2005 Plan

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

ZESPOŁY KLASYFIKATORÓW SVM DLA DANYCH NIEZBALAN-

ZESPOŁY KLASYFIKATORÓW SVM DLA DANYCH NIEZBALAN- Politechnika Wrocławska Wydział Informatyki i Zarządzania Instytut Informatyki Rozprawa doktorska ZESPOŁY KLASYFIKATORÓW SVM DLA DANYCH NIEZBALAN- SOWANYCH Maciej Zięba Promotor: prof. dr hab. inż. Jerzy

Bardziej szczegółowo