1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych"

Transkrypt

1 1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych Niech X i Y bȩd a zbiorami Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór X Y = {(x, y) : x X, y Y } Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X X X oznaczane np symbolem,,,,, + itp Grup a nazywamy dowolny zbiór G wraz z dwuargumentowym dzia laniem spe lniaj acym warunki: 1 x,y,z G (x y) z = x (y z), 2 e G x G x e = e x = x, 3 x G y G x y = y x = e Jeżeli ponadto x,y G x y = y x, to G nazywamy grup a abelow a Nietrudno pokazać, że element e grupy G spe lniaj acy warunek (2) jest jedyny i nazywa siȩ elementem neutralnym grupy G, zaś element y spe lniaj acy warunek (3) jest jednoznacznie wyznaczony przez element x i oznaczać go bȩdziemy przez x 1 lub x i nazywać elementem odwrotnym lub przeciwnym W dalszym ci agu bȩdziemy czȩsto pomijać znak dzia lania pisz ac po prostu xy zamiast x y Cia lem nazywamy zbiór K wraz z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami + oraz takimi, że: 1 (K, +) jest grup a abelow a (element neutralny oznaczamy tu przez 0, zaś element przeciwny do elementu x oznaczamy przez x) 2 (K \ {0}, ) jest grup a abelow a (element neutralny oznaczamy tu przez 1, zaś element odwrotny do elementu x 0 oznaczamy przez x 1 ) 3 x,y,z K x (y + z) = (x y) + (x z), (y + z) x = (y x) + (z x) Przyk ladami cia l s a: Q, R, Q( a), Z 2, Z 3 Uwagi historyczne Jeżeli chodzi o cia lo liczb rzeczywistych, to ma le liczby naturalne znane by ly już na niskim poziomie rozwoju kultury i ich zakres

2 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, powiȩksza l siȩ wraz z rozwojem Konieczność pomiarów spowodowa la pojawienie siȩ liczb wymiernych Kilka wieków przed Chrystusem Grecy znali liczby niewymierne (np 2) i operowali nimi geometrycznie Grecy nie znali jednak liczb ujemnych 0 wprowadzili do matematyki Hindusi; w Europie zaczȩto go używać dopiero w średniowieczu Liczby ujemne wprowadzono w okresie odrodzenia W XVI wieku nastȩpuje burzliwy rozwój nauki W matematyce znaczy siȩ on silnym rozwojem algebry W tym czasie podano wzory na obliczanie pierwiastków równań stopnia 3 i 4 w terminach wspó lczynników takiego równania przy wykorzystaniu operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia oraz wyci agania pierwiastków stopnia 3 i 4 W ogólności wzory te jednak mia ly zastosowanie w przypadku gdy umia lo siȩ policzyć 1 Tego jednak nie umiano, bowiem w zakresie liczb jakimi wtedy dysponowano w tym czasie nie znano liczby, która podniesiona do kwadratu dawa laby 1 Czȩść matematyków nie przejmowa la siȩ tym zak ladaj ac istnienie takiego pierwiastka i nazywaj ac go liczb a urojon a Oznaczano j a symbolem i Wprowadzenie tych liczb do rozważań nie mia lo w tym czasie żadnego uzasadnienia logicznego ani oparcia o bezpośredni a intuicjȩ kierowan a przez zjawiska przyrodnicze Powsta ly wskutek tego kontrowersje Jedni używali tych liczb bez żadnego skrȩpowania mnoż ac je przez liczby rzeczywiste i dodaj ac w formalny sposób: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i i wszystko funkcjonowa lo - arytmetyka tych liczb nie doprowadzi la do żadnej sprzeczności Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb dokonane zosta lo dopiero na pocz atku XIX wieku przez Gaussa W zbiorze R R = {(a, b) : a, b R} wprowadzamy dzia lania (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Twierdzenie 11 (R R,, ) jest cia lem w którym równanie X 2 = 1 (tzn X X = 1), gdzie 1 jest elementem przeciwnym do elementu neutralnego mnożenia, ma rozwi azanie Elementy tego cia la nazywamy liczbami zespolonymi a samo cia lo cia lem liczb zespolonych

3 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Dowód polega na bezpośrednim sprawdzeniu aksjomatów cia la Każd a liczbȩ zespolon a z = (a, b) można zapisać w postaci (a, b) = (a, 0) ((b, 0) (0, 1)) i przedstawienie to jest jednoznaczne Oznaczaj ac zatem (0, 1) przez i oraz utożsamiaj ac liczbȩ zespolon a (x, 0) z liczb a rzeczywist a x, otrzymujemy przedstawienie dowolnej liczby zespolonej w postaci a + bi, przy czym przy powyższych utożsamieniach mnożenie i dodawanie takich liczb odbywa siȩ w myśl wprowadzonych wcześniej regu l : (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi) (c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i i mamy ponadto i 2 = 1 W dalszym wiȩc ci agu za zbiór liczb zespolonych przyjmować bȩdziemy zbiór C = {a+bi : a, b R} z powyższymi dzia laniami Na liczbach zespolonych można wykonywać szereg operacji (1) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, (2) z 1 z 2 = z 1 z 2, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) 1/z = 1/ z, (5) z 1 /z 2 = z 1 / z 2 Sprzȩżenie i jego w lasności : C C, a + bi = a bi (1), (2 ) i (3) s a latwe i sprawdza siȩ je bezpośrednim rachunkiem, (4) wynika z (3) zaś (5) z (3) i (4) Czȩść rzeczywista Re i czȩść urojona Im Re, Im : C R, Re(a + bi) = a, Im(a + bi) = b (1) Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ), (2) Im(z 1 + z 2 ) = Im(z 1 ) + Im(z 2 ) Modu l liczby zespolonej

4 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, (1) Re(z) z, Im(z) z, (2) z 2 = z z, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) 1/z = 1/ z, (5) z 1 /z 2 = z 1 / z 2, (6) z 1 + z 2 z 1 + z 2, (7) z 1 z 2 z 1 z 2, (8) z z n z z n : C R, a + bi = a 2 + b 2 (2) Niech z = a + bi Wtedy zz = = z 2 (3) z 1 z 2 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z 2 2 = ( z 1 z 2 ) 2 (4) wynika z (3) a (5) z (3) i (4) (6) 1 = (z 1 + z 2 )/(z 1 + z 2 ) = z 1 /(z 1 + z 2 ) + z 2 /(z 1 + z 2 ) Z w lasności Re: 1 = Re(z 1 /(z 1 + z 2 )) + Re(z 2 /(z 1 + z 2 )) (z 1 /(z 1 + z 2 )) + (z 2 /(z 1 + z 2 )) = ( z 1 + z 2 )/ z 1 + z 2 (7) Mamy z 2 + (z 1 z 2 ) = z 1 a st ad z 1 = z 2 + (z 1 z 2 ) z 2 + z 1 z 2 Zatem z 1 z 2 z 1 z 2 Analogicznie z 1 z 2 = z 2 z 1 z 2 z 1 = ( z 1 z 2 ) Postać trygonometryczna liczb zespolonych Dla 0 z = a + bi mamy przy czym ( Re(z) z = z + i Im(z) ) = ( ) a a z z 2 + b 2 a2 + b + i b, 2 a2 + b 2 ( ) 2 ( ) 2 a b + = 1 a2 + b 2 a2 + b 2 Istnieje wiȩc dok ladnie jedno θ (0 θ < 2π) takie, że cos θ = a a2 + b 2 sin θ = b a2 + b 2

5 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Zatem z = z (cos θ + i sin θ) i gdy 0 θ < 2π to przedstawienie to jest jednoznaczne θ nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczać bȩdziemy arg(z) Lemat 12 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) mod 2π Dowód Niech z 1 = z 1 (cos θ 1 +i sin θ 1 ) oraz z 2 = z 2 (cos θ 2 +i sin θ 2 ) Wtedy z 1 z 2 = z 1 z 2 ((cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 )+i (cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2 )) = z 1 z 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) Wniosek 13 arg(z n ) = n arg(z) mod 2π W szczególności zachodzi wzór (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) zwany wzorem de Moivre a Dowód Indukcja matematyczna na n Pierwiastki z liczb zespolonych Twierdzenie 14 Dla dowolnej liczby zespolonej z 0 i liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n różnych pierwiastków Jeżeli z = z (cos θ + i sin θ) to wszystkie te pierwiastki wyrażaj a siȩ wzorem ( ( ) ( )) θ + 2kπ θ + 2kπ w k = z n cos + i sin n n dla k = 0,, n 1 Dowód Niech w = w (cos ψ + i sin ψ) bȩdzie pierwiastkiem stopnia n z liczby z Wtedy z (cos θ + i sin θ) = z = w n = w n (cos(nψ) + i sin(nψ)) a st ad w = n z, oraz cos θ = cos(nψ), sin θ = sin(nψ) co implikuje nψ θ = 2kπ dla pewnego k Z Zatem ψ = θ + 2kπ n

6 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, dla pewnego k Z Z drugiej strony dla dowolnego k Z ( ( ) ( )) θ + 2kπ θ + 2kπ w k = z n cos + i sin n n jest pierwiastkiem stopnia n z liczby z W końcu w k = w k { cos θ+2kπ = cos θ+2k π n n sin θ+2kπ = sin θ+2k π n n 2(k k )π = 2πm n k k = nm dla pewnego m Zatem w 0, w 1,, w n 1 s a wszystkimi pierwiastkami stopnia n z liczby z Wniosek 15 Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n różnych pierwiastków stopnia n z 1 i wszystkie one maj a postać dla k = 0,, n 1 ( ) ( ) 2kπ 2kπ ε k = cos + i sin n n Dowód 1 = cos 0+i sin 0 a zatem wniosek wynika z poprzedniego twierdzenia Mamy ε k = ε k 1 Pierwiastek ε l stopnia n z jedności o tej w lasności, że każdy inny pierwiastek stopnia n z jedności daje siȩ przedstawić w postaci ε p l dla pewnego 0 p < n nazywa siȩ pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedności Twierdzenie 16 ε l = cos ( ) ( ) 2lπ n + i sin 2lπ n jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy (n, l) = 1 Dowód : Wtedy 1 = ε 0 l, ε 1 l,, ε n 1 l (1)

7 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, s a różne gdyż zawieraj a wszystkie pierwiastki stopnia n z jedności Gdyby istnia lo d > 1 takie, że d n i d l to n = ds, l = dt dla pewnych t, s, gdzie s < n Wtedy jednak ε s l = (ε l 1) s = (ε 1 ) ls = (ε 1 ) dts = (ε ds 1 ) t = (ε n 1) t = 1 t = 1 : (l, n) = 1 Wystarczy pokazać, że wszystkie elementy ci agu (1) s a różne Przypuśćmy, że ε s l = ε t l dla pewnych 0 s t < n Wtedy { cos θ+2lsπ = cos θ+2ltπ n n sin θ+2lsπ = sin θ+2ltπ n n co jest równoważne istnieniu m takiego, że (2π(t s)l)/n = 2πm Zatem (t s)l = mn a st ad n l(t s) Ponieważ jednak (l, n) = 1, wiȩc n (t s) Zatem t = s jako, że 0 t s < n Wniosek 17 Zbiór wszystkich pierwiastków ustalonego stopnia n z jedynki n 1 jest grup a ze wzglȩdu na mnożenie Pierwiastki pierwotne stopnia n z 1 s a generatorami tej grupy w tym sensie, że każdy inny pierwiastek stopnia n z 1 jest potȩg a takiego pierwiastka Dowód Niech z 1, z 2 n 1 Wtedy z1 n = 1 oraz z2 n = 1 St ad (z 1 z 2 ) n = z1 n z2 n = 1 1 = 1 również 1 n = 1 a zatem 1 jest pierwiastkiem stopnia n z 1 W końcu dla dowolnego z n 1, (1/z) n = 1/(z n ) = 1/1 = 1 a zatem n 1 jest grup a Druga czȩść wniosku wynika wprost z definicji Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Liczby rzeczywiste można utożsamiać z punktami osi liczbowej Podobnie liczby zespolone można utożsamiać z punktami p laszczyzny W prostok atnym uk ladzie wspó lrzȩdnych o środku O = (0, 0) liczbie zespolonej z = a + b i odpowiada punkt o wspó lrzȩdnych (a, b) W takiej sytuacji modu l liczby z jest równy d lugości wektora Oz, zaś jej argument pokrywa siȩ z k atem miȩdzy tym wektorem a osi a odciȩtych

8 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, z = d l wektora 0z Analogiczn a interpretacjȩ maj a także liczby sprzȩżone oraz pierwiastki z 1 Niech θ = 2π/n

9 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przestrzenie liniowe Niepusty zbiór V nazywa siȩ przestrzeni a liniow a nad cia lem (K, +, ) jeśli: (a) V jest grup a abelow a z pewnym dzia laniem, (b) Określone jest dzia lanie : K V V spe lniaj ace warunki: 1 α K v,w V α (v w) = (α v) (α w), 2 α,β K v V (α + β) v = (α v) (β v), 3 α,β K v V (α β) v = α (β v), 4 v V 1 v = v Zbiór V nazywamy zbiorem wektorów, dzia laniem dodawania wektorów, dzia laniem mnożenia wektorów przez skalary W dalszym ci agu dzia lania te bȩdziemy oznaczać w taki sam sposób jak dla cia la tzn np dla α, β K, v, w V bȩdziemy pisać αβ(v + w) zamiast (α β) (v w) (z kontekstu bȩdzie wynika lo jakie dzia lanie bȩdziemy mieli na myśli) Przyk lady (1) Zbiór wektorów w E n n = 1, 2, 3 zaczepionych w ustalonym punkcie ze znanym ze szko ly dzia laniem dodawania takich wektorów i mnożenia ich przez liczbȩ jest przestrzeni a liniow a (2) K dowolne cia lo, V = {v} zbiór jednoelementowy Definiujemy v +v = v oraz αv = v dla dowolnego α K V jest przestrzeni a zwan a przestrzeni a zerow a któr a oznaczać bȩdziemy przez 0 (3) V = K Wtedy V jest przestrzeni a liniow a nad K (4) Zbiór K n = {(a 1,, a n ) : a i K} z dzia laniami (a 1,, a n ) (b 1,, b n ) = (a 1 + b 1,, a n + b n ) α (a 1,, a n ) = (αa 1,, αa n ) jest przestrzeni a liniow a zwan a n-wymiarow a przestrzeni a wspó lrzȩdnych (5) Zbiór K = {(a 1, a 2, ) : a i K} z dzia laniami (a 1, a 2, ) (b 1, b 2, ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ) α (a 1, a 2, ) = (αa 1, αa 2, ) jest przestrzeni a liniow a zwan a nieskończeniewymiarow a przestrzeni a wspó lrzȩdnych Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy podprzestrzeni a o ile αw + βw W dla dowolnych αβ K i w, w W

10 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K, zaś A = {v t : t T } uk ladem wektorów z V Mówimy, że v V jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu A o ile istnieje uk lad {α t : t T } elementów cia la K takich, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T (wszystkich z wyj atkiem skończonej ilości) taki, że v = t T α t v t Twierdzenie 21 Niech A = {v t : t T } Bȩdzie niepustym uk ladem wektorów przestrzeni V Wówczas zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów uk ladu A jest podprzestrzeni a przestrzeni V ; jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawieraj aca wszystkie wektory uk ladu A Dowód Niech U bȩdzie uk ladem z lożonym ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów uk ladu A Pokażemy że U jest podprzestrzeni a przestrzeni V Niech v = α t v t w = β t v t t T t T oraz α, β K Wtedy αv + βw = t T(αα t + ββ t )v t Ponieważ pw α t, β t s a równe 0 wiȩc pw αα t + ββ t s a równe 0 St ad αv + βw U a zatem U jest podprzestrzeni a Udowodnimy teraz drug a czȩść twierdzenia Niech W bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni V zawieraj ac a wszystkie wektory uk ladu A Trzeba pokazać, że U W Niech u = t T α t v t U Wtedy prawie wszystkie α t s a równe zero Zatem u = α t1 v t1 + + α tn v tn dla pewnych t 1,, t n T Ponieważ v t1,, v tn W i ponieważ W jest podprzestrzeni a wiȩc u = t T α t v t W Tym samym U W Podprzestrzeń U wystȩpuj ac a w powyższym twierdzeniu nazywać bȩdziemy podprzestrzeni a rozpiȩt a na wektorach uk ladu A lub podprzestrzeni a generowan a przez A i oznaczać j a bȩdziemy przez lin(a) lub lin{v t : t T }, zaś sam zbiór A jej uk ladem generatorów Przestrzeń posiadaj aca skończony zbiór generatorów nazywamy skoczenie gemerowaln a

11 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad (α 1,, α n ) = α 1 (1,, 0) + + α n (0,, 1) Zatem K n = lin{e 1,, e n }, gdzie e i = (0,, i 1,, 0) Niech W bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni liniowej V, zaś v V Wtedy zbiór v + W = {v + w : w W } nazywamy warstw a podprzestrzeni W w przestrzeni V, zaś v reprezentantem tgej warstwy Lemat 22 W V, v 1, v 2 V Wtedy v 1 + W = v 2 + W v 1 v 2 W Dowód : 0 W Zatem v 1 = v 1 +0 v 1 +W = v 2 +W a st ad v 1 = v 2 +w Zatem v 1 v 2 W : Niech v 1 v 2 = w W Pokażemy, że v 1 + W = v 2 + W : x v 1 + W x = v 1 + w 1 = (v 2 + w) + w 1 = v 2 + (w + w 1 ) v 2 + W : x v 2 + W x = v 2 + w 1 = (v 1 w) + w 1 = v 1 + (w 1 w) v 1 + W Twierdzenie 23 Dowolne dwie warstwy s a albo roz l aczne albo równe Dowód Przypuśćmy, że dwie warstwy v 1 + W, v 2 + W nie s a roz l aczne Wtedy istnieje x (v 1 + W ) (v 2 + W ) Zatem x = v 1 + w 1, x = v 2 + w 2 dla pewnych w 1, w 2 W St ad v 1 +w 1 = v 2 +w 2 czyli v 1 v 2 = w 2 w 1 W a zatem v 1 +W = v 2 +W na mocy lematu Przestrzeń ilorazowa Niech V bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni V nad cia lem K i niech V/W oznacza zbiór wszystkich warstw Dla H 1 = v 1 + W, H 2 = v 2 + W V/W definiujemy H 1 H 2 = (v 1 + v 2 ) + W Definicja ta jest poprawna Istotnie niech H 1 = u 1 +W, H 2 = u 2 +W Wtedy v 1 u 1 W, v 2 u 2 W St ad (v 1 +v 2 ) (u 1 +u 2 ) = (v 1 u 1 )+(v 2 u 2 ) W a zatem (v 1 + v 2 ) + W = (u 1 + u 2 ) + W Analogicznie definiuje siȩ mnożenie warstw przez elementy cia la K α (v + W ) = (αv) + W i pokazuje siȩ, że jest ono poprawnie określone

12 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 24 Niech W bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K Wtedy V/W z określonymi wyżej dzia laniami i jest przestrzeni a liniow a zwan a przestrzeni a ilorazow a Suma przestrzeni liniowych Twierdzenie 25 Niech V 1, V 2 bȩd a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V Wówczas zbiór V 1 + V 2 = {v 1 + v 2 : v 1 V 1, v 2 V 2 } jest podprzestrzeni a przestrzeni V zwan a sum a podprzestrzeni V 1 i V 2 Dowód (1) Niech v, w V 1 +V 2, α, β K Wtedy v = v 1 +v 2, w = w 1 +w 2 dla pewnych v 1, w 1 V 1 oraz v 2, w 2 V 2 Zatem αv + βw = (αv 1 + βw 1 ) + (αv 2 + βw 2 ) V 1 + V 2 Przekrój podprzestrzeni Twierdzenie 26 Niech V 1, V 2 bȩd a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V Wówczas przekrój V 1 V 2 jest podprzestrzeni a przestrzeni V Dowód Niech v, w V 1 V 2 i α, β K Wtedy v, w V 1 a zatem αv + βw V 1 Analogicznie αv + βw V 2 Zatem αv + βw V 1 V 2 Suma prosta podprzestrzeni Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest sum a prost a swoich podprzestrzni V 1 i V 2 co oznaczmy V = V 1 V 2 o ile dowolny wektor v V da siȩ jednoznacznie przedstawić w postaci sumy v = v 1 + v 2, gdzie v 1 V 1, v 2 V 2 Twierdzenie 27 V = V 1 V 2 wtedy i tylko wtedy gdy (1) V = V 1 + V 2 oraz (2) V 1 V 2 = 0

13 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód : (1) jest oczywista (2): Niech v V 1 V 2 Wtedy v = v + 0 oraz v = 0+v s a przedstawieniami wektora v V a zatem z jednoznaczności tego przedstawienia v = 0 : Niech v V bȩdzie dowolnym wektorem Wtedy z (1) v = v 1 + v 2 dla pewnych v 1 V 1 i v 2 V 2 Niech teraz v = v 1+v 2 Wtedy v 1 v 1 = v 2 v 2 V 1 V 2 a st ad v 1 v 1 = 0, v 2 v 2 = 0 czyli v 1 = v 1, v 2 = v 2 Mówimy, że skończony uk lad wektorów v 1,, v n jest liniowo niezależny o ile dla dowolnego uk ladu skalarów α 1,, α n takich, że α 1 v α n v n = 0 mamy α 1 = = α n = 0 W przeciwnym wypadku uk lad ten nazywa siȩ liniowo zależny Przyk lad Wektory e 1,, e n K n gdzie e i = (0,, i 1,, 0) s a liniowo niezależne Uk lad wektorów {v t : t T } nazywamy liniowo niezależnym o ile każdy jego skończony poduk lad jest liniowo niezależny Twierdzenie 28 Uk lad wektorów v 1,, v n przestrzeni liniowej V nad cia- lem K jest liniowo zależny dla pewnego k {1,, n} wektor v k jest kombinacj a liniow a pozosta lych wektorów Dowód : Uk lad v 1,, v n jest liniowo zależny wiȩc istniej a α 1,, α n nie wszystkie równe zero takie że α 1 v α n v n = 0 Przypuśćmy, że α k 0 Wtedy v k = β 1 v β k 1 v k 1 + β k+1 v k β n v n, gdzie β i = α i /α k : Niech v k = α 1 v 1 + +α k 1 v k 1 +α k+1 v k+1 + +α n v n Wtedy α 1 v α k 1 v k 1 + ( 1)v k + α k+1 v k α n v n = 0 podczas gdy nie wszystkie wspó lczynniki w tej kombinacji s a równe 0 Zatem wektory v 1,, v n s a liniowo zależne Stwierdzenie 29 Uk lad sk ladaj acy siȩ z jednego wektora v V jest liniowo niezależny v 0 Dowód Latwy na ćwiczenia Stwierdzenie 210 Dowolny uk lad wektorów v 1,, v n zawieraj acy wektor zerowy jest liniowo zależny

14 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Niech v k = 0 Wtedy 0v v k 1 + 1v k + 0v k v n = 0 Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K Uk lad B = {v t : t T } nazywa siȩ baz a przestrzeni V o ile 1 B jest liniowo niezależny 2 Każdy uk lad wektorów A istotnie zawieraj acy B jest liniowo zależny (tzn zbiór B jest maksymalnym, ze wzglȩdu na inkluzjȩ, zbiorem liniowo niezależnym) Przyk lad 211 Uk lad wektorów e i = (0,, i 1, 0) K n i = 1,, n jest baz a przestrzeni K n Twierdzenie 212 V przestrzeń liniowa nad cia lem K, A uk lad wektorów przestrzeni V Nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (1) A jest baz a V, (2) A jest liniowo niezależny i każdy wektor v V jest kombinacj a liniow a wektorów z A, (3) A jest minimalnym zbiorm generatorów przestrzeni V, (4) Każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów uk ladu A Dowód (1) (2) Uk lad A jest liniowo niezależny jako baza Niech v V bȩdzie dowolnym wektorem Jeżeli v A to nie ma czego dowodzić; v = 1 v Za lóżmy zatem, że v A Wtedy B = {v} A jest liniowo zależny Zatem istnieje skończony poduk lad C uk ladu B liniowo zależny Ponieważ A jest liniowo niezależny wiȩc v C a zatem C = {v 1,, v n, v} Zatem istniej a α 1,, α n, α K nie wszystkie równe zero i takie, że α 1 v 1 + +α n v n +αv = 0 Mamy α 0 bowiem w przeciwnym wypadku powyższa kombinacja staje siȩ kombinacj a α 1 v α n v n = 0 przy czym nie wszystkie α i s a zerami wbrew temu że każdy skończony poduk lad uk ladu B jest liniowo niezależny Jeżeli jednak α 0 to v = (α 1 /α)v (α n /α)v n (2) (3) A jest zbiorem generatorów przestrzeni V Przypuśćmy niewprost, że C jest zbiorem generatorów przestrzeni V i jest istotnym podzbiorem zbioru A Niech v A\C Wówczas jednak v = α 1 v 1 + +α n v n dla pewnych

15 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, wektorów v 1,, v n C Wtedy jednak ( 1)v + α 1 v α n v n = 0 jest nietrywialn a kombinacj a wektorów uk ladu A wbrew za lożeniu o liniowej niezależności A (3) (4) Niech v V Wtedy z (3) v = α 1 v α n v n dla pewnych α i K Niech ponadto v = β 1 v β n v n dla pewnych β i K Wtedy (α 1 β 1 )v (α n β n )v n = 0 Gdyby teraz α i β i dla pewnego i to v i by lby kombinacj a liniow a wektorów v 1,, v i 1, v i+1,, v n i tym samym A \ {v i } by lby zbiorem generatorów V wbrew za lożeniu o minimalności A (4) (1) Niech C = {v 1,, v n } bȩdzie dowolnym skończonym poduk ladem uk ladu A i niech α 1 v α n v n = 0 Ponieważ 0 = 0v v n wiȩc na mocy (3) α 1 = = α n = 0 Zatem C jest liniowo niezależny Wobec dowolności C, A jest zatem liniowo niezależny Twierdzenie 213 Każda przestrzeń liniowa V nad cia lem K posiada bazȩ Dowód Dla przestrzeni skończenie generowanych twierdzenie to wynika bezpośrednio z warunku (3) powyszej charakteryzacji bazy Dowód w ogólnym przypadku wymaga znajomości lematu Kuratowskiego Zorna Uwaga 214 W daszym ci agu wyk ladu rozpatrywać bȩdziemy tylko przestrzenie skończenie wymiarowe (tzn takie które posiadaj a skończon a bazȩ) bez zaznaczania tego explicité Lemat 215 Niech {v 1,, v n } (2) tworzy bazȩ przestrzeni V i niech v = α 1 v α n v n przy czym α j 0 Wtedy {v 1,, v j 1, v, v j+1,, v n } (3) jest baz a V Dowód Mamy v j = β 0 v + β 1 v β j 1 v j 1 + β j+1 v j β n v n, gdzie β 0 = 1/α j, β i = α i /α j Każdy wektor z V jest kombinacj a liniow a wektorów (2) a wektor v j jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu (3) Zatem każdy wektor przestrzeni V jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu (3) Pokażemy, że (3) jest liniowo niezależny Niech γ 1 v γ j 1 v j 1 + γv + γ j+1 v j+1 + γ n v n = 0 (4)

16 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Podstawiaj ac v = α 1 v α n v n otrzymujemy (γ 1 α 1 γ)v (γ j 1 α j 1 γ)v j 1 +α j γv j +(γ j+1 α j+1 γ)v j+1 + +(γ n α n γ)v n = 0 sk ad α j γ = 0 czyli γ = 0 Zatem γ 1 v γ j 1 v j 1 + γ j+1 v j+1 + γ n v n = 0 a st ad γ 1 = = γ j 1 = γ j+1 = = γ n = 0 Wobec tego uk lad (3) jest liniowo niezależny a zatem na mocy warunku (2) twierdzenia 212 uk lad (3) jest baz a przestrzeni V Twierdzenie 216 (Steinitza o wymianie) Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a przestrzeni liniowej V nad cia lem K, zaś {w 1,, w s } uk ladem wektorów liniowo niezależnych Wtedy (1) s n (2) Istnieje n s wektorów v i które l acznie z w 1,, w s tworz a bazȩ przestrzeni V Dowód Indukcja na s: Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste Za lóżmy zatem jego prawdziwość dla liczb < s Wektory w 1,, w s 1 s a liniowo niezależne a zatem na mocy za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n (s 1) = n s + 1 wektorów v i które l acznie z w 1,, w s 1 tworz a bazȩ przestrzeni V Pokażemy, że faktycznie s 1 < n a wiȩc s n Istotnie gdyby s 1 = n wiȩc już wektory w 1,, w s 1 rozpina lyby przestrzeń V a zatem w s by lby kombinacj a liniow a tych wektorów i tym samym wektory w 1,, w s by lyby liniowo zależne wbrew za lożeniu Dla uproszczenia za lóżmy, że wektorami tymi s a v 1,, v n s+1 czyli baz a V jest v 1,, v n s+1, w 1,, w s 1 Wtedy w s = α 1 v α n s+1 v n s+1 + βw β s 1 w s 1 Pewien wspó lczynnik w tej kombinacji jest 0 Gdyby wszystkie α i by ly zerami to w 1,, w s by lyby liniowo zależne wbrew za lożeniu Zatem α i 0 dla pewnego i Wtedy jednak na mocy lematu 215 jest baz a v 1,, v i 1, v i+1,, v n s+1,, w s 1, w s

17 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 217 Jeżeli pewna baza przestrzeni V ma n elementów to każda inna baza tej przestrzeni ma n elementów Dowód Niech v 1,, v n oraz w 1,, w m bȩd a bazami V Wtedy w 1,, w m v 1,, v n liniowo niezależne liniowo niezależne 216 = m n 216 = n m n = m Liczbȩ elementów dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy jej wymiarem i oznaczać bȩdziemy przez dimv Wniosek 218 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni V, to dimw dimv Wniosek 219 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni V to dimw = dimv wtedy i tylko wtedy gdy V = W Twierdzenie 220 Jeżeli V 1 i V 2 s a podprzestrzeniami przestrzeni V, to dim(v 1 + V 2 ) = dimv 1 + dimv 2 dim(v 1 V 2 ) Dowód Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a V 1 V 2 Wtedy na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie istniej a wektory v 1,, v t v 1,, v s przestrzeni V takie, że {v 1,, v n, v 1,, v t} jest baz a V 1 zaś {v 1,, v n, v 1,, v s } jest baz a V 2 Pokażemy, że {v 1,, v n, v 1,, v t, v 1,, v s } jest baz a V 1 + V 2 Uk lad ten generuje V 1 + V 2 : Istotnie niech v V 1 + V 2 Wtedy v = w 1 + w 2, w i V i Niech w 1 = α 1 v α n v n + α 1v α tv t oraz w 2 = β 1 v β n v n + β 1 v β s v s Wtedy v = w 1 + w 2 = (α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n + α 1v α tv t + β 1 v β s v s Uk lad ten jest liniowo niezależny: Istotnie niech Wtedy α 1 v α n v n + α 1v α tv t + α 1v α sv s = 0 α 1v α sv s = α 1 v α n v n + α 1v α tv t V 1 V 2 a st ad (α 1v α sv s ) = γ 1 v γ n v n Zatem α 1 = = α s = 0 a st ad także α 1 = α n = α 1 = = α t = 0 Wniosek 221 dim(v 1 V 2 ) = dimv 1 + dimv 2

18 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przekszta lcenia liniowe Odwzorowanie ϕ : V W przestrzeni liniowych nad cia lem K nazywamy przekszta lceniem liniowym lub homomorfizmem o ile ϕ(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 ϕ(v 1 ) + α 2 ϕ(v 2 ) dla dowolnych v 1, v 2 V, α 1, α 2 K Jeżeli ponadto ϕ jest różnowartościowe, to ϕ nazywamy monomorfizmem, ϕ jest na, to ϕ nazywamy epimorfizmem, ϕ jest różnowartościowe oraz na, to ϕ nazywamy izomorfizmem Stwierdzenie 31 Z lożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem i przekszta lcenie odwrotne do izomorfizmu jest izomorfizmem Dowód Latwe ćwiczenie Przyk lad 1 id V : V V jest izomorfizmem Przyk lad 2 W V podprzestrzeń Wtedy w lożenie i : W V jest monomorfizmem i(w) = w Przyk lad 3 (1) ϕ : K 3 K 3 ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 1 + x 3 ) jest homomorfizmem i jeśli w ciele K, 2 0 to jest to izomorfizm (2) ψ : K 3 K 3 ψ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1, x 2, x 3 ) nie jest homomorfizmem Stwierdzenie 32 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy Ker ϕ = {v V : ϕ(v) = 0} oraz Imϕ = {w W : v V w = ϕ(v)} s a podprzestrzeniami przestrzeni V i W zwanymi odpowiednio j adrem i obrazem ϕ Ponadto ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker ϕ = 0 Dowód Latwe ćwiczenie Twierdzenie 33 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy dimv = dimker ϕ + dimimϕ

19 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Niech {v 1,, v s } oraz {w 1,, w t } bȩd a bazami przestrzeni Ker ϕ oraz Imϕ odpowiednio Niech v 1,, v t V bȩd a takimi wektorami, że ϕ(v i) = w i Pokażemy, że {v 1,, v s, v 1,, v t} jest baz a przestrzeni V Istotnie weźmy dowolny v V Wtedy ϕ(v) = β 1 w β t w t dla pewnych β i K Zatem w = v (β 1 v 1 + +β t v t) Kerϕ St ad w = α 1 v 1 + +α s v s dla pewnych α i K a zatem v = α 1 v 1 + +α s v s +β 1 v 1+ +β t v t Niech teraz α 1 v α s v s + β 1 v β t v t = 0 Wtedy 0 = ϕ(α 1 v α s v s + β 1 v β t v t) = β 1 ϕ(v 1) + + β t ϕ(v t) = β 1 w β t w t a zatem β 1 = = β t = 0 Wtedy jednak z wyjściowej kombinacji zostaje α 1 v α s v s = 0 a zatem także α 1 = = α s = 0 Przestrzenie liniowe V i W nazywamy izomorficznymi, co zapisujemy V = W o ile istnieje izomorfizm ϕ : V W Twierdzenie 34 Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K oraz dimv = n Wtedy V = K n Dowód Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a przestrzeni V oraz v V Wtedy istnieje dok ladnie jeden uk lad α 1,, α n K taki, że v = α 1 v α n v n Definiujemy ϕ : V K n ϕ(v) = (α 1,, α n ) (1) ϕ jest homomorfizmem: v, v V Wtedy v = α 1 v α n v n oraz v = α 1v 1 + +α nv n a st ad αv+α v = (αα 1 +α α 1)v 1 + +(α α n +α α n)v n Zatem ϕ(αv + α v ) = (αα 1 + α α 1,, α α n + α α n) = α(α 1,, α n ) + α (α 1,, α n ) = αvϕ(v) + α ϕ(v ) (2) ϕ jest na: Niech α K n bȩdzie dowolnym elementem Wtedy α = (α 1,, α n ) dla pewnych α i K a zatem dla v = α 1 v α n v n ϕ(v) = α (3) ϕ jest różnowartościowe: Niech v = α 1 v α n v n oraz v = α 1v α nv n bȩd a dowolnymi wektorami z V i niech ϕ(v) = ϕ(v ) Wtedy z określenia ϕ, (α 1,, α n ) = (α 1,, α n) a zatem v = v Stwierdzenie 35 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni liniowej V nad cia lem K to przyporz adkowanie elementowi v V warstwy v + W wyznacza epimorfizm V V/W zwany epimorfizmem kanonicznym

20 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 36 dim V/W = dim V dim W Dowód wniosek wynika z twierdzenia 33 gdyż W jest j adrem epimorfizmu kanonicznego V V/W Twierdzenie 37 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy istnieje izomorfizm ϕ : V/Ker ϕ Im ϕ Dowód Niech U = Ker ϕ Definiujemy ϕ : V/U Im ϕ nastȩpuj aco: Niech x V/Ker ϕ Wtedy x = v + U dla pewnego v V Przyjmujemy ϕ(x) = ϕ(v) Pokazuje siȩ że powyższe odwzorowanie jest poprawnie określone i jest izomorfizmem Struktura przekszta lceń liniowych Twierdzenie 38 (O strukturze przekszta lceń liniowych) Niech V, W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v 1,, v n baz a V, zaś w 1,, w n dowolnym uk ladem wektorów przestrzeni W Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe ϕ : V W takie, że ϕ(v i ) = w i, i = 1,, n Dowód Definiujemy ϕ : V W nastȩpuj aco Jeżeli v V to v = α 1 v α n v n dla pewnych α 1,, α n K wyznaczonych jednoznacznie Przyjmujemy ϕ(v) = α 1 w α n w n Latwo sprawdza siȩ wtedy, że (1) ϕ liniowe, (2) ϕ(v i ) = w i, (3) ϕ jedyne Wniosek 39 Niech V, W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v 1,, v n baz a V, zaś ϕ 1, ϕ 2 : V W przekszta lceniami liniowymi Jeżeli ϕ 1 (v i ) = ϕ 2 (v i ), to ϕ 1 = ϕ 2 Dla przestrzeni liniowych V, W nad cia lem K definiujemy L(V, W ) = {ϕ : V W : ϕ przekszta lcenie liniowe} Twierdzenie 310 L(V, W ) jest przestrzeni a liniow a nad cia lem K z dzia- laniami (ϕ ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v), (α ϕ)(v) = α ϕ(v)

21 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Należy sprawdzić że, s a dzia laniami oraz aksjomaty przestrzeni liniowej Jeżeli w powyższej definicji W = K jest przestrzeni a 1-wymiarow a to element ϕ L(V, W ) nazywamy funkcjona lem liniowym, zaś sam a przestrzeń L(V, W ) przestrzeni a dualn a lub sprzȩżon a do V i oznaczać bȩdziemy przez V Twierdzenie 311 Jeżeli ϕ : V W jest homomorfizmem, to ϕ : W V określone wzorem ϕ (f) = f ϕ jest homomorfizmem Twierdzenie 312 (O bazie dualnej) dimv = dimv Dowód Niech v 1,, v n bȩdzie baz a V Definiujemy v1,, vn : V K wzorem { 1 i = j, vi (v j ) = δ i,j = 0 i j (1) v 1,, v n liniowo niezależne: Jeśli α 1 v 1 α n v n = 0, to dzia laj ac na v i otrzymujemy α i = 0 (2) Niech ϕ V bȩdzie dowolnym elementem Wtedy dla α i = ϕ(v i ) mamy ϕ = α 1 v 1 α n v n Bazȩ v 1,, v n zdefiniowan a w dowodzie powyższego twierdzenia nazywamy baz a dualn a lub baz a sprzȩżon a do bazy v 1,, v n Macierze i dzia lania na macierzach Macierz a nad cia lem K wymiaru m n nazywamy rodzinȩ elementów (α ij ) cia la K, gdzie 1 i m, 1 j n Macierz (α ij ) zapisywać bȩdziemy w postaci tablicy: α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n nad cia lem K oznaczać bȩdziemy przez Mat m n (K) a dla m = n przez Mat n (K)

22 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 313 Mat m n (K) jest przestrzeni a liniow a nad cia lem K z dzia laniami (α ij )+(β ij ) = (α ij +β ij ), α (α ij ) = (α α ij ) Ponadto Mat m n (K) = K mn a w szczególności Mat 1 n (K) = K n oraz Mat m 1 (K) = K m Dowód Izomorfizm Mat m n (K) K mn jest zadany przyporz adkowaniem: (α ij ) (α 11,, α 1n, α 21,, α 2n,, α m1,, α mn ) Dla bȩdziemy oznaczać α ij = A ij α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A = α m1 α m2 α mn Mamy odwzorowanie z lożenia: Mat m n (K) Mat n k (K) Mat m k (K) Dla A Mat m n (K), B Mat n k (K) przyjmujemy Przyk lad Dla A = ( n (AB) st = A si B it i=1 ) i B = ( ) AB = = i analogicznie BA = Ponadto mamy odwzorowanie transpozycji Mat m n (K) Mat n m (K) mamy ( określone wzorem: t(a) ij = A ji Macierz t(a) nazywać macierz a transponowan a do A i oznaczć A t )

23 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad Dla A = ( ) mamy A t = Macierz A nazywamy symetryczn a o ile A t = A Wyróżniamy też macierz jednostkow a któr a oznaczać bȩdziemy przez E lub I Dla macierzy A Mat n n (K) macierz B Mat n n (K) tak a, że AB = BA = I nazywamy macierz a odwrotn a i oznaczać bȩdziemy przez A 1 Lemat 314 Dla dowolnych A Mat m n (K), B, C Mat n k (K) oraz α K mamy A (B + C) = A B + A C, A (α B) = α(a B) Dowód (A (B + C)) st = n i=1 A si (B + C) it = n i=1 A si (B it + C it ) = ni=1 A si B it + n i=1 A si C it = (A B) st + (A C) st Lemat 315 Dla dowolnych A Mat m n (K), B Mat n k (K) oraz C Mat k l (K) mamy A (B C) = (A B) C Dowód (A (B C)) st = n i=1 A si (B C) it = n i=1 A si ( n j=1 (B ij C jt )) = nj=1 ( n i=1 A si B ij )C jt ) = n j=1 (A B) sj C jt )) = ((A B) C) st Reprezentacja macierzowa homomorfizmu Niech V i W bȩd a przestrzeniami liniowymi z bazami uporz adkowanymi B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w n } oraz niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Stowarzyszamy z ϕ macierz M B V B W (ϕ) której i-ta kolumna sk lada siȩ ze wspó lczynników kombinacji ϕ(v i ) w bazie B W tzn M B V B W (ϕ) = (α ij ) wtedy i tylko wtedy gdy ϕ(v i ) = α 1i w α mi w m Macierz t a nazywamy macierz a homomorfizmu ϕ w bazach B V oraz B W

24 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad Macierz a homomorfizmu f : K 2 K 3 f(x, y) = (x, x+y, x+2y) 1 0 w bazach standardowych jest Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K z bazami uporz adkowanymi B = {v 1,, v n } oraz B = {v 1,, v n} Macierz a przejścia od B do B nazywamy macierz M B B której i-ta kolumna sk lada siȩ ze wspó lczynników kombinacji wektora v i w bazie B tzn M B B = (α ij ) wtedy i tylko wtedy gdy v i = α 1i v α n,i v n Latwo pokazać, Wniosek 316 M B B = M B B (id V ) Twierdzenie 317 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem przestrzeni liniowych, B V = {v 1,, v n } i B V = {v 1,, v n} bazami uporz adkowanymi V zaś B W = {w 1,, w n } i B W = {w 1,, w n} bazami uporz adkowanymi W Wtedy M B V B (ϕ) = M B W W B M B V W B W (ϕ)m B V B V Dowód Oznaczmy M B V B W (ϕ) = A = (α ij ), M B V B V C = (γ ij ) Wtedy ϕ(v i) = ϕ( n r=1 β ri v r ) = n r=1 β ri ϕ(v r ) = n r=1 β ri ( m s=1 α sr w s ) = n r=1 β ri ( m s=1 α sr ( m t=1 γ ts w t))) = m t=1 ( n r=1 ( m s=1 (γ t,s α sr ))β ri )w t = m t=1 ( n r=1 ((CA) tr B ri )w t = m t=1 ((CA)B) ti )w t = B = (β ij ) oraz M B W B W = Zatem i-ta kolumna macierzy homomorfizmu ϕ w bazach B V oraz B W równa jest i-tej kolumnie macierzy CAB co kończy dowód twierdzenia

25 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 318 Niech ϕ : V W oraz ψ : W U bȩd a homomorfizmami przestrzeni liniowych, zaś B U, B V oraz B W bazami uporz adkowanymi U, V i W Wtedy M B V B U (ψ ϕ) = M B W BU (ψ)m B V B W (ϕ) Dowód Niech B U = {u 1,, u k }, B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w m } i oznaczmy M B V B W (ϕ) = A = (α ij ), M B W BU (ψ) = B = (β ij ) Wtedy (ψ ϕ)(v i ) = ψ(ϕ(v i )) = ψ( m r=1 α ri w r ) = m r=1 α ri ψ(v r ) = m r=1 α ri ( k s=1 β sr u s ) = k s=1 ( m r=1 β sr α ri )u s = k s=1 (BA) si )u s Zatem i-ta kolumna macierzy M B V B U (ψ ϕ) równa jest i-tej kolumnie macierzy M B W BU (ψ)m B V B W (ϕ) co kończy dowód twierdzenia Wniosek 319 f : V W jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych baz B V i B W przestrzeni V i W M B V B W (f) jest odwracalna Dowód : Niech g : W V bȩdzie homomorfizmem odwrotnym do f Wtedy f g = id W oraz g f = id V Zatem M B V B W (f)m B W BV (g) = M B W BW (f g) = M B W BW (id W ) = E i analogicznie M B W BV (g)m B V B W (g) = E : Niech B V i B W bȩd a bazami uporz adkowanym przestrzeni V i W oraz niech A = (α ij ) = M B V B W (f) Niech B = (β ij ) = A 1 i niech g : W V bȩdzie homomorfizmem zadanym wzorem g(w i ) = n s=1 β si v s Wtedy Analogicznie f(g(w i )) = n s=1 β si f(v s ) = n s=1 β si ( n t=1 α ts w t ) = n t=1 ( n s=1 α t,s β si )w t = n t=1 (AB) ti )w t = w i g(f(v i )) = g( n s=1 α s,i w s = n s=1 α s,i g(w s ) = n s=1 α s,i ( n t=1 β t,s v t ) = n t=1 ( n s=1 β t,s α s,i )v t ) = ( n t=1 (BA) t,i )v t = v i

26 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 320 (1) Macierz przejścia od bazy B do bazy B jest macierz a jednostkow a (2) M B 2 B 1 M B 3 B 2 = M B 3 B 1 (3) M B 2 B 1 jest odwracalna i (M B 2 B 1 ) 1 = M B 1 B 2 Dowód (1) jest oczywista (2) Niech M B 2 B 1 = A oraz M B 3 B 2 = B Wtedy na mocy wniosku 316, A = M B 2 B 1 (id V ) oraz B = M B 3 B 2 (id V ) Zatem na mocy 318, AB = M B 3 B 1 (id V ) = M B 3 B 1 (3) Na mocy (2) i (1) M B 2 B 1 M B 1 B 2 = M B 1 B 1 = E Zatem istotnie (M B 2 B 1 ) 1 = M B 1 B 2 Przypomnijmy, że dla dowolnej przestrzeni V z baz a B = {v 1,, v n } zdefiniowaliśmy w twierdzeniu 312 bazȩ dualn a B = {v 1,, v n} przestrzeni sprzȩżonej V = L(V, K) zaś w twierdzeniu 311 dla dowolnego homomorfizmu f : V W zdefiniowaliśmy homomorfizm indukowany f : W V wzorem f (ϕ) = ϕ f Twierdzenie 321 Niech V i W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K o bazach uporz adkowanych B V oraz B W oraz niech f : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy M B W B (f ) = (M B V V B W (f)) t, gdzie BW oraz B V s a bazami dualnymi do B W oraz B V Dowód Niech B V = {v 1,, v n }, BV = {v 1,, vn}, B W = {w 1,, w m }, BW = {w 1,, wm} Przypomnijmy, że vi : V K jest jednoznacznie wyznaczone przez warunek vi (v j ) = δ ij Niech A = (α ij ) = M B V B W (f) Wtedy f(v j ) = m s=1 α sj w s oraz f (wi ) = wi f Zatem (wi f)(v j ) = wi ( m s=1 α sj w s ) = m s=1 α sj wi (w s ) = α ij i wobec tego f (wi ) = α i1 v1 α in vn Wniosek 322 Jeżeli f : V W jest izomorfizmem to f : W V jest także izomorfizmem Dowód f jest izomorfizmem M B V B W (f) jest odwracalna (M B V B W (f)) t = (f ) jest odwracalna f jest izomorfizmem M B W B V

27 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Podsumowuj ac, maj ac dwie przestrzenie liniowe V i W wymiarów n i m odpowiednio i ustalaj ac ich bazy B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w m } istnieje wzajemnie jednoznczna odpowiedniość ustalona przez przyporz adkowania gdzie ϕ A (v i ) = α 1i w α mi w m L(V, W ) Mat m n (K) ϕ M B V B W (ϕ) A ϕ A,

28 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Uk lady równań liniowych Uk ladem równań liniowych o n zmiennych i wspó lczynnikach w ciele K nazywamy uk lad równań postaci: α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m gdzie α ij, β i K Uk lad ( ) nazywamy jednorodnym o ile β 1 = = β m = 0 i niejednorodnym w przeciwnym wypadku Z uk ladem ( ) stowarzyszamy dwie macierze ( ) A = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n Au = α 11 α 12 α 1n β 1 α 21 α 22 α 2n β 2 α m1 α m2 α mn α m1 α m2 α mn β m zwanymi macierz a i macierz a rozszerzon a uk ladu ( ) Mówimy, że uk lad równań ( ) jest równoważny uk ladowi α 11x 1 + α 12x α 1nx n = β 1 α 21x 1 + α 22x α 2nx n = β 2 α l1x 1 + α l2x α lnx n = β l co zapisujemy ( ) ( ) o ile każde równanie uk ladu ( ) można otrzymać mnoż ac najpierw każde równanie uk ladu ( ) przez pewne elementy cia la K a nastȩpnie dodaj ac otrzymane równania stronami i odwrotnie każde równanie uk ladu ( ) można otrzymać mnoż ac najpierw każde równanie uk ladu ( ) przez pewne elementy cia la K a nastȩpnie dodaj ac otrzymane równania stronami Przyk lad Uk lady ( )

29 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, x 1 + 2x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 } (A) x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 } (B) s a równoważne Rozwi azaniem uk ladu równań ( ) nazywamy taki ci ag (α 1,, α n ) elementów cia la K, że po zast apieniu w równaniach tego uk ladu niewiadomych x 1,, x n elementami α 1,, α n otrzymujemy równości prawdziwe w ciele K Zbiór rozwi azań uk ladu ( ) oznaczać bȩdziemy symbolem Roz ( ) Twierdzenie 41 Równoważne uk lady równań maj a te same zbiory rozw azań Dowód Niech ( ) ( ) Zapiszmy skrótowo l 1 (x 1,, x n ) = β 1 l 1(x 1,, x n ) = β 1 l 2 (x 1,, x n ) = β 2 l 2(x 1,, x n ) = β 2 ( ) l m (x 1,, x n ) = β m l s(x 1,, x n ) = β s Niech (α 1,, α n ) Roz ( ) i niech l i(x 1,, x n ) = β i bȩdzie dowolnym równaniem uk ladu ( ) Wtedy l i(x 1,, x n ) = δ 1 l 1 (x 1,, x n ) + + δ m l m (x 1,, x n ) oraz β i = δ 1 β δ m β m St ad l i(α 1,, α n ) = δ 1 l 1 (α 1,, α n )+ +δ m l m (α 1,, α n ) = δ 1 β 1 + +δ m β m = β i Zatem Roz ( ) Roz ( ) i analogicznie pokazuje siȩ inkluzjȩ przeciwn a Zbiór rozwi azań uk ladu równań liniowych ( ) traktujemy jako podzbiór przestrzeni liniowej K n Stwierdzenie 42 Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = 0 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = 0 bȩdzie jednorodnym uk ladem równań nad cia lem K podprzestrzeni a przestrzeni K n ( ) ( ) Wtedy Roz ( ) jest

30 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód (pierwszy) Niech α, β K, α = (α 1,, α n ), β = (β 1,, β n ) Roz ( ) bȩd a dowolnymi elementami Niech jak wcześniej l i (x 1,, x n ) = l i ( x) oznacza lew a stronȩ i-tego równania uk ladu ( ) Wtedy l i ( α) = l i ( β) = 0 a zatem l i (α α + β β) = αl i ( α) + βl i ( β) = 0 Zatem α α + β β Roz ( ) (drugi) Niech A = (α ij ) bȩdzie macierz a uk ladu ( ) i niech ϕ A : K n K m bȩdzie homomorfizmem o macierzy A w bazach standardowych Mamy ϕ A (e i ) = (A i ) t St ad ϕ A (α 1,, α n ) = ϕ A (α 1 e α n e n ) = α 1 (A 1 ) t + + α n (A n ) t = (α 1 A α n A n ) t a zatem (α 1, + α n ) Roz ( ) (α 1, + α n ) Kerϕ A St ad Roz ( ) = Kerϕ A Wcześniej jednak pokazaliśmy, że Kerϕ A jest podprzestrzeni a przestrzeni K n Twierdzenie 43 Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m ( ) bȩdzie uk ladem równań liniowych o wspó lczynnikach w ciele K i niech α = (α 1,, α n ) bȩdzie dowolnym rozwi azaniem tego uk ladu oraz niech ( ) bȩdzie uk ladem jednorodnym stowarzyszonym z uk ladem ( ) Wtedy Roz ( ) = α + Roz ( ) tzn Roz ( ) jest warstw a w przestrzeni K n Dowód Zapiszmy ( ) oraz ( ) w postaci l 1 (x 1,, x n ) = β 1 l 2 (x 1,, x n ) = β 2 l m (x 1,, x n ) = β m ( ) l 1 (x 1,, x n ) = 0 l 2 (x 1,, x n ) = 0 l m (x 1,, x n ) = 0 ( ) Niech ξ = (ξ 1,, ξ n ) Roz ( ) Wtedy ξ α = η Roz ( ) a st ad ξ = α + η α + Roz ( ) Zatem Roz ( ) α + Roz ( )

31 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Niech teraz ξ α + Roz ( ) Wówczas ξ = α + η gdzie η Roz ( ) a wtedy l i ( α + η) = l i ( α) + l i ( η) = β i + 0 = β i czyli ξ Roz ( ) Niech Macierz α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn A j = α 1j α 2j α mj Mat m n(k) Mat m 1(K) nazywamy j-t a kolumn a macierzy A, zaś macierz A i = (α i1, α i2,, α in ) Mat 1 n (K) jej i-tym wierszem Na A i można patrzeć jak na elementy przestrzeni K m zaś na A i jak na elementy przestrzeni K n Rzȩdem wierszowym r w (A) (odp kolumnowym r c (A)) macierzy A nazywamy maksymaln a ilość liniowo niezależnych wierszy (odp kolumn) tej macierzy Wniosek 44 r w (A) = dim(lin(a 1,, A m )), r c (A) = dim(lin(a 1,, A n )) Przyk lad Dla A = r c (A) = 2 ( ) i B = Mamy r w (A) = 2 oraz Lemat 45 Niech ϕ : V W bȩdzie przekszta lceniem liniowym nad K i niech v 1,, v n bȩdzie baz a V Wtedy Imϕ = lin(ϕ(v 1 ),, ϕ(v 1 )) Dowód : Jeśli w Im(ϕ) to w = ϕ(v) dla pewnego v V Wtedy v = α 1 v 1 + +α n v n dla pewnych α i K a st ad w = ϕ(v) = α 1 ϕ(v 1 )+ + α n ϕ(v n ) : Niech w lin(ϕ(v 1 ),, ϕ(v n ) Wtedy w = α 1 ϕ(v 1 ) + + α n ϕ(v n ) = ϕ(α 1 v α n v n ), dla pewnych α i K a zatem w Imϕ

32 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 46 Dla A Mat m n (K), r w (A) = r c (A) Dowód Niech A = (α i,j ) i niech ϕ A : K n K m bȩdzie homomorfizmem o macierzy A w bazach standardowych Mamy ϕ A (e i ) = A i a zatem Imϕ A = lin(a 1,, A n ) St ad dim(imϕ A ) = dim(lin(a 1,, A n )) = r c (A) ozn = p Z twierdzenia 33 n = dimk n = dim(imϕ A ) + dim(kerϕ A ) = r c (A)+dim(Roz ( )), gdzie ( ) jest uk ladem jednorodnym stowarzyszonym z macierz a A Niech q = r w (A) i niech A i1,, A iq bȩdzie maksymalnym uk ladem liniowo niezależnych wierszy Wtedy każdy inny wiersz macierzy A jest kombinacj a liniow a powyższych wierszy i tym samym uk lad ( ) jest równoważny uk ladowi α i1 1x 1 + α i1 2x α i1 nx n = 0 α i2 1x 1 + α i2 2x α i2 nx n = 0 α iq1x 1 + α iq2x α iqnx n = 0 ( ) Wobec tego Roz ( ) = Roz ( ) Niech A oznacza macierz uk ladu ( ) Jak poprzednio dowodzimy, że n = dimk n = dim(imϕ A ) + dim(kerϕ A ) = dim(imϕ A ) + dim(roz ( )) Zatem p = r c (A) = n dim(roz ( )) = n dim(roz ( )) = dim(imϕ A ) q Zatem r c (A) r w (A) Wobec dowolności Macierzy A mamy także r c (A t ) r w (A t ) Jednak r c (A t ) = r w (A) oraz r w (A t ) = r c (A) St ad r w (A) r c (A) a zatem r w (A) = r c (A) Rzȩdem r(a) macierzy A Mat m n (K) nazywamy wspóln a wartość rzȩdu wierszowego i kolumnowego Twierdzenie 47 (Kroneckera-Capelliego) Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m ( )

33 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, bȩdzie uk ladem niejednorodnym Wówczas Roz ( ) r(a) = r(a u ), gdzie A jest macierz a, zaś A u macierz a rozszerzon a uk ladu ( ) Jeśli ponadto Roz ( ) to Roz ( ) jest warstw a pewnej podprzestrzeni o wymiarze n r(a) w przestrzeni K n Dowód Napiszmy uk lad ( ) w postaci wektorowej: x 1 A 1 + x 2 A x n A n = A n+1, gdzie A 1,, A n s a kolumnami macierzy A które traktujemy jak wektory przestrzeni K m zaś A n+1 jest kolumn a wyrazów wolnych β 1,, β m K Wtedy (α 1,, α n ) K n jest rozwi azaniem uk ladu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy A n+1 = α 1 A 1 + α 2 A α n A n Zatem Roz ( ) A n+1 lin(a 1,, A n ) lin(a 1,, A n ) = lin(a 1,, A n, A n+1 ) dim(lin(a 1,, A n )) = dim(lin(a 1,, A n, A n+1 )) r(a) = r(a u ) Dla dowodu drugiej czȩści twierdzenia zauważmy, że dla α Roz ( ) mamy Roz ( ) = α + Roz ( ) Z kolei pokazaliśmy, że Zatem dimroz ( ) = n r(a) n = dimk n = r c (A) + dimroz ( )

34 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wyznaczniki Niech A = (α ij ) Mat m n (K) bȩdzie macierz a Wygodnie zapisać macierz tak a w postaci ci agu jej kolumn A = (A 1,, A n ), gdzie A i = Wyznacznikiem stopnia n nazywamy funkcjȩ spe lniaj ac a warunki: α 1,i α 2,i α m,i det : Mat n n (K) = Mat n (K) K (1) Dla dowolnych j n, α, β K det(a 1,, A j 1, αa j +βa j, A j+1,, A n ) = αdet(a 1,, A j 1, A j, A j+1,, A n ) + βdet(a 1,, A j 1, A j, A j+1,, A n ) (2) det(a 1,, A n ) = 0 jeżeli A j = A j+1 dla pewnego j = 1, n 1 (3) Jeżeli I jest macierz a jednostkow a to det(i) = 1 Później pokażemy istnienie i jednoznaczność wyznacznika Potrzebne do tego b ad a pewne wiadomości o permutacjach Permutacj a zbioru n elementowego {1,, n} nazywamy dowoln a bijekcjȩ σ : {1, n} {1, n} Niech S n oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru n elementowego Wtedy S n jest grup a ze wzglȩdu na dzia lanie superpozycji przekszta lceń Zad Porównać powyższ a definicjȩ z definicj a szkoln a Permutacjȩ σ S n nazywamy cyklem d lugości k o ile istnieje ci ag elementów 1 i 1, i 2,, i k n taki, że σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,, σ(i k 1 ) = i k, σ(i k ) = i 1, oraz σ(j) = j dla j i 1,, i k Zapisujemy wtedy σ = (i 1, i 2,, i k ) Cykl d lugości 2 nazywamy transpozycj a Nietrudno udowodnić nastȩpuj ace twierdzenie zwi azane z tymi pojȩciami

35 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie Każda permutacja σ S n jest z lożeniem skończonej ilości transpozycji Przyk lad Niech σ = ( ) Wtedy σ = (1, 2, 4, 5, 3)(6, 7)(8, 9) oraz (1, 2, 4, 5, 3) = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2) Zatem σ = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9) Zauważmy ponadto, że σ = (2, 4)(1, 3)(1, 5)(2, 4)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9) Twierdzenie Jeżeli σ = σ 1 σ s oraz σ = τ 1 τ t s a dwoma rozk ladami permutacji σ to ( 1) s = ( 1) t Liczbȩ ( 1) s nazywamy znakiem permutacji i oznaczać bȩdziemy symbolem sgn(σ) Twierdzenie Każda permutacja jest z lożeniem pewnej skończonej ilości transpozycji elementów s asiednich Przyk lad (2, 5) = (2, 3)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3) Wniosek 51 (1) det(a 1,, A j, A j+1,, A n ) = det(a 1,, A j+1, A j,, A n ), (2) det(a 1,, A n ) = 0 gdy A k = A l dla pewnych k l, (3) det(a 1,, A k,, A l,, A n ) = det(a 1,, A l,, A k,, A n ), (4) det(a σ(1),, A σ(n) ) = sgn(σ)det(a 1,, A n ), (5) det(a 1,, A j + αa k,, A k,, A n ) = det(a 1,, A n ), (6) det(a 1,, A n ) = 0 gdy pewna kolumna A j sk lada siȩ z samych zer Lemat 52 Dla A = (α ij ), B = (β ij ) Mat n n (K) mamy det(ab) = deta σıs n sgn(σ)β σ(1),1 β σ(n),n Dowód Niech AB = (H 1,, H n ) Wtedy H j = (AB) 1j (AB) nj = ns=1 α 1s β sj ns=1 α ns β sj = n s=1 β sj α 1s α ns = n s=1 β sj A s

36 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, dla j = 1,, n Zatem det(ab) = det(h 1,, H n ) = det( n s=1 β s1 A s,, n s=1 β sn A s ) = det( n s1 =1 β s1 1A s 1,, n sn=1 β snna sn ) = n s1 =1 n sn=1 β s1 1 β snndet(a s 1,, A sn ) = ( ) Jeżeli s i = s j dla i j to det(a s 1, A s 2,, A sn ) = 0 Zatem w powyższym sumowaniu wystȩpuj a tylko sk ladniki dla których wyrazy s 1, s 2,, s n s a różne Dladowolnego takiego ci agu definiujemy permutacjȩ σ(i) = s i Wtedy wracaj ac do naszej równości mamy ( ) = σ S n β σ(1)1 β σ(n)n )det(a σ(1),, A σ(n) ) = σ S n β σ(1)1 β σ(n)n )sgn(σ)det(a 1, A 2,, A n ) = det(a) σ S n sgn(σ)β σ(1)1 β σ(n)n ) Twierdzenie 53 (o istnieniu i jednoznaczności wyznacznika) Istnieje dok ladnie jedna funkcja D : Mat n n (K) K spe lniaj aca warunki (1) (3) definicji wyznacznika Ma ona postać: gdy A = (α ij ) D(A) = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(2)2 α σ(n)n Dowód Dla dowodu istnienia należy sprawdzić, że powyższa funkcja spe lnia warunki (1) (3) definicji wyznacznika (1) Niech B j = (β ij ) Wtedy D(A 1,, A j 1, αa j + βb j, A j+1,, A n ) = = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 (αα σ(j)j + ββ σ(j)j )α σ(j+1)j+1 α σ(n)n =α σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(n)n + β σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 β σ(j)j α σ(j+1)j+1 α σ(n)n =αd(a 1, A j 1, A j, A j+1,, A n )+βd(a 1, A j 1, B j, A j+1,, A n ) (2) Niech A j = A j+1 dla j < n Wtedy D(A 1, A n ) = = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(j+1)j+1 α σ(j+2)j+2 α σ(n)n = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(j+1)j α σ(j+2)j+2 α σ(n)n = 0

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2 Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią prof. dr hab. Andrzej Szczepański Wydział MFI UG Instytut Matematyki 14 czerwca 2017 rof. dr hab. Andrzej Szczepański (Wydział MFI UG Algebra Instytut liniowa Matematyki) z

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo