1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych"

Transkrypt

1 1 Podstawowe struktury algebraiczne i cia lo liczb zespolonych Niech X i Y bȩd a zbiorami Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór X Y = {(x, y) : x X, y Y } Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X X X oznaczane np symbolem,,,,, + itp Grup a nazywamy dowolny zbiór G wraz z dwuargumentowym dzia laniem spe lniaj acym warunki: 1 x,y,z G (x y) z = x (y z), 2 e G x G x e = e x = x, 3 x G y G x y = y x = e Jeżeli ponadto x,y G x y = y x, to G nazywamy grup a abelow a Nietrudno pokazać, że element e grupy G spe lniaj acy warunek (2) jest jedyny i nazywa siȩ elementem neutralnym grupy G, zaś element y spe lniaj acy warunek (3) jest jednoznacznie wyznaczony przez element x i oznaczać go bȩdziemy przez x 1 lub x i nazywać elementem odwrotnym lub przeciwnym W dalszym ci agu bȩdziemy czȩsto pomijać znak dzia lania pisz ac po prostu xy zamiast x y Cia lem nazywamy zbiór K wraz z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami + oraz takimi, że: 1 (K, +) jest grup a abelow a (element neutralny oznaczamy tu przez 0, zaś element przeciwny do elementu x oznaczamy przez x) 2 (K \ {0}, ) jest grup a abelow a (element neutralny oznaczamy tu przez 1, zaś element odwrotny do elementu x 0 oznaczamy przez x 1 ) 3 x,y,z K x (y + z) = (x y) + (x z), (y + z) x = (y x) + (z x) Przyk ladami cia l s a: Q, R, Q( a), Z 2, Z 3 Uwagi historyczne Jeżeli chodzi o cia lo liczb rzeczywistych, to ma le liczby naturalne znane by ly już na niskim poziomie rozwoju kultury i ich zakres

2 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, powiȩksza l siȩ wraz z rozwojem Konieczność pomiarów spowodowa la pojawienie siȩ liczb wymiernych Kilka wieków przed Chrystusem Grecy znali liczby niewymierne (np 2) i operowali nimi geometrycznie Grecy nie znali jednak liczb ujemnych 0 wprowadzili do matematyki Hindusi; w Europie zaczȩto go używać dopiero w średniowieczu Liczby ujemne wprowadzono w okresie odrodzenia W XVI wieku nastȩpuje burzliwy rozwój nauki W matematyce znaczy siȩ on silnym rozwojem algebry W tym czasie podano wzory na obliczanie pierwiastków równań stopnia 3 i 4 w terminach wspó lczynników takiego równania przy wykorzystaniu operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia oraz wyci agania pierwiastków stopnia 3 i 4 W ogólności wzory te jednak mia ly zastosowanie w przypadku gdy umia lo siȩ policzyć 1 Tego jednak nie umiano, bowiem w zakresie liczb jakimi wtedy dysponowano w tym czasie nie znano liczby, która podniesiona do kwadratu dawa laby 1 Czȩść matematyków nie przejmowa la siȩ tym zak ladaj ac istnienie takiego pierwiastka i nazywaj ac go liczb a urojon a Oznaczano j a symbolem i Wprowadzenie tych liczb do rozważań nie mia lo w tym czasie żadnego uzasadnienia logicznego ani oparcia o bezpośredni a intuicjȩ kierowan a przez zjawiska przyrodnicze Powsta ly wskutek tego kontrowersje Jedni używali tych liczb bez żadnego skrȩpowania mnoż ac je przez liczby rzeczywiste i dodaj ac w formalny sposób: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i i wszystko funkcjonowa lo - arytmetyka tych liczb nie doprowadzi la do żadnej sprzeczności Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb dokonane zosta lo dopiero na pocz atku XIX wieku przez Gaussa W zbiorze R R = {(a, b) : a, b R} wprowadzamy dzia lania (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Twierdzenie 11 (R R,, ) jest cia lem w którym równanie X 2 = 1 (tzn X X = 1), gdzie 1 jest elementem przeciwnym do elementu neutralnego mnożenia, ma rozwi azanie Elementy tego cia la nazywamy liczbami zespolonymi a samo cia lo cia lem liczb zespolonych

3 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Dowód polega na bezpośrednim sprawdzeniu aksjomatów cia la Każd a liczbȩ zespolon a z = (a, b) można zapisać w postaci (a, b) = (a, 0) ((b, 0) (0, 1)) i przedstawienie to jest jednoznaczne Oznaczaj ac zatem (0, 1) przez i oraz utożsamiaj ac liczbȩ zespolon a (x, 0) z liczb a rzeczywist a x, otrzymujemy przedstawienie dowolnej liczby zespolonej w postaci a + bi, przy czym przy powyższych utożsamieniach mnożenie i dodawanie takich liczb odbywa siȩ w myśl wprowadzonych wcześniej regu l : (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi) (c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i i mamy ponadto i 2 = 1 W dalszym wiȩc ci agu za zbiór liczb zespolonych przyjmować bȩdziemy zbiór C = {a+bi : a, b R} z powyższymi dzia laniami Na liczbach zespolonych można wykonywać szereg operacji (1) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, (2) z 1 z 2 = z 1 z 2, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) 1/z = 1/ z, (5) z 1 /z 2 = z 1 / z 2 Sprzȩżenie i jego w lasności : C C, a + bi = a bi (1), (2 ) i (3) s a latwe i sprawdza siȩ je bezpośrednim rachunkiem, (4) wynika z (3) zaś (5) z (3) i (4) Czȩść rzeczywista Re i czȩść urojona Im Re, Im : C R, Re(a + bi) = a, Im(a + bi) = b (1) Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ), (2) Im(z 1 + z 2 ) = Im(z 1 ) + Im(z 2 ) Modu l liczby zespolonej

4 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, (1) Re(z) z, Im(z) z, (2) z 2 = z z, (3) z 1 z 2 = z 1 z 2, (4) 1/z = 1/ z, (5) z 1 /z 2 = z 1 / z 2, (6) z 1 + z 2 z 1 + z 2, (7) z 1 z 2 z 1 z 2, (8) z z n z z n : C R, a + bi = a 2 + b 2 (2) Niech z = a + bi Wtedy zz = = z 2 (3) z 1 z 2 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z 2 2 = ( z 1 z 2 ) 2 (4) wynika z (3) a (5) z (3) i (4) (6) 1 = (z 1 + z 2 )/(z 1 + z 2 ) = z 1 /(z 1 + z 2 ) + z 2 /(z 1 + z 2 ) Z w lasności Re: 1 = Re(z 1 /(z 1 + z 2 )) + Re(z 2 /(z 1 + z 2 )) (z 1 /(z 1 + z 2 )) + (z 2 /(z 1 + z 2 )) = ( z 1 + z 2 )/ z 1 + z 2 (7) Mamy z 2 + (z 1 z 2 ) = z 1 a st ad z 1 = z 2 + (z 1 z 2 ) z 2 + z 1 z 2 Zatem z 1 z 2 z 1 z 2 Analogicznie z 1 z 2 = z 2 z 1 z 2 z 1 = ( z 1 z 2 ) Postać trygonometryczna liczb zespolonych Dla 0 z = a + bi mamy przy czym ( Re(z) z = z + i Im(z) ) = ( ) a a z z 2 + b 2 a2 + b + i b, 2 a2 + b 2 ( ) 2 ( ) 2 a b + = 1 a2 + b 2 a2 + b 2 Istnieje wiȩc dok ladnie jedno θ (0 θ < 2π) takie, że cos θ = a a2 + b 2 sin θ = b a2 + b 2

5 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Zatem z = z (cos θ + i sin θ) i gdy 0 θ < 2π to przedstawienie to jest jednoznaczne θ nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczać bȩdziemy arg(z) Lemat 12 arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) mod 2π Dowód Niech z 1 = z 1 (cos θ 1 +i sin θ 1 ) oraz z 2 = z 2 (cos θ 2 +i sin θ 2 ) Wtedy z 1 z 2 = z 1 z 2 ((cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 )+i (cos θ 1 sin θ 2 +sin θ 1 cos θ 2 )) = z 1 z 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) Wniosek 13 arg(z n ) = n arg(z) mod 2π W szczególności zachodzi wzór (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) zwany wzorem de Moivre a Dowód Indukcja matematyczna na n Pierwiastki z liczb zespolonych Twierdzenie 14 Dla dowolnej liczby zespolonej z 0 i liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n różnych pierwiastków Jeżeli z = z (cos θ + i sin θ) to wszystkie te pierwiastki wyrażaj a siȩ wzorem ( ( ) ( )) θ + 2kπ θ + 2kπ w k = z n cos + i sin n n dla k = 0,, n 1 Dowód Niech w = w (cos ψ + i sin ψ) bȩdzie pierwiastkiem stopnia n z liczby z Wtedy z (cos θ + i sin θ) = z = w n = w n (cos(nψ) + i sin(nψ)) a st ad w = n z, oraz cos θ = cos(nψ), sin θ = sin(nψ) co implikuje nψ θ = 2kπ dla pewnego k Z Zatem ψ = θ + 2kπ n

6 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, dla pewnego k Z Z drugiej strony dla dowolnego k Z ( ( ) ( )) θ + 2kπ θ + 2kπ w k = z n cos + i sin n n jest pierwiastkiem stopnia n z liczby z W końcu w k = w k { cos θ+2kπ = cos θ+2k π n n sin θ+2kπ = sin θ+2k π n n 2(k k )π = 2πm n k k = nm dla pewnego m Zatem w 0, w 1,, w n 1 s a wszystkimi pierwiastkami stopnia n z liczby z Wniosek 15 Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n różnych pierwiastków stopnia n z 1 i wszystkie one maj a postać dla k = 0,, n 1 ( ) ( ) 2kπ 2kπ ε k = cos + i sin n n Dowód 1 = cos 0+i sin 0 a zatem wniosek wynika z poprzedniego twierdzenia Mamy ε k = ε k 1 Pierwiastek ε l stopnia n z jedności o tej w lasności, że każdy inny pierwiastek stopnia n z jedności daje siȩ przedstawić w postaci ε p l dla pewnego 0 p < n nazywa siȩ pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedności Twierdzenie 16 ε l = cos ( ) ( ) 2lπ n + i sin 2lπ n jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy (n, l) = 1 Dowód : Wtedy 1 = ε 0 l, ε 1 l,, ε n 1 l (1)

7 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, s a różne gdyż zawieraj a wszystkie pierwiastki stopnia n z jedności Gdyby istnia lo d > 1 takie, że d n i d l to n = ds, l = dt dla pewnych t, s, gdzie s < n Wtedy jednak ε s l = (ε l 1) s = (ε 1 ) ls = (ε 1 ) dts = (ε ds 1 ) t = (ε n 1) t = 1 t = 1 : (l, n) = 1 Wystarczy pokazać, że wszystkie elementy ci agu (1) s a różne Przypuśćmy, że ε s l = ε t l dla pewnych 0 s t < n Wtedy { cos θ+2lsπ = cos θ+2ltπ n n sin θ+2lsπ = sin θ+2ltπ n n co jest równoważne istnieniu m takiego, że (2π(t s)l)/n = 2πm Zatem (t s)l = mn a st ad n l(t s) Ponieważ jednak (l, n) = 1, wiȩc n (t s) Zatem t = s jako, że 0 t s < n Wniosek 17 Zbiór wszystkich pierwiastków ustalonego stopnia n z jedynki n 1 jest grup a ze wzglȩdu na mnożenie Pierwiastki pierwotne stopnia n z 1 s a generatorami tej grupy w tym sensie, że każdy inny pierwiastek stopnia n z 1 jest potȩg a takiego pierwiastka Dowód Niech z 1, z 2 n 1 Wtedy z1 n = 1 oraz z2 n = 1 St ad (z 1 z 2 ) n = z1 n z2 n = 1 1 = 1 również 1 n = 1 a zatem 1 jest pierwiastkiem stopnia n z 1 W końcu dla dowolnego z n 1, (1/z) n = 1/(z n ) = 1/1 = 1 a zatem n 1 jest grup a Druga czȩść wniosku wynika wprost z definicji Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Liczby rzeczywiste można utożsamiać z punktami osi liczbowej Podobnie liczby zespolone można utożsamiać z punktami p laszczyzny W prostok atnym uk ladzie wspó lrzȩdnych o środku O = (0, 0) liczbie zespolonej z = a + b i odpowiada punkt o wspó lrzȩdnych (a, b) W takiej sytuacji modu l liczby z jest równy d lugości wektora Oz, zaś jej argument pokrywa siȩ z k atem miȩdzy tym wektorem a osi a odciȩtych

8 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, z = d l wektora 0z Analogiczn a interpretacjȩ maj a także liczby sprzȩżone oraz pierwiastki z 1 Niech θ = 2π/n

9 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przestrzenie liniowe Niepusty zbiór V nazywa siȩ przestrzeni a liniow a nad cia lem (K, +, ) jeśli: (a) V jest grup a abelow a z pewnym dzia laniem, (b) Określone jest dzia lanie : K V V spe lniaj ace warunki: 1 α K v,w V α (v w) = (α v) (α w), 2 α,β K v V (α + β) v = (α v) (β v), 3 α,β K v V (α β) v = α (β v), 4 v V 1 v = v Zbiór V nazywamy zbiorem wektorów, dzia laniem dodawania wektorów, dzia laniem mnożenia wektorów przez skalary W dalszym ci agu dzia lania te bȩdziemy oznaczać w taki sam sposób jak dla cia la tzn np dla α, β K, v, w V bȩdziemy pisać αβ(v + w) zamiast (α β) (v w) (z kontekstu bȩdzie wynika lo jakie dzia lanie bȩdziemy mieli na myśli) Przyk lady (1) Zbiór wektorów w E n n = 1, 2, 3 zaczepionych w ustalonym punkcie ze znanym ze szko ly dzia laniem dodawania takich wektorów i mnożenia ich przez liczbȩ jest przestrzeni a liniow a (2) K dowolne cia lo, V = {v} zbiór jednoelementowy Definiujemy v +v = v oraz αv = v dla dowolnego α K V jest przestrzeni a zwan a przestrzeni a zerow a któr a oznaczać bȩdziemy przez 0 (3) V = K Wtedy V jest przestrzeni a liniow a nad K (4) Zbiór K n = {(a 1,, a n ) : a i K} z dzia laniami (a 1,, a n ) (b 1,, b n ) = (a 1 + b 1,, a n + b n ) α (a 1,, a n ) = (αa 1,, αa n ) jest przestrzeni a liniow a zwan a n-wymiarow a przestrzeni a wspó lrzȩdnych (5) Zbiór K = {(a 1, a 2, ) : a i K} z dzia laniami (a 1, a 2, ) (b 1, b 2, ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ) α (a 1, a 2, ) = (αa 1, αa 2, ) jest przestrzeni a liniow a zwan a nieskończeniewymiarow a przestrzeni a wspó lrzȩdnych Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy podprzestrzeni a o ile αw + βw W dla dowolnych αβ K i w, w W

10 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K, zaś A = {v t : t T } uk ladem wektorów z V Mówimy, że v V jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu A o ile istnieje uk lad {α t : t T } elementów cia la K takich, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T (wszystkich z wyj atkiem skończonej ilości) taki, że v = t T α t v t Twierdzenie 21 Niech A = {v t : t T } Bȩdzie niepustym uk ladem wektorów przestrzeni V Wówczas zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów uk ladu A jest podprzestrzeni a przestrzeni V ; jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawieraj aca wszystkie wektory uk ladu A Dowód Niech U bȩdzie uk ladem z lożonym ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów uk ladu A Pokażemy że U jest podprzestrzeni a przestrzeni V Niech v = α t v t w = β t v t t T t T oraz α, β K Wtedy αv + βw = t T(αα t + ββ t )v t Ponieważ pw α t, β t s a równe 0 wiȩc pw αα t + ββ t s a równe 0 St ad αv + βw U a zatem U jest podprzestrzeni a Udowodnimy teraz drug a czȩść twierdzenia Niech W bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni V zawieraj ac a wszystkie wektory uk ladu A Trzeba pokazać, że U W Niech u = t T α t v t U Wtedy prawie wszystkie α t s a równe zero Zatem u = α t1 v t1 + + α tn v tn dla pewnych t 1,, t n T Ponieważ v t1,, v tn W i ponieważ W jest podprzestrzeni a wiȩc u = t T α t v t W Tym samym U W Podprzestrzeń U wystȩpuj ac a w powyższym twierdzeniu nazywać bȩdziemy podprzestrzeni a rozpiȩt a na wektorach uk ladu A lub podprzestrzeni a generowan a przez A i oznaczać j a bȩdziemy przez lin(a) lub lin{v t : t T }, zaś sam zbiór A jej uk ladem generatorów Przestrzeń posiadaj aca skończony zbiór generatorów nazywamy skoczenie gemerowaln a

11 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad (α 1,, α n ) = α 1 (1,, 0) + + α n (0,, 1) Zatem K n = lin{e 1,, e n }, gdzie e i = (0,, i 1,, 0) Niech W bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni liniowej V, zaś v V Wtedy zbiór v + W = {v + w : w W } nazywamy warstw a podprzestrzeni W w przestrzeni V, zaś v reprezentantem tgej warstwy Lemat 22 W V, v 1, v 2 V Wtedy v 1 + W = v 2 + W v 1 v 2 W Dowód : 0 W Zatem v 1 = v 1 +0 v 1 +W = v 2 +W a st ad v 1 = v 2 +w Zatem v 1 v 2 W : Niech v 1 v 2 = w W Pokażemy, że v 1 + W = v 2 + W : x v 1 + W x = v 1 + w 1 = (v 2 + w) + w 1 = v 2 + (w + w 1 ) v 2 + W : x v 2 + W x = v 2 + w 1 = (v 1 w) + w 1 = v 1 + (w 1 w) v 1 + W Twierdzenie 23 Dowolne dwie warstwy s a albo roz l aczne albo równe Dowód Przypuśćmy, że dwie warstwy v 1 + W, v 2 + W nie s a roz l aczne Wtedy istnieje x (v 1 + W ) (v 2 + W ) Zatem x = v 1 + w 1, x = v 2 + w 2 dla pewnych w 1, w 2 W St ad v 1 +w 1 = v 2 +w 2 czyli v 1 v 2 = w 2 w 1 W a zatem v 1 +W = v 2 +W na mocy lematu Przestrzeń ilorazowa Niech V bȩdzie podprzestrzeni a przestrzeni V nad cia lem K i niech V/W oznacza zbiór wszystkich warstw Dla H 1 = v 1 + W, H 2 = v 2 + W V/W definiujemy H 1 H 2 = (v 1 + v 2 ) + W Definicja ta jest poprawna Istotnie niech H 1 = u 1 +W, H 2 = u 2 +W Wtedy v 1 u 1 W, v 2 u 2 W St ad (v 1 +v 2 ) (u 1 +u 2 ) = (v 1 u 1 )+(v 2 u 2 ) W a zatem (v 1 + v 2 ) + W = (u 1 + u 2 ) + W Analogicznie definiuje siȩ mnożenie warstw przez elementy cia la K α (v + W ) = (αv) + W i pokazuje siȩ, że jest ono poprawnie określone

12 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 24 Niech W bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K Wtedy V/W z określonymi wyżej dzia laniami i jest przestrzeni a liniow a zwan a przestrzeni a ilorazow a Suma przestrzeni liniowych Twierdzenie 25 Niech V 1, V 2 bȩd a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V Wówczas zbiór V 1 + V 2 = {v 1 + v 2 : v 1 V 1, v 2 V 2 } jest podprzestrzeni a przestrzeni V zwan a sum a podprzestrzeni V 1 i V 2 Dowód (1) Niech v, w V 1 +V 2, α, β K Wtedy v = v 1 +v 2, w = w 1 +w 2 dla pewnych v 1, w 1 V 1 oraz v 2, w 2 V 2 Zatem αv + βw = (αv 1 + βw 1 ) + (αv 2 + βw 2 ) V 1 + V 2 Przekrój podprzestrzeni Twierdzenie 26 Niech V 1, V 2 bȩd a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V Wówczas przekrój V 1 V 2 jest podprzestrzeni a przestrzeni V Dowód Niech v, w V 1 V 2 i α, β K Wtedy v, w V 1 a zatem αv + βw V 1 Analogicznie αv + βw V 2 Zatem αv + βw V 1 V 2 Suma prosta podprzestrzeni Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest sum a prost a swoich podprzestrzni V 1 i V 2 co oznaczmy V = V 1 V 2 o ile dowolny wektor v V da siȩ jednoznacznie przedstawić w postaci sumy v = v 1 + v 2, gdzie v 1 V 1, v 2 V 2 Twierdzenie 27 V = V 1 V 2 wtedy i tylko wtedy gdy (1) V = V 1 + V 2 oraz (2) V 1 V 2 = 0

13 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód : (1) jest oczywista (2): Niech v V 1 V 2 Wtedy v = v + 0 oraz v = 0+v s a przedstawieniami wektora v V a zatem z jednoznaczności tego przedstawienia v = 0 : Niech v V bȩdzie dowolnym wektorem Wtedy z (1) v = v 1 + v 2 dla pewnych v 1 V 1 i v 2 V 2 Niech teraz v = v 1+v 2 Wtedy v 1 v 1 = v 2 v 2 V 1 V 2 a st ad v 1 v 1 = 0, v 2 v 2 = 0 czyli v 1 = v 1, v 2 = v 2 Mówimy, że skończony uk lad wektorów v 1,, v n jest liniowo niezależny o ile dla dowolnego uk ladu skalarów α 1,, α n takich, że α 1 v α n v n = 0 mamy α 1 = = α n = 0 W przeciwnym wypadku uk lad ten nazywa siȩ liniowo zależny Przyk lad Wektory e 1,, e n K n gdzie e i = (0,, i 1,, 0) s a liniowo niezależne Uk lad wektorów {v t : t T } nazywamy liniowo niezależnym o ile każdy jego skończony poduk lad jest liniowo niezależny Twierdzenie 28 Uk lad wektorów v 1,, v n przestrzeni liniowej V nad cia- lem K jest liniowo zależny dla pewnego k {1,, n} wektor v k jest kombinacj a liniow a pozosta lych wektorów Dowód : Uk lad v 1,, v n jest liniowo zależny wiȩc istniej a α 1,, α n nie wszystkie równe zero takie że α 1 v α n v n = 0 Przypuśćmy, że α k 0 Wtedy v k = β 1 v β k 1 v k 1 + β k+1 v k β n v n, gdzie β i = α i /α k : Niech v k = α 1 v 1 + +α k 1 v k 1 +α k+1 v k+1 + +α n v n Wtedy α 1 v α k 1 v k 1 + ( 1)v k + α k+1 v k α n v n = 0 podczas gdy nie wszystkie wspó lczynniki w tej kombinacji s a równe 0 Zatem wektory v 1,, v n s a liniowo zależne Stwierdzenie 29 Uk lad sk ladaj acy siȩ z jednego wektora v V jest liniowo niezależny v 0 Dowód Latwy na ćwiczenia Stwierdzenie 210 Dowolny uk lad wektorów v 1,, v n zawieraj acy wektor zerowy jest liniowo zależny

14 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Niech v k = 0 Wtedy 0v v k 1 + 1v k + 0v k v n = 0 Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K Uk lad B = {v t : t T } nazywa siȩ baz a przestrzeni V o ile 1 B jest liniowo niezależny 2 Każdy uk lad wektorów A istotnie zawieraj acy B jest liniowo zależny (tzn zbiór B jest maksymalnym, ze wzglȩdu na inkluzjȩ, zbiorem liniowo niezależnym) Przyk lad 211 Uk lad wektorów e i = (0,, i 1, 0) K n i = 1,, n jest baz a przestrzeni K n Twierdzenie 212 V przestrzeń liniowa nad cia lem K, A uk lad wektorów przestrzeni V Nastȩpuj ace warunki s a równoważne: (1) A jest baz a V, (2) A jest liniowo niezależny i każdy wektor v V jest kombinacj a liniow a wektorów z A, (3) A jest minimalnym zbiorm generatorów przestrzeni V, (4) Każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów uk ladu A Dowód (1) (2) Uk lad A jest liniowo niezależny jako baza Niech v V bȩdzie dowolnym wektorem Jeżeli v A to nie ma czego dowodzić; v = 1 v Za lóżmy zatem, że v A Wtedy B = {v} A jest liniowo zależny Zatem istnieje skończony poduk lad C uk ladu B liniowo zależny Ponieważ A jest liniowo niezależny wiȩc v C a zatem C = {v 1,, v n, v} Zatem istniej a α 1,, α n, α K nie wszystkie równe zero i takie, że α 1 v 1 + +α n v n +αv = 0 Mamy α 0 bowiem w przeciwnym wypadku powyższa kombinacja staje siȩ kombinacj a α 1 v α n v n = 0 przy czym nie wszystkie α i s a zerami wbrew temu że każdy skończony poduk lad uk ladu B jest liniowo niezależny Jeżeli jednak α 0 to v = (α 1 /α)v (α n /α)v n (2) (3) A jest zbiorem generatorów przestrzeni V Przypuśćmy niewprost, że C jest zbiorem generatorów przestrzeni V i jest istotnym podzbiorem zbioru A Niech v A\C Wówczas jednak v = α 1 v 1 + +α n v n dla pewnych

15 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, wektorów v 1,, v n C Wtedy jednak ( 1)v + α 1 v α n v n = 0 jest nietrywialn a kombinacj a wektorów uk ladu A wbrew za lożeniu o liniowej niezależności A (3) (4) Niech v V Wtedy z (3) v = α 1 v α n v n dla pewnych α i K Niech ponadto v = β 1 v β n v n dla pewnych β i K Wtedy (α 1 β 1 )v (α n β n )v n = 0 Gdyby teraz α i β i dla pewnego i to v i by lby kombinacj a liniow a wektorów v 1,, v i 1, v i+1,, v n i tym samym A \ {v i } by lby zbiorem generatorów V wbrew za lożeniu o minimalności A (4) (1) Niech C = {v 1,, v n } bȩdzie dowolnym skończonym poduk ladem uk ladu A i niech α 1 v α n v n = 0 Ponieważ 0 = 0v v n wiȩc na mocy (3) α 1 = = α n = 0 Zatem C jest liniowo niezależny Wobec dowolności C, A jest zatem liniowo niezależny Twierdzenie 213 Każda przestrzeń liniowa V nad cia lem K posiada bazȩ Dowód Dla przestrzeni skończenie generowanych twierdzenie to wynika bezpośrednio z warunku (3) powyszej charakteryzacji bazy Dowód w ogólnym przypadku wymaga znajomości lematu Kuratowskiego Zorna Uwaga 214 W daszym ci agu wyk ladu rozpatrywać bȩdziemy tylko przestrzenie skończenie wymiarowe (tzn takie które posiadaj a skończon a bazȩ) bez zaznaczania tego explicité Lemat 215 Niech {v 1,, v n } (2) tworzy bazȩ przestrzeni V i niech v = α 1 v α n v n przy czym α j 0 Wtedy {v 1,, v j 1, v, v j+1,, v n } (3) jest baz a V Dowód Mamy v j = β 0 v + β 1 v β j 1 v j 1 + β j+1 v j β n v n, gdzie β 0 = 1/α j, β i = α i /α j Każdy wektor z V jest kombinacj a liniow a wektorów (2) a wektor v j jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu (3) Zatem każdy wektor przestrzeni V jest kombinacj a liniow a wektorów uk ladu (3) Pokażemy, że (3) jest liniowo niezależny Niech γ 1 v γ j 1 v j 1 + γv + γ j+1 v j+1 + γ n v n = 0 (4)

16 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Podstawiaj ac v = α 1 v α n v n otrzymujemy (γ 1 α 1 γ)v (γ j 1 α j 1 γ)v j 1 +α j γv j +(γ j+1 α j+1 γ)v j+1 + +(γ n α n γ)v n = 0 sk ad α j γ = 0 czyli γ = 0 Zatem γ 1 v γ j 1 v j 1 + γ j+1 v j+1 + γ n v n = 0 a st ad γ 1 = = γ j 1 = γ j+1 = = γ n = 0 Wobec tego uk lad (3) jest liniowo niezależny a zatem na mocy warunku (2) twierdzenia 212 uk lad (3) jest baz a przestrzeni V Twierdzenie 216 (Steinitza o wymianie) Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a przestrzeni liniowej V nad cia lem K, zaś {w 1,, w s } uk ladem wektorów liniowo niezależnych Wtedy (1) s n (2) Istnieje n s wektorów v i które l acznie z w 1,, w s tworz a bazȩ przestrzeni V Dowód Indukcja na s: Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste Za lóżmy zatem jego prawdziwość dla liczb < s Wektory w 1,, w s 1 s a liniowo niezależne a zatem na mocy za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n (s 1) = n s + 1 wektorów v i które l acznie z w 1,, w s 1 tworz a bazȩ przestrzeni V Pokażemy, że faktycznie s 1 < n a wiȩc s n Istotnie gdyby s 1 = n wiȩc już wektory w 1,, w s 1 rozpina lyby przestrzeń V a zatem w s by lby kombinacj a liniow a tych wektorów i tym samym wektory w 1,, w s by lyby liniowo zależne wbrew za lożeniu Dla uproszczenia za lóżmy, że wektorami tymi s a v 1,, v n s+1 czyli baz a V jest v 1,, v n s+1, w 1,, w s 1 Wtedy w s = α 1 v α n s+1 v n s+1 + βw β s 1 w s 1 Pewien wspó lczynnik w tej kombinacji jest 0 Gdyby wszystkie α i by ly zerami to w 1,, w s by lyby liniowo zależne wbrew za lożeniu Zatem α i 0 dla pewnego i Wtedy jednak na mocy lematu 215 jest baz a v 1,, v i 1, v i+1,, v n s+1,, w s 1, w s

17 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 217 Jeżeli pewna baza przestrzeni V ma n elementów to każda inna baza tej przestrzeni ma n elementów Dowód Niech v 1,, v n oraz w 1,, w m bȩd a bazami V Wtedy w 1,, w m v 1,, v n liniowo niezależne liniowo niezależne 216 = m n 216 = n m n = m Liczbȩ elementów dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy jej wymiarem i oznaczać bȩdziemy przez dimv Wniosek 218 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni V, to dimw dimv Wniosek 219 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni V to dimw = dimv wtedy i tylko wtedy gdy V = W Twierdzenie 220 Jeżeli V 1 i V 2 s a podprzestrzeniami przestrzeni V, to dim(v 1 + V 2 ) = dimv 1 + dimv 2 dim(v 1 V 2 ) Dowód Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a V 1 V 2 Wtedy na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie istniej a wektory v 1,, v t v 1,, v s przestrzeni V takie, że {v 1,, v n, v 1,, v t} jest baz a V 1 zaś {v 1,, v n, v 1,, v s } jest baz a V 2 Pokażemy, że {v 1,, v n, v 1,, v t, v 1,, v s } jest baz a V 1 + V 2 Uk lad ten generuje V 1 + V 2 : Istotnie niech v V 1 + V 2 Wtedy v = w 1 + w 2, w i V i Niech w 1 = α 1 v α n v n + α 1v α tv t oraz w 2 = β 1 v β n v n + β 1 v β s v s Wtedy v = w 1 + w 2 = (α 1 + β 1 )v (α n + β n )v n + α 1v α tv t + β 1 v β s v s Uk lad ten jest liniowo niezależny: Istotnie niech Wtedy α 1 v α n v n + α 1v α tv t + α 1v α sv s = 0 α 1v α sv s = α 1 v α n v n + α 1v α tv t V 1 V 2 a st ad (α 1v α sv s ) = γ 1 v γ n v n Zatem α 1 = = α s = 0 a st ad także α 1 = α n = α 1 = = α t = 0 Wniosek 221 dim(v 1 V 2 ) = dimv 1 + dimv 2

18 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przekszta lcenia liniowe Odwzorowanie ϕ : V W przestrzeni liniowych nad cia lem K nazywamy przekszta lceniem liniowym lub homomorfizmem o ile ϕ(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 ϕ(v 1 ) + α 2 ϕ(v 2 ) dla dowolnych v 1, v 2 V, α 1, α 2 K Jeżeli ponadto ϕ jest różnowartościowe, to ϕ nazywamy monomorfizmem, ϕ jest na, to ϕ nazywamy epimorfizmem, ϕ jest różnowartościowe oraz na, to ϕ nazywamy izomorfizmem Stwierdzenie 31 Z lożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem i przekszta lcenie odwrotne do izomorfizmu jest izomorfizmem Dowód Latwe ćwiczenie Przyk lad 1 id V : V V jest izomorfizmem Przyk lad 2 W V podprzestrzeń Wtedy w lożenie i : W V jest monomorfizmem i(w) = w Przyk lad 3 (1) ϕ : K 3 K 3 ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 1 + x 3 ) jest homomorfizmem i jeśli w ciele K, 2 0 to jest to izomorfizm (2) ψ : K 3 K 3 ψ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1, x 2, x 3 ) nie jest homomorfizmem Stwierdzenie 32 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy Ker ϕ = {v V : ϕ(v) = 0} oraz Imϕ = {w W : v V w = ϕ(v)} s a podprzestrzeniami przestrzeni V i W zwanymi odpowiednio j adrem i obrazem ϕ Ponadto ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker ϕ = 0 Dowód Latwe ćwiczenie Twierdzenie 33 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy dimv = dimker ϕ + dimimϕ

19 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Niech {v 1,, v s } oraz {w 1,, w t } bȩd a bazami przestrzeni Ker ϕ oraz Imϕ odpowiednio Niech v 1,, v t V bȩd a takimi wektorami, że ϕ(v i) = w i Pokażemy, że {v 1,, v s, v 1,, v t} jest baz a przestrzeni V Istotnie weźmy dowolny v V Wtedy ϕ(v) = β 1 w β t w t dla pewnych β i K Zatem w = v (β 1 v 1 + +β t v t) Kerϕ St ad w = α 1 v 1 + +α s v s dla pewnych α i K a zatem v = α 1 v 1 + +α s v s +β 1 v 1+ +β t v t Niech teraz α 1 v α s v s + β 1 v β t v t = 0 Wtedy 0 = ϕ(α 1 v α s v s + β 1 v β t v t) = β 1 ϕ(v 1) + + β t ϕ(v t) = β 1 w β t w t a zatem β 1 = = β t = 0 Wtedy jednak z wyjściowej kombinacji zostaje α 1 v α s v s = 0 a zatem także α 1 = = α s = 0 Przestrzenie liniowe V i W nazywamy izomorficznymi, co zapisujemy V = W o ile istnieje izomorfizm ϕ : V W Twierdzenie 34 Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K oraz dimv = n Wtedy V = K n Dowód Niech {v 1,, v n } bȩdzie baz a przestrzeni V oraz v V Wtedy istnieje dok ladnie jeden uk lad α 1,, α n K taki, że v = α 1 v α n v n Definiujemy ϕ : V K n ϕ(v) = (α 1,, α n ) (1) ϕ jest homomorfizmem: v, v V Wtedy v = α 1 v α n v n oraz v = α 1v 1 + +α nv n a st ad αv+α v = (αα 1 +α α 1)v 1 + +(α α n +α α n)v n Zatem ϕ(αv + α v ) = (αα 1 + α α 1,, α α n + α α n) = α(α 1,, α n ) + α (α 1,, α n ) = αvϕ(v) + α ϕ(v ) (2) ϕ jest na: Niech α K n bȩdzie dowolnym elementem Wtedy α = (α 1,, α n ) dla pewnych α i K a zatem dla v = α 1 v α n v n ϕ(v) = α (3) ϕ jest różnowartościowe: Niech v = α 1 v α n v n oraz v = α 1v α nv n bȩd a dowolnymi wektorami z V i niech ϕ(v) = ϕ(v ) Wtedy z określenia ϕ, (α 1,, α n ) = (α 1,, α n) a zatem v = v Stwierdzenie 35 Jeżeli W jest podprzestrzeni a przestrzeni liniowej V nad cia lem K to przyporz adkowanie elementowi v V warstwy v + W wyznacza epimorfizm V V/W zwany epimorfizmem kanonicznym

20 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 36 dim V/W = dim V dim W Dowód wniosek wynika z twierdzenia 33 gdyż W jest j adrem epimorfizmu kanonicznego V V/W Twierdzenie 37 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy istnieje izomorfizm ϕ : V/Ker ϕ Im ϕ Dowód Niech U = Ker ϕ Definiujemy ϕ : V/U Im ϕ nastȩpuj aco: Niech x V/Ker ϕ Wtedy x = v + U dla pewnego v V Przyjmujemy ϕ(x) = ϕ(v) Pokazuje siȩ że powyższe odwzorowanie jest poprawnie określone i jest izomorfizmem Struktura przekszta lceń liniowych Twierdzenie 38 (O strukturze przekszta lceń liniowych) Niech V, W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v 1,, v n baz a V, zaś w 1,, w n dowolnym uk ladem wektorów przestrzeni W Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe ϕ : V W takie, że ϕ(v i ) = w i, i = 1,, n Dowód Definiujemy ϕ : V W nastȩpuj aco Jeżeli v V to v = α 1 v α n v n dla pewnych α 1,, α n K wyznaczonych jednoznacznie Przyjmujemy ϕ(v) = α 1 w α n w n Latwo sprawdza siȩ wtedy, że (1) ϕ liniowe, (2) ϕ(v i ) = w i, (3) ϕ jedyne Wniosek 39 Niech V, W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v 1,, v n baz a V, zaś ϕ 1, ϕ 2 : V W przekszta lceniami liniowymi Jeżeli ϕ 1 (v i ) = ϕ 2 (v i ), to ϕ 1 = ϕ 2 Dla przestrzeni liniowych V, W nad cia lem K definiujemy L(V, W ) = {ϕ : V W : ϕ przekszta lcenie liniowe} Twierdzenie 310 L(V, W ) jest przestrzeni a liniow a nad cia lem K z dzia- laniami (ϕ ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v), (α ϕ)(v) = α ϕ(v)

21 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód Należy sprawdzić że, s a dzia laniami oraz aksjomaty przestrzeni liniowej Jeżeli w powyższej definicji W = K jest przestrzeni a 1-wymiarow a to element ϕ L(V, W ) nazywamy funkcjona lem liniowym, zaś sam a przestrzeń L(V, W ) przestrzeni a dualn a lub sprzȩżon a do V i oznaczać bȩdziemy przez V Twierdzenie 311 Jeżeli ϕ : V W jest homomorfizmem, to ϕ : W V określone wzorem ϕ (f) = f ϕ jest homomorfizmem Twierdzenie 312 (O bazie dualnej) dimv = dimv Dowód Niech v 1,, v n bȩdzie baz a V Definiujemy v1,, vn : V K wzorem { 1 i = j, vi (v j ) = δ i,j = 0 i j (1) v 1,, v n liniowo niezależne: Jeśli α 1 v 1 α n v n = 0, to dzia laj ac na v i otrzymujemy α i = 0 (2) Niech ϕ V bȩdzie dowolnym elementem Wtedy dla α i = ϕ(v i ) mamy ϕ = α 1 v 1 α n v n Bazȩ v 1,, v n zdefiniowan a w dowodzie powyższego twierdzenia nazywamy baz a dualn a lub baz a sprzȩżon a do bazy v 1,, v n Macierze i dzia lania na macierzach Macierz a nad cia lem K wymiaru m n nazywamy rodzinȩ elementów (α ij ) cia la K, gdzie 1 i m, 1 j n Macierz (α ij ) zapisywać bȩdziemy w postaci tablicy: α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn Zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n nad cia lem K oznaczać bȩdziemy przez Mat m n (K) a dla m = n przez Mat n (K)

22 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 313 Mat m n (K) jest przestrzeni a liniow a nad cia lem K z dzia laniami (α ij )+(β ij ) = (α ij +β ij ), α (α ij ) = (α α ij ) Ponadto Mat m n (K) = K mn a w szczególności Mat 1 n (K) = K n oraz Mat m 1 (K) = K m Dowód Izomorfizm Mat m n (K) K mn jest zadany przyporz adkowaniem: (α ij ) (α 11,, α 1n, α 21,, α 2n,, α m1,, α mn ) Dla bȩdziemy oznaczać α ij = A ij α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A = α m1 α m2 α mn Mamy odwzorowanie z lożenia: Mat m n (K) Mat n k (K) Mat m k (K) Dla A Mat m n (K), B Mat n k (K) przyjmujemy Przyk lad Dla A = ( n (AB) st = A si B it i=1 ) i B = ( ) AB = = i analogicznie BA = Ponadto mamy odwzorowanie transpozycji Mat m n (K) Mat n m (K) mamy ( określone wzorem: t(a) ij = A ji Macierz t(a) nazywać macierz a transponowan a do A i oznaczć A t )

23 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad Dla A = ( ) mamy A t = Macierz A nazywamy symetryczn a o ile A t = A Wyróżniamy też macierz jednostkow a któr a oznaczać bȩdziemy przez E lub I Dla macierzy A Mat n n (K) macierz B Mat n n (K) tak a, że AB = BA = I nazywamy macierz a odwrotn a i oznaczać bȩdziemy przez A 1 Lemat 314 Dla dowolnych A Mat m n (K), B, C Mat n k (K) oraz α K mamy A (B + C) = A B + A C, A (α B) = α(a B) Dowód (A (B + C)) st = n i=1 A si (B + C) it = n i=1 A si (B it + C it ) = ni=1 A si B it + n i=1 A si C it = (A B) st + (A C) st Lemat 315 Dla dowolnych A Mat m n (K), B Mat n k (K) oraz C Mat k l (K) mamy A (B C) = (A B) C Dowód (A (B C)) st = n i=1 A si (B C) it = n i=1 A si ( n j=1 (B ij C jt )) = nj=1 ( n i=1 A si B ij )C jt ) = n j=1 (A B) sj C jt )) = ((A B) C) st Reprezentacja macierzowa homomorfizmu Niech V i W bȩd a przestrzeniami liniowymi z bazami uporz adkowanymi B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w n } oraz niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem Stowarzyszamy z ϕ macierz M B V B W (ϕ) której i-ta kolumna sk lada siȩ ze wspó lczynników kombinacji ϕ(v i ) w bazie B W tzn M B V B W (ϕ) = (α ij ) wtedy i tylko wtedy gdy ϕ(v i ) = α 1i w α mi w m Macierz t a nazywamy macierz a homomorfizmu ϕ w bazach B V oraz B W

24 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Przyk lad Macierz a homomorfizmu f : K 2 K 3 f(x, y) = (x, x+y, x+2y) 1 0 w bazach standardowych jest Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a nad cia lem K z bazami uporz adkowanymi B = {v 1,, v n } oraz B = {v 1,, v n} Macierz a przejścia od B do B nazywamy macierz M B B której i-ta kolumna sk lada siȩ ze wspó lczynników kombinacji wektora v i w bazie B tzn M B B = (α ij ) wtedy i tylko wtedy gdy v i = α 1i v α n,i v n Latwo pokazać, Wniosek 316 M B B = M B B (id V ) Twierdzenie 317 Niech ϕ : V W bȩdzie homomorfizmem przestrzeni liniowych, B V = {v 1,, v n } i B V = {v 1,, v n} bazami uporz adkowanymi V zaś B W = {w 1,, w n } i B W = {w 1,, w n} bazami uporz adkowanymi W Wtedy M B V B (ϕ) = M B W W B M B V W B W (ϕ)m B V B V Dowód Oznaczmy M B V B W (ϕ) = A = (α ij ), M B V B V C = (γ ij ) Wtedy ϕ(v i) = ϕ( n r=1 β ri v r ) = n r=1 β ri ϕ(v r ) = n r=1 β ri ( m s=1 α sr w s ) = n r=1 β ri ( m s=1 α sr ( m t=1 γ ts w t))) = m t=1 ( n r=1 ( m s=1 (γ t,s α sr ))β ri )w t = m t=1 ( n r=1 ((CA) tr B ri )w t = m t=1 ((CA)B) ti )w t = B = (β ij ) oraz M B W B W = Zatem i-ta kolumna macierzy homomorfizmu ϕ w bazach B V oraz B W równa jest i-tej kolumnie macierzy CAB co kończy dowód twierdzenia

25 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 318 Niech ϕ : V W oraz ψ : W U bȩd a homomorfizmami przestrzeni liniowych, zaś B U, B V oraz B W bazami uporz adkowanymi U, V i W Wtedy M B V B U (ψ ϕ) = M B W BU (ψ)m B V B W (ϕ) Dowód Niech B U = {u 1,, u k }, B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w m } i oznaczmy M B V B W (ϕ) = A = (α ij ), M B W BU (ψ) = B = (β ij ) Wtedy (ψ ϕ)(v i ) = ψ(ϕ(v i )) = ψ( m r=1 α ri w r ) = m r=1 α ri ψ(v r ) = m r=1 α ri ( k s=1 β sr u s ) = k s=1 ( m r=1 β sr α ri )u s = k s=1 (BA) si )u s Zatem i-ta kolumna macierzy M B V B U (ψ ϕ) równa jest i-tej kolumnie macierzy M B W BU (ψ)m B V B W (ϕ) co kończy dowód twierdzenia Wniosek 319 f : V W jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych baz B V i B W przestrzeni V i W M B V B W (f) jest odwracalna Dowód : Niech g : W V bȩdzie homomorfizmem odwrotnym do f Wtedy f g = id W oraz g f = id V Zatem M B V B W (f)m B W BV (g) = M B W BW (f g) = M B W BW (id W ) = E i analogicznie M B W BV (g)m B V B W (g) = E : Niech B V i B W bȩd a bazami uporz adkowanym przestrzeni V i W oraz niech A = (α ij ) = M B V B W (f) Niech B = (β ij ) = A 1 i niech g : W V bȩdzie homomorfizmem zadanym wzorem g(w i ) = n s=1 β si v s Wtedy Analogicznie f(g(w i )) = n s=1 β si f(v s ) = n s=1 β si ( n t=1 α ts w t ) = n t=1 ( n s=1 α t,s β si )w t = n t=1 (AB) ti )w t = w i g(f(v i )) = g( n s=1 α s,i w s = n s=1 α s,i g(w s ) = n s=1 α s,i ( n t=1 β t,s v t ) = n t=1 ( n s=1 β t,s α s,i )v t ) = ( n t=1 (BA) t,i )v t = v i

26 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wniosek 320 (1) Macierz przejścia od bazy B do bazy B jest macierz a jednostkow a (2) M B 2 B 1 M B 3 B 2 = M B 3 B 1 (3) M B 2 B 1 jest odwracalna i (M B 2 B 1 ) 1 = M B 1 B 2 Dowód (1) jest oczywista (2) Niech M B 2 B 1 = A oraz M B 3 B 2 = B Wtedy na mocy wniosku 316, A = M B 2 B 1 (id V ) oraz B = M B 3 B 2 (id V ) Zatem na mocy 318, AB = M B 3 B 1 (id V ) = M B 3 B 1 (3) Na mocy (2) i (1) M B 2 B 1 M B 1 B 2 = M B 1 B 1 = E Zatem istotnie (M B 2 B 1 ) 1 = M B 1 B 2 Przypomnijmy, że dla dowolnej przestrzeni V z baz a B = {v 1,, v n } zdefiniowaliśmy w twierdzeniu 312 bazȩ dualn a B = {v 1,, v n} przestrzeni sprzȩżonej V = L(V, K) zaś w twierdzeniu 311 dla dowolnego homomorfizmu f : V W zdefiniowaliśmy homomorfizm indukowany f : W V wzorem f (ϕ) = ϕ f Twierdzenie 321 Niech V i W bȩd a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K o bazach uporz adkowanych B V oraz B W oraz niech f : V W bȩdzie homomorfizmem Wtedy M B W B (f ) = (M B V V B W (f)) t, gdzie BW oraz B V s a bazami dualnymi do B W oraz B V Dowód Niech B V = {v 1,, v n }, BV = {v 1,, vn}, B W = {w 1,, w m }, BW = {w 1,, wm} Przypomnijmy, że vi : V K jest jednoznacznie wyznaczone przez warunek vi (v j ) = δ ij Niech A = (α ij ) = M B V B W (f) Wtedy f(v j ) = m s=1 α sj w s oraz f (wi ) = wi f Zatem (wi f)(v j ) = wi ( m s=1 α sj w s ) = m s=1 α sj wi (w s ) = α ij i wobec tego f (wi ) = α i1 v1 α in vn Wniosek 322 Jeżeli f : V W jest izomorfizmem to f : W V jest także izomorfizmem Dowód f jest izomorfizmem M B V B W (f) jest odwracalna (M B V B W (f)) t = (f ) jest odwracalna f jest izomorfizmem M B W B V

27 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Podsumowuj ac, maj ac dwie przestrzenie liniowe V i W wymiarów n i m odpowiednio i ustalaj ac ich bazy B V = {v 1,, v n } oraz B W = {w 1,, w m } istnieje wzajemnie jednoznczna odpowiedniość ustalona przez przyporz adkowania gdzie ϕ A (v i ) = α 1i w α mi w m L(V, W ) Mat m n (K) ϕ M B V B W (ϕ) A ϕ A,

28 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Uk lady równań liniowych Uk ladem równań liniowych o n zmiennych i wspó lczynnikach w ciele K nazywamy uk lad równań postaci: α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m gdzie α ij, β i K Uk lad ( ) nazywamy jednorodnym o ile β 1 = = β m = 0 i niejednorodnym w przeciwnym wypadku Z uk ladem ( ) stowarzyszamy dwie macierze ( ) A = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n Au = α 11 α 12 α 1n β 1 α 21 α 22 α 2n β 2 α m1 α m2 α mn α m1 α m2 α mn β m zwanymi macierz a i macierz a rozszerzon a uk ladu ( ) Mówimy, że uk lad równań ( ) jest równoważny uk ladowi α 11x 1 + α 12x α 1nx n = β 1 α 21x 1 + α 22x α 2nx n = β 2 α l1x 1 + α l2x α lnx n = β l co zapisujemy ( ) ( ) o ile każde równanie uk ladu ( ) można otrzymać mnoż ac najpierw każde równanie uk ladu ( ) przez pewne elementy cia la K a nastȩpnie dodaj ac otrzymane równania stronami i odwrotnie każde równanie uk ladu ( ) można otrzymać mnoż ac najpierw każde równanie uk ladu ( ) przez pewne elementy cia la K a nastȩpnie dodaj ac otrzymane równania stronami Przyk lad Uk lady ( )

29 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, x 1 + 2x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 } (A) x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 } (B) s a równoważne Rozwi azaniem uk ladu równań ( ) nazywamy taki ci ag (α 1,, α n ) elementów cia la K, że po zast apieniu w równaniach tego uk ladu niewiadomych x 1,, x n elementami α 1,, α n otrzymujemy równości prawdziwe w ciele K Zbiór rozwi azań uk ladu ( ) oznaczać bȩdziemy symbolem Roz ( ) Twierdzenie 41 Równoważne uk lady równań maj a te same zbiory rozw azań Dowód Niech ( ) ( ) Zapiszmy skrótowo l 1 (x 1,, x n ) = β 1 l 1(x 1,, x n ) = β 1 l 2 (x 1,, x n ) = β 2 l 2(x 1,, x n ) = β 2 ( ) l m (x 1,, x n ) = β m l s(x 1,, x n ) = β s Niech (α 1,, α n ) Roz ( ) i niech l i(x 1,, x n ) = β i bȩdzie dowolnym równaniem uk ladu ( ) Wtedy l i(x 1,, x n ) = δ 1 l 1 (x 1,, x n ) + + δ m l m (x 1,, x n ) oraz β i = δ 1 β δ m β m St ad l i(α 1,, α n ) = δ 1 l 1 (α 1,, α n )+ +δ m l m (α 1,, α n ) = δ 1 β 1 + +δ m β m = β i Zatem Roz ( ) Roz ( ) i analogicznie pokazuje siȩ inkluzjȩ przeciwn a Zbiór rozwi azań uk ladu równań liniowych ( ) traktujemy jako podzbiór przestrzeni liniowej K n Stwierdzenie 42 Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = 0 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = 0 bȩdzie jednorodnym uk ladem równań nad cia lem K podprzestrzeni a przestrzeni K n ( ) ( ) Wtedy Roz ( ) jest

30 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Dowód (pierwszy) Niech α, β K, α = (α 1,, α n ), β = (β 1,, β n ) Roz ( ) bȩd a dowolnymi elementami Niech jak wcześniej l i (x 1,, x n ) = l i ( x) oznacza lew a stronȩ i-tego równania uk ladu ( ) Wtedy l i ( α) = l i ( β) = 0 a zatem l i (α α + β β) = αl i ( α) + βl i ( β) = 0 Zatem α α + β β Roz ( ) (drugi) Niech A = (α ij ) bȩdzie macierz a uk ladu ( ) i niech ϕ A : K n K m bȩdzie homomorfizmem o macierzy A w bazach standardowych Mamy ϕ A (e i ) = (A i ) t St ad ϕ A (α 1,, α n ) = ϕ A (α 1 e α n e n ) = α 1 (A 1 ) t + + α n (A n ) t = (α 1 A α n A n ) t a zatem (α 1, + α n ) Roz ( ) (α 1, + α n ) Kerϕ A St ad Roz ( ) = Kerϕ A Wcześniej jednak pokazaliśmy, że Kerϕ A jest podprzestrzeni a przestrzeni K n Twierdzenie 43 Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m ( ) bȩdzie uk ladem równań liniowych o wspó lczynnikach w ciele K i niech α = (α 1,, α n ) bȩdzie dowolnym rozwi azaniem tego uk ladu oraz niech ( ) bȩdzie uk ladem jednorodnym stowarzyszonym z uk ladem ( ) Wtedy Roz ( ) = α + Roz ( ) tzn Roz ( ) jest warstw a w przestrzeni K n Dowód Zapiszmy ( ) oraz ( ) w postaci l 1 (x 1,, x n ) = β 1 l 2 (x 1,, x n ) = β 2 l m (x 1,, x n ) = β m ( ) l 1 (x 1,, x n ) = 0 l 2 (x 1,, x n ) = 0 l m (x 1,, x n ) = 0 ( ) Niech ξ = (ξ 1,, ξ n ) Roz ( ) Wtedy ξ α = η Roz ( ) a st ad ξ = α + η α + Roz ( ) Zatem Roz ( ) α + Roz ( )

31 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Niech teraz ξ α + Roz ( ) Wówczas ξ = α + η gdzie η Roz ( ) a wtedy l i ( α + η) = l i ( α) + l i ( η) = β i + 0 = β i czyli ξ Roz ( ) Niech Macierz α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn A j = α 1j α 2j α mj Mat m n(k) Mat m 1(K) nazywamy j-t a kolumn a macierzy A, zaś macierz A i = (α i1, α i2,, α in ) Mat 1 n (K) jej i-tym wierszem Na A i można patrzeć jak na elementy przestrzeni K m zaś na A i jak na elementy przestrzeni K n Rzȩdem wierszowym r w (A) (odp kolumnowym r c (A)) macierzy A nazywamy maksymaln a ilość liniowo niezależnych wierszy (odp kolumn) tej macierzy Wniosek 44 r w (A) = dim(lin(a 1,, A m )), r c (A) = dim(lin(a 1,, A n )) Przyk lad Dla A = r c (A) = 2 ( ) i B = Mamy r w (A) = 2 oraz Lemat 45 Niech ϕ : V W bȩdzie przekszta lceniem liniowym nad K i niech v 1,, v n bȩdzie baz a V Wtedy Imϕ = lin(ϕ(v 1 ),, ϕ(v 1 )) Dowód : Jeśli w Im(ϕ) to w = ϕ(v) dla pewnego v V Wtedy v = α 1 v 1 + +α n v n dla pewnych α i K a st ad w = ϕ(v) = α 1 ϕ(v 1 )+ + α n ϕ(v n ) : Niech w lin(ϕ(v 1 ),, ϕ(v n ) Wtedy w = α 1 ϕ(v 1 ) + + α n ϕ(v n ) = ϕ(α 1 v α n v n ), dla pewnych α i K a zatem w Imϕ

32 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie 46 Dla A Mat m n (K), r w (A) = r c (A) Dowód Niech A = (α i,j ) i niech ϕ A : K n K m bȩdzie homomorfizmem o macierzy A w bazach standardowych Mamy ϕ A (e i ) = A i a zatem Imϕ A = lin(a 1,, A n ) St ad dim(imϕ A ) = dim(lin(a 1,, A n )) = r c (A) ozn = p Z twierdzenia 33 n = dimk n = dim(imϕ A ) + dim(kerϕ A ) = r c (A)+dim(Roz ( )), gdzie ( ) jest uk ladem jednorodnym stowarzyszonym z macierz a A Niech q = r w (A) i niech A i1,, A iq bȩdzie maksymalnym uk ladem liniowo niezależnych wierszy Wtedy każdy inny wiersz macierzy A jest kombinacj a liniow a powyższych wierszy i tym samym uk lad ( ) jest równoważny uk ladowi α i1 1x 1 + α i1 2x α i1 nx n = 0 α i2 1x 1 + α i2 2x α i2 nx n = 0 α iq1x 1 + α iq2x α iqnx n = 0 ( ) Wobec tego Roz ( ) = Roz ( ) Niech A oznacza macierz uk ladu ( ) Jak poprzednio dowodzimy, że n = dimk n = dim(imϕ A ) + dim(kerϕ A ) = dim(imϕ A ) + dim(roz ( )) Zatem p = r c (A) = n dim(roz ( )) = n dim(roz ( )) = dim(imϕ A ) q Zatem r c (A) r w (A) Wobec dowolności Macierzy A mamy także r c (A t ) r w (A t ) Jednak r c (A t ) = r w (A) oraz r w (A t ) = r c (A) St ad r w (A) r c (A) a zatem r w (A) = r c (A) Rzȩdem r(a) macierzy A Mat m n (K) nazywamy wspóln a wartość rzȩdu wierszowego i kolumnowego Twierdzenie 47 (Kroneckera-Capelliego) Niech α 11 x 1 + α 12 x α 1n x n = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2n x n = β 2 α m1 x 1 + α m2 x α mn x n = β m ( )

33 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, bȩdzie uk ladem niejednorodnym Wówczas Roz ( ) r(a) = r(a u ), gdzie A jest macierz a, zaś A u macierz a rozszerzon a uk ladu ( ) Jeśli ponadto Roz ( ) to Roz ( ) jest warstw a pewnej podprzestrzeni o wymiarze n r(a) w przestrzeni K n Dowód Napiszmy uk lad ( ) w postaci wektorowej: x 1 A 1 + x 2 A x n A n = A n+1, gdzie A 1,, A n s a kolumnami macierzy A które traktujemy jak wektory przestrzeni K m zaś A n+1 jest kolumn a wyrazów wolnych β 1,, β m K Wtedy (α 1,, α n ) K n jest rozwi azaniem uk ladu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy A n+1 = α 1 A 1 + α 2 A α n A n Zatem Roz ( ) A n+1 lin(a 1,, A n ) lin(a 1,, A n ) = lin(a 1,, A n, A n+1 ) dim(lin(a 1,, A n )) = dim(lin(a 1,, A n, A n+1 )) r(a) = r(a u ) Dla dowodu drugiej czȩści twierdzenia zauważmy, że dla α Roz ( ) mamy Roz ( ) = α + Roz ( ) Z kolei pokazaliśmy, że Zatem dimroz ( ) = n r(a) n = dimk n = r c (A) + dimroz ( )

34 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Wyznaczniki Niech A = (α ij ) Mat m n (K) bȩdzie macierz a Wygodnie zapisać macierz tak a w postaci ci agu jej kolumn A = (A 1,, A n ), gdzie A i = Wyznacznikiem stopnia n nazywamy funkcjȩ spe lniaj ac a warunki: α 1,i α 2,i α m,i det : Mat n n (K) = Mat n (K) K (1) Dla dowolnych j n, α, β K det(a 1,, A j 1, αa j +βa j, A j+1,, A n ) = αdet(a 1,, A j 1, A j, A j+1,, A n ) + βdet(a 1,, A j 1, A j, A j+1,, A n ) (2) det(a 1,, A n ) = 0 jeżeli A j = A j+1 dla pewnego j = 1, n 1 (3) Jeżeli I jest macierz a jednostkow a to det(i) = 1 Później pokażemy istnienie i jednoznaczność wyznacznika Potrzebne do tego b ad a pewne wiadomości o permutacjach Permutacj a zbioru n elementowego {1,, n} nazywamy dowoln a bijekcjȩ σ : {1, n} {1, n} Niech S n oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru n elementowego Wtedy S n jest grup a ze wzglȩdu na dzia lanie superpozycji przekszta lceń Zad Porównać powyższ a definicjȩ z definicj a szkoln a Permutacjȩ σ S n nazywamy cyklem d lugości k o ile istnieje ci ag elementów 1 i 1, i 2,, i k n taki, że σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,, σ(i k 1 ) = i k, σ(i k ) = i 1, oraz σ(j) = j dla j i 1,, i k Zapisujemy wtedy σ = (i 1, i 2,, i k ) Cykl d lugości 2 nazywamy transpozycj a Nietrudno udowodnić nastȩpuj ace twierdzenie zwi azane z tymi pojȩciami

35 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, Twierdzenie Każda permutacja σ S n jest z lożeniem skończonej ilości transpozycji Przyk lad Niech σ = ( ) Wtedy σ = (1, 2, 4, 5, 3)(6, 7)(8, 9) oraz (1, 2, 4, 5, 3) = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2) Zatem σ = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9) Zauważmy ponadto, że σ = (2, 4)(1, 3)(1, 5)(2, 4)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9) Twierdzenie Jeżeli σ = σ 1 σ s oraz σ = τ 1 τ t s a dwoma rozk ladami permutacji σ to ( 1) s = ( 1) t Liczbȩ ( 1) s nazywamy znakiem permutacji i oznaczać bȩdziemy symbolem sgn(σ) Twierdzenie Każda permutacja jest z lożeniem pewnej skończonej ilości transpozycji elementów s asiednich Przyk lad (2, 5) = (2, 3)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3) Wniosek 51 (1) det(a 1,, A j, A j+1,, A n ) = det(a 1,, A j+1, A j,, A n ), (2) det(a 1,, A n ) = 0 gdy A k = A l dla pewnych k l, (3) det(a 1,, A k,, A l,, A n ) = det(a 1,, A l,, A k,, A n ), (4) det(a σ(1),, A σ(n) ) = sgn(σ)det(a 1,, A n ), (5) det(a 1,, A j + αa k,, A k,, A n ) = det(a 1,, A n ), (6) det(a 1,, A n ) = 0 gdy pewna kolumna A j sk lada siȩ z samych zer Lemat 52 Dla A = (α ij ), B = (β ij ) Mat n n (K) mamy det(ab) = deta σıs n sgn(σ)β σ(1),1 β σ(n),n Dowód Niech AB = (H 1,, H n ) Wtedy H j = (AB) 1j (AB) nj = ns=1 α 1s β sj ns=1 α ns β sj = n s=1 β sj α 1s α ns = n s=1 β sj A s

36 Gromadzki, Stukow, Szepietowski Algebra Liniowa April 26, dla j = 1,, n Zatem det(ab) = det(h 1,, H n ) = det( n s=1 β s1 A s,, n s=1 β sn A s ) = det( n s1 =1 β s1 1A s 1,, n sn=1 β snna sn ) = n s1 =1 n sn=1 β s1 1 β snndet(a s 1,, A sn ) = ( ) Jeżeli s i = s j dla i j to det(a s 1, A s 2,, A sn ) = 0 Zatem w powyższym sumowaniu wystȩpuj a tylko sk ladniki dla których wyrazy s 1, s 2,, s n s a różne Dladowolnego takiego ci agu definiujemy permutacjȩ σ(i) = s i Wtedy wracaj ac do naszej równości mamy ( ) = σ S n β σ(1)1 β σ(n)n )det(a σ(1),, A σ(n) ) = σ S n β σ(1)1 β σ(n)n )sgn(σ)det(a 1, A 2,, A n ) = det(a) σ S n sgn(σ)β σ(1)1 β σ(n)n ) Twierdzenie 53 (o istnieniu i jednoznaczności wyznacznika) Istnieje dok ladnie jedna funkcja D : Mat n n (K) K spe lniaj aca warunki (1) (3) definicji wyznacznika Ma ona postać: gdy A = (α ij ) D(A) = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(2)2 α σ(n)n Dowód Dla dowodu istnienia należy sprawdzić, że powyższa funkcja spe lnia warunki (1) (3) definicji wyznacznika (1) Niech B j = (β ij ) Wtedy D(A 1,, A j 1, αa j + βb j, A j+1,, A n ) = = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 (αα σ(j)j + ββ σ(j)j )α σ(j+1)j+1 α σ(n)n =α σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(n)n + β σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 β σ(j)j α σ(j+1)j+1 α σ(n)n =αd(a 1, A j 1, A j, A j+1,, A n )+βd(a 1, A j 1, B j, A j+1,, A n ) (2) Niech A j = A j+1 dla j < n Wtedy D(A 1, A n ) = = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(j+1)j+1 α σ(j+2)j+2 α σ(n)n = σ S n sgnσα σ(1)1 α σ(j 1)j 1 α σ(j)j α σ(j+1)j α σ(j+2)j+2 α σ(n)n = 0

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe w zadaniach

Przestrzenie liniowe w zadaniach Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Liczby zespolone

Rozdzia l 1. Liczby zespolone Rozdzia l 1. Liczby zespolone 1.1. Definicja i podstawowe własności. Oznaczmy przez R 2 iloczyn (produkt) kartezjański zbioru liczb rzeczywistych R przez siebie, t.j., zbiór par uporządkowanych (a, b),

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Matematyka (Materiały dydaktyczne) Aleksander Błaszczyk

Matematyka (Materiały dydaktyczne) Aleksander Błaszczyk Niniejsza publikacja została przygotowana w ramach realizacji projektu Innowacyjne specjalności na kierunku Informatyka w Wyższej Szkole Biznesu w Dąbrowie Górniczej, Program Operacyjny Kapitał Ludzki,

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Pawe l G ladki. Problem przetargu.

Pawe l G ladki. Problem przetargu. 1 Problem przertargu Pawe l G ladki Problem przetargu. Co to jest przetarg w potocznym znaczeniu wyjaśniać chyba nie trzeba. W ujȩciu eknomicznym, za przetarg uważamy takie sytuacje, jak negocjacje handlowe

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone C := R 2.

Liczby zespolone C := R 2. C := R 2. R 2 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a (1, 0) + b (0, 1). R C, R x (x, 0) C. i := (0, 1), 1 = (1, 0) (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi. R 2 (a, b) = z = a + bi C. a- część rzeczywista liczby zespolonej

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

166 Wstȩp do statystyki matematycznej

166 Wstȩp do statystyki matematycznej 166 Wstȩp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwi azać nasz zasadniczy problem zwi azany z identyfikacj a cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański

Gry Nieskończone. Krzysztof P lotka. Praca Magisterska. Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gry Nieskończone Krzysztof P lotka Praca Magisterska Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Gdańk 1997 Spis treści Wstȩp........................................................... ii Terminologia i oznaczenia........................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

Ciało liczb zespolonych

Ciało liczb zespolonych Ciało liczb zespolonych Twierdzenie: Niech C = R 2.Wzbiorze Cokreślamydodawanie: oraz mnożenie: (a,b) + (c,d) = (a +c,b +d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad +bc). Wówczas (C, +, ) jest ciałem, w którym elementem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo