ZASTOSOWANIE DWUOSOBOWEJ GRY RÓŻNICZKOWEJ O SUMIE ZEROWEJ DO STEROWANIA ELEMENTEM MECHATRONICZNYM
|
|
- Dariusz Czajka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2016 nr 60, ISSN X ZASTOSOWANIE DWUOSOBOWEJ GRY RÓŻNICZKOWEJ O SUMIE ZEROWEJ DO STEROWANIA ELEMENTEM MECHATRONICZNYM Zenon Hendzel 1a, Paweł Penar 1b 1 Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska a zenhen@prz.edu.pl, b ppenar@prz.edu.pl Streszczenie W artykule opisano zastosowanie teorii gier różniczkowych do sterowania modułem napędowym mobilnego robota kołowego. Omówiono rozwiązanie dwuosobowej gry różniczkowej o sumie zerowej wynikające z teorii punktu siodłowego Nasha. Teoria dwuosobowych gier o zerowej sumie i związana z nią teoria sterowania typu wynika z rozwiązania równania Hamiltona-Jacobiego-Isaaca (HJI). Ta problematyka występuje w teorii optymalnego sterowania obiektami dynamicznymi. Zastosowanie sterowania wynikającego z teorii gier różniczkowych gwarantuje optymalne rozwiązanie względem przyjętego wskaźnika jakości przy założeniu, że występują najbardziej niekorzystne zakłócenia. Przyjęte rozwiązania zweryfikowano na obiekcie rzeczywistym. Uzyskane wyniki potwierdziły poprawność przyjętych założeń i efektywność metody. Słowa kluczowe: gry różniczkowe, sterowanie optymalne, moduł napędowy USE TWO-PERSON ZERO-SUM DIFFERENTIAL GAME IN CONTROL THE MECHATRONIC ELEMENT Summary In the paper we discuss the application of the differential game theory to motor control of a wheeled robot. We present the solution of two-player zero-sum differential game obtained from the Nash equilibrium theory. Two-player zero-sum game theory and related control theory of type are following from the solutions of the Hamilton-Jacobi- Isaacs (HJI) equations of the optimal control theory in dynamics. Differential game control guarantee optimal solution for a performance index assuming that wrost case disturbance. The proposed solution is verified for a real object. The obtained results demonstrated the correctness of assumptions and efficiency of used method. Keywords: differential game, optimal control theory, wheeled control robot motor 1. WSTĘP Teoria gier dynamicznych, łącząc ze sobą teorią gier i teorię sterowania optymalnego, stanowi uogólnienie problemu optymalizacji typu minimax. Do podobszaru gier dynamicznych należą gry różniczkowe, których nazwa wskazuje na charakter równań, które opisują obiekt sterowania. Ich rozwiązanie bazuje na zasadzie optymalności Bellmana [1]. W przypadku gry dwuosobowej o sumie zerowej jeden gracz maksymalizuje, a drugi minimalizuje przyjęty wskaźnik jakości. Rozwiązaniem gry dwuosobowej o sumie zerowej jest punkt siodłowy Nasha [6], który jest rozwiązaniem sterowania typu [3]. Ten fakt łączy teorię gier różniczkowych z teorią systemów dyssypatywnych [1,7]. Obiekt sterowana, jakim jest moduł napędowy mobilnego robota kołowego (MRK), można 21
2 ZASTOSOWANIE DWUOSOBOWEJ GRY RÓŻNICZKOWEJ O SUMIE ZEROWEJ (...) opisać z wykorzystaniem modelu liniowego [2]. Dla takich modeli gra różniczkowa o sumie zerowej posiada rozwiązania analityczne [1]. W pracy [3] przedstawiono zastosowanie dyskretnej, liniowo-kwadratowej gry różniczkowej o sumie zerowej. Rozważania teoretyczne uzupełniono symulacją zastosowania gry różniczkowej w sterowaniu modułem napędowym mobilnego robota kołowego. Trudnością związaną z rozwiązaniem gry różniczkowej, w której równania dynamiczne są nieliniowe, jest brak rozwiązań analitycznych. Dlatego rozwiązanie gier różniczkowych o sumie zerowej dla nieliniowych obiektów dynamicznych bazują na metodach aproksymacyjnego programowania dynamicznego, co szeroko opisano w wielu pracach (np. [4, 5, 8-10]). W artykule przedstawiono zastosowanie dwuosobowej gry różniczkowej o sumie zerowej w sterowaniu modułem napędowym MRK. Niniejszy artykuł podzielono na dwie części: teoretyczną i eksperymentalną. W ramach omawianej tematyki przeprowadzono symulację oraz weryfikację przyjętego rozwiązania na obiekcie rzeczywistym. 2. OPTYMALNE STEROWANIE TYPU OBIEKTEM NIELINIOWYM. GRY RÓŻNICZKOWE O SUMIE ZEROWEJ Dany jest obiekt sterowania z wyjściem (1) (2) gdzie, to stan układu należący do przestrzeni stanu, to macierz wyjścia, a to nieliniowe funkcje. Sygnały i to odpowiednio sygnał sterowania będący graczem minimalizującym i sygnał gracza maksymalizującego, który pełni rolę zakłóceń. Wyjście z systemu oznaczone przez, służy określeniu struktury wskaźnika jakości sterowania. Z obiektem sterowania (1) związano wskaźnik jakości (3) gdzie to czas początkowy, to wzmocnienie związane ze sterowaniem typu, a oraz to macierze projektowe. Postać wskaźnika jakości (3) wynika z teorii systemów dyssypatywnych, co pokazano m.in. w pracach [1, 7]. Dla obiektu sterowania (1), w nieskończonym horyzoncie czasowym, można określić wzmocnienie typu, które jest wzmocnieniem typu wejście-wyjście [1]. Wzmocnienie dla obiektu (1) jest mniejsze lub równe, jeśli: (4) Sterowanie typu polega na wyznaczeniu najmniejszej wartości takiej, że dla dowolnego spełniona jest nierówność (5) Na podstawie [1] wiadomo, że wyznaczenie wzmocnienia dla obiektu sterowania (1) jest równoważne poszukiwaniu optymalnej wartości funkcji. Zgodnie z pracami [1, 7] problem sterowania typu jest równoważny minimalizacji wskaźnika jakości. Takie podejście sprowadza zagadnienie stabilności typu do teorii gier różniczkowych o sumie zerowej. 2.1 CIĄGŁA GRA RÓŻNICZKOWA O SUMIE ZEROWEJ Jak podano w pracy [6], rozwiązaniem ciągłej gry różniczkowej o sumie zerowej, w której obiekt sterowania dany jest zależnością (1), wyjście zależnością (2), a wskaźnik jakości ma postać (3), są takie sygnały i, dla których spełniona jest nierówność (6) Innymi słowy, rozwiązaniem gry różniczkowej o sumie zerowej jest para sygnałów które określają punkt siodłowy, nazywany punktem siodłowym Nasha [6]. Stąd rozwiązanie, będące punktem siodłowym, stanowi optymalną strategię gry dla każdego z graczy. Problem gry różniczkowej o sumie zerowej można zapisać za pomocą równania Hamiltona-Jacobiego-Isaaca (HJI) [1, 4], tj. (7) lub (8) Równanie HJI określa warunek wystarczający optymalności, podobnie jak równanie Hamiltona-Jacobiego- Bellmana. Jak podano m.in w pracach [1, 9], punkt siodłowy jest dany równaniami o oraz (9) (10) 22
3 Zenon Hendzel, Paweł Penar W wielu pracach wskazano, że rozwiązanie gry różniczkowej o sumie zerowej na podstawie (9) i (10) jest bardzo trudne ze względu na występowanie gradientu wskaźnika jakości, który pozostaje nieznany. W przypadku liniowym rozwiązanie gry różniczkowej o sumie zerowej sprowadza się do rozwiązania równania Riccatiego, co dla przypadku dyskretnego pokazano w pracy [3]. W przypadku nieliniowym do aproksymacji wskaźnika jakości stosuje się strukturę aktor-krytyk. W tej strukturze krytyk jest realizowany przez sieć neuronową [4, 5, 8-10]. 2.2 LINIOWO-KWADRATOWA GRA RÓŹNICZKOWA O SUMIE ZEROWEJ Dany jest liniowy, stacjonarny obiekt sterowania [1, 7]: (11) gdzie to macierz obiektu sterowania, to macierz sterowań, to macierz zakłóceń, a to macierz wyjścia. Wymiary macierzy są dopasowane do wymiarowości stanu, sterowania i zakłóceń. Z obiektem sterowania (11) związano wskaźnik jakości postaci (12) którego wartość ma być minimalizowana, przy czym a. Sterowanie pełni rolę gracza minimalizującego, a zakłócenie to gracz maksymalizujący. W wielu pracach, m.in. w [1], przedstawiono rozwiązanie liniowo-kwadratowej gry różniczkowej o sumie zerowej. Rozwiązaniem tego zagadnienia jest para sygnałów optymalnych, które można wyznaczyć z zależności oraz (13) (14) Występujące w zależnościach (13) i (14) macierze i to wzmocnienia, które wyznaczamy jako gdzie macierz to macierz równania Riccatiego, wyznaczana z równania postaci (15) Jak wiadomo z pracy [6], funkcja wartości dla układu liniowego może być wyznaczona z zależności (16) 3. SYMULACJA I WERYFIKACJA GRY RÓŻNICZKOWEJ W przykładzie wykorzystano liniowo-kwadratową grę różniczkową do stabilizacji kąta obrotu wału napędowego modułu MRK, który składa się z silnika prądu stałego, przekładni i enkodera. Na podstawie pracy [2] model liniowy modułu napędowego MRK można zapisać jako (17) gdzie to kąt obrotu wału silnika, to stała czasowa, to wzmocnienie a to napięcie podawane na silnik pełniące rolę sterowania. Korzystając z podstawienia (18) oraz uwzględniając człon związany z zakłóceniami, zależność (17) można zapisać za pomocą równania stanu (11), które w formie macierzowo-wektorowej przyjmuje postać (19) Elementy wektora stanu mają interpretacje kąta obrotu i prędkości kątowej wału modułu napędowego. Korzystając z procedury care zaimplementowanej w pakiecie Matlab/Simulink i przyjmując,,, i, wyznaczono wartość macierzy będącej rozwiązaniem równania Riccatiego (15) (20) Na podstawie macierzy można wyznaczyć wartości wzmocnień (21) Zadaniem układu sterowania jest osiągnięcie wartości zadanej, przy czym (22) Przyjmując wartość wektora wzmocnienia i parametry modelu, przeprowadzono symulację sprowadzania modułu napędowego MRK (bez zakłóceń, tj. ) do wartości zadanej. Czas symulacji to 8 [s]. Symulację numeryczną zaproponowanego rozwiązania przeprowadzono z krokiem dyskretyzacji. Na rys. 1 zamieszczono przebieg rozwiązania dla przypadku wymuszenia skokowego, otrzymując przebiegi rozwiązań współrzędnych stanu sterowanego obiektu,. 23
4 ZASTOSOWANIE DWUOSOBOWEJ GRY RÓŻNICZKOWEJ O SUMIE ZEROWEJ (...) Rys. 1: Przebieg sygnału wymuszenie oraz współrzędnych stanu, tj. i, uzyskany w symulacji numerycznej dla przypadku gdy Rys. 4: Porównanie przebiegów wskaźników jakości i wyznaczonych dla dyskretnych wartości czasu Wyniki symulacji numerycznej porównano z wynikami weryfikacji na obiekcie rzeczywistym, co pokazano na rys. 2 i 3. Rozbieżności widoczne na rys. 2 i 3 wynikają z niedokładności parametrycznych i strukturalnych przyjętego modelu matematycznego. Na rys. 4 porównano przebiegi wskaźników jakości i uzyskane odpowiednio w przypadku symulacji i weryfikacji dla dyskretnych wartości czasu. Różnice w przebiegach wskaźników jakości i, analogicznie do przebiegów zmiennych stanu (rys. 2 i 3), są konsekwencją niedokładności modelu. Rys. 5: Przebieg zmiennych stanu i uzyskany podczas weryfikacji na obiekcie rzeczywistym na który działał moment oporowy, z naniesionym przebiegiem wartości zadanej Rys. 2: Porównanie przebiegów zmiennej stanu (symula- (weryfika- cja numerycznej), wartości zadanej oraz cja) w przypadku gdy Rys. 3: Porównanie przebiegów zmiennej stanu (symulacja numerycznej) z (weryfikacja) w przypadku gdy 24
5 Zenon Hendzel, Paweł Penar (23) lub przedstawić na wykresie (rys. 7). Rys. 6: Przebieg sterowania uzyskany podczas weryfikacji na obiekcie rzeczywistym na który działał moment oporowy Stosując analogiczne sterowanie od stanu, tj. ze wzmoc- w postaci nieniem i wprowadzając zakłócenia momentu oporowego, dla przeprowadzono kolejny test na obiekcie rzeczywistym. Wprowadzony moment oporowy spowodował zakłócenia, które są obserwowane w przebiegach zmiennych stanu. Uzyskany w ten sposób przebieg zmiennych stanu pokazano na rys. 5. Dodatkowo na rys. 6 pokazano przebieg sterowa- nia. Rys. 7: Sygnał generowany przez gracza maksymalizującego który pełni rolę zakłóceń Rys. 8: Porównanie przebiegu zmiennych stanu uzyskanych w symulacji numerycznej ( ) oraz zmiennych stanu obiektu rzeczywistego ( ) na który działał mo- ment oporowy Rys. 9: Porównanie przebiegu graczaa minimalizującego pełniąw symulacji numerycznej cego rolę sterowania uzyskanego ( ) z sygnałem uzyskanym podczas weryfikacji ( ) W celu odwzorowania w symulacji numerycznej obecno- sygnał gracza ści momentu oporowego należy dobrać maksymalizującego, który pełni rolę wprowadzonego zakłócenia. Przebieg sygnału został dobrany tak, by przebieg zmiennych stanu uzyskany z symulacji numerycznej i przebieg zmiennych stanu obiektu rze- oporowy, były czywistego na który działał moment jak najbliższe. Korzystając z metody prób i błędów, ustalono, że sygnał gracza maksymalizującego można przybliżyć funkcją 25
6 ZASTOSOWANIE DWUOSOBOWEJ GRY RÓŻNICZKOWEJ O SUMIE ZEROWEJ (...) sygnału graczy sterujących sterowania. i, pełniących rolę Z uwagi na fakt, że sygnał generowany przez gracza maksymalizującego dla obiektu rzeczywistego jest nie- jakości, który mierzalny, do wyznaczenia wskaźnika uwzględnia wpływ zakłóceń, wykorzystano sygnał dany przez zależność (23). Wyznaczone przebiegi pokazano na rys. 10. Rys. 10: Porównanie przebiegu wskaźnika jakości wyznadziałała zakłócenie czonego dla obiektu rzeczywistego na który z wskaźnikiem jakości wyznaczonym dla przypadku gdy Z zależności przedstawionych w pkt. 2 wynika, że teoria gier różniczkowych jest związanaa z zagadnieniem stabil- opisanego w ności typu. Dla obiektu sterowania postaci (12) wzmocnienie może być wyznaczone z zależności (4). Korzystając z uzyskanego przebiegu zmiennych stanu, przebiegu gracza minimalizujące- wyzna- go oraz przebiegu gracza maksymalizującego czonego z równania (23), można wyznaczyć wzmocnienie. Jego przebieg wraz z naniesioną wartością wzmocnienia pokazano na rys. 11. Z rys. 11 wynika, że spełniony jest warunek sterowania typu, tzn.. Jak wynika z przeprowadzonych badań, jest to naj- mniejsza możliwa wartość dla przyjętych zakłóceń i dla której istnieje rozwiązanie gry różniczkowej. 4. PODSUMOWANIE Rys. 11: Przebieg wzmocnienia z naniesioną wartością wzmocnienia Korzystając z zależności (11), w której sterowanie u* (gracz minimalizujący) wyznaczono na podstawie zależ- ma ności (13), a sygnał gracza maksymalizującego postać (23), przeprowadzono symulację numeryczną rozpatrywanego przykładu. Otrzymane przebiegi zmienzmiennych stanu nych stan porównano z przebiegiem obiektu rzeczywistego na który działał moment oporowy (rys. 8). Dodatkowo na rys. 9 porównano przebieg W niniejszym artykule przedstawiono wykorzystanie gry różniczkowej o sumie zerowej do sterowania obiektem liniowym, jakim jest moduł napędowy mobilnego robota kołowego. Uzyskane rozwiązania zweryfikowano na obiekcie rzeczywistym. Otrzymane wyniki potwierdzają poprawność przyjętych założeń oraz wyników symulacji numerycznej. Przedstawione rozwiązanie prowadzi do uzyskania sterowania optymalnego ze względu na przyjęty wskaź- zakłóceń. Co nik jakości przy najgorszym przypadku więcej, wyznaczenie punktu siodłowego Nasha jest tożsame z rozwiązaniem problemu sterowania typu. Ważnym elementem rozwiązania postawionego problemu jest dobór współczynnika, który wyznaczono metodą prób i błędów zgodnie z ideą metody sterowania typu [1,7]. Literatura 1. Abu-Khalaf M., Huang J., Lewis F..L.: Nonlinear / Constrained Feedback Control. Londyn: Springer ISBN Hendzel Z., Gierlak P.: Sterowanie robotów kołowych i manipulacyjnych. Rzeszów: OWPRz, ISBN Hendzel Z., Penar P.: Zastosowanie teorii gier różniczkowych w sterowaniu modułem napędowym mobilnego robota kołowego. Przegląd Mechaniczny, 2016, nr 1-2, s Kyriakos G.V., Lewis F.L.: Online solution of nonlinear two-player zero-sum games using synchronous policy iteration. International Journal of Robust and Nonlinear Control 2012, No. 13, Vol. 22, p
7 Zenon Hendzel, Paweł Penar 5. Marcus A. J.: Differential game-based control methods for uncertain continuous-time nonlinear systems. Praca doktorska. Gainesville: University of Florida, Starr A.W., Ho Y.C.: Nonzero-sum differential games. Journal Optimization Theory And Applications 1969, No 3, Vol. 3, p Van der Schaft A.J.: -gain analysis of nonlinear systems and nonlinear state feedback hinf control. IEEE Transactions on Automatic Control, 1992, No. 6 Vol. 37, p Wu H.N., Luo B.: Neural network based online simultaneous policy update algorithm for solving the HJI equation in nonlinear control. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 2012, No.12, Vol. 23, p Yasini S., Naghibi Sistani M. B., Karimpour A.: Policy iteration algorithm based on experience replay to solve control problem of partially unknown nonlinear systems. Control Conference (ECC), 2014, p Yasini S., Sistani M.B., Karimpour A.: Approximate dynamic programming for two-player zero-sum game related to control of unknown nonlinear continuous-time systems. International Journal of Control, Automation and Systems. 2014, No. 1, Vol. 13, p Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska. 27
PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM
Mostefa Mohamed-Seghir Akademia Morska w Gdyni PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM W artykule przedstawiono propozycję zastosowania programowania dynamicznego do rozwiązywania
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoSYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoMatematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowoWYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA
W pracy tej zostaną przedstawione: - warunki konieczne i wystarczające cykliczności macierzy A normalności macierzy transmitancji T(s); - warunki istnienia i metody doboru sprzężeń zwrotnych od stanu tak,
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja obiektów dynamicznych za pomocą sieci neuronowych
Metody Sztucznej Inteligencji w Sterowaniu Ćwiczenie 3 Identyfikacja obiektów dynamicznych za pomocą sieci neuronowych Przygotował: mgr inż. Marcin Pelic Instytut Technologii Mechanicznej Politechnika
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1b. Silnik prądu stałego jako element wykonawczy Modelowanie i symulacja napędu CZUJNIKI POMIAROWE I ELEMENTY WYKONAWCZE
Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych 90-924 Łódź, ul. Wólczańska 221/223, bud. B18 tel. 42 631 26 28 faks 42 636 03 27 e-mail secretary@dmcs.p.lodz.pl http://www.dmcs.p.lodz.pl
Bardziej szczegółowodynamiki mobilnego robota transportowego.
390 MECHANIK NR 5 6/2018 Dynamika mobilnego robota transportowego The dynamics of a mobile transport robot MARCIN SZUSTER PAWEŁ OBAL * DOI: https://doi.org/10.17814/mechanik.2018.5-6.51 W artykule omówiono
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoAnalityczna postać równowagi Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego w modelu Lanchestera
Analityczna postać równowagi Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego w modelu Lanchestera Dominika Machowska dominika.machowska@uni.lodz.pl Katedra Ekonometrii, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Problemy optymalizacji układów napędowych
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 11: Reinforcement learning
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 11: Reinforcement learning Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.edu.pl 19.01.2016 Uczenie z nadzorem (ang. supervised learning)
Bardziej szczegółowoStanisław SZABŁOWSKI
Dydaktyka Informatyki 12(2017) ISSN 2083-3156 DOI: 10.15584/di.2017.12.26 http://www.di.univ.rzeszow.pl Wydział Matematyczno-Przyrodniczy UR Laboratorium Zagadnień Społeczeństwa Informacyjnego Stanisław
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoProjektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Sterowania Procesami Ciągłych Projektowanie układów metodą sprzężenia od stanu - metoda przemieszczania biegunów. Obliczanie
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII. Roman Kaula
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII Roman Kaula ZASTOSOWANIE NOWOCZESNYCH NARZĘDZI INŻYNIERSKICH LabVIEW oraz MATLAB/Simulink DO MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PLAN WYKŁADU Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoInformatyczne Systemy Sterowania
Adam Wiernasz Nr albumu: 161455 e-mail: 161455@student.pwr.wroc.pl Informatyczne Systemy Sterowania Laboratorium nr 1 Prowadzący: Dr inż. Magdalena Turowska I. Wykaz modeli matematycznych członów dynamicznych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA SPECJALNOŚCIOWE
(ARK) Komputerowe sieci sterowania 1.Zaawansowane metody wyznaczania parametrów regulatorów 2.Mechanizmy innowacyjne. 3.Sieci neuronowe w modelowaniu obiektów dynamicznych. 4.Zasady projektowania i zastosowania
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowo1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji
Bardziej szczegółowoANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 111-116, Gliwice 2010 ANALIZA KINEMATYCZNA PALCÓW RĘKI ANTONI JOHN, AGNIESZKA MUSIOLIK Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki, Politechnika
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: ROBOTYKA1 2. Kod przedmiotu: Ro1 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka Okrętowa
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Bardziej szczegółowoElektrotechnika I stopień ogólnoakademicki. niestacjonarne. przedmiot kierunkowy. obieralny polski semestr VIII semestr letni. nie. Laborat. 16 g.
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Wybrane zagadnienia teorii sterowania Selection problems of control theory
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: KINEMATYKA I DYNAMIKA MANIPULATORÓW I ROBOTÓW Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności: Systemy sterowania Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoOptymalizacja konstrukcji
Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 207/208
Bardziej szczegółowoII-go stopnia. Stacjonarne. Zagadnienia egzaminacyjne AUTOMATYKA I ROBOTYKA TYP STUDIÓW STOPIEŃ STUDIÓW SPECJALNOŚĆ
(ARK) Komputerowe sieci sterowania 1. Zaawansowane metody wyznaczania parametrów regulatorów 2. Mechanizmy innowacyjne. 3. Sieci neuronowe w modelowaniu obiektów dynamicznych. 4. Zasady projektowania i
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoElektrotechnika I stopień ogólnoakademicki. niestacjonarne. przedmiot kierunkowy. obieralny polski semestr VII semestr zimowy. nie
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Teoria sterowania wybrane zagadnienia Control theory selection problems Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METOD OPTYMALIZACJI W DOBORZE CECH GEOMETRYCZNYCH KARBU ODCIĄŻAJĄCEGO
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 43-48, Gliwice 2010 ZASTOSOWANIE METOD OPTYMALIZACJI W DOBORZE CECH GEOMETRYCZNYCH KARBU ODCIĄŻAJĄCEGO TOMASZ CZAPLA, MARIUSZ PAWLAK Katedra Mechaniki Stosowanej,
Bardziej szczegółowoPRZESTRZENNY MODEL PRZENOŚNIKA TAŚMOWEGO MASY FORMIERSKIEJ
53/17 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2005, Rocznik 5, Nr 17 Archives of Foundry Year 2005, Volume 5, Book 17 PAN - Katowice PL ISSN 1642-5308 PRZESTRZENNY MODEL PRZENOŚNIKA TAŚMOWEGO MASY FORMIERSKIEJ J. STRZAŁKO
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoModelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych
Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.
Bardziej szczegółowoMODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR n Punkty ECTS: 7. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Podstawy automatyki Rok akademicki: 2030/2031 Kod: RAR-1-303-n Punkty ECTS: 7 Wydział: Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: - Poziom studiów: Studia
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION
Mirosław GUZIK Grzegorz KOSZŁKA PORÓWNANIE WYBRANYCH SCHEMATÓW RÓŻNICO- WYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA SELECTED DIFFERENTIAL SCHEMES COMPARISON BY MEANS OF THE EQUATION W artykule przedstawiono niektóre
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoSzybkie prototypowanie w projektowaniu mechatronicznym
Szybkie prototypowanie w projektowaniu mechatronicznym Systemy wbudowane (Embedded Systems) Systemy wbudowane (ang. Embedded Systems) są to dedykowane architektury komputerowe, które są integralną częścią
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI PRZEDMOWA WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ 1. PODSTAWOWE INFORMACJE O NAPĘDZIE Z SILNIKAMI BEZSZCZOTKOWYMI 1.1. Zasada działania i
SPIS TREŚCI PRZEDMOWA WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ 1. PODSTAWOWE INFORMACJE O NAPĘDZIE Z SILNIKAMI BEZSZCZOTKOWYMI 1.1. Zasada działania i klasyfikacja silników bezszczotkowych 1.2. Moment elektromagnetyczny
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoNEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 5, t., rok ISSN 96-77X NEURONOWO-ROZMYTE SYSTEMY STEROWANIA MOBILNYM ROBOTEM KOŁOWYM Zenon Hendzel a, Magdalena Muszyńska b Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoCyfrowe algorytmy sterowania AR S1 semestr 4 Projekt 4
Cyfrowe algorytmy sterowania AR S1 semestr 4 Projekt 4 MPC Sterowanie predykcyjne Cel: Poznanie podstaw regulacji predykcyjnej i narzędzi do badań symulacyjnych Wykonali: Konrad Słodowicz Patryk Frankowski
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoManipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5
Manipulatory i roboty mobilne AR S semestr 5 Konrad Słodowicz MN: Zadanie proste kinematyki manipulatora szeregowego - DOF Położenie manipulatora opisać można dwojako w przestrzeni kartezjańskiej lub zmiennych
Bardziej szczegółowoBadanie wpływu zakłóceń sygnałów wejściowych regulatorów typu PI w układzie sterowania polowo-zorientowanego z silnikiem indukcyjnym
dr inż. WIKTOR HUDY dr hab. inż. KAZIMIERZ JARACZ Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie Badanie wpływu zakłóceń sygnałów wejściowych regulatorów typu PI w układzie sterowania polowo-zorientowanego
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoTadeusz SZKODNY. POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH
POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 Tadeusz SZKODNY SUB Gottingen 217 780 474 2005 A 3014 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH GLIWICE 2004 SPIS TREŚCI WAŻNIEJSZE OZNACZENIA
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sztucznej inteligencji
Algorytmy sztucznej inteligencji Dynamiczne sieci neuronowe 1 Zapis macierzowy sieci neuronowych Poniżej omówione zostaną części składowe sieci neuronowych i metoda ich zapisu za pomocą macierzy. Obliczenia
Bardziej szczegółowoE-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu. Dynamicznych. Elektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu E-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu Dynamicznych Nazwa modułu w języku
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWY MODEL UKŁADU STEROWANIA MIKROKLIMATEM W PRZECHOWALNI JABŁEK
Inżynieria Rolnicza 8(117)/2009 KOMPUTEROWY MODEL UKŁADU STEROWANIA MIKROKLIMATEM W PRZECHOWALNI JABŁEK Ewa Wachowicz, Piotr Grudziński Katedra Automatyki, Politechnika Koszalińska Streszczenie. W pracy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoUKŁAD AUTOMATYCZNEJ REGULACJI SILNIKA SZEREGOWEGO PRĄDU STAŁEGO KONFIGUROWANY GRAFICZNIE
UKŁAD AUOMAYCZNEJ REGULACJI SILNIKA SZEREGOWEGO PRĄDU SAŁEGO KONFIGUROWANY GRAFICZNIE Konrad Jopek (IV rok) Opiekun naukowy referatu: dr inż. omasz Drabek Streszczenie: W pracy przedstawiono układ regulacji
Bardziej szczegółowoDOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 33, s. 7-34, Gliwice 007 DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA ANDRZEJ BUCHACZ, SŁAWOMIR ŻÓŁKIEWSKI Instytut Automatyzacji
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DOBORU PRZEŁOŻENIA W PASOWEJ PRZEKŁADNI CVT MIEJSKIEGO POJAZDU JEDNOŚLADOWEGO
Witold Grzegożek ), Iwona Adamiec-Wójcik 2), Stanisław Wojciech 2) OPTYMALIZACJA DOBORU PRZEŁOŻENIA W PASOWEJ PRZEKŁADNI CVT MIEJSKIEGO POJAZDU JEDNOŚLADOWEGO Streszczenie. Jedną z interesujących i ważnych
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowo