Sieci ewoluujące: od fizyki do Internetu

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Sieci ewoluujące: od fizyki do Internetu"

Zofia Urban
8 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład z Sieci: 21 lutego 2007 Agata Fronczak i Janusz A. Hołyst Pracownia Dynamiki Nieliniowej Układów ZłoŜonych Sieci ewoluujące: od fizyki do Internetu Co oznacza termin układ złoŝony (complex system, complexity) A popular paradigm: Simple systems display complex behavior nonlinear systems chaos fractals 3 Body Problem Earth( ) Jupiter ( ) Sun ( ) Main Entry: 1 complex Function: noun Etymology: Late Latin complexus totality, from Latin, embrace, from complecti Date: : a whole made up of complicated or interrelated parts 1

$(complex system, complexity) A popular paradigm: Simple systems display complex behavior nonlinear systems chaos fractals 3 Body$

2 Modele sieci sieci regularne węzły o stałej liczbie koordynacyjnej symetria translacyjna przykład: sieci Bravais go sieci przypadkowe rozkład stopni wierzchołków P brak symetrii translacyjnej ( k ) sieci ewoluujące sieci zmienia się w czasie rośnie przykład: WWW, Internet, sieci transportowe, sieci społeczne,... pytanie: czy istnieją jakieś niezaleŝne od czasu charakterystyki sieci? Przykłady sieci rzeczywistych WWW Struktura sieci WWW w domenie 2

w czasie rośnie przykład: WWW, Internet, sieci transportowe, sieci społeczne,.

3 Przykłady sieci rzeczywistych Internet Mapa Internetu Przykłady sieci rzeczywistych Sieci transportowe - Sieć komunikacji miejskiej linia A linia B Sieć przystanków 3

org/ Przykłady sieci rzeczywistych Sieci

komunikacyjne: zbudowane z z wielu komponentów (węzłów) o róŝnej liczbie połączeń Społeczeństwo Węzły: ludzie

4 Sieci komunikacyjne Ziemia wciąŝ rozwija swój elektroniczny system nerwowy, sieć zbudowaną z róŝnych węzłów i połączeń między tymi węzłami komputery rutery satelity telefony linie telefoniczne kable TV mikrofale Sieci komunikacyjne: zbudowane z z wielu komponentów (węzłów) o róŝnej liczbie połączeń Społeczeństwo Węzły: ludzie Połączenia: relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy (na uczelni) etc. Milgram (1967): paradygmat sześciu stopni separacji 4

5 Sieci małych światów Small-world networks Pierwszy eksperyment socjometryczny badający strukturę sieci społecznej wykonany w latach sześćdziesiątych w USA (Milgram & Travers). Adresat - makler giełdowy pracujący w Bostonie; Nadawcy - ok. 100 osób z Bostonu + ok. 100 maklerów giełdowych z Omaha (Nebraska) + ok. 100 osób z Omaha (Nebraska); Wyniki badań - ok. 20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał kaŝdy z listów l ~ 6.5 Sieci małych światów Small-world networks [1] Travers & Milgram An experimental study of the small world problem (Sociometry, 1969) [2] Kirby & Sahre Six degrees of Monica (New York Times, February 21, 1998) [3] Watts & Strogatz, Collective dynamics of small-world networks (Nature vol.393, page 440, 1998) [4] Newman et al. Mean-field solution for the small-world network model (Phys. Rev. Lett. 84, 2000, p.3201 ) 5

20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał kaŝdy z listów l ~ 6.

6 Sieć WWW: World Wide Web metodyka badań 800 million documents (S. Lawrence, 1999) ROBOT: collects all URL s found in a document and follows them recursively Układ złoŝony Zbudowany z wielu nieidentycznych elementów powiązanych ze sobą róŝnymi interakcjami (nie tylko połączenia fizyczne!) SIEĆ 6

7 Własności sieci rzeczywistych Sieci rzeczywiste są rzadkie Sieci rzeczywiste są silnie zgronowane Sieci rzeczywiste są małymi światami k << Wykazują potęgowy rozkład stopni wierzchołków przy czym wykładnik skalowania α (2,3) ; uwaga lim C N 1 l << N N P ( k) ~ k 2 α k = Internet Węzły: komputery / rutery/ systemy autonomiczne Połączenia: fizyczne połączenia (Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) 7

wykładnik skalowania α (2,3) ; uwaga lim C N 1 l << N N P ( k) ~ k 2 α k = Internet Węzły: komputery

8 Sieć aktorów filmowych Węzły: aktorzy Połączenia: jeśli aktorzy byli w obsadzie tego samego filmu Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999) N = k = P(k) ~k -γ γ=2.3 Science Citation Index Węzły: artykuły Połączenia: cytowania 1736 PRL papers (1988) 25 Witten-Sander PRL P(k) ~k -γ (γ = 3) (S. Redner, 1998) 8

9 Mapa Współpracy Naukowej: naukowcy zajmujący się sieciami złoŝonymi (Newman, 2000, H. Jeong et al 2001) Sieci zaleŝności pokarmowych (food webs) Węzły: gatunki Połączenia: relacje drapieŝnik - ofiara R. Sole (cond-mat/ ) R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) 9

Jeong et al 2001) Sieci zaleŝności pokarmowych (food webs) Węzły:

10 Rys. Rozkład liczby partnerów seksualnych dla kobiet i męŝczyzn w Szwecji (18-74) a) w ciągu ostatnich 12 miesięcy α(k)=2.54, α(m)=2.31 b) w ciągu całego Ŝycia α(k)=2.1, α(m)=1.6. Rynek transakcji międzybankowych w Austrii Rozkład wielkości kredytów międzybankowych Rozkład stopni wierzchołków P(k) 10

31 b) w ciągu całego Ŝycia α(k)=2.1, α(m)=1.6.

11 Co to wszystko ma wspólnego z fizyką? Co to jest fizyka? Fizyka... filozofia natury, opis i przewidywanie zjawisk Dlaczego potęgowe rozkłady stopni wierzchołków są waŝne? Dlaczego o takich rozkładach mówi się, Ŝe są bezskalowe, samopodobne? Highway network Air traffic system 11

12 Zjawiska krytyczne - hipoteza skalowania, metoda grupy renormalizacji W pobliŝu punktu krytycznego układy stają się samopodobne w przestrzeni rzeczywistej tzn. są fraktalami w funkcji odległości od punktu krytycznego tzn. są opisane prawami potęgowymi Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isinga na sieci kwadratowej Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na następnych rysunkach: 1) sieć kwadratową obrazującą pierwotną konfigurację spinów a dzieli się na komórki renormalizacyjne zawierające x 2 =9 spinów s i a 2) konfigurację b otrzymuje się w ten sposób, Ŝe kaŝdą komórkę renormalizacyjną zastępuje się jednym zrenormalizowanym spinem. 3) postępując według powyŝszych wskazówek moŝna wykonywać kolejne renormalizacje. 12

są opisane prawami potęgowymi Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isinga na sieci kwadratowej Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na

13 Samopodobieństwo układu spinów Isinga na sieci kwadratowej W punkcie krytycznym układ jest SAMOPODOBNY we wszystkich skalach obserwacji. Nie zmienia swoich własności podczas renormalizacji Większość sieci rzeczywistych jest samopodobna (rozkład stopni wierzchołków jest niezmienniczy z uwagi na procedurę renormalizacyjną) Sieci posiadają dobrze określony wymiar fraktalny! 13

Nie zmienia swoich własności podczas renormalizacji Większość sieci rzeczywistych jest

14 PERKOLACJA Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złoŝonych Dlaczego waŝna jest struktura sieci złoŝonych? 1. Zagadnienie odporności sieci Czy Internet jest odporny na przypadkowe błędy węzłów / połączeń i celowe ataki hakerów? (sieci metaboliczne, sieci zaleŝności pokarmowych itd.) 2. Netwars Jak walczyć z grupami przestępczymi? (gangi młodzieŝowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 3. Epidemiologia Czy struktura sieci społecznych ma wpływ na rozprzestrzenianie się chorób zakaźnych? Czy struktura Internetu i sieci owych ułatwia rozprzestrzenianie się wirusów komputerowych? (worms, SASSER) ODPORNOŚĆ SIECI R.Albert, H. Yeong, A-L.Barabasi Error and attack tolerance of complex networks NATURE vol. 406, p378 Atak na sieć usunięcie (zablokowanie) najwaŝniejszych (najlepiej usieciowionych węzłów) Przypadkowy błąd węzła / krawędzi losowy węzeł / krawędź ulega zablokowaniu (awarii itp.) W Internecie stale jest zablokowanych ok. 5% routerów. DuŜy komponent (S<<N) Sieć niespójna. DuŜy komponent (S~N) Sieć prawie spójna. 14

Netwars Jak walczyć z grupami przestępczymi? (gangi młodzieŝowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 3.

15 NETWARS Sieci rzeczywiste Struktura gangu młodzieŝowego NETWARS Sieci rzeczywiste Sieć dealerów narkotykowych 15

16 V.E. Krebs Mapping Networks of Terrorist Cells Connections 24(3): Analiza sieci 19 terrorystów, którzy wzięli udział w zamach na World Trade Center we wrześniu 2001 r. Trusted Prior Contacts Network połączenia między terrorystami zostały ustanowione na podstawie tzw. podstawowych kontaktów np. znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotaŝu. Przemówienie Osamy bin Ladena... Those who were trained to fly didn t know the others. One group of people did not know the other group... Charakterystyki sieci: 1) Sieć wyjątkowo rzadka; 2) Rozmiar N=19 3) Średnia droga l=4.75 4) Współczynnik gronowania C=0.4 16

znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotaŝu. Przemówienie Osamy bin Ladena... Those who were trained to fly didn t know the others.

17 Meeting ties - połączenia koordynacji projektem spotkanie w Las Vegas na tydzień przed zamachem. W spotkaniu wzięli udział przedstawiciele wszystkich czterech komórek terrorystycznych NajbliŜsze Otoczenie Terrorystów zaopatrzenie / pieniądze / informacja W tej strukturze Mahomed Atta ujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów. Widoczne jest takŝe silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził się M.Atta Wnioski 1) Ukryte / przestępcze sieci nie zachowują się jak zwykłe sieci społeczne. 2) DąŜenie do minimalizacja kontaktów utrudnia identyfikację prawdziwych połączeń. 3) W sieci takiej istnieją silne powiązania, które przez długi czas mogą pozostawać w spoczynku (np. przeszłe zobowiązania, znajomości szkolne itd). 17

ujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów. Widoczne jest takŝe silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził się M.

18 EPIDEMIOLOGIA Sieci rzeczywiste Internet wirus Code Red Worm Samoorganizująca się krytyczność SOC Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złoŝonych Dlaczego waŝna jest struktura sieci złoŝonych? Przykłady: 1. Szum 1/f układ Dynamika do stanu układu krytycznego. spontanicznie prowadzi 2. Lawiny śniegu, trzęsienia ziemi 3. PoŜary lasów 4. Plamy na słońcu 5. Masowe wymieranie gatunków 6. Gra life 18

Przykłady: 1. Szum 1/f układ Dynamika do stanu układu krytycznego. spontanicznie prowadzi 2.

19 Sandpile model: model: model sterty piachu Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego. P( s) ~ s P( t) ~ t a b Rynek transakcji międzybankowych Utrata jednego płynno p ynności (kilku ( ) bankructwo) banków Kryzys Wielka Kryzys systemu Depresja Azjatycki finansowego ; 1999; 32; Ryzyko systemowe, system rezerw - systemic risk ZakaŜenie systemu finansowego contagion Kryzysy finansowe financial crises Efekt domino 19

banków Kryzys Wielka Kryzys systemu Depresja Azjatycki finansowego 1931-32; 1999; 32; Ryzyko systemowe, system

20 Sieci zaleŝności pokarmowych? Meteoryt? Wielkie zlodowacenie? Katastrofa ekologiczna (metan)? SOC? ryzyko systemowe wielkie wymierania Procedura Liczba Modele Każda sieci Pál Erdös ( ) Klasyczne połączona konstrukcyjna para wierzchołków jest stała, grafy przypadkowe krawędziąz węzłów jest Erdosa-Renyi (ER) prawdopodobiństwemp Rozkład opisany (rozkładem rozkładem stopni Poissona) wierzchołków dwumianowym jest k ( pn) < k > P( k) exp( pn) = exp( < k > ) k! k! Model zupełnie demokratyczny losowy k 20

para wierzchołków jest stała, grafy przypadkowe krawędziąz węzłów jest Erdosa-Renyi (ER) prawdopodobiństwemp Rozkład opisany

21 Sieci ewoluujące Procedura Liczba Barabási si Albert (BA) stała, siećrośnie ale konstrukcyjna wierzchołków zmienia sięw nie czasie jest Modele sieci Nowe przyłączane obowiązuje połączenia losowo reguła nie są preferencyjnego dołączania Rozkład opisany prawem stopni wierzchołków potęgowymjest 3 Albert-Laszlo Barabasi (1967) P ( k ) = 2m k agatka@if.pw.edu.pl Dziękuj kuję za uwagę 21

Podobne dokumenty

Modelowanie sieci złożonych

Wykład z Sieci: 5 października 2017 Dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Zakład Fizyki Układów Złożonych Modelowanie sieci złożonych Modelowanie sieci złożonych Dwa przykłady 1 Modelowanie sieci złożonych