Modelowanie sieci złożonych

Transkrypt

1 Wykład z Sieci: 5 października 2017 Dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Zakład Fizyki Układów Złożonych Modelowanie sieci złożonych Modelowanie sieci złożonych Dwa przykłady 1

2 Modelowanie sieci złożonych Przykład pierwszy: Sieci dystrybucyjne Modelowanie sieci złożonych Przykład drugi: Sieć handlu światowego 2

3 Układy złożone i fizyka Modelowanie sieci złożonych Inny eksperyment Milgrama (1961): posłuszeństwo wobec autorytetów Społeczeństwo Węzły: ludzie Połączenia: relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy (na uczelni) etc. Milgram (1967): paradygmat sześciu stopni separacji 3

4 Sieci małych światów Small-world networks Pierwszy eksperyment socjometryczny badający strukturę sieci społecznej wykonany w latach sześćdziesiątych w USA (Milgram & Travers). Adresat - makler giełdowy pracujący w Bostonie; Nadawcy - ok. 100 osób z Bostonu + ok. 100 maklerów giełdowych z Omaha (Nebraska) + ok. 100 osób z Omaha (Nebraska); Wyniki badań - ok. 20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał każdy z listów l ~ 6.5 Sieci małych światów Small-world networks [1] Travers & Milgram An experimental study of the small world problem (Sociometry, 1969) [2] Kirby & Sahre Six degrees of Monica (New York Times, February 21, 1998) [3] Watts & Strogatz, Collective dynamics of small-world networks (Nature vol.393, page 440, 1998) [4] Newman et al. Mean-field solution for the small-world network model (Phys. Rev. Lett. 84, 2000, p.3201 ) 4

5 Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych Sieci rzeczywiste: sieci regularne, przypadkowe czy może coś innego? Kryształy są przykładami sieci regularnych Społeczność fizyków polskich Czy sieci społeczne są regularne? Zdecydowanie NIE! Węzły: ludzie Połączenia: relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy, w szkole etc. Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych Przykłady sieci rzeczywistych: World-Wide-Web (WWW) Mapa Internetu Struktura sieci WWW w domenie 5

6 Przykłady sieci rzeczywistych sieć WWW Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych Węzły: gatunki Połączenia: relacje pokarmowe Sieć zależności pokarmowych Sieci genetyczne: zależności między genami Węzły: geny Połączenia: relacje regulacyjne aktywacji / dezaktywacji Węzły: banki Połączenia: pożyczki, kredyty Sieć transakcji między bankami 6

7 Sieć WWW: World Wide Web metodyka badań 800 million documents (S. Lawrence, 1999) ROBOT: collects all URL s found in a document and follows them recursively Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych Własności sieci rzeczywistych Staś Fronczak Mój synek Świat jest mały! sieci rzeczywiste są bezskalowe P ( k) Ak sieci rzeczywiste są rzadkie k N sieci rzeczywiste są silnie zgronowane C 1 sieci rzeczywiste są małymi światami l N Prof. Janusz Hołyst Wydział Fizyki PW Prof. Michał Kleiber Obecnie: Prezes PAN : Minister Nauki i Informatyzacji 7

8 liczba węzłów o k połączeniach liczba węzłów o k połączeniach Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych Własności sieci rzeczywistych: w większości sieci rzeczywistych rozkład stopni węzłów (tzn. prawdopodobieństwo, że węzeł ma określoną liczbę najbliższych sąsiadów) jest dany prawem potęgowym Krzywa dzwonowata P ( k) Ak Rozkład potęgowy Większość węzłów ma tę samą liczbę połączeń. Brak silnie usieciowionych węzłów Ogromna liczba węzłów słabo usieciowionych. W sieci są obecne tzw. huby. liczba połączeń k liczba połączeń k Sieć autostrad w USA Sieć połączeń lotniczych w USA Własności sieci rzeczywistych Bezskalowy rozkład stopni wierzchołków 8

9 Internet Węzły: komputery / rutery/ systemy autonomiczne Połączenia: fizyczne połączenia (Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) Sieć aktorów filmowych Węzły: aktorzy Połączenia: jeśli aktorzy byli w obsadzie tego samego filmu Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999) N = k = P(k) ~k - =2.3 9

10 Science Citation Index Węzły: artykuły Połączenia: cytowania 1736 PRL papers (1988) 25 Witten-Sander PRL P(k) ~k - ( = 3) (S. Redner, 1998) Mapa Współpracy Naukowej: naukowcy zajmujący się sieciami złożonymi 10

11 Sieci zależności pokarmowych (food webs) Węzły: gatunki Połączenia: relacje drapieżnik - ofiara R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) Rys. Rozkład liczby partnerów seksualnych dla kobiet i mężczyzn w Szwecji (18-74) a) w ciągu ostatnich 12 miesięcy α(k)=2.54, α(m)=2.31 b) w ciągu całego życia α(k)=2.1, α(m)=

12 Rynek transakcji międzybankowych w Austrii Rozkład wielkości kredytów międzybankowych Rozkład stopni wierzchołków P(k) Co to wszystko ma wspólnego z fizyką? Co to jest fizyka? Fizyka... filozofia natury, opis i przewidywanie zjawisk 12

13 Dlaczego potęgowe rozkłady stopni wierzchołków są ważne? Dlaczego o takich rozkładach mówi się, że są bezskalowe, samopodobne? Sieć autostrad Sieć połączeń lotniczych Zjawiska krytyczne - hipoteza skalowania, metoda grupy renormalizacji W pobliżu punktu krytycznego układy stają się samopodobne: w przestrzeni rzeczywistej tzn. są fraktalami w funkcji odległości od punktu krytycznego są opisane prawami potęgowymi 13

14 Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isinga na sieci kwadratowej Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na następnych rysunkach: 1) sieć kwadratową obrazującą pierwotną konfigurację spinów a dzieli się na komórki renormalizacyjne zawierające x 2 =9 spinów s i a 2) konfigurację b otrzymuje się w ten sposób, że każdą komórkę renormalizacyjną zastępuje się jednym zrenormalizowanym spinem. 3) postępując według powyższych wskazówek można wykonywać kolejne renormalizacje. Samopodobieństwo układu spinów Isinga na sieci kwadratowej W punkcie krytycznym układ jest SAMOPODOBNY we wszystkich skalach obserwacji. Nie zmienia swoich własności podczas renormalizacji 14

15 Większość sieci rzeczywistych jest samopodobna (rozkład stopni wierzchołków jest niezmienniczy z uwagi na procedurę renormalizacyjną) Sieci posiadają dobrze określony wymiar fraktalny! Wymiar pudełkowy sieci rzeczywistych 15

16 Samoorganizująca się krytyczność SOC Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych? Przykłady: 1. Szum 1/f 2. Lawiny śniegu, trzęsienia ziemi 3. Pożary lasów 4. Plamy na słońcu 5. Masowe wymieranie gatunków 6. Gra life Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego. 16

17 Sandpile model: model sterty piachu P( s) ~ s P( t) ~ t a b Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego. Rynek transakcji międzybankowych Ryzyko systemowe, system rezerw - systemic risk Zakażenie systemu finansowego contagion Kryzysy finansowe financial crises Utrata płynności ( bankructwo) jednego (kilku ) banków Efekt domino Kryzys systemu finansowego Wielka Depresja ; Kryzys Azjatycki 1999; 17

18 Sieci zależności pokarmowych ryzyko systemowe wielkie wymierania? Meteoryt? Wielkie zlodowacenie? Katastrofa ekologiczna (metan)? SOC? PERKOLACJA Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych? 1. Zagadnienie odporności sieci Czy Internet jest odporny na przypadkowe błędy węzłów / połączeń i celowe ataki hakerów? (sieci metaboliczne, sieci zależności pokarmowych itd.) 2. Netwars Jak walczyć z grupami przestępczymi? (gangi młodzieżowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 3. Epidemiologia Czy struktura sieci społecznych ma wpływ na rozprzestrzenianie się chorób zakaźnych? Czy struktura Internetu i sieci owych ułatwia rozprzestrzenianie się wirusów komputerowych? (worms, SASSER) 18

19 Perkolacja w klasycznych grafach przypadkowych ODPORNOŚĆ SIECI R.Albert, H. Yeong, A-L.Barabasi Error and attack tolerance of complex networks NATURE vol. 406, p378 Atak na sieć usunięcie (zablokowanie) najważniejszych (najlepiej usieciowionych węzłów) Przypadkowy błąd węzła / krawędzi losowy węzeł / krawędź ulega zablokowaniu (awarii itp.) W Internecie stale jest zablokowanych ok. 5% routerów. Duży komponent (S<<N) Sieć niespójna. Duży komponent (S~N) Sieć prawie spójna. 19

20 NETWARS Sieci rzeczywiste Struktura gangu młodzieżowego 20

21 NETWARS Sieci rzeczywiste Sieć dealerów narkotykowych V.E. Krebs Mapping Networks of Terrorist Cells Connections 24(3): Analiza sieci 19 terrorystów, którzy wzięli udział w zamach na World Trade Center we wrześniu 2001 r. 21

22 Trusted Prior Contacts Network połączenia między terrorystami zostały ustanowione na podstawie tzw. podstawowych kontaktów np. znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotażu. Przemówienie Osamy bin Ladena... Those who were trained to fly didn t know the others. One group of people did not know the other group... Charakterystyki sieci: 1) Sieć wyjątkowo rzadka; 2) Rozmiar N=19 3) Średnia droga l=4.75 4) Współczynnik gronowania C=0.4 Meeting ties - połączenia koordynacji projektem spotkanie w Las Vegas na tydzień przed zamachem. W spotkaniu wzięli udział przedstawiciele wszystkich czterech komórek terrorystycznych 22

23 Najbliższe Otoczenie Terrorystów zaopatrzenie / pieniądze / informacja W tej strukturze Mahomed Atta ujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów. Widoczne jest także silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził się M.Atta Wnioski 1) Ukryte / przestępcze sieci nie zachowują się jak zwykłe sieci społeczne. 2) Dążenie do minimalizacja kontaktów utrudnia identyfikację prawdziwych połączeń. 3) W sieci takiej istnieją silne powiązania, które przez długi czas mogą pozostawać w spoczynku (np. przeszłe zobowiązania, znajomości szkolne itd). Spinowe metody detekcji modułów (gron, grup) w sieciach 23

24 EPIDEMIOLOGIA Sieci rzeczywiste Internet wirus Code Red Worm 24

25 Podstawowe modele sieci złożonych Klasyczne grafy przypadkowe: przykład sieci statycznej (równowagowej) Procedura konstrukcyjna Liczba wierzchołków jest stała N, Każda para węzłów jest połączona krawędzią z prawdopodobieństwem p Paul Erdös ( ) Model demokratyczny - zupełnie losowy Rozkład stopni wierzchołków N 1 P( k) p k k 1 p N 1 k k k k e k! p=0 p=0.1 p=0.5 p=1 Podstawowe modele sieci złożonych Sieci ewoluujące BA: przykład sieci rosnącej (nierównowagowej) Procedura konstrukcyjna Liczba wierzchołków nie jest stała, ale zmienia się w czasie sieć rośnie Nowe węzły nie są przyłączane do istniejącej już sieci losowo. Prawdopodobieństwo, że nowy węzeł dołączy się do starego węzła zależy liniowo od stopnia tego węzła - reguła preferencyjnego dołączania. Bogaty staje się jeszcze bardziej bogatszy A.-L. Barabasi (1967) Rozkład stopni wierzchołków 2m P( k) 3 k 2 25

26 Preferencyjne dołączenie, a idea kopiowania węzłów Podstawowe modele sieci złożonych Sieci o zadanym Hamiltonianie statystyczna zbiorowość sieci (ansamble sieci) Procedura konstrukcyjna jest losowa, tzn. można utworzyć różne sieci. Są różne prawdopodobieństwa realizacji poszczególnych sieci. 26

27 27