Sieci złożone. Modelarnia 2014/2015 Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Sieci złożone Modelarnia 2014/2015 Katarzyna Sznajd-Weron

2 Sieć = network Węzły Węzły jednego typu lub wielu Połączenia Połączenia kierunkowe lub nie

3 Czy fizycy zawsze muszą mieć inne zdanie? Fizycy sieć (network) węzeł (node) połączenie (link) Matematycy graf (graph) wierzchołek (vertex) krawędź (edge)

4 Sieci społeczne Węzły: ludzie Połączenia: znajomości, przyjaźnie, współpraca

5 Austin Powers: The spy who shagged me Robert Wagner Let s make it legal Wild Things What Price Glory Barry Norton A Few Good Man Monsieur Verdoux

6 Randki w szkole średniej Węzły: uczniowie Połączenia: randki

7 Sieci współpracy Węzły: uczeni, aktorzy Połączenia: wspólne publikacje, role w tych samych filmach

8 Sieci komunikacji Węzły: komputery, satelity, strony WWW, centrale Połączenia: linie telefoniczne, linie światłowodowe, linki między stronami

9 Sieci pokarmowe ekologia Węzły: osobniki, populacje, gatunki Połączenia: relacja drapieżca-ofiara

10 Sieci metaboliczne Węzły: związki chemiczne Połączenia: reakcje chemiczne

11 Jakie to są sieci Czy są to sieci regularne? Czy są to grafy losowe? Czy może jeszcze coś innego?

12 Graf losowy (Erdös-Rényi 1960) k=4 Rozkład stopni wierzchołków Poissona k=2 k=1 < k > k=2

13 Sześć stopni separacji 1967, psycholog społeczny S. Milgram kilkuset losowo wybranych ludzi z Nebraski i Kansas otrzymało przesyłki z paszportem Cel osoba w Bostonie Podaj dalej do znajomego Jaki ten Świat mały!

14 Travers, Milgram (1969) 296 losowo wybranych ludzi w Bostonie i Nebrasce Cel w Massachusetts 64 łańcuchy osiągnęły cel Średnia długość łańcucha 5.2

15 The New York Times, Analizie połączeń 721 milionów użytkowników Facebooka Dowolne dwie osoby na świecie dzieli tylko 4.74 stopni separacji Znajomość Facebookowa!

16 Wolfram Alpha Personal Analytics for Facebook

17 Cechy sieci społecznej Świat jest mały Ludzie trzymają się w paczkach Kasi nie ma na rysunku jest połączona z wszystkimi Przykładowa sieć (Kasia córka Wolframa) Źródło: Wolfram Alpha Personal Analytics for Facebook

18 Co to znaczy, że świat jest mały? Odległość d ij między wierzchołkami i, j Długość najkrótszej drogi od i do j Najmniejsza liczba krawędzi od i do j Kurs Online Barabasi et al. Network Science

19 Co to znaczy, że ludzie trzymają się w paczkach? Współczynnik gronowania wierzchołka C i Miara tego jak wielu sąsiadów i jest wzajemnie ze sobą połączona Stosunek liczby L i istniejących krawędzi między sąsiadami i do wszystkich możliwych krawędzi między tymi sąsiadami: C i = 2L i k i k i 1

20 Model Wattsa-Strogatza Sieć Małego Świata średnia: C = C 1 + C C N N N = C i i=1

21 Coś tu jest nie tak 9 10 Ile jest stron z 500 połączeniami? Teoretycznie (Mały Świat): R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, (1999) Rzeczywiście: 1000

22 Sieci złożone: bezskalowe

23 Jak wykryć prawo potęgowe? y a x b log y log a y' log a bx' b log x

24 SCIENCE CITATION INDEX Nodes: papers Links: citations 1736 PRL papers (1988) Witten-Sander PRL P(k) ~k - ( = 3) (S. Redner, 1998)

25 Sieci Metaboliczne Archeony (archeobakterie) Bakterie Eukarioty (jądrowce)

26 Human Genome Project co wiadomo W 2000 zsekwencjonowano cały ludzki genom Tylko genów (sekwencje DNA, które kodują białka) tyle co u myszy, robaków, roślin gorczycy! Geny kodujące białka stanowią jedynie około 2% naszego DNA! Jeśli tak mało genów to skąd pochodzi nasza złożoność? Jaka jest funkcja DNA śmieciowego Czego jeszcze się dowiedzieliśmy?

27 Human Genome Project co wiadomo Geny oddziałują nieliniowo tworząc skomplikowane sieci przetwarzania informacji To raczej sieci, a nie pojedyncze geny, kształtują organizm Śmieciowe DNA odgrywa kluczową rolę w formowaniu się tej sieci Śmieciowe DNA jest odpowiedzialne za złożoność ludzkiego organizmu!

28 Prawa potęgowe: uniwersalność w sieciach złożonych Kurs Online Barabasi et al. Network Science

29 Cechy sieci bezskalowych Liczba węzłów i nie jest stała: rosnąca sieć WWW, publikacji itd. Preferencyjne dołączanie: więcej połączeń większe prawdopodobieństwo dołączenia nowego węzła, nowe linki do znanych miejsc WWW, często cytowane prace

30 Sieć Barabasiego-Alberta Wzrost: w każdym kroku czasowym dołączam węzeł Preferencyjne dołączanie: prawdopodobieństwo, że nowy węzeł będzie połączony z i-tym: ( k ) i ki k j j P(k) ~k -3 A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)

31 Budujemy Sieć Barabasiego-Alberta 1/2 2/4 3/6 1/4 1/6 1/2 1/4 3/8 1/6 1/6... 2/8 1/8 1/8 1/8

32 W sieciach zdarzają się usterki komórki podlegają mutacji komputery się psują Czy sieć jest odporna na usterki? usterka

33 Usterki usuń losowo węzły

34 Ataki usuń najważniejsze (o najwyższym stopniu) węzły

35 Pięta Achillesa sieci bezskalowych Internet Sieć białek usterki ataki R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature (2000)

36 Gdzie warto zajrzeć? Kurs Online Barabasi et al. Network Science Wolfram Demonstration Project

37 Zadanie wstępne Zaimplementuj sieć Wattsa-Strogatza (N, k, p) Zaimplementuj sieć Barabasiego-Alberta (N, M 0, M) Dla obu sieci wyznacz dystrybuantę, średnią drogę oraz współczynnik gronowania Porównaj wyniki z tymi podawanymi w literaturze

38 Projekty sieciowe Nowe modele sieci - wielopoziomowe Model perkolacji Błądzenie losowe Model Isinga Modele lawin (SOC) Modele epidemii (SIR, SIS) Modele dynamiki opinii (votera, modele z progiem) Modele dyfuzji innowacji