Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z tworzącą stożka.

3 Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k.

4 Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie: {P R 2 : PF = d(p, k)}

5 Czym jest parabola? Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne. Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ich odległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie: {P R 2 : PF = d(p, k)} Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.

6 Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy.

7 Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.

8 Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P. Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p 2.

9 Elementy paraboli W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P. Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołek paraboli jest oddalony od kierownicy o odległość p 2. Mimośród paraboli: m = 1.

10 Równanie kanoniczne paraboli Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX. Niech dany będzie wierzchołek paraboli W = (x 0, y 0 ). Wtedy równanie kanoniczne paraboli ma postać (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) (1)

11 Równanie kanoniczne paraboli Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownica jest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX. Niech dany będzie wierzchołek paraboli W = (x 0, y 0 ). Wtedy równanie kanoniczne paraboli ma postać W drugim wypadku dostajemy: (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) (1) (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ). (2)

12 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane jako: x = x 0 + pt 2, y = y 0 + 2pt (3)

13 Równanie w postaci parametrycznej Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyć równania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one dane jako: x = x 0 + pt 2, y = y 0 + 2pt (3) W drugim zaś jako: x = x 0 + 2pt, y = y 0 + pt 2 (4)

14 Równanie w postaci biegunowej Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe paraboli ma postać: p ρ = 1 + cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym. (5)

15 Równanie w postaci biegunowej Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunowe paraboli ma postać: p ρ = 1 + cos(φ) gdzie p jest parametrem ogniskowym. (5)

16 Kierownice i ogniska paraboli Jeśli parabola jest postaci (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : x = x 0 p 2, W = (x 0, 0)

17 Kierownice i ogniska paraboli Jeśli parabola jest postaci (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : x = x 0 p 2, W = (x 0, 0) Jeśli parabola jest postaci (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ) to jej kierownica i wierzchołek dane są: k : y = y 0 p 2, W = (0, y 0)

18 Równanie stycznej do paraboli Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OX. Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (y 1 y 0 )(y y 0 ) (x 1 x 0 ) + (x x 0 ) = p

19 Równanie stycznej do paraboli Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OX. Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (y 1 y 0 )(y y 0 ) (x 1 x 0 ) + (x x 0 ) = p Niech punkt P(x 1, y 1 ) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osi OY. Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać: (x 1 x 0 )(x x 0 ) (y 1 y 0 ) + (y y 0 ) = p

20 Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.

21 Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.

22 Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części. KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

23 Kreślenie paraboli Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt w połowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek. KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części. KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem

24 Kreślenie paraboli KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie podziału.

25 Kreślenie paraboli KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe linie podziału. KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tych samych numerach to punkty przejścia paraboli.

26 Podziękowania Dziękuję za uwagę