Zabawa z odległościami

Transkrypt

1 Konferencja SEM Gdzie jest matematyka? Zabawa z odległościami Joanna Jaszuńska Soczewka, 28 listopada 2010 Zabawa z odległościami 1 Joanna Jaszuńska

2 Odległość punktu od figury Odległość punktu A od figury F odległość punktu A od tego punktu figury F, który leży najbliżej A. Rozważamy tylko przyzwoite figury, z brzegiem. Zabawa z odległościami 2 Joanna Jaszuńska

3 Szukamy zbioru punktów odległych od danej figury o ustalone ɛ okrąg Zabawa z odległościami 3 Joanna Jaszuńska

4 Szukamy zbioru punktów odległych od danej figury o ustalone ɛ okrąg ɛ-otoczka zbioru Zabawa z odległościami 3 Joanna Jaszuńska

5 Szukamy zbioru punktów odległych od danej figury o ustalone ɛ okrąg ɛ-otoczka zbioru Zad. Wewnątrz prostokątnego wybiegu o bokach długości a i b znajduje się żyrafa. Dzięki swej długiej szyi, może ona skubać trawę nie tylko wewnątrz wybiegu, ale też za płotem, do odległości ɛ od płotu. Jakie jest pole obszaru, z którego żyrafa skubie trawę? Zabawa z odległościami 3 Joanna Jaszuńska

6 Szukamy zbioru punktów odległych od danej figury o ustalone ɛ okrąg ɛ-otoczka zbioru Zad. Wewnątrz prostokątnego wybiegu o bokach długości a i b znajduje się żyrafa. Dzięki swej długiej szyi, może ona skubać trawę nie tylko wewnątrz wybiegu, ale też za płotem, do odległości ɛ od płotu. Jakie jest pole obszaru, z którego żyrafa skubie trawę? Zad. Boki wielokąta wypukłego o obwodzie s rozsunięto o 1. Wykaż, że pole wzrosło o więcej niż s + π. Zabawa z odległościami 3 Joanna Jaszuńska

7 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur symetralna, środek okręgu opisanego Zabawa z odległościami 4 Joanna Jaszuńska

8 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur symetralna, środek okręgu opisanego Zad. Udowodnij, że w trójkącie naprzeciwko dłuższego boku znajduje się większy kąt. Zabawa z odległościami 4 Joanna Jaszuńska

9 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur symetralna, środek okręgu opisanego Zad. Udowodnij, że w trójkącie naprzeciwko dłuższego boku znajduje się większy kąt. dwusieczna, środek okręgu wpisanego Zabawa z odległościami 4 Joanna Jaszuńska

10 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur symetralna, środek okręgu opisanego Zad. Udowodnij, że w trójkącie naprzeciwko dłuższego boku znajduje się większy kąt. dwusieczna, środek okręgu wpisanego parabola, wszystkie parabole są podobne Zabawa z odległościami 4 Joanna Jaszuńska

11 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur Zad. Dany jest okrąg Γ oraz rozłączna z nim prosta k. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ oraz stycznych do prostej k. Zabawa z odległościami 5 Joanna Jaszuńska

12 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur Zad. Dany jest okrąg Γ oraz rozłączna z nim prosta k. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ oraz stycznych do prostej k. Zad. Dany jest okrąg Γ oraz jego cięciwa AB. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych wewnętrznie do Γ oraz stycznych do odcinka AB. Zabawa z odległościami 5 Joanna Jaszuńska

13 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur Zad. Dany jest okrąg Γ oraz rozłączna z nim prosta k. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ oraz stycznych do prostej k. Zad. Dany jest okrąg Γ oraz jego cięciwa AB. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych wewnętrznie do Γ oraz stycznych do odcinka AB. Zad. Odcinki AB i CD są równej długości i prostopadłe. Punkty A, C, D leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności, przy czym AC < CD. Znajdź zbiór punktów równo odległych od AB i CD. Zabawa z odległościami 5 Joanna Jaszuńska

14 Szukamy zbioru punktów równo odległych od danych dwóch figur Zad. Dany jest okrąg Γ oraz rozłączna z nim prosta k. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ oraz stycznych do prostej k. Zad. Dany jest okrąg Γ oraz jego cięciwa AB. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych wewnętrznie do Γ oraz stycznych do odcinka AB. Zad. Odcinki AB i CD są równej długości i prostopadłe. Punkty A, C, D leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności, przy czym AC < CD. Znajdź zbiór punktów równo odległych od AB i CD. Własne zabawy tego typu... Zabawa z odległościami 5 Joanna Jaszuńska

15 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

16 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów proste równo odległe od danych 3 punktów Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

17 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów proste równo odległe od danych 3 punktów Zad. (4 z I etapu XX OM) Dane są punkty A, B, C, D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznacz płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe. Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

18 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów proste równo odległe od danych 3 punktów Zad. (4 z I etapu XX OM) Dane są punkty A, B, C, D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznacz płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe. okręgi równo odległe od danych 3 punktów Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

19 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów proste równo odległe od danych 3 punktów Zad. (4 z I etapu XX OM) Dane są punkty A, B, C, D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznacz płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe. okręgi równo odległe od danych 3 punktów okręgi równo odległe od danych 4 punktów Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

20 Szukamy figur o zadanym kształcie, równo odległych od danych punktów proste równo odległe od danych 2 punktów proste równo odległe od danych 3 punktów Zad. (4 z I etapu XX OM) Dane są punkty A, B, C, D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznacz płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe. okręgi równo odległe od danych 3 punktów okręgi równo odległe od danych 4 punktów sfery? inne figury? inne liczby punktów? Zabawa z odległościami 6 Joanna Jaszuńska

21 Szukamy punktów o ustalonej sumie/różnicy odległości od danych 2 figur elipsa hiperbola Zabawa z odległościami 7 Joanna Jaszuńska

22 Szukamy punktów o ustalonej sumie/różnicy odległości od danych 2 figur elipsa hiperbola Zad. Okrąg Γ 1 leży wewnątrz okręgu Γ 2. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ 1 i wewnętrznie do Γ 2. Zabawa z odległościami 7 Joanna Jaszuńska

23 Szukamy punktów o ustalonej sumie/różnicy odległości od danych 2 figur elipsa hiperbola Zad. Okrąg Γ 1 leży wewnątrz okręgu Γ 2. Wyznacz zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do Γ 1 i wewnętrznie do Γ 2. Zad. Dana jest prosta k, punkt A należący do tej prostej oraz odcinek o długości a. Wyznacz zbiór takich punktów X, dla których Xk + XA = a (gdzie Xk oznacza odległość punktu X od prostej k). Zabawa z odległościami 7 Joanna Jaszuńska

24 Inne sposoby mierzenia odległości Jak by to wszystko wyglądało przy innych sposobach mierzenia odległości, np. w metryce miejskiej? Zabawa z odległościami 8 Joanna Jaszuńska

25 Inne sposoby mierzenia odległości Jak by to wszystko wyglądało przy innych sposobach mierzenia odległości, np. w metryce miejskiej? Bibliografia Jerzy Lisiewicz, Matematyka dla licealistów. Geometria, Agencja Wydawnicza Punkt, Warszawa 1993 Jerzy Bednarczuk, zadania z Geometrii II na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Zabawa z odległościami 8 Joanna Jaszuńska