(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'

Transkrypt

1 Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że rzutem powierzchni jest brzeg rzutu tej powierzchni (figury rozumianej jako zbiór rzutów wszystkich punktów powierzchni). Rzutem każdej z omawianych tu powierzchni jest trójkąt, prostokąt, koło (w reprezentacji konturowej - okrąg). Rysunek. przedstawia rzuty Monge'a: (a) - powierzchni stożka, (b) - powierzchni walca, (c) - sfery. Znależć rzuty (poziome i pionowe) punktów leżących na powierzchni stożka, walca i sfery. Dane są rzuty punktów A, B, C, należy znaleźć rzuty poziome tych punktów (A, B,C oraz rzuty poziome punktów D, E, F należy znaleźć rzuty pionowe tych punktów D, E, F. (a) (b) (c) l" l" O" l' l' O' Rys.. Każda z powierzchni stożka, walca i sfery ma oś symetrii. Przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi symetrii w każdym przypadku jest okręgiem, zaś przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii jest w przypadku: stożka - parą prostych (tworzących stożka) przecinających się, walca - parą prostych (tworzących walca) równoległych, sfery - okręgiem (równoleżnikiem sfery) (Rys..). (a) (b) (c) l" γ"= o" γ"= γ"= o" o" l" γ"= o" γ"= o" γ"= o" O" γ"= γ"= γ"= o" o" o" l' o' o' o' l' o'=o'=o' Rys... Przynależność punktu do powierzchni (figury) oprzemy na zasadzi: Punkt należy do figury jeżeli leży na pewnej krzywej (prostej, okręgu) zawartej w tej figurze. Przynależność prostej do płaszczyzny - na znanym fakcie: Prosta leży na płaszczyźnie jeżeli należą do niej dwa punkty leżące na tej płaszczyźnie. O' o' o' o'

2 Rysunek Rys..(a,a,a,a) pokazuje rozwiązanie zadania w odniesieniu do powierzchni stożkowej. Zadanie. Mamy daną powierzchnię stożkową Γ oraz rzut pionowy punktu A. Należy wyznaczyć rzut poziomy punktu A tak, by punkt ten leżał na powierzchni Γ (Rys..a). Rozwiązanie: Prowadzimy przez szukany punkt A płaszczyznę poziomą p, t.zn. przez punkt prowadzimy prostą p" (Rys..a). Płaszczyzna p przecina powierzchnię stożkową w okregu o (Rys..a). Później przekonamy się, że w przeciwieństwie do rozwiązania zadania płaszczyzna p musi być pozioma lub (por. zadanie ) poziomorzutująca i przechodząca przez wierzchołek powierzchni. Rzutem pionowym okręgu jest odcinek o" prostej p" zawarty w konturze pionowym powierzchni stożkowej, czyli w trójkącie. Rzut poziomy o' jest okręgiem o środku i promieniu równym połowie długości odcinka o". Istnieją dwa punkty A, A których rzutem pionowym jest punkt. Aby znaleźć ich rzuty poziome A', A' prowadzimy odnoszącą z punktu do przecięcia z okręgiem o (Rys..a). Zadanie. Mamy daną powierzchnię stozkową Γ oraz rzut poziomy punktu B. Należy wyznaczyć rzut pionowy punktu B tak, by punkt ten leżał na powierzchni Γ (Rys..b)). Rozwiązanie: Prowadzimy przez szukany punkt B i przez wierzchołek W stożka płaszczyznę poziomorzutującą v, t.zn. przez punkt prowadzimy prostą v' (Rys..b). Płaszczyzna v przecina powierzchnię stożkową w prostych a, b, z których interesuje nas tylko jedna, mianowicie prosta a, do której należy punkt B (Rys..b). Rzut poziomy a' prostej a pokrywa się z prostą v'. Prosta v ma ślad poziomy H a w punkcie przecięcia z okręgiem podstawy stożka. Rzut pionowy a" przechodzi przez H" a i przez W". Punkt B" znajdujemy na prostej a" i na odnoszącej poprowadzonej z punktu (Rys..b). (a) W" (a) W" (a) W" (a) W" γ " γ " o" γ " o" " A' o' o' A' W" W" W" W" (b) (b) (b) (b) B" a" a" H" a H" a H a H a γ ' γ ' =a' γ ' =a' Rys.. Powierzchnie stożka, walca, sfery, znane ze szkoły, w przekroju płaszczyzną dają prostą (odcinek lub łamaną) lub okrąg a więc dwie figury, które potrafimy wykreślić linijką i cyrklem, czyli t.zw. klasycznymi (platońskimi) środkami kreślenia. Przekrojem sfery, stożka, walca jest zawsze stożkowa. Przekrojem, pomijając przypadki zdegenerowane, w przypadku sfery jest okrąg, w przypadku walca elipsa (okrąg), w przypadku stożka elipsa (okrąg), parabola lub hiperbola w zależności od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do osi stożka (Rys..a,b,) (Rys..5a). Rzutem prostokątnym okręgu i elipsy jest elipsa lub odcinek, paraboli - parabola lub półprosta lub prosta, hiperboli - hiperbola, prosta lub dwie półproste zawarte w jednej prostej.

3 (a) (b) elipsa parabola elipsa Rys.0A. Rys.. parabola (a) hiperbola (B) kierunki asymptot πσ sfera elipsa F (płasz. przekroju) π e k (ognisko) (kierownica) πσ k F (kierownica) (ognisko) hiperbola Rys..5 sfera (a) (b, c) (d) (e) (f) (g) Rys..6

4 Elipsa jest jednoznacznie wyznaczona na przykład przez swoje średnice sprzężone. Średnice sprzężone są to dwie połowiące się cięciwy elipsy, przechodzące przez jej środek, o tej własności, że każda z tych średnic połowi odcinki równoległe do drugiej średnicy. Średnice elipsy, jako połowiące się odcinki, możemy wybrać dowolnie (Rys..6a ). Konstrukcję elipsy na podstawie średnic sprzężonych przedstawiają rysunki (Rys..6b-g). Uzupełnienie pozostałych ćwiartek elipsy zrealizujemy w podobny sposób (Rys..6g). Parabola jest jednoznacznie określona przez prostą styczną, punkt styczności, kierunek osi i inny punkt (Rys..7a). Konstrukcję (siatkową) paraboli przedstawiają rysunki (Rys..7b-e) (a) (b) (c) (d) (e) Rys.0A. Rys..7 Zad.0. Wykreślić rzuty przekroju stożka płaszczyzną (Rys..8a), wkreślić rzuty bryły będącej częścią kuli po wycięciu płaszczyznami (Rys..8b), wkreślić rzuty bryły będącej częścią stożka po wycięciu płaszczyznami (Rys..8c). W ostatnim przypadku jedna z płaszczyzn tnących jest równoległa do tworzącej stożka, druga jest równoległa do podstawy. (a) (b) (c) Rys..8 Na rysunkach Rys..9 zilustrowano konstrukcję przekroju stożka płaszczyną wraz z konstrukcją siatkową elipsy.

5 B" C"=D" B" A' A' Rys..9 Elispę przekroju wyznaczamy poprzez rzuty jej osi (średnic sprzężonych prostopadłych AB (A',B"), CD(C'D',C"D") (Rys..9). Średnice te są podstawą konstrukcji siatkowej elipsy (Rys..0). C"=D" B" B" B" C"=D" C"=D" C' C' C' A' A' A' D' D' Rys..0 D' 5

6 Zad.0. Wykreślić rzuty bryły będącej częścią stożków oraz sfer po wycięciu płaszczyznami z rys.fig,,,,5 (zgodnie z karta przydziału tematu). 6

7 7

8 8

9 9