KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI

Transkrypt

1 ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY W SZCZECINIE WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA TELEKOMUNIKACJI I FOTONIKI OPROGRAMOWANIE DO MODELOWANIA SIECI ŚWIATŁOWODOWYCH PROJEKTOWANIE FALOWODÓW PLANARNYCH (wydrukować kartę pomiarową ostatnia strona instrukcji) 1

2 1. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie studenta z podstawowymi zasadami projektowania układów transmisyjnych opartych na planarnych falowodach dielektrycznych. Student nabiera umiejętności projektowania falowodu oraz potrafi wyznaczyć podstawowe parametry materiałowe takiej struktury. 2. Wymagania: Struktura falowodu planarnego (symetryczny, niesymetryczny). Mody TE prowadzone w falowodzie (mody prowadzone, mody radiacyjne) Efektywny współczynnik załamania Równanie dyspersyjne Funkcja root w środowisku Mathcad 3. Wstęp teoretyczny: 1. Falowody planarne Falowody planarne (ang. planar waveguides, slab waveguides) umożliwiają prowadzenie światła wewnątrz cienkiej warstwy dielektryka. Fala elektromagnetyczna propaguje się rdzeniu (warstwie prowadzącej), który znajduje się między pokryciem a podłożem falowodu. Rys. 1. Geometria falowodu planarnego Aby światło mogło propagować się w strukturze falowodu musi być spełniona zasada całkowitego wewnętrznego odbicia. Współczynnik rdzenia n f musi być większy od współczynnika warstw otaczających pokrycia n c oraz podłoża n s. Wyróżniamy dwa rodzaje falowodów planarnych ze względu na budowę: symetryczne n c = n s oraz n c, n s < n f niesymetryczne n c n s oraz n c, n s < n f 2

3 Rys. 2. Przekrój poprzeczny falowodu planarnego o grubości h i współczynnikach załamania spełniających warunek n f > n s n c Propagację światła w falowodzie planarnym można rozpatrywać szukając rozwiązań równań Maxwella, które spełniają warunki brzegowe na granicy obszarów o różnych współczynnika załamania. Pola elektromagnetyczne w falowodzie planarnym można podzielić na mody radiacyjne, oraz prowadzone. Mody radiacyjne (mody wypromieniowania do podłoża i pokrycia) mogą rozchodzić się we wszystkich trzech ośrodkach. Mody podłożowe (mody wypromieniowania do podłoża) ulegają całkowitemu wewnętrznemu odbiciu na granicy między warstwą prowadzącą a pokryciem. Natomiast mody prowadzone odbijają się całkowicie na obu granicach warstwy rdzenia, dzięki czemu rozchodzą się tylko w tej warstwie. Rys. 3. Mody falowodu planarnego mod radiacyjny i mod podłożowy (górny rysunek), mody prowadzone (dolny rysunek) 3

4 Rozkład pola modów światłowodu planarnego Znalezienie rozkładu natężenia pola elektrycznego i magnetycznego modów światłowodu planarnego wymaga rozwiązania równań Maxwella. Wybierając oś z w kierunku rozchodzenia się fal oraz przyjmując, że wymiar światłowodu w kierunku osi y jest nieskończony, dodatkowo zakładając wolnozmienność w czasie zakładamy: E i (x, z, t) = E i (x, z) exp (iωt) H i (x, z, t) = H(x, z) exp (iωt) Układ równań Maxwella przyjmuje postać Fale TE H x z H z x = iωε le y (1.1) (1.2) (2.1) E y z E y x = iωμ 0H x = iωμ 0H z (2.2) (2.3) gdzie wskaźnik określa jeden z trzech ośrodków tworzących falowód płaski. Widać, składowe H x i H z sa określone przez Ey. Składowa Ey spełnia równanie [ 2 x z 2 + ω2 μ 0 ε(x)] E y (x, z) = 0 (3.1) gdzie ε(x) = { ε c, x > W ε f, 0 < x < W ε s, x < 0 (3.1a) gdzie, W jest grubością warstwy, ε l (l = c, f, s) są przenikalnościami elektrycznymi odpowiednio dla podłoża, warstwy prowadzącej oraz pokrycia. Znalezienie modów TE dla falowodu planarnego wymaga znalezienia rozwiązań równania (3.1) dla każdego z trzech sąsiadujących ze sobą ośrodków i powiązania ich poprzez warunki brzegowe na granicach rozdziału. Trzeba zapewnić ciągłość E y i H z na płaszczyznach x = 0 i x = W, wyznaczających grubość warstwy. Mody TE mogą być sklasyfikowane na trzy podgrupy: pierwsza z nich obejmuje fale uwięzione w warstwie. Ssą to tzw. Mody dyskretne, czyli funkcje równań Maxwella wykazujące wykładniczy zanik wektorów pola dla x = ±, druga obejmuje fale, które mogą rozprzestrzeniać się tylko w obszarze falowodowym i w podkładzie ε s < ε c, trzecia z nich obejmuje fale, które mogą rozprzestrzeniać się przez płaszczyzny ograniczające warstwę falowodową. Są to mody wypromieniowania do podłoża i pokrycia. 4

5 Do projektowania falowodów planarnych podczas laboratorium ograniczymy się jedynie do modów prowadzonych. Falowodowe mody prowadzone są falami uwięzionymi wewnątrz warstwy w zachodzącego w strukturze warstwy prowadzącej całkowitego wewnętrznego odbicia od płaszczyzn granicznych. Następuje to wtedy, gdy przenikalność elektryczna warstwy ε f jest większa niż przenikalność podłoża ε s i pokrycia ε c : ε f > ε s > ε c. Przenikalność magnetyczna wszystkich ośrodków jest równa przenikalności magnetycznej w próżni μ 0. Przy całkowitym wewnętrznym odbiciu pole elektromagnetyczne w obszarze o mniejszym współczynniku załamania n 1 = ε 1 ε 0 1 gdzie ε 0 jest przenikalnością elektryczną próżni) nie jest zerem, ale maleje wykładniczo w miarę wzrostu odległości od warstwy. Rozwiązanie równania (3.1), spełniającego wszystkie powyższe założeni ma postać: A exp(x)γ c x < d E y = { B cos γ f x + C sin γ f x dla { x < d D exp d γ s x < d (3.2) dla d = W/2; W szerokość struktury prowadzącej. Fala elektromagnetyczna powinna propagować się w przypadku (2) dla x < d warstwa prowadząca w strukturze falowodu planarnego. Parametry γ s, γ f, γ c określone są przez związki: γ s = k β 2 n s 2 (3.2a) γ f = k n f 2 β 2 (3.2b) γ c = k β 2 n c 2 (3.2c) Parametr β nosi nazwę stałej propagacji i fizycznie jest z-ową składową wektora falowego. Natomiast wielkości n s, n f, n c są odpowiednio współczynnikami załamania dla podłoża, warstwy prowadzącej oraz pokrycia falowodu. Wykorzystując warunki ciągłości możemy uzyskać układ równań: B cos γ f d + Csin γ f d = A B cos γ f d C sin γ f d = D (3.3) B γ f sin γ f d + Cγ f cos γ f d = Aγ c { B γ f sin γ f d + C γ f cos γ f d = Dγ s Po przekształceniach otrzymujemy: tg (γ f W) = γ f(γ c + γ s ) γ 2 f γ c γ s W = 2d (3.4) 5

6 lub w postaci: γ f W = arctg ( γ s ) + arctg ( γ c ) + mπ (3.5) γ f γ f m = 0, 1, nosi nazwę parametru modowości Równanie (3.5) nosi nazwę równania dyspersyjnego, z którego pomocą mając odpowiednie parametry materiałowe struktury oraz znając jej wymiary można zaprojektować falowód planarny. 4. Przebieg laboratorium W środowisku Mathcad zaprojektować strukturę falowodu planarnego oraz obliczyć metodą rozwiązania równania dyspersyjnego (3.5) ilość modów prowadzonych w światłowodzie planarnym. Obliczyć stałe propagacji β dla poszczególnych modów oraz efektywne współczynniki załamania. x + d nc nf z - d ns 1. Wprowadzić wartości parametrów materiałowych podanych przez prowadzącego: a. w szerokość struktury, b. λ - długość fali, c. k wartość stałej falowej, d. d połówkowa szerokość struktury, e. n s, n f, n c współczynniki załamania poszczególnych ośrodków. 2. Zdefiniować wielkości γ s, γ c, γ f - wzory (3.2a 3.2c). 3. Wprowadzić funkcję równania dyspersyjnego - wzór (3.5). 4. Za pomocą funkcji root znaleźć rozwiązania równania dyspersyjnego. 5. Wykreślić równanie dyspersyjne w funkcji efektywnego współczynnika załamania. Oszacować graficznie rozwiązania równania dyspersyjnego. 6

7 5. Sprawozdanie 1. Strona tytułowa z nazwą przedmiotu, imionami i nazwiskami członków zespołu laboratoryjnego, tytułem laboratorium oraz datą wykonania ćwiczenia. 2. Cel laboratorium. 3. Parametry materiałowe struktury oraz długość fali użyta w obliczeniach. 4. Przedstawić wyznaczone wartości stałej propagacji poszczególnych modów oraz efektywne współczynniki załamania. 5. Wykreślić równanie dyspersyjne w funkcji efektywnego współczynnika załamania dla wszystkich prowadzonych modów w falowodzie. 6. Przedstawić wnioski. Od jakich parametrów zależy ilość propagowanych modów w falowodzie planarnym odpowiedź uzasadnić. 6. Bibliografia 1. Jan Petykiewicz Optyka falowa, Wyd. II zmienione, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Jan Petykiewicz Podstawy fizyczne optyki scalonej, Wyd. I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Bernard Ziętek Optoelektornika, Wyd. I, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń Jerzy Siuzdak Systemy i sieci fotoniczne, WKiŁ, Warszawa Mirosław Karpierz, Ewa Weinert-Rączka Nieliniowa Optyka Światlowodowa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa

8 Karta pomiarowa Dane: d = n c = n f = n s = λ = Wartości stałej propagacji: β 0 = β 1 = β 2 = Wartości efektywnych współczynników załamania: γ s0 = γ s1 = γ s2 = γ f0 = γ f1 = γ f2 = γ c0 = γ c1 = γ c2 = 8