Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 2. Równania Maxwella

Transkrypt

1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 2 Równania Maxwella

2 Prawa Maxwella opisują pola Pole elektryczne... to zjawisko występujące w otoczeniu naładowanych elektrycznie obiektów lub jest skutkiem zmiennego w czasie pola magnetycznego. Pole elektryczne powoduje powstawanie siły działającej na naładowane obiekty. Pole magnetyczne... Ito zjawisko występujące w otoczeniu poruszających się naładowanych obiektów lub na powstające w wyniku zmian pola elektrycznego w czasie. Pole magnetyczne powoduje powstawanie siły działającej na poruszające się naładowane obiekty. Koncepcje pól E I M zaproponował Michael Faraday. Siła Lorenza: F=q E q v B Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 2

3 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 3 Ładunek elektryczny? Ładunek elektryczny... to fizyczna własność materii. Jest wielkością nieciągłą (skwantowaną) elementarny ładunek oznaczamy jako e (uważa się, że kwarki mają ładunki będące wielokrotnościami e/3). e e 19 [C ] Ładunki mogą być dodatnie lub ujemne. Elektron ma ładunek -e, proton +e. Ładunki się przyciągają (jeśli mają różne znaki) lub odpychają (jeśli mają ten sam znak): F=k e q 1 q 2 r 2, k e = 1 4 πε 0 ε /(36 π) 8.85e 12 [F /m] Zasada zachowania ładunku: Całkowity ładunek elektryczny odizolowanego systemu nie zmienia się.

4 F=q E q v B Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 4 Prawo Lorentza PL dokreśla całkowitą siłę działającą na ładunek w obecności obu pól: elektrycznego E I magnetycznego B. Pole elektryczne to zjawisko fizyczne. Pole magnetyczne B może być uważane za czysto matematyczną koncepcję umożliwiającą łatwe uwzględnienie efektów relatywistycznych (STW). Można pokazać, że siłę magnetyczną można wyznaczyć jedynie przy pomocy elektrostatyki I STW. Jednak powszechnie posługujemy się koncepcją pola magnetycznego B, ponieważ upraszcza to rozważania i obliczenia.

5 Równania Maxwella (RM) Prawo Ampera (skorygowane przez Maxwella) Prawo indukcji Faraday'a Prawo Gaussa Prawo Gaussa dla pola magnetycznego E pole elektryczne (natężenie PE) D indukcja elektryczna H natężenie pola magnetycznego B pole magnetyczne (indukcja magnetyczna) J gęstość prądu elektrycznego (wektor GPE) H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 5

6 Prawo Ampera Odkryte przez Andre-Marie Ampere w 1826 r. Postać różniczkowa H =J I Postać całkowa H S H d l= S J d S S H d l=i Całka z natężenia pola magnetycznego wzdłuż zamkniętej krzywej jest równa całkowitemu prądowi przepływającemu przez powierzchnię, której brzegiem jest krzywa. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 6

7 Prawo Maxwella-Ampera Prawo ampera sugeruje, że w próżni, gdzie J=0 H=0 S H d l=0 Rozpatrzmy następujący przykład: L 1 L 2 L 3 L2 H d l=0?!? H I 2π r L1 H d l=i I I L3 H d l=i x J.C Maxwell zasugerował skorygowanie prawa Ampera H =J D t S H d l= S J D t d S (On Physical Lines of Force, 1861) Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 7

8 Prawo indukcji Faraday'a Odkryte niezależnie przez Michaela Faraday'a i Josepha Henry'ego in 1831 r. (M. Faraday jako pierwszy opublikował pracę) Postać różniczkowa E= B t Postać całkowa S Ed l= d d t S B d S Siła elektromotoryczna indukująca się w zamkniętej pętli jest wprost proporcjonalna do szybkości zmian strumienia magnetycznego obejmowanego przez pętlę. = d d t Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 8

9 Prawo Gaussa Odkryte przez Carla Friedricha Gaussa w 1835 r (opublikowane w 1867 r.) Postać różniczkowa D= Postać całkowa S D d S=Q Źródłem pola elektrycznego jest ładunek. Strumień wektora indukcji magnetycznej przez zamkniętą powierzchnię jest równy całkowitemu ładunkowi obejmowanemu przez tę powierzchnię. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 9

10 Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Analogia prawa Gaussa dla pola magnetycznego Postać różniczkowa B=0 Postać całkowa S B d S=0 Nie istnieją ładunki magnetyczne. (To jest oczywiste, jeśli pamiętamy, że B to zabieg matematyczny.) Całkowity strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest równy zero. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 10

11 RM i materia związki konstytutywne W próżni D= 0 E, B= 0 H, J=0 E=0 Jednorodne, anizotropowe, niedyspersywne matariały W rzeczywistości D= E, B= H, J= E D= E, f E, B= H,f H, J= T J E Co więcej, ε,μ i σ są w ogólności tensorami, których elementy Zależą od natężenia pola, jego kierunku i innych czynników, Takich jak temperatura, naprężenia mechaniczne, historia,... Na szczęście w ramach tego kursu będziemy świat idealizować Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 11

12 Historia (1) J.C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, 1864 (1) Całkowity prąd (2) Siła magnetyczna (3) Prawo Ampere'a (4) Siła elektromotoryczna (5) Elektryczne równanie elastyczności J tot =J D t H = A H=J tot E= v H A t E= 1 D J.C.Maxwell podał 6 skalarnych równań we Współrzędnych kartezjańskich, co doprowadziło go do 20 równań z 20 niewiadomymi. Obok zapisano odpowiednie równania we współczesnej notacji wykorzystującej wektory. (6) Prawo Ohma E= 1 J (7) Prawo Gaussa D= (8) Zasada zachowania ładunku J= t lub J tot =0 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 12

13 Historia (2) J.C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 1873 E= A t B= A D= H D t =J Potencjały B=0 B= A E= A t E A t =0 E A t = Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 13

14 Zastosowanie praktyczne RM umożliwiają określenie (przewidzenie) zasad obowiązujących w PEM Praktyczne problemy wymagają ograniczenia czasu i przestrzeni Warunki brzegowe pozwalają zawęzić przestrzeń analizy Warunki początkowe pozwalają zawęzić przedział czasowy Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 14

15 Warunki? Po co? RM to cząstkowe równania różniczkowe określają pochodne opisujące po. Rozważmy dla przykładu zwyczajne RR: d f x d x =0.5 f x =0.5 x c c=? f(x) Jak widać, ogólne rozwiązanie RR pozwala przewidzieć rodzaj funkcji ale nie konkretną funkcję. Potrzebujemy dodatkowych ograniczeń, aby wybrać rozwiązanie konkretne. f(8)=? Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 15

16 Warunki brzegowe Zewnętrzne źródła I i +Q i1 Ω -Q i1 Wewnętrzne źródła Ω Warunki brzegowe to zależności, które pole ma spełniać na brzegu obszaru. WB pozwalają uwzględnić obecność lub nieobecność zewnętrznych źródeł pola bez potrzeby ich dokładnej analizy. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 16

17 Warunki początkowe Warunki początkowe to zależności, które pole musi spełniać w pewnym momencie (t=0). Pozwalają uwzględnić historię zmian pola. E historia t 0 -t e czas Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 17

18 Uproszczenia RM są bardzo ogólne i dość skomplikowane. Na szczęście w wielu zagadnieniach możemy je uprościć. Robimy to przez pominięcie pewnych składników, które są małe, Przez wykorzystanie symetrii lub specjalny opis matematyczny., General Ogólny framework szablon of RME... Pola statyczne Pola harmoniczne Pola w. cz. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 18

19 Uproszczenia: electrostatyka H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H B t =0, D t =0 Interesuje nas tylko pole elektryczne, stałe w czasie. Interesują nas zjawiska w stałych lub wolno zmieniających się polach. Używamy opisu funkcją skalarną. E= H=J E=0 D= B=0 D= E J= E B= H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 19

20 Uproszczenia: magnetostatyka H=J D t E= B t D= B=0 D= E J= E B= H B t =0, D t =0 Tylko pole magnetyczne, stałe w czasie. Interesuje nas pole magnetyczne od stałych lub wolnozmiennych prądów. B= A H =J E=0 D= B=0 D= E J= E B= H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 2, slajd 20