Gdzie ta matematyka, czyli. o wojnie jaszczurek

Transkrypt

1 Gdzie ta matematyka, czyli o wojnie jaszczurek

2 Prezentacja na podstawie książki: Unlocking the secrets of existence

3

4 XVII wiek Francja

5 Człowiek ma naturę hazardzisty!

6 W tym czasie działają znane postaci nauki Blaise Pascal Pierre de Fermat

7 Ile razy trzeba rzucić dwiema kostkami by mieć co najmniej jedną szansę na dwie otrzymania podwójnej szóstki? Czy wystarczą 24 rzuty? Czy musi być ich co najmniej 25???

8 De Méré to nałogowy hazardzista... Tworzy więc własną teorię gier karcianych i niestety często przegrywa mimo iż opiera się na rozumowaniach logicznych... Nie poddaje się jednak i zachęca swoich Pascala i Fermata znane postaci świata filozofii i matematyki do zajęcia się teorią prawdopodobieństwa i naukowego zbadania jego teorii pokera, czyli naukowej analizy gry. Tak zaczynają się poszukiwania optymalnych strategii rozgrywania gier.

9 Problem postawiony przez de Méré to tak zwany: Problème des partis Miał być opublikowany przez Pascala w jego: Géométrie du Hasard rozprawa Przeszkadza temu jednak słynna francuska: La nuit du Memorial ( ) 2 miesiące po wymianie listów W których Pascal i Fermat dochodzą do rozwiązania problemu

10 Dwóch graczy gra w pewną grę hazardową Każdy z graczy stawia 32 pistole Gra składa się z rund w każdej rundzie każdy z graczy ma 50% szans wygranej Gramy aż ktoś wygra 3 kolejne rundy Wygrany zabiera 64 pistole

11 Co stanie się gdy po pewnej liczbie rund gracze muszą przerwać grę? Sytuacja: 1.Gracz A wygrał 2 kolejne rundy 2.Gracz B wygrał 1 rundę Ile powinni dostać wypłaty????

12 jest jedna szansa na dwie, że A wygra kolejną rundę i dostanie 64 pistole jest jedna szansa na dwie, że B wygra kolejną rundę i potem odbędzie się kolejna runda: wtedy dzielą się po 32 pistole Wygrana A = ½(64+32)=48 pistoli Wygrana B = 64-48=16 pistoli

13 Liczyliśmy: Wartość oczekiwaną zmiennej losowej przyjmującej wartości 32 i 64 z prawdopodobieństwem 1/2

14 Gdy niezależnie od siebie dochodzą do rozwiązania Pascal i Fermat, ten pierwszy pisze słynne słowa: Cieszę się, że prawda jest taka sama w Tuluzie jak i w Paryżu 29 lipca 1654 rok Pascal do Fermata

15 W rozważaniach pojawia się kluczowe słowo: GRA Ale próby analizy 'gier' odnajdujemy już nawet w Talmudzie:

16 Podział majątku dla 3 żon Talmud

17 Dwie osoby walczą o sztukę materiału: jeden chce całość, drugi chce połowę - jak ich podzielić? Żądania Materiał

18 Dług Majątek /3 1/3 1/

19 To on dowodzi, że: każda konkurencyjna dwuosobowa gra posiada najlepszą strategię dla każdego z graczy

20 Tomek i Jacek napadają na kantor Burego Zostają przyłapani przez komisarza Cezarego ale bez łupu!

21

22 Cezary nie ma dowodów by skazać rzezimieszków za napad na kantor CHYBA, ŻE KTÓRYŚ Z NICH SIĘ PRZYZNA Jeśli żaden się nie przyzna, to można skazać obu na 1 rok więzienia za nielegalne posiadanie broni Obaj zostają osadzenie w osobnych celach i zaproponowano im UKŁAD: Jeśli Ty się przyznasz a twój partner nie, to dostaniesz 6 miesięcy a partner skazany na 10 lat więzienia Jeśli obaj się przyznacie to obaj dostaniecie po 3 lata więzienia Jeśli żaden z was się nie przyzna to obaj dostaniecie po 1 roku więzienia

23 TOMEK Tomek się JACEK Jacek się Jacek się nie Tomek się nie

24 TOMEK Tomek się JACEK Jacek się Tomek dostaje 3 lata Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Tomek się nie

25 TOMEK Tomek się Jacek się Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat JACEK Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Jacek 6 miesięcy

26 TOMEK Tomek się Jacek się Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat JACEK Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Tomek 6 miesięcy Jacek dostaje 10 lat Jacek 6 miesięcy

27 TOMEK Tomek się Jacek się Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat JACEK Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Tomek 6 miesięcy Jacek 6 miesięcy Tomek dostaje rok Jacek dostaje rok Jacek dostaje 10 lat

28 TOMEK Tomek się Jacek się Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat JACEK Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Tomek dostaje 6 miesięcy Jacek dostaje 10 lat Jacek 6 miesięcy Tomek dostaje 1 rok Jacek dostaje 1 rok

29 TOMEK Rozumowanie Tomka Tomek się Powinienem Jacek się się przyznać Tomek dostaje 3 lata Jacek się nie Jeśli Jacek się przyzna to: Tom się nie Tomek dostaje 10 lat dostanę 3 lata jeśli się przyznam dostanę 10 lat jeśli się nie przyznam

30 TOMEK Rozumowanie Tomka: Tomek się Tomek się nie Jacek się Jeśli Jacek się nie przyzna, to: dostanę 6 miesięcy jeśli się przyznam dostanę 1 rok jeśli się nie przyznam if I do not confes Jacek się Powinienem nie się przyznać Tomek 6 miesięcy Tomek dostaje 1 rok

31 TOMEK Rozumowanie Tomka: Tomek się Jacek się Trzeba się Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat przyznać Jacek dostaje 3 lata Trzeba się Jacek się przyznać nie 6 miesięcy Nieważne co Jacek zrobi Jacek w moim jest Tomek 6 miesięcyinteresie Tomek dostaje rok PRZYZNAĆ SIĘ Jacek dostaje 10 lat Jacek dostaje rok

32 Rozumowanie Jacka Powinienem się przyznać Tomek się Jacek się Tomek się nie Jeśli Tomek się przyzna: Mam 3 lata gdy się przyznam JACEK Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Jacek dostaje 10 lat Mam 10 lat gdy się nie przyznam

33 Rozumowanie Jacka Powinienem się przyznać Tomek się Jeśli Tomek się Jacek się JACEK Jacek się nie Powinienem się przyznać Tomek się nie nie przyzna: Dostanę 6 miesięcy jeśli się przyznam Jacek 6 miesięcy Dostanę rok jeśli się nie przyznam Jacek dostaje rok

34 Rozumowanie Jacka: Tomek się Jacek się JACEK Trzeba się przyznać Trzeba się przyznać Tomek dostaje 3 lata Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat Cokolwiek zrobi Tomek Mam 6 miesięcy w moim interesie jest Tomek 6 miesiecy Tomek dostaje rok PRZYZNAĆ SIĘ Dostaję 3 lata Jacek się nie Dostaję 10 lat Dostaję rok

35 TOMEK Obaj się przyznają. Obaj dostają 3 lata... Tomek się Jacek się JACEK Tomek dostaje 3 lata Jacek dostaje 3 lata Jacek się nie Tomek 6 miesięcy Jacek dostaje 10 lat Tomek się nie Tomek dostaje 10 lat Jacek 6 miesięcy Tomek dostaje rok Jacek dostaje rok Najlepsze wyjście dla obu: -NIE przyznać się!

36 Paradoks w dylemacie więźnia polega na tym, że Najlepszym wyjściem dla obu jednocześnie Jest by indywidualnie grali wbrew własnemu interesowi!

37 Bacillus subtilitis (laseczka sienna) Nasze komórki czasem też grają w teorię gier.

38 José Onuchic, American Chemical Society, San Diego, 27 marca 2012 Ogłosił że: Bakterie komunikują się ze sobą i rozgrywają grę na kształt Dylematu Więźnia by zdecydować o swojej przyszłości

39 Komórka może przyjąć dwie postawy: Hibernacja (spores) pozbywa się części DNA przechodzi w stan uśpienia może wrócić w bardziej sprzyjających warunkach Przetrwanie (competency) przejmuje DNA porzucone adaptuje się do nowego otoczenia ryzykowne postępowanie egoistyczne

40 By rozważyć sytuację jako dylemat więźnia wystarczy określić: Hibernacja = przyznanie się Competency = brak przyznania się I dalej możemy przeprowadzić dokładnie taką analizę jak ze złodziejami:)

41 To także gra...

42 Uta stansburiana występuje na jednej z wysp zachodniego wybrzeża Ameryce Północnej. Charakterystyczne dla tego gatunku jest występowanie samców o trzech rodzajach ubarwienia i różnych strategiach walki o samice.

43 Strategie przyjmowane przez samców o danym ubarwieniu podgardla: Niebieski tworzy silną więź z partnerką, nie zabiega o wiele partnerek lecz dba o jedną Pomarańczowy jest największy, najsilniejszy, stara się wywalczyć jak najwięcej samic atakując niebieskiego Żółty- chytrze podkrada samice innym, ma ubarwienie zbliżone do samicy, nie dba jednak o nią

44 Pomarańczowy Pomarańczowi wygrywają z niebieskimi swoją siłą. Pomarańczowi nie mogą ochronić swoich samic przed żółtymi. Niebieski Żółty Niebiescy obronią swoją samicę przed żółtymi.

45 Papier Papier zawija kamień Papier nie może ochronić się przed nożyczkami. Kamień Nożyczki Kamień tępi nożyczki

46 Zapiszemy teraz wyniki naszej gry w postaci tabeli...

47 Gracze: A i B B kamień Akcje/Ruchy: {kamień, nożyczki, papier} A Wypłata: u1(kamień, nożyczki)=1 u2(nożyczki, papier)=-1 papier nożyczki kamień 0,0-1,1 1,-1 papier 1,-1 0,0-1,1 nożyczki -1,1 1,-1 0,0 Gracz, który pierwszy uzyska umówioną liczbę punktów wygrywa Czy w tej grze zawsze można tak grać, by zapewnić sobie zwycięstwo?

48 Na to i wiele innych pytań znajdziesz odpowiedź na zajęciach z rachunku prawdopodobieństwa i teorii gier. Dlaczego warto? Bo życie to jest gra. Gra wymaga strategii. Strategia wymaga matematyki