Gretl jako narzędzie do analiz statystycznych

Transkrypt

1 Gretl jako arzędzie do aaliz statystyczych Ogólie Gretl ma dość ubogie fukcje do czysto statystyczych aaliz (ie powio to dziwić, jeśli ktoś pamięta od czego bierze się skrót GRETL). Jedakże pozwala a szybkie przeprowadzeie kilku podstawowych aaliz i tym się dzisiaj zajmiemy. Rzecz jasa, każdy może zaimplemetować trudiejsze arzędzia statystycze w postaci skryptów Gretla jest to jeda z metod rozwoju tego pakietu i wszystkie takie iicjatywy są mile widziae przez autorów programu. W kotekście aaliz statystyczych, ajczęściej wykorzystywaymi opcjami z meu Gretla są Narzędzia oraz Model. Już po otwarciu świeżej sesji Gretla, bez wczytywaia daych, mamy dostęp do pewych arzędzi statystyczych. Tablice statystycze Gretl oprogramowae ma tablice ajważiejszych percetyli ajpowszechiej stosowaych rozkładów (ormalego stadardowego, t-studeta, chi, F-Sedecora oraz rozkładu statystyki Durbia-Watsoa). Aby sprawdzić wartość 9 percetyla rozkładu ormalego stadardowego ależy skorzystać z opcji Narzędzia Tablice statystycze, wybrać zakładkę z odpowiedim rozkładem i ustalić jego parametry (domyślie tablice otwierają się a rozkładzie stadardowym ormalym, który ie ma dodatkowych parametrów w aszym przypadku po prostu ustalimy prawdopodobieństwo (skoro szukamy 9 percetyla, to prawostroe prawdopodobieństwo musi wyosić,) i zatwierdzimy wybór klikając Zastosuj ). Odczytujemy, że 9 percetyl wyosi,8. ZADANIE Statystyka testowa t dla parametru β w liiowym modelu postaci: yi = µ + β xi + γ zi + αti + εi (gdzie ε to błędy losowe) szacowaym dla 35 obserwacji za pomocą MNK wyosi -,34. Czy zmiea x jest w modelu istota a 5% poziomie istotości? ZADANIE Wyzacz 99 percetyl rozkładu F-Sedecora o 3 i 45 stopiach swobody. Wyzaczaie wartości p W podoby sposób wyzacza się wartość p (p-value). Przypomijmy: Wartość p staowi prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju (błędu polegającego a odrzuceiu prawdziwej hipotezy zerowej). Zamiast więc przyjmować określoy poziom istotości (α ) i kokretie dla tego poziomu wyzaczać wartości krytycze do porówaia ich ze statystykami testowymi, często wygodiej jest wyzaczać dla tych statystyk właśie wartości p i iterpretować wyik a różych poziomach istotości. Co jest am potrzebe do wyzaczeia wartości p? Jeśli mamy obliczoą statystykę testową i zamy jej rozkład, to mamy wszystko, żeby wartość p wyzaczyć. Wartość ta powie am

2 jakie jest prawdopodobieństwo popełieia błędu przy odrzuceiu hipotezy zerowej pozwoli więc am podjąć decyzję odośie możliwości lub braku podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Przykładowo: wiemy już jaki jest 9 percetyl rozkładu ormalego stadardowego (,8). Gdyby jakaś statystyka testowa miała rozkład ormaly stadardowy oraz gdyby przyjęła wartość,8, to wartość ta odciać powia % ajwiększych wartości. Czyli dla jedostroego testu, prawdopodobieństwo trafieia w obszar krytyczy wyosić powiie %. To ostatie prawdopodobieństwo utożsamiae być może z prawdopodobieństwem błędu I rodzaju, a więc szukaą wartością p. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak będzie: w Narzędzia Wyzaczaie wartości p wybierzmy rozkład ormaly (domyślie) oraz odpowiedio wypełijmy pola. Czy wyik się zgadza z przewidywaiami? ZADANIE3 Dla oszacowań modelu z Zadaia wyzaczoo rówież statystykę t dla parametru γ. Wyiosła oa,95. Skometuj istotość zmieej z a różych poziomach istotości. Wykresy rozkładów Ta fukcja Gretla pozwoli szybko arysować wykres rozkładu teoretyczego o zadaych przez użytkowika parametrach. Testy parametrycze i ieparametrycze Ta fukcja Gretla służy zarówo do wykoywaia podstawowych testów statystyczych a daych zawartych w bieżącej sesji Gretla, jak i testów a daych posiadaych iestety tak jak większość jest póki co przyzwyczajoa (a z kolei iespecjalie ma to związek z rzeczywistymi sytuacjami) p. w formie zadań: Na próbie studetów zaobserwowao, że 38 z ich przyjechało a zajęcia samochodem. Czy wyik tej obserwacji pozwala przyjąć, że 5% studetów jeździ a zajęcia samochodem, czy jedak te odsetek jest miejszy? Jak byśmy rozwiązywali takie zadaie? Należałoby pewie postawić zestaw hipotez postaci: H : p = p, gdzie p jest testowaą wartością odsetka (u as p =,5) H : p < p Potem obliczyć statystykę testową ze wzoru: T = X p p q N(;) gdzie X jest ilością obserwacji z zaobserwowaą charakterystyką (u as X=38), to ilość wszystkich obserwacji (u as =), zaś q = p.

3 W aszym przypadku mamy: 38, 5 T = =,9596, 5 (, 5) Dalej, pamiętając, że ta statystyka ma rozkład ormaly stadardowy jesteśmy w staie wyzaczyć bądź to wartość krytyczą (i porówać ze statystyką, przyjmując jakiś poziom istotości α ), bądź wyzaczyć wartość p i iejako uiezależić się od poziomu istotości. Rzecz jasa pamiętać trzeba, że z uwagi a sformułowaie hipotez, test asz będzie miał jedostroy obszar krytyczy (kierukowa hipoteza alteratywa). Zajdźmy wartość p w Gretlu i ziterpretujmy ją. Prawdopodobieństwo popełieia błędu I rodzaju jest w rówe,5, więc przy założeiu 5% poziomu istotości są podstawy do odrzuceia hipotezy zerowej i stwierdzeia, że odsetek studetów jeżdżących a zajęcia samochodem jest miejszy iż 5%. Gretl byłby jedak specjalie przydatym arzędziem, jeśli jedyą jego pomocą w takim teście byłoby wyzaczeie wartości p. Jedak klikając Narzędzia Testy parametrycze, podobą aalizę możemy przeprowadzić automatyczie. Spróbujmy. W wyiku dostajemy: Czyli wyik jest taki sam, jak otrzymay ręczie. Oczywiście możliwości Gretla do przeprowadzaia podstawowych testów ie kończą się a teście dla struktury populacji. Mamy jeszcze do wyboru test dla średiej, dla wariacji oraz testy dla dwóch średich, wariacji oraz odsetków. Od iedawa moża rówież wykoywać w Gretlu iektóre testy ieparametrycze. Na końcu tych materiałów zestawioe są sposoby przeprowadzeia poszczególych testów.

4 Rzeczywiste dae Aalizę statystyczą częściej będziemy prowadzić a daych rzeczywistych. Niestety ta stroa Gretla moco kuleje w stosuku do aalogiczych możliwości iych pakietów do obróbki daych. Widać w tym miejscu ekoometrycze motywacje autorów, którzy do typowo statystyczych arzędzi ie przyłożyli wiele wagi. Tym iemiej, a upartego możemy w Gretlu zrobić wszystko (w ostateczości pisząc do tego własy skrypt), często jedak ie jest to tak proste, jak w iych programamach. Otwórzmy dae izyier. Są dae dotyczące zarobków początkowych oraz obecych wśród tajskich iżyierów. Po wczytaiu daych mamy dostępych więcej pozycji z meu Gretla. I tak, do wstępej obróbki statystyczej możemy wykorzystać opcję z meu Zmiea. Wykoa oa żądae operacje dla wszystkich aktualie podświetloych zmieych ze wczytaej bazy daych. Podświetlmy ajpierw zmieą wage. Jest to zmiea ilościowa, ma więc ses liczeie dla iej wszystkich statystyk oraz tworzeie wykresów częstości. Możemy rówież arysować histogram tej zmieej (wykres częstości). Dodatkowo korzystając z Widok Wykresy zmieych Wykres pudełkowy możemy arysować wykres pudełkowy dla wybraych zmieych. Następie podświetlmy zmieą plec i powtórzmy aalizę dla tej zmieej. Okazuje się, że wyiki statystyk opisowych, które dostajemy są iespecjalie łatwe do ziterpretowaia (co jest oczywiste, jeśli przypomimy sobie, że zmiea ta jest dyskreta). Niestety, rówież rozkład częstości i wykres częstości ie wyglądają specjalie zachęcająco łatwo sobie wyobrazić jak by moża je poprawić. Sposób prezetacji tej zmieej a wykresie (oraz sposobu prezetacji rozkładu częstości) możemy poprawić iformując Gretla, że zmiea plec jest dyskreta. Możemy to zrobić podświetlając tę zmieą i klikając Zmiea Edycja atrybutów (lub klikając prawym klawiszem myszy a tę zmieą i wybierając tę samą opcję). W pojawiającym się okie zazaczamy, że zmiea jest dyskreta. Jak zmieia to sposób prezetowaia wykresu częstości? /*UWAGA! Nowe wersje Gretla wydają się ie radzić sobie wystarczająco dobrze w tej kwestii..*/ Proszę klikąć teraz Narzędzia Testy parametrycze i zobaczyć co się zmieiło od wczytaia do Gretla daych rzeczywistych. Otóż mamy możliwość testowaia rzeczywistych zmieych. Przykładowo, żeby przetestować, czy moża powiedzieć, że średia miesięcza (aktuala) pesja rówa jest 35, wybierzemy Narzędzia Testy parametrycze, wybierzemy test dla średiej, zazaczymy, że chcemy testować zmieą z bazy wage i w polu H: średia= wpiszemy testowae 35. Nie zazaczymy opcji Odchyleie stadardowe jest wartością z populacji, bo ie zamy tej wartości w populacji zamy ją jedyie z próby. Jaki jest wyik tego testu? W podoby sposób wykorzystać możemy ie testy dzięki opcji Testów parametryczych i ieparametryczych.

5 Test a rówość dwóch średich dla grup iezależych Przypomieie: Postać statystyki testowej tego testu zależy od tego, czy wariacja aalizowaej zmieej jest w porówywaych grupach jedoroda (taka sama), czy ie. Jeśli ma miejsce jedorodość wariacji ( = ), to statystyka testowa przyjmuje postać: X X t = ~ t( + ) S( X ) + Jeśli jedak wariacja w porówywaych grupach jest róża ( wyzaczaa jest ze wzoru: ), to statystyka X X S S t t lss lss = ~ ( ) = ( + ) S ( X ) S ( X ) S + S + Tak jak powiedzieliśmy wcześiej: a upartego moża by przeprowadzić test dla podpopulacji aszej bazy daych. Powiedzmy, że chcemy odpowiedzieć a pytaie: czy rzeczywiście osoby z wykształceiem wyższym startują z wyższego pułapu iż osoby bez takiego wykształceia? Aby udzielić odpowiedzi, ależałoby przeprowadzić test a rówość średich początkowych stawek płacowych wśród osób z wykształceiem wyższym i bez iego. Jedak w bazie daych ie mamy osobych zmieych dla tych dwóch grup jest tylko jeda zmiea ( pocz_pe ), która zawiera iformacje dla jedej i drugiej grupy ie ma więc jak skorzystać z odpowiediego testu parametryczego. Poradzić sobie z tym problemem moża przez ręcze przeprowadzeie testu i późiejsze, pośredie użycie opcji Testy parametrycze. Żeby ręczie przeprowadzić test, ależy zać średie cechy w podpopulacjach (średie pocz_pe ), ich odchyleia stadardowe i liczebości podpopulacji. Ograiczmy więc próbę do podpopulacji i wyzaczmy iteresujące as statystyki. Jedą z metod wyzaczaia podpopulacji, jest ograiczaie próby przy użyciu zerojedykowych zmieych. Możemy w te sposób wyłowić z próby obserwacje, które przyjmują dla jakiejś zmieej zerojedykowej wartość. Mamy w próbie zmieą wykszt, która przyjmuje dla osób z wykształceiem wyższym i dla pozostałych. Wyciągijmy więc podpopulację osób z wykształceiem wyższym: Próba Zmiee - dla podpróby i wybieramy zmieą geerującą podpróbę ( wykszt ). Zajdźmy szukae statystyki dla osób z wykształceiem wyższym: (podświetlamy zmieą pocz_pe ) Zmiea Statystyki opisowe Otwórzmy odpowiedią iopcję Testów parametryczych i wpiszmy te wyiki. Musimy teraz to samo zrobić dla osób bez wykształceia wyższego. Najpierw: Próba Przywracaie pełego zakresu Nie mamy zmieej -, która przyjmowałaby wartość dla osób bez wykształceia wyższego. Możemy jedak skorzystać z: Próba Restrykcje dla podpróby i w pojawiającym się okie wpisać waruek: wykszt=

6 Iymi słowy, chcemy, żeby podpróbę staowiły osoby z wykszt=, a więc osoby bez wykształceia wyższego. (Proszę zwrócić uwagę, że aalogiczie moża było ograiczyć próbę dla osób z wykształceiem wyższym). Zowu geerujemy odpowiedie statystyki i kotyuujemy uzupełiaie odpowiedich pól w opcji Testy parametrycze. Przeprowadźmy test (oczywiście wcześiej musimy wykoać test a rówość wariacji) i ziterpretujmy wyiki. ZADANIE Sprawdź, czy ścieżka kariery zawodowej mężczyz jest dyamicziejsza iż kobiet (czy średie rocze podwyżki są rówe dla obydwu płci, czy może wyższe dla mężczyz). Testy ieparametrycze dla dwóch prób zależych Testami ieparametryczymi dla dwóch prób zależych, które dość powszechie stosuje się wtedy, gdy testowae zmiee są porządkowe, ale rówież gdy ie są spełioe ie założeia testów parametryczych jest test zaków oraz test ragowaych zaków Wilcoxoa. W zbiorze sample możemy, przykładowo, zastaawiać się, czy zmieiła się ocea partii polityczych pomiędzy siepiem, a wrześiem (zmiee soda8 i soda9 ozaczające odpowiedio ocea partii polityczych w sierpiu i ocea partii polityczych we wrześiu, zakodowae: - bardzo egatywie, - egatywie, 3- trudo powiedzieć, 4- pozywtywie, 5- bardzo pozytywie )? Oczywiście, a obydwa pytaia odpowiadali ci sami respodeci, więc aalizowae próby są w tym przypadku zależe. Dodatkowo zmiee, które badamy są zmieymi porządkowymi, co z miejsca dyskwalifikuje testy t. Przeprowadźmy, przykładowo test ragowaych zaków Wilcoxoa (hipoteza zerowa mówi, że statystyczie rzecz biorąc, różica pomiędzy ragą odpowiedzi jedostki w pierwszej i drugiej sytuacji jest ieodróżiala od zera). Niestety testy ieparametrycze ie są fukcją Gretla do końca dopracowaą zdarza się, że Gretl ie radzi sobie w iektórych sytuacjach z ich przeprowadzaiem (w tej sytuacji zalecam ostroże korzystaie z ich i w czasie czekaia a bardziej dopracowae wersje, korzystaie z iych pakietów do przeprowadzaia tych testów): ZADANIE (baza PGSS proba ) Czy moża powiedzieć, że społeczeństwo jest coraz szczęśliwsze (a bazie zmieych q95 i q96 )? Czy społeczeństwo przewiduje, że będzie szczęśliwsze w przyszłości ( q95, q97 )? [opis zmieych: zmiee q95, q96 i q97 ozaczają odpowiedio Poczucie szczęścia z obecego życia, Poczucie szczęścia z życia 5 lat temu i Przewidywae poczucie szczęścia z życia za 5 lat. Wszystkie zmiee zakodowae są w astępujący sposób: -bardzo szczęśliwy, -dość szczęśliwy, 3-iezbyt szczęśliwy, 4-ieszczęśliwy]. Test iezależości chi Test te pozwala sprawdzić, czy dwie zmiee dyskrete są od siebie zależe. (Czy płeć wpływa a preferecje spędzaia wolego czasu? Czy długość włosów ma związek z preferecjami muzyczymi? Czy miejsce zamieszkaia wpływa a rodzaj wykorzystywaego trasportu do miejsca pracy? Itd.)

7 Ogólie, wstępym sposobem prezetacji zmieych dyskretych jest tabela krzyżowa (tabela kotygecji). W aszej bazie daych mamy tylko dwie zmiee dyskrete wykszt i plec jedyym badaiem/testem, które moglibyśmy przeprowadzić to ustaleie czy płeć ma związek z tym, czy osoba ma wykształceie wyższe, czy ie. Nie wydaje się to bardzo iteresujące, zmieńmy więc bazę a przykładowy plik daych z Greee a, a kokretie a greee_. Są to (już kiedyś używae) dae o ilości romasów osób pozostających w związkach małżeńskich. Postawmy sobie a początek pytaie: czy istieje związek pomiędzy płcią, a ilością romasów? Pierwszym puktem aalizy powio być przedstawieie daych w postaci tabeli krzyżowej. Tabelę tę moża wywołać: Widok Tabela krzyżowa (Cross Tabulatio). UWAGA: W Maualu Gretla sugeruje się, żeby zmiee, dla których chcemy wykoać tabelę krzyżową, były dyskrete (trzeba zazaczyć odpowiedie pole w atrybutach tych zmieych). UWAGA: W starszych wersjach Gretla ie moża było wyklikać tabeli krzyżowej (ie było tej opcji w rozwijaych meu) ai wywołać jej z poziomu skryptu. Moża (a awet jest to zalecae) taką tablicę zbudować przy wykorzystaiu kosoli Gretla lub prostego skryptu (opcja dostępa od wersji Gretla.6.): ope greee_ discrete Y #dyskretyzacja zmieej Y discrete Z #dyskretyzacja zmieej Z xtab Y Z #komeda tworząca tabelę krzyżową Delikatie modyfikując te skrypt, możemy zażądać, żeby zamiast liczebości poszczególych komórek tabeli, Gretl podawał ich procetowy udział w wierszu (opcja -- row), kolumie (opcja --colum) lub procetowy udział komórki we wszystkich obserwacjach (opcja --row --colum). Przykładowo, żeby zamiast liczebości dostać procetowy udział poszczególych komórek w wierszach (czyli w poszczególych wartościach zmieej Y): ope greee_ discrete Y #dyskretyzacja zmieej Y discrete Z xtab Y Z --row Test iezależości chi wymaga dalej wyzaczeia oczekiwaych wartości każdej komórki, czyli takich wartości dla których kategorie wierszy rozkładałyby się proporcjoalie w kategoriach kolum (i odwrotie), czyli ie moża by powiedzieć, że wiersze zależą od kolum i odwrotie. Zdefiiujmy: - iech liczebość obserwowaa komórki stojącej w i-tym wierszu i j-tej kolumie to f ij. - iech f i + i f + j staowią odpowiedio sumę liczebości i-tego wiersza i j-tej kolumy - wartości oczekiwae ( e ij ) wyzaczae są z zależości eij = ( fi+ f+ j ) /, gdzie łącza ilość obserwacji Hipotezą zerową testu iezależości jest liczebość komórek zgoda z oczekiwaą, a więc iezależość zmieych. Statystyka testowa wyzaczaa jest ze wzoru:

8 r k ( f ) ij eij χ = χ (( r )( k )), gdzie r i k to odpowiedio ilość wierszy i kolum e i= j= ij tabeli krzyżowej. A więc statystyka testowa staowi sumę kwadratów odchyleń liczebości empiryczych od oczekiwaych przeskalowaych przez odwrotość liczebości oczekiwaej dla daej komórki. Wykoajmy raz jeszcze jede z powyższych skryptów, przy okazji których raportowaa jest wartość statystyki testowej oraz odpowiadająca jej wartość p. χ =,998 oraz wartość p =,7. Nie więc podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej i możemy przyjąć, że ilość romasów jest iezależa od płci. ZADANIE Czy osoby uważające się za bardziej szczęśliwe w małżeństwie pozwalają sobie a podobą liczbę romasów, jak osoby uważające że ie są w małżeństwie do końca szczęśliwe? ZADANIE Czy kobiety są bardziej religije od mężczyz? Korelacje W Gretlu możemy też wyzaczyć liiowe korelacje pomiędzy zmieymi. Podświetlając dowolie dużą liczbę zmieych (co ajmiej dwie) w wyiku dostajemy ich macierz korelacji (korelację każdej z każdą). Dodatkowo Gretl iformuje as które korelacje moża uzać za istote a 5% poziomie istotości. Wybierając Model Odpore estymatory Korelacja rag, możemy rówież wyzaczyć korelację rag Spearmaa wraz z jej istotością. ZADANIE3 Czy istieje (a jak tak, to jaka) zależość pomiędzy religijością ( Z5 ) i oceą własego małżeństwa ( Z8 ). Regresja prosta W zasadzie dopiero tutaj zaczya się użyteczość Gretla. Regresja prosta, to regresja jakiejś zmieej a stałej i jedej zmieej objaśiającej. Możemy przedstawić ją rówaiem: yi = β + βxi + εi i =,,..., według którego twierdzimy, że a zmieą y wpływa zmiea x oraz stała (zmiea y jest imi determiowaa). ε i jest błędem losowym modelu, a - ilością obserwacji Defiiując: y y Y = - wektor zawierający wartości zmieej objaśiaej, y

9 x x X = - macierz zawierająca wartości zmieych objaśiających, x jesteśmy w staie wyzaczyć estymator metody ajmiejszych kwadratów (takie oszacowaia iezaych β i β, la których wartości teoretycze produkowae przez model oraz wartości empirycze (zaobserwowae w próbie) czyli reszty dają ajmiejszą z możliwych sumę kwadratów). Defiiując: b β b = b - wektor oszacowań (estymatorów) iezaych parametrów β = β wyzaczamy go z zależości: b = ( X ' X ) X ' Y W przypadku regresji prostej wyzaczeie tego estymatora (estymatora MNK) jest stosukowo łatwe, dlatego, że: x x x i i X ' X = = x x x = x i i x = i= i x x i x i= i= i ( X ' X ) = x x i x i i i = ( i ) i= = y y y i= i x x x x i i y = i y X ' Y = = b = ( X ' X ) X ' Y = = x x x i x i y i= i= i= i b b i x i i x i i yi i= = = = ( i i ) Oczywiście w Gretlu (podobie jak we wszystkich iych pakietach) ie będziemy widzieć wszystkich tych przejść zobaczymy tylko ostateczy wyik, który będzie rozbudoway o statystyki poestymacyje stadardowo raportowae po oszacowaiu modelu. Model taki możemy wyklikać. Otwórzmy dae (z plików przykładowych Ramaathaa) data7_4. Powiedzmy, że iteresuje as wpływ procetu osób bezrobotych a ilość morderstw (dae dla poszczególych staów USA). Chcemy więc przeprowadzić astępującą regresję prostą: mr = β + β ue + ε i i i

10 Żeby oszacować taką regresję prostą, z meu Gretla wybieramy Model Klasycza metoda ajmiejszych kwadratów, w wyskakującym okie wybieramy zmieą zależą ( mr ilość morderstw) i zmiee iezależe ( cost stała jest wybraa domyślie, ue stopa bezrobocia musimy ją do modelu dodać). Proszę zwrócić uwagę, że Gretl stadardowo wyrzuca rówież sporą ilość statystyk poestymacyjych. Podobie możemy oszacować model przy użyciu poleceia skryptowego ols. Składia byłaby astępująca: ols mr cost ue co jest rówoważe użyciu umerów zmieych z bazy daych: ols 4

11 Przypomieie: podstawowe testy statystycze: WARTOŚĆ PRZECIĘTNA H:m=m H:m m H:m>m H:m<m DWIE WARTOŚCI PRZECIĘTNE H:m=m H:m m H:m>m H:m<m Waruki Sprawdzia hipotezy Wartość krytycza zae, <3 zae, >3 iezae, >3 (=S) iezae <3, zae <3 <3, zae >3 >3, iezae >3 >3, iezae <3 <3, = (Jeśli ie wiemy, czy = to ależy zweryfikować hipotezę o dwóch wariacjach H: = ) X m T = rozk:n(,) X m = S T lub X m T = S rozk. Studeta o - st. swo X X T = + () rozk: (,) ( ) S() ( ) S() () X X T + = S () + S () ( + +- st. swobody + ) rozk: Studeta o zb. dwustroy α Φ( t α ) = zb. jedostroy Φ(t α ) = α zb. dwustroy zb. jedostroy P (tα ) = α P ( t ) = α α zb. dwustroy α Φ( t α ) = zb. jedostroy Φ(tα ) = α zb. dwustroy zb. jedostroy P (tα ) = α P ( t ) = α α WSKAŹNIK STRUKTURY H:p=p H:p p T = X p p q rozk:n(,) zb. dwustroy α Φ( t α ) = zb. jedostroy Φ(tα ) = α DWA WSKAŹNIKI STRUKTURY H:p=p H:p p >, > X X = T = + p q X + X p = + rozk:n(,) zb. dwustroy α Φ( t α ) = zb. jedostroy Φ(t α ) = α q = p WARIANCJA H: = H: > (Zwykle prawostroy zbiór krytyczy) m zae <3 m iezae <3 m zae >3 m iezae >3 S χ = rozk χ z st swob S χ = rozk χ z - st swob S T = rozk: N(,) S T = 3 rozk: N(,) P ( χ > χα ) = α zb. dwustroy α Φ( t α ) = zb. jedostroy Φ(tα ) = α DWIE WARIANCJE H: = H: > Numerujemy tak aby S > ( ) S() S () F e = S() rozk: F-Sedecora r =( -) r =( -) stopi swobody P ( F > Fα ) = α Jeśli F e>f α- odrzucamy H