Słowniczek Hipoteza statystyczna Hipoteza parametryczna Hipoteza nieparametryczna Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna Błąd pierwszego rodzaju
|
|
- Michalina Kalinowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Słowiczek Hipoteza statystycza jakiekolwiek przypuszczeie dotyczące rozkładu populacji geeralej Hipoteza parametrycza hipoteza statystycza precyzująca wartość parametru w rozkładzie populacji geeralej zaego typu Hipoteza ieparametrycza hipoteza statystycza precyzująca typ rozkładu populacji geeralej Hipoteza zerowa podstawowa hipoteza statystycza sprawdzaa daym testem. Ozacza się ją zwykle symbolem H 0 Hipoteza alteratywa hipoteza statystycza kokurecyja w stosuku do hipotezy zerowej w tym sesie, że jeżeli odrzuca się hipotezę zerową, to przyjmuje się hipotezę alteratywą. Ozacza się ją H Błąd pierwszego rodzaju możliwy do popełieia przy weryfikacji hipotezy statystyczej błąd polegający a odrzuceiu testowaej hipotezy prawdziwej Błąd drugiego rodzaju możliwy do popełieia przy sprawdzaiu hipotezy statystyczej błąd polegający a przyjęciu testowaej hipotezy fałszywej Poziom istotości prawdopodobieństwo popełieia błędu pierwszego rodzaju w postępowaiu testującym hipotezę. Poziom istotości ozacza się zwykle symbolem i obiera się go z góry, zwykle jako małe prawdopodobieństwo. Najczęściej przyjmuje się rówe 0,, 0,05, 0,0 lub 0,00. Odrzuceie sprawdzaej hipotezy a poziomie istotości p. = 0,05 ozacza, że ryzyko popełieia błędu pierwszego rodzaju przy tej decyzji wyosi 5% (iaczej mówiąc: co ajwyżej 5 razy a 00 takich decyzji popełiać będziemy błąd) Test statystyczy reguła postępowaia, która a podstawie wyików próby ma doprowadzić do decyzji przyjęcia lub odrzuceia postawioej
2 hipotezy statystyczej. Za pomocą testu weryfikujemy zatem hipotezę statystyczą. Moc testu prawdopodobieństwo podjęcia decyzji prawidłowej przy weryfikacji hipotezy statystyczej daym testem, a polegającej a odrzuceiu testowaej hipotezy fałszywej Test istotości ajczęściej używay w praktyce statystyczej typ testu, pozwalający a odrzuceie hipotezy z małym ryzykiem popełieia błędu (mierzoym poziomem istotości ). Ze względu a to, że w teście istotości uwzględia się jedyie błąd pierwszego rodzaju, a ie rozpatruje się szasy popełieia błędu drugiego rodzaju, to w wyiku tego testu możliwa jest decyzja odrzuceia hipotezy zerowej lub ie ma podstaw do jej odrzuceia (co ie ozacza jej przyjęcia!) Parametryczy test istotości test istotości weryfikujący hipotezę zerową precyzującą wartość parametru w ustaloym typie rozkładu populacji geeralej Nieparametryczy test istotości test istotości dla hipotezy zerowej precyzującej ogóly typ, postać rozkładu populacji geeralej Obszar krytyczy testu wyjaśioe poiżej Obszar krytyczy testu dwustroy obszar krytyczy złożoy z dwu rozłączych podzbiorów, wyzaczoy ajczęściej symetryczie, w rozkładzie odpowiediej statystyki. Testu z dwustroym obszarem krytyczym używa się zwykle wtedy, gdy hipoteza alteratywa (parametrycza) jest w postaci ierówości typu Obszar krytyczy testu jedostroy w zależości od hipotezy alteratywej może być lewostroy lub prawostroy. Jest to obszar krytyczy złożoy z jedego podzbioru, wybraego z jedej stroy w rozkładzie odpowiediej statystyki. Testu z jedostroym obszarem
3 krytyczym używa się zwykle wtedy, gdy hipoteza alteratywa występuje w postaci ierówości typu < lub > Testowaie hipotez, etapy () w zależości od postaci hipotezy zerowej buduje się pewa statystykę Z z wyików -elemetowej próby () wyzacza się rozkład tej statystyki przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 (3) w rozkładzie tym wybiera się taki obszar Q wartości statystyki Z, by spełioa była rówość P Z Q gdzie jest ustaloym z góry, dowolie małym prawdopodobieństwem (4) obszar Q azywa się obszarem krytyczym testu, gdyż ilekroć wartość statystyki Z z próby zajdzie się w im, to podejmuje się decyzję o odrzuceiu hipotezy H 0 a korzyść jej alteratywy H (5) atomiast, gdy otrzymaa z kokretej próby wartość statystyki Z ie ależy do obszaru krytyczego, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0 (ależy wyraźie podkreślić, że ie jest to rówozacze z jej przyjęciem). Uzasadieie powyższych decyzji: obszar krytyczy Q jest tak wyzaczoy, że przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 prawdopodobieństwo otrzymaia z próby -elemetowej wartości statystyki Z ależącej do tego obszaru jest zae i jest bardzo małą liczbą. Takie zdarzeie losowe ie powio się więc zrealizować w jedym doświadczeiu. Jeżeli jedak aprawdę zrealizowało się, to musiało mieć większe prawdopodobieństwo iż to wyika z założeia prawdziwości hipotezy H 0, więc skłoi jesteśmy uzać hipotezę za 3
4 fałszywą i odrzucamy ją. Możemy pomylić się i odrzucić hipotezę, która w grucie rzeczy była prawdziwa (błąd pierwszego rodzaju), jedak prawdopodobieństwo takiej pomyłki jest bardzo małe, rówe obraej dowolie liczbie. Jeżeli atomiast wartość statystyki Z z próby -elemetowej zalazła się poza obszarem krytyczym, to prawdopodobieństwo tego zdarzeia, przy prawdziwości hipotezy H 0, jest rówe, co jest bliskie. Zaszło zatem zdarzeie, które powio przy prawdziwości hipotezy zajść, bo miało duże prawdopodobieństwo, więc ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0 Jako poziom istotości wybiera się ajczęściej w testach istotości liczby 0,, 0,05, 0,0, 0,00. Im miejszy przyjmie się poziom istotości w teście (czyli im miejsze dopuszcza się ryzyko popełieia błędu pierwszego rodzaju), tym trudiej jest hipotezę H 0 odrzucić (zwykle przyjmuje się = 0,05 a miejsze wartości stosuje się w wyjątkowo ważych badaiach, p. techiczych czy medyczych). Odrzuceie sprawdzaej hipotezy a poziomie istotości p. = 0,0 ozacza, że odrzucając tę hipotezę albo się ie mylimy (czyli hipoteza jest aprawdę fałszywa) albo też popełiamy błąd pierwszego rodzaju (czyli w grucie rzeczy, o czym ie wiemy, hipoteza jest prawdziwa) ale w tym ostatim przypadku częstość popełieia takiego błędu jest tylko a 00 przypadków stosowaia tego testu istotości. Podstawą budowy obszaru krytyczego dla daego testu istotości jest rozkład odpowiediej statystyki z próby, wyzaczay przy założeiu prawdziwości sprawdzaej hipotezy o parametrze populacji. Test dla wartości średiej populacji statystyką jest tutaj średia z próby x. 4
5 MODEL Populacja geerala ma rozkład ormaly N( m,), przy czym odchyleie stadardowe jest zae. Należy a podstawie wyików próby losowej - elemetowej sprawdzić hipotezę H 0 : m = m 0 (m 0 jest kokretą wartością hipotetyczą średiej) wobec hipotezy alteratywej H : m m 0. Test istotości dla hipotezy H 0 jest astępujący: Na podstawie wyików próby oblicz wartość statystyki x a astępie wartość zmieej ormalej stadaryzowaej U według wzoru x m0 u Z tablicy rozkładu N(0,) wyzacz taką wartość krytyczą u /, by dla założoego z góry małego prawdopodobieństwa (poziomu istotości) zachodziła rówość P U u / (u) / / Q -u / Q u u / Zbiór wartości U określoy ierówością u u / jest obszarem krytyczym tego testu, tz. gdy z próby otrzymamy taką wartość u, że u / u, to hipotezę H 0 odrzucamy. Gdy u u /, to ie ma wtedy podstaw do odrzuceia hipotezy H 0 5
6 UWAGA Powyższy test z tzw. dwustroym obszarem krytyczym stosuj jedyie dla takiego przypadku hipotezy alteratywej, w której występuje ierówość m m 0. Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : m < m 0 to stosuj test istotości z tzw. lewostroym obszarem krytyczym określoym ierówością U u zachodziła rówość P U u. Wtedy wartość u wyzacz tak, by Dla hipotezy alteratywej postaci: H : m > m 0 Stosuj test istotości z prawostroym obszarem krytyczym określoym ierówością U u zachodziła rówość P U u. Wtedy wartość u wyzacz z rozkładu N(0,) tak, by. Hipotezę H 0 odrzucasz dla takiego przypadku hipotezy H tylko wtedy, gdy wyzaczoa z próby wartość u spełia ierówość u u. 6
7 MODEL Populacja geerala ma rozkład ormaly N( m,), przy czym odchyleie stadardowe jest iezae. Należy a podstawie wyików próby losowej -elemetowej sprawdzić hipotezę H 0 : m = m 0 (m 0 jest kokretą wartością hipotetyczą średiej) wobec hipotezy alteratywej H : m m 0. Test istotości dla hipotezy H 0 jest astępujący: Na podstawie wyików próby oblicz wartość x oraz s lub s ~ a astępie wartość statystyki t według jedego ze wzorów gdzie x m x m t 0 s ~ s 0 s i ( x i x) ~ s i ( x i x) Statystyka t ma przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 rozkład t Studeta o - stopiach swobody. Z tablicy tego rozkładu, dla ustaloego poziomu istotości i dla - stopi swobody, odczytaj taką wartość t, że t t P. Nierówość t t określa obszar krytyczy (dwustroy) w tym teście. Wystarczy więc porówać obliczoą z próby wartość zmieej t z wartością krytyczą t, odczytaą z tablic rozkładu Studeta. Jeżeli zajdzie ierówość 7 t t, to hipotezę H 0 ależy odrzucić a korzyść hipotezy H, atomiast gdy zajdzie ierówość przeciwa t t, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. UWAGA Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : m < m 0 to stosuj test istotości z lewostroym obszarem krytyczym, tj. wyzaczoym tak, by P t t t t. Natomiast gdy hipoteza alteratywa ma postać H : m > m 0 to stosuj w tym teście obszar krytyczy
8 pawostroy określoy ierówością t t sposób, by zachodziła ierówość P t t., przy czym t wyzacz w taki MODEL 3 Populacja geerala ma rozkład ormaly N( m,) lub dowoly iy rozkład o średiej wartości m i o skończoej, ale iezaej wartości wariacji. Na podstawie wyików dużej próby losowej ( co ajmiej rzędu kilku dziesiątków) z tej populacji ależy zweryfikować hipotezę H 0 : m = m 0,wobec hipotezy alteratywej H : m m 0. Test istotości dla tej hipotezy jest aalogiczy jak w MODEL, tz. jest testem U, z tą różicą, że zamiast wartości przyjmuje się wyzaczoą z dużej próby wartość s. ZADANIE Pewie automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o omialej wadze 50 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowaych tabliczek jest ormaly N(m,5). Kotrola techicza pobrała próbę losową 6 tabliczek czekolady i otrzymała ich średią wagę 44 g. Czy moża twierdzić, że automat rozregulował się i produkuje tabliczki czekolady o miejszej iż przewiduje orma wadze? Na poziomie istotości = 0,05 zweryfikuj odpowiedią hipotezę statystyczą. ZADANIE. W szpitalu wylosowao iezależie spośród pacjetów chorych a pewą chorobę próbę 6 chorych i otrzymao dla ich średią ciśieia tęticzego krwi 35 x oraz s = 45. Należy a poziomie istotości = 0,05 zweryfikować hipotezę, że pacjeci pochodzą z populacji o średim ciśieiu tęticzym 0. 8
9 ZADANIE 3 Miesięcze dodatkowe dochody studetów Politechiki Opolskiej w zbadaej grupie 0 wylosowaych studetów były astępujące [w zł] Dochody Liczba studetów Na poziomie istotości = 0,0 zweryfikuj hipotezę, że średi dochód studetów tej uczeli wyosi 500 zł. Test dla dwóch średich W praktyczych zastosowaiach statystyki zachodzi bardzo często potrzeba sprawdzeia hipotez dotyczących rówości wartości średich w dwóch populacjach ormalych, p. przy porówaiu populacji zdrowych z populacją chorych. W zależości od posiadaych iformacji o porówywaych populacjach wyróżiamy trzy modele. W każdym z ich weryfikujemy hipotezę H 0 : m = m czyli m m = 0, gdzie m i m ozaczają wartości średie odpowiedio pierwszej i drugiej populacji geeralej. Postać hipotezy alteratywej H decyduje o wyborze jedostroego lub dwustroego obszaru krytyczego. MODEL Badamy dwie populacje geerale mające rozkłady ormale N(m, ) i N(m, ). Odchyleia stadardowe i tych populacji są zae. W oparciu o wyiki dwu iezależych prób, odpowiedio o liczebości i, 9
10 wylosowaych z tych populacji ależy sprawdzić hipotezę H 0 : m = m wobec hipotezy alteratywej H : m m Test istotości dla hipotezy H 0 buduje się w astępujący sposób: Z wyików prób wylosowaych z tych populacji oblicz wartości średie x i x a astępie wartość statystyki U według wzoru Statystyka ta przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład N(0,). Z tablicy rozkładu ormalego N(0,) wyzacz dla przyjętego z góry poziomu istotości taką wartość krytyczą u / by spełioa była rówość P U u /. Nierówość w awiasie powyższego wzoru określa dwustroy obszar krytyczy testu, czyli gdy przy porówaiu wartości u wyzaczoej ze wzoru z wartością u / odczytaą z tablicy zajdzie ierówość u u /, to sprawdzaą hipotezę H 0 odrzucasz a korzyść jej alteratywy H. Gdy zaś otrzymasz ierówość przeciwą, tj. u / u, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. UWAGA Dla hipotezy alteratywej H : m < m stosujemy test istotości z jedostroym obszarem krytyczym U u. Wartość krytyczą u odczytuje się wtedy z tablicy rozkładu N(0,) tak, by P U u. Natomiast dla hipotezy alteratywej H : m > m stosujesz test z prawostroym obszarem krytyczym U u. Wartość krytyczą u odczytuje się wtedy z tablicy rozkładu N(0,) tak, by zachodziło P U u. u x x MODEL Badamy dwie populacje geerale mające rozkłady ormale N(m, ) i N(m, ), przy czym odchyleia stadardowe i tych populacji są 0
11 iezae ale jedakowe, tz. zachodzi =. Na podstawie wyików dwu małych prób odpowiedio o liczebościach i, wylosowaych iezależie z tych populacji, ależy zweryfikować hipotezę H 0 : m = m wobec hipotezy alteratywej H : m m Test istotości dla hipotezy H 0 buduje się w astępujący sposób: Z wyików obu prób oblicz wartości średie x i x oraz wariacje s, a astępie wartość statystyki t według wzoru s i Statystyka ta przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład t Studeta o + - stopiach swobody. Z tablicy rozkładu t Studeta odczytaj dla + - stopi swobody oraz dla przyjętego z góry poziomu istotości taką wartość krytyczą t by spełioa była rówość t t P. Nierówość t t określa dwustroy obszar krytyczy testu, tz. gdy porówując obliczoą wartość t z wartością krytyczą t otrzymujesz ierówość t t, to sprawdzaą hipotezę H 0 odrzucasz a korzyść jej alteratywy H. Gdy zaś otrzymamy ierówość przeciwą, tj. t t, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. UWAGA Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : m < m, wtedy stosujemy w tym teście lewostroy obszar krytyczy wyzaczoy ierówością t t, gdzie wartość krytycza t jest wtedy odczytaa z tablicy rozkładu t Studeta w taki sposób, by spełioa była rówość t t P. Natomiast dla hipotezy alteratywej postaci H : m > m stosujemy w tym teście prawostroy obszar krytyczy wyzaczoy ierówością t t wartość krytycza t odczytaa jest z tablicy tak, by zachodziła rówość t t P. t x x s s, gdzie
12 Należy admieić, że MODEL jest ze względu a małe próby ajczęściej stosoway w statystyczej aalizie wyików eksperymetów aukowych z różych dziedzi wiedzy. Nie wymaga się przy tym jedakowo liczych prób. UWAGA Czasem w praktyce zdarza się, że wyiki obu prób możemy traktować jako wyiki pomiarów a tym samym elemecie populacji. Jest tak wtedy gdy staowią oe pary przyporządkowaych sobie liczb. Typową sytuacją jest tu model: wyik x i przed jakąś operacją a wyik y i po iej dla tego samego i. Należy wtedy aalizować wyiki obu prób jako wyiki jedej próby biorąc różice y i x i, a zamiast testu zamieszczoego w MODELU użyć testu dla pojedyczej średiej (też MODEL ), opisaego wcześiej. Stosujemy wtedy astępujący wzór a wartość statystyki t Studeta z t s z Gdzie z i = y i x i, a jest liczbą par. Zamiast hipotezy H 0 : m = m, weryfikujemy wtedy hipotezę H 0 : Z 0, gdzie Z ozacza średią w populacji różic. MODEL 3 Badamy dwie populacje mające rozkłady ormale lub ie, byle o skończoych wariacjach i, które są iezae. Na podstawie wyików dwu dużych prób ( oraz są rzędu co ajmiej kilku dziesiątków) wylosowaych z obu populacji ależy sprawdzić hipotezę H 0 : m = m wobec hipotezy alteratywej H : m m Test istotości dla tej hipotezy jest aalogiczy jak w MODEL, tz. jest oparty a rozkładzie ormalym N(0,), z tą jedyie różicą, że przy obliczaiu wartości u zamiast iezaych wariacji i przyjmuje się wartości s i s wyzaczoe z dużych prób.
13 ZADANIE 4 Chcemy stwierdzić, czy zatrudioe a tych samych staowiskach kobiety otrzymują przeciętie iższą płacę iż mężczyźi. Z populacji kobiet zatrudioych a określoych staowiskach losujemy iezależie próbę = 00 kobiet i otrzymujemy z iej średią płacę x = 80 zł oraz wariację płac s = Z populacji mężczyz zatrudioych a tych samych staowiskach losujemy iezależie = 80 mężczyz i otrzymujemy dla ich średią płacę x = 80 oraz wariację s = Na poziomie istotości = 0,0 sprawdzamy hipotezę, że średie płace kobiet są iższe. ZADANIE 5 Wysuięto hipotezę, że czas potrzeby a wykoaie pewego eksperymetu moża zmiejszyć przez zastosowaie owego typu pipet. Przy iezmieioych iych warukach zmierzoo czasy wykoaia tego eksperymetu dla owego i starego typu pipet i otrzymao dla owej pipety czasy (w miutach): 5,, 0, 8, 4, 5, 3 a dla starej pipety: 7,,, 8, 9, 3, 4, 6. Zweryfikuj wysuiętą hipotezę a poziomie istotości = 0,05. ZADANIE 6 Zbadao 40 liści jedego gatuku A oraz 35 liści iego gatuku B dębu i otrzymao dae o liczbie erwów boczych a liściach, zestawioe w poiższej tabeli. Liczba erwów boczych a liściach gatuku A Liczba liści gatuku B
14 Przyjmując poziom istotości = 0,0 sprawdzić hipotezę, że liście dębu gatuku A maja przeciętie więcej erwów boczych iż liście dębu gatuku B. Test dla procetu (wskaźika struktury) W badaiu statystyczym prowadzoym ze względu a cechę iemierzalą (jakościową) zachodzi czasem koieczość sprawdzeia hipotezy o wartości wskaźika struktury populacji, tj. frakcji elemetów wyróżioych w populacji (lub po pomożeiu przez 00 procetu). Wskaźik struktury p populacji geeralej może przyjąć wartość z przedziału (0,). Omówimy test dla wskąźika p dla przypadku dużej próby, tz. gdy możemy budować obszar krytyczy w oparciu o rozkład ormaly. MODEL Frakcja elemetów wyróżioych w populacji jest rówa p. Z populacji tej wylosowao iezależie do próby dużą liczbę elemetów populacji ( > 00). W oparciu o wyiki tej próby, ależy zweryfikować hipotezę H 0 : p = p 0 wobec hipotezy alteratywej H : p p 0, gdzie p 0 jest hipotetyczą wartością parametru p. Test istotości dla hipotezy H 0 buduje się w astępujący sposób: Oblicz wskaźik struktury z próby m/, gdzie m jest liczbą elemetów wyróżioych zalezioą w próbie. Następie oblicz wartość statystyki m p0 u p ( 0 p0) Statystyka ta ma przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 rozkład asymptotyczie ormaly N(0,). Z tablicy rozkładu ormalego N(0,)
15 wyzacz astępie taką krytyczą wartość u / by spełioa była rówość P U u /. Nierówość w awiasie powyższego wzoru określa dwustroy obszar krytyczy testu, czyli gdy przy porówaiu wartości u wyzaczoej ze wzoru z wartością u / odczytaą z tablicy zajdzie ierówość u u /, to sprawdzaą hipotezę H 0 odrzucasz a korzyść jej alteratywy H. Gdy zaś otrzymasz ierówość przeciwą, tj. u / u, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. UWAGA Dla hipotezy alteratywej postaci H : p < p 0 obszar krytyczy buduje się lewostroie, tz. taka wartość u jest wartością krytyczą, że P U u U u. Obszar krytyczy jest wtedy określoy przez ierówość. Wartość u jest wtedy oczywiście ujema. Natomiast dla hipotezy alteratywej H : p > p 0 obszar krytyczy w tym teście buduje się prawostroie, tz. jest o określoy ierówością U u. Wartość krytyczą u odczytuje się wtedy z tablicy rozkładu N(0,) w taki sposób, by spełioa była rówość P U u. ZADANIE 7 Wysuięto hipotezę, że wadliwość produkcji pewego podzespołu w aparatach radiowych wyosi 0%. W celu sprawdzeia tej hipotezy wylosowao iezależie próbę 00 podzespołów i otrzymao w iej 5 podzespołów wadliwych. Na poziomie istotości = 0,05 zweryfikuj tę hipotezę. Test dla dwóch procetów (wskaźików struktury) Badając dwie populacje geerale ze względu a cechę iemierzalą musimy często sprawdzić hipotezę, że frakcje elemetów wyróżioych (wskaźiki struktur lub procety) są w obu populacjach takie same. Test poday poiżej pozwala a zweryfikowaie tej hipotezy w oparciu o wyiki dwu dużych rób. 5
16 Korzysta się przy tym z asymptotyczego rozkładu ormalego odpowiediej statystyki MODEL Dae są dwie populacje geerale, w których frakcje elemetów wyróżioych są rówe odpowiedio p i p. Na podstawie dwu dużych prób o liczebościach odpowiedio i ( i większe od 00) ależy sprawdzić hipotezę, że parametry p i p są jedakowe, tz. H 0 : p = p wobec hipotezy alteratywej H : p p Test istotości dla hipotezy H 0 buduje się w astępujący sposób: Z obu prób o liczebościach i wyzacz odpowiedie liczby m i m elemetów wyróżioych w tych próbach. Następie według wzoru m m p oblicz wartość średiego wskaźika struktury z obu prób p oraz według wzoru wartość pseudo-liczebości próby. Oblicz wartość statystyki m m u p( p) m / i m / są wskaźikami struktury uzyskaymi z obu prób. Powyższa statystyka ma przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 rozkład asymptotyczy N(0,). Z tablicy rozkładu ormalego N(0,) odczytaj astępie taką krytyczą wartość u /, dla daego z góry poziomu istotości, aby P U u /. Jeśli z porówaia u z wartością krytyczą u / otrzymasz ierówość u u /, to zalazłeś się w dwustroym obszarze krytyczym, zatem hipotezę H 0 odrzucasz a 6
17 korzyść jej alteratywy H. Gdy zaś otrzymasz ierówość przeciwą, tj. u / u, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. UWAGA Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : p < p stosoway jest lewostroy obszar krytyczy, tz. krytyczą wartość u odczytuje się z tablic tak, by P U u. Gdy atomiast hipoteza alteratywa ma postać H : p > p stosoway jest w tym teście prawostroy obszar krytyczy, tz. wartość krytyczą u odczytuje się z tablic tak, by P U u. ZADANIE 8 W celu sprawdzeia czy zachorowalość a gruźlicę jest taka sama w mieście jak i a wsi, pobrao w pewym województwie z ludości wiejskiej i miejskiej dwie losowe próby. Z ludości miejskiej wylosowao = 00 osób i otrzymao m = 40 chorych a gruźlicę a z ludości wiejskiej wylosowao = 500 osób i otrzymao m = 00 osób chorych. Przyjmując poziom ufości = 0,05 zweryfikuj hipotezę o jedakowym procecie chorych a gruźlicę w mieście i a wsi w tym województwie. Test dla dwóch wariacji W przypadku gdy badaie statystycze ze względu a pewą cech mierzalą prowadzimy w dwóch populacjach, może zajść potrzeba sprawdzeia hipotezy o jedakowym stopiu rozproszeia wartości badae cechy w obu populacjach. Gdy populacje mają rozkłady ormale, możemy tę hipotezę łatwo sprawdzić podaym poiżej prostym testem istotości (ajczęściej test te służy do sprawdzeia rówości wariacji w dwu populacjach, których średie chcemy porówać, MODEL w pukcie Test dla dwóch średich). Rozkładem, którym będziemy posługiwać się w omawiaym teście jest rozkład F Sedecora. Ze względu a to, że dostępe tablice tego rozkładu zostały sporządzoe tak, iż podają taką wartość F, dla której zachodzi rówość P F F, w omawiaym teście obszar krytyczy jest 7
18 prawostroy. Dlatego ozaczeia populacji umerami i ależy tak przyjąć, aby w ilorazie dwu wariacji z prób liczik był zawsze większy od miaowika. Przy odczytywaiu z rozkładu F Sedecora wartości krytyczej F dla tego testu ależy pamiętać, że występują w im dwa rodzaje stopi swobody - liczika () i miaowika (). W omawiaym teście wygodiej jest użyć statystyki ~ s. MODEL Dae są dwie populacje geerale mające odpowiedio rozkłady ormale N(m, ) i N(m, ), gdzie parametry tych rozkładów są iezae. Z populacji tych wylosowao iezależie dwie próby o liczebości odpowiedio i elemetów. Na podstawie wyików tych prób ależy sprawdzić hipotezę H 0 : =, wobec hipotezy alteratywej H : Test istotości dla hipotezy H 0 buduje się w astępujący sposób: Z obu prób wyzacz wartości wyzacz wartość statystyki F ~ s i ~ s, przy czym ~ s F ~ s ~ s ~ s. Następie Statystyka ta przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład F Sedecora z - i - stopiami swobody. Następie dla ustaloego z góry poziomu istotości odczytaj z tablicy rozkładu F Sedecora wartość krytyczą F, tak by spełioa była rówość P F F. 8
19 Nierówość F F określa obszar krytyczy w tym teście, tz. gdy z porówaia wartości obliczoej F i krytyczej F otrzymamy tę ierówość, hipotezę H 0 o rówości wariacji w populacjach ależy odrzuć a korzyść hipotezy alteratywej H mówiącej, że wariacja w populacji przyjętej umowie jako pierwsza jest większa. Gdy atomiast otrzymasz ierówość hipotezy H 0. F F, to ie ma podstaw do odrzuceia ZADANIE 9 Przed zastosowaiem testu t Studeta dla hipotezy, że średie zarobki pracowików zatrudioych a tych samych staowiskach roboczych w dwu różych fabrykach są jedakowe, ależy sprawdzić założeie tego testu, że wariacje zarobków w obu fabrykach są idetycze. Z jedej fabryki wylosowao w tym celu iezależie 6 pracowików i otrzymao z tej próby wariację ~ s = 500 zł. Natomiast z drugiej fabryki wylosowao pracowików do próby i otrzymao z iej ~ s = zł, Moża przyjąć, że rozkłady zarobków w obu fabrykach są ormale. Na poziomie istotości = 0,05 ależy sprawdzić hipotezę, że wariacje zarobków badaych pracowików są takie same w obu fabrykach. Test ANOVA (KLASYFIKACJA POJEDYNCZA) DLA WIELU ŚREDNICH Testy aalizy wariacji pozwalają a sprawdzeie, czy pewe czyiki, które moża dowolie regulować w toku eksperymetu, wywierają wpływ, a jeśli tak, to jak wielki, a kształtowaie się średich wartości badaych cech mierzalych. Istotą aalizy wariacji jest rozbicie a addytywe składiki (których liczba wyika z potrzeb eksperymetu) sumy kwadratów wariacji całego zbioru wyików. Porówaie poszczególej wariacji wyikającej z 9
20 działaia daego czyika oraz tzw. wariacji resztowej, czyli wariacji mierzącej losowy błąd (które to porówaie odbywa się przez zastosowaie testu F Sedecora) daje odpowiedź, czy day czyik odgrywa istotą rolę w kształtowaiu się wyików eksperymetu. Omówimy prosty przypadek aalizy wariacji w tzw. klasyfikacji pojedyczej. Sumę kwadratów wariacji ogólej rozbija się tu jedyie a dwa składiki mierzące zmieość między grupami (populacjami) i wewątrz grup. Porówując testem F wariację między grupami z wariacją wewętrzą grup rozstrzygamy, czy średie grupowe różią się istotie od siebie czy ie. Jeżeli podział a grupy przebiegał p. ze względu a róże poziomy badaego czyika, to moża w te sposób wykryć wpływ poziomu a efekt wartości badaej cechy. Test aalizy wariacji zwykle przeprowadza się według określoego schematu, ujętego w postaci tzw. tablicy aalizy wariacji, mającej różą liczbę wierszy w zależości od kokretego schematu, ale kolumy zawsze astępujące: źródło zmieości suma kwadratów stopie swobody wariacja test F Do tabelki tej wpisuje się odpowiedie dae liczbowe obliczoe z wyików próby. Dzieląc odpowiedią sumę kwadratów przez stopie swobody otrzymujemy pewe ocey wariacji, które porówujemy testem F z wariacją resztową a przyjętym poziomie istotości. Jeżeli daego czyika jest istoty. F F, to efekt MODEL Daych jest k populacji o rozkładzie ormalym N(m i, i ) (i =,,...,k) lub o rozkładzie zbliżoym do ormalego. Zakłada się przy tym, że wariacje wszystkich k populacji są rówe, tz. = =...= k = (lecz ie muszą być zae). Z każdej z tych populacji wylosowao iezależie próby o 0
21 liczebości i elemetów. Wyiki prób ozaczoe są przez x ij (i =,,...,k, j =,,..., i ) przy czym x ij = m i + ij, gdzie ij jest składikiem losowym, mającym rozkład N(0,). Na podstawie wyików x ij ależy zweryfikować hipotezę H 0 : m = m =... = m k wobec hipotezy alteratywej H : ie wszystkie średie badaych populacji są rówe. Test istotości (aalizy wariacji) dla tej hipotezy jest astępujący. Z wyików poszczególych prób oblicz średie grupowe x i i średią ogólą x : i xi xij dla i,,...,k i j x k i i j x ij gdzie k i i Następie oblicz odpowiedie sumy kwadratów i wypełij wartościami liczbowymi astępującą tablicę aalizy wariacji; występująca w iej statystyka F ma przy założeiu prawdziwości hipotezy H 0 rozkład F Sedecora o k- i -k stopiach swobody: źródło zmieości między populacja mi (grupami) wewątrz grup (składik losowy) suma kwadratów k i k stopie swobody ( x x) k - i i j i i ( x x ) - k ij i wariacja test F ~ s ~ s F ~ s ~ s
22 Obliczoą w tablicy aalizy wariacji wartość F porówaj z wartością krytyczą F. odczytaą z tablicy rozkładu F Sedecora dla ustaloego z góry poziomu istotości i dla odpowiediej liczby k - oraz - k stopi swobody. Spełioa ma być przy tym rówość P F F wyiku porówaia otrzymasz ierówość F F. Jeżeli w, to hipotezę H 0 o rówości średich w badaych populacjach ależy odrzucić. Natomiast gdy F F, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Gdy F <, to bez porówywaia z F ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H 0. Odrzuceie hipotezy H 0 ozacza udowodieie istotego wpływu podziału a te populacje. W przeciwym przypadku, wszystkie grupy (populacje) moża uzać za rówoważe z puktu widzeia otrzymywaych wartości badaej cechy. ZADANIE 0 Koszty materiałowe pewego wyrobu, który moża produkować trzema różymi metodami, mają rozkład ormaly o jedakowej wariacji dla każdej z tych metod. Wylosowae sztuki tego wyrobu dały astępujące koszty materiałowe dla poszczególych metod produkcji (w zł): Metoda A B C
23 Na poziomie istotości = 0,05 ależy zweryfikować hipotezę, że średie koszty materiałowe są jedakowe dla wszystkich trzech metod produkcji tego wyrobu. 3
1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoPorównanie dwu populacji
Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 :
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoSIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY
SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowotest dla średniej rozkładu normalnego moc testu test dla wariancji rozkładu normalnego test dla rozkładu dwumianowego, Poissona
/9/7 Biostatystyka, 6/7 dla Fizyki Medyczej, studia magisterskie test dla średiej rozkładu ormalego moc testu test dla wariacji rozkładu ormalego test dla rozkładu dwumiaowego, Poissoa Estymacja przedziałowa
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoStatystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych.
Statystyka w rozumieiu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaiu, prezetacji, aalizie daych. Celem geeralym stosowaia tych metod, jest otrzymywaie, a podstawie daych, użyteczych uogólioych iformacji
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja rzedziałowa - rzedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej arametrami ( x, s, s ). SłuŜą oe do ocey wartości iezaych arametrów oulacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami uktowymi iezaych
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoWykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu
Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji
Bardziej szczegółowoµ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0
7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowo8. WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH DWA RODZAJE TESTÓW STATYSTYCZNYCH: PARAMETRYCZNE I ZGODNOŚCI
Weryfikacja hipotez statystyczych 8 95 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH DWA RODZAJE TESTÓW STATYSTYCZNYCH: PARAMETRYCZNE I ZGODNOŚCI 81 Rodzaje testów oraz etapy badań statystyczych Badaie iteresującej
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoStatystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowo8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk
Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona)
Wykład 7 Dwie iezależe próby Częto porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekartwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekartwa Mężczyźi a kobiety Dwie
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowoPodstawowe testy statystyczne i analiza zależności zjawisk
Podstawowe testy statystycze i aaliza zależości zjawisk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE Hipotezy statystycze Hipoteza statystycza dowole przypuszczeie dotyczące rozkładu lub jego parametrów Hipoteza parametrycza
Bardziej szczegółowo