Metoda Monte Carlo. Rafał Kucharski. Szkoła Letnia Matematyki Finansowej, Tarnów 2012

Transkrypt

1 Metoda Monte Carlo Rafał Kucharski Szkoła Letnia Matematyki Finansowej, Tarnów 2012

2 John was assisted by Henry, a foreign quant whose English was incomprehensable, but who was believed to be at least equally competent in risk-management methods. John knew no math, he relied on Henry. (... ) Henry was a graduate student in Operations Research when John hired him. His specialty was a field called Computational Finance, which, as its name indicates, seems to focus solely on running computer programs overnight. Henry s income went from $50,000 to $600,000 in three years. Nassim Nicholas Taleb, Fooled by Randomness

3 Zaczynamy od prostej funkcji... f(x) = 4 x (1 x)

4 Iterujemy... x 0 = 0.1, x n+1 = f(x n ), n = 1,...,

5 Ciąg deterministyczny zachowuje się jak losowy! Histogram (arcus sinus)

6 Generowanie liczb losowych liczby prawdziwie losowe (true random numbers) liczby pseudo-losowe (pseudo-random numbers) liczby quasi-losowe (quasi-random numbers)

7 Liczby prawdziwie losowe: rzut monetą, rzut kostką, koło ruletki, zachowanie człowieka lub jego efekty: ruchy myszką komputerową, kliknięcia na klawiaturze, ruch głowic twardego dysku, zjawiska fizyczne których nieprzewidywalność sięga praw mechaniki kwantowej: rozkład radioaktywny, szum termiczny, szum radiowy zdjęcia chmur, Lava lamps

8 Liczby quasi-losowe: quasi-random numbers, low discrepancy numbers) regularne nielosowość widoczna gołym okiem, bardziej równomierne niż ciągi pseudolosowe, dają mniejszy błąd lepsze tempo zbieżności, najbardziej popularne: ciągi Haltona, ciągi Sobola, metoda Quasi-Monte Carlo.

9 Halton Sobol

10 Liczby pseduo-losowe Własności generatorów liczb pseudolosowych (RNG random number generators) okresowość (pełny okres daje rozkład jednostajny), odtwarzalność, powtarzalność (reproducibility), szybkość, przenośność (portability), losowość.

11 Generator liniowy kongruencyjny: Ustalamy liczbę całkowitą M (duża, najlepiej pierwsza, np ). Wybieramy a, b {0, 1,..., M 1}. Wybieramy ziarno x 0 {0, 1,..., M 1}. x i = (ax i 1 + b) mod M, i = 1, 2,... U i = x i /M [0, 1]. Inne popularne generatory: Fibonacciego: x n := x n 1 + x n 2 (mod m), multiple recursive generators: x n := a 1 x n a k x n k (mod m), bitowe (w tym feedback shift registers), inwersyjne: x n := ax 1 n 1 + b. Zobacz w R:?RNG

12 Fakt. Niech F będzie dystrybuantą ciągłą i ściśle rosnącą. Jeśli U U[0, 1], to F 1 (U) jest zmienną losową o dystrybuancie F. P (F 1 (U) x) = P (F (F 1 (U)) F (x)) = P (U F (x)) = F (x), x R. Definicja. Dla dowolnej dystrybuanty F : R [0, 1] uogólniona funkcja odwrotna F : [0, 1] [, ] dana jest wzorem F (u) = inf{x : F (x) u}. Fakt. Niech F będzie dowolną dystrybuantą. Jeśli U U[0, 1], to F (U) jest zmienną losową o dystrybuancie F. Wniosek: Wystarcza nam generowanie liczb o rozkładzie jednostajnym.

13 Zadanie. Wygeneruj liczby o poniższych rozkładach za pomocą transformacji odwrotnej z rozkładu jednostajnego. rozkład Cauchy ego: F (x) = π arc tg(x), rozkład wykładniczy: F (x) = 1 exp( x), x 0, rozkład arcusa sinusa: F (x) = 2 π arc sin( x), 0 x 1, (czas w jakim proces Wienera osiąga maksimum na przedziale [0, 1]), rozkład Rayleigh a: F (x) = 1 e 2x(x b), x b, (maksimum procesu Wienera na [0, 1] pod warunkiem W 1 = b),

14 Rozkłady dyskretne: Chcemy wygenerować zmienną X o rozkładzie P skupionym na zbiorze N, Wyznaczamy liczby p 0 = P(X 0), p 1 = P(X 1), p 2 = P(X 2),... Gdy rozkład jest skupiony na zbiorze nieskończonym, poprzestajemy na p k dostatecznie bliskim 1, np. p k = X = k, jeśli p k 1 < U < p k, gdzie U U[0, 1]. Czasem przeszukiwanie od k = 0 może być nieefektywne. Przykładowo: dla P ois(100) większość obserwacji leży w (70, 130), zatem warto rozpocząć sprawdzanie od p 70.

15 Rozkład normalny: Proste przybliżenie: X = ( 12 i=1 U i ) 6, gdzie Ui U[0, 1] są niezależnymi zmiennymi losowymi (iid), Box-Muller: U 1, U 2 U[0, 1], iid, Marsaglia-Bray: X 1 = 2 log(u 1 ) cos(2πu 2 ), X 2 = 2 log(u 1 ) sin(2πu 2 ). while (X > 1) losuj U 1, U 2 U[0, 1] U 1 2U 1 1, U 2 2U 2 1 X U U 2 2 Y 2 log(x)/x Z 1 U 1 Y, Z 2 U 2 Y return Z 1, Z 2.

16 Wielowymiarowy rozkład normalny N d (µ, Σ): Niech Σ = AA T (np. rozkład Cholesky ego), X N d (0, I d ), Wówczas AX N d (0, Σ), AX + µ N d (µ, Σ). Dodatek: algorytm rozkładu Cholesky ego dla macierzy dodatnio określonej: A 0 (macierz d d) for j = 1,..., d return A. for i = j,..., d v i Σ ij for k = 1,..., j 1 v i v i A jk A ik A ij v i / v j

17 W przypadku d = 2 macierz korelacji ma postać 1 ρ, ρ 1 a jej macierz Cholesky ego przybiera formę: 1 0 ρ. 1 ρ 2 Możemy zatem zapisać powyższy algorytm następująco: Wylosuj X 1, X 2 N(0, 1), niezależne, Oblicz Y 1 = X 1, Y 2 = ρx ρ 2 X 2. Istotnie, wówczas E(Y 1 ) = E(Y 2 ) = 0, Var(Y 1 ) = Var(X 1 ) = 1, Var(Y 2 ) = ρ 2 Var(X 1 ) + (1 ρ 2 ) Var(X 2 ) = 1, cov(y 1, Y 2 ) Corr(Y 1, Y 2 ) = Var(Y1 ) Var(Y 2 ) = cov(x 1, ρx ρ 2 X 2 ) = = cov(x 1, ρx 1 ) + cov(x 1, 1 ρ 2 X 2 ) = ρ

18 Zadanie. Wygeneruj wektory liczb X, Y o rozkładzie normalnym standardowym, dla których współczynnik korelacji ρ(x, Y ) = 0.6.

19 Metoda akceptuj-odrzuć (Accept-Reject) Chcemy generować liczby z rozkładu o gęstości f (znanej z dokładnością do stałej multyplikatywnej), Potrzebujemy prostszej do symulacji gęstości g takiej, że f i g mają takie same nośniki (g(x) > 0 f(x) > 0), istnieje M, że f(x)/g(x) M dla wszystkich x, Algorytm: 1. generuj Y g, U U[0, 1], 2. jeśli U 1 M f(y ), to X = Y ; w przeciwnym wypadku wróć do 1. g(y ) Powyższy algorytm działa również w przypadku wielowymiarowym.

20 Zadanie. Używając metody akceptuj-odrzuć wygeneruj liczby z rozkładu o gęstości: f(x) exp( x 2 /2){sin(6x) cos(x) 2 sin(4x) 2 + 1}. Narysuj f(x) i znajdź takie M, że f(x) Mg(x), gdzie g(x) = exp( x 2 /2)/ 2π jest gęstością rozkładu normalnego. Możesz użyć funkcji optimise, aby znaleźć najmniejszą wartość M. Oszacuj stałą normalizującą. Porównaj histogram ze znormalizowaną gęstością.

21 Rozkłady warunkowe: X ma dystrybuantę F, Chcemy wygenerować X pod warunkiem a X b, V = F (a) + (F (b) F (a)) U, gdzie U U[0, 1], F (V ) ma pożądany rozkład,

22 Zadanie (Probabilistyka, A. i E. Plucińscy, str. 228, Zadanie 15).

23 Twierdzenie (Probabilistyka, A. i E. Plucińscy, str. 223, Twierdzenie Lapunowa 4.9). Niech {X n } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych i niech dla n = 1, 2,... będzie m n = E(X n ), σ 2 n = E((X n m n ) 2 ) > 0, b n = E( X n m n 3 ), C n = U n = 1 C n σ σ 2 n, B n = 3 b b n, n k=1 Jeśli lim n B n C n = 0, to dla każdego u (X k m k ), F n (u) = P (U n < u). lim F n n(u) = 1 u 2π e x2 /2 dx, czyli ciąg losowy {U n } jest zbieżny według dystrybuant do zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(0, 1).

24 Proces Wienera W 0 = 0 p.n., trajektorie t W t są ciągłe p.n. przyrosty W t1, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 są niezależne, W t W s N(0, t s), 0 s t, Symulacja trajektorii procesu Wienera Chcemy symulować wartości (W (t 1 ),..., W (t n )) w ustalonym zbiorze punktów 0 < t 1 < < t n. Niech Z 1,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi N(0, 1), Dla standardowego ruchu Browna W (0) = 0 oraz W (t i+1 ) W (t i ) = t i+1 t i Z i+1, i = 0,..., n 1.

25 BM time

26 Wielowymiarowy proces Wienera Proces W (t) = (W 1 (t),..., W d (t)) jest standardowym d-wymiarowym ruchem Browna, gdy jego współrzędne W i (t) są standardowymi jednowymiarowymi ruchami Browna oraz W i i W j są niezależne dla i j. Niech µ R d oraz Σ R d d będzie dodatnio określoną macierzą. Proces X nazywamy ruchem Browna z dryfem µ i kowariancją Σ, jeśli X ma ciągłe trajektorie o niezależnych przyrostach X(t + s) X(s) N(tµ, tσ). Proces X nazywamy ruchem Browna o stałej kowariancji (Σ jest stała). Dla symulacji Monte Carlo ze skorelowanym ruchem Browna potrzebujemy generować próbki o rozkładzie N(δtµ, δtσ), a jeśli δt jest ustalone problem redukuje się do losowania z rozkładu N(µ, Σ) (co już potrafimy).

27

28 Zaproponowana przez Stanisława Ulama w czasie projektu Manhattan, jako sposób obliczania skomplikowanych całek pojawiających w modelowaniu reakcji łańcuchowych. Rozwinięta przez J. von Neumanna, N. Metropolisa i innych. Źródło:

29 Jeśli X U[0, 1] oraz h: [0, 1] R, to wartość oczekiwana zmiennej h(x) jest równa całce: E[h(X)] = I(h) = 1 h(x) dx. 0 Podobnie w przypadku wielowymiarowym: X U[0, 1] d oraz h: [0, 1] d R Z drugiej strony, przyjmując E[h(X)] = I(h) = [0,1] d h(x) dx. I N (h) = 1 N N n=1 h(x n ), gdzie x n są niezależnymi realizacjami X, mamy (nieobciążoność) oraz z MPWL E[I N (h)] = E[h(X)] = I(h) lim I N(h) = E[h(X)] = I(h). N

30 Ponadto Var(I N (h)) = 1 N 2 N k=1 Var h(x k ) = 1 N Var h(x). Błąd metody Monte Carlo jest proporcjonalny do N 1/2. Co ważniejsze, błąd Monte Carlo jest proporcjonalny do N 1/2, niezależnie od wymiaru! Błąd = O(N 1/2 ), Czas = O(N) jeśli chcemy zwiększyć dokładność 10-krotnie, musimy zwiekszyć ilość próbek i czas obliczeń 100-krotnie.

31 Model Blacka-Scholesa (1973) Ceny akcji modeluje geometryczny proces Wienera: lub równoważnie: gdzie S t = S 0 exp ( (µ 1 2 σ2 )t + σw t ), ln(s t ) = ln(s 0 ) + (µ 1 2 σ2 )t + σw t, µ jest stopą aprecjacji (wyznacza trend ceny), σ jest współczynnikiem zmienności (volatility), parametry µ, σ > 0 są stałe (i deterministyczne), akcja nie wypłaca dywidendy, stała stopa procentowa wolna od ryzyka r, W modelu B-S zmienna losowa S t ma rozkład lognormalny, tzn. zmienna ln(s t ) ma rozkład normalny.

32 Cena europejskiej opcji kupna: Cena europejskiej opcji sprzedaży: Wzory Blacka-Scholesa C = S t Φ(d 1 (S t, τ)) Ke rτ) Φ(d 2 (S t, τ)), P = Ke rτ Φ( d 2 (S t, τ)) S t Φ( d 1 (S t, τ)), gdzie τ = T t, funkcja Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego oraz d 1 (s, τ) = ln(s/k) + (r + σ2 /2)τ σ τ d 2 (s, τ) = d 1 (s, τ) σ τ = ln(s/k) + (r σ2 /2)τ σ τ Uwaga: cena opcji nie zależy od µ.,.

33 Wycena opcji niezależnych od trajektorii Instrumenty finansowe wyceniamy korzystajac z wzoru Π 0 (X) = B 0 E Q [X/B T ], gdzie Q jest miarą neutralną wobec ryzyka, B t ceną w chwili t instrumentu wolnego od ryzyka (numeraire) oraz X jest wypłatą z danego instrumentu w chwili T. Cena akcji w modelu Blacka-Scholesa względem miary neutralnej wobec ryzyka, dane są wzorem: S t = S 0 exp (r 1 2 σ2 )t + σw t. Zmienna losowa W T ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji T. Możemy przyjąć W T = T Y, gdzie Y N(0, 1).

34 Wypłata z europejskiej opcji call wynosi a dla europejskiej opcji put gdzie K jest ceną wykonania. X = f(s T ) = (S T K) +, X = g(s T ) = (K S T ) +. Cena instrumetu wolnego od ryzyka (obligacja) to B t = exp(rt), t [0, T ]. Cenę opcji wyznaczamy jako wartość oczekiwaną gdzie V = E Q [f(s T )/B T ] = exp( rt ) 1 0 f(s T)dU, S T = S 0 exp((r 1 2 σ2 )T + σ T Y ) oraz Y = Φ 1 (U) N(0, 1), U U[0, 1].

35 W praktyce: Losujemy N niezależnych realizacji zmiennych o rozkładzie normalnym Y (1),..., Y (N), Obliczamy ceny akcji w chwili wykonania S (1) T,..., S (N) T dla kolejno wylosowanych próbek, Obliczamy zdyskontowane wypłaty z opcji: exp( rt )f(s (1) T ),..., exp( rt )f(s (N) T ), Wyznaczamy cenę opcji jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną: Π 0 (X) = 1 N N i=1 exp( rt )f(s (i) T ). Zadanie. Oblicz ceny opcji dla r = 0.05, σ = 0.2, T = 1, S 0 = 110, K = 100. Porównaj z wartościami dokładnymi (wzór Blacka-Scholesa). Wyznacz przedział ufności, w którym prawdziwa wartość leży z prawdopodobieństwem 99.7%. Wyznacz ilość próbek N, tak by powyższy przedział miał szerokość 0.01.

36 Wycena opcji zależnych od trajektorii Dla t 2 > t 1 mamy S t2 = S t1 exp (r 1 2 σ2 )(t 2 t 1 ) + σ(w t2 W t1 ) Losujemy N niezależnych trajektorii ceny S (1) t,t,..., S (N) t,t na przedziale [t, T ], Dla log-normalnego procesu ceny akcji i równoodległych chwil t i+1 t i = δt, i = 0,..., n 1, mamy gdzie Z i N(0, 1). S ti+1 = S ti exp((r 1 2 σ2 )δt + σ δtz i ), Obliczamy wypłatę V (n) na każdej trajektorii n = 1,..., N, Ceną opcji jest Π 0 = exp( rt ) 1 N N n=1 V (n).

37 Przykład: opcja azjatycka (asian option) Europejska opcja call na średnią cenę M akcji o wypłacie X = 1 T gdzie S t jest ceną akcji w dniu t. T t=1 S t K +, Wielowymiarowy proces Wienera przydaje się przy wycenie opcji opartych o kilka instrumentów bazowych. Przykład: opcja koszykowa (basket option) Europejska opcja call na średnią cenę M akcji o wypłacie X = 1 M M i=1 gdzie S T,i jest ceną i-tej akcji w chwili T. S T,i K +,

38 Redukcja wariancji antithetic variables (metoda odbić lustrzanych) Losujemy 2 próbki, X 1 i X 2, z tego samego rozkładu. Wariancja wynosi ε = Var h(x 1 ) + h(x 2 ) 2 = 1 2 [Var(h(X 1) + cov(h(x 1 ), h(x 2 ))], Jeśli h(x 1 ) i h(x 2 ) są niezależne to ε = 1 2 Var(h(X 1), Jeśli h(x 1 ) i h(x 2 ) będą ujemnie skorelowane, to ε < 1 2 Var(h(X 1), Jeśli X 1, X 2 U[0, 1] ujemną korelację uzyskujemy przyjmując X 2 = φ(x 1 ), gdzie φ: [0, 1] [0, 1] jest funkcją malejącą oraz φ(x 1 ) U[0, 1]; np. φ(x) = 1 x. Każdą wylosowaną próbkę możemy wykorzystać 2 razy! Uwaga: jeśli próbki losowane są z rozkładu symetrycznego (np. normalnego), to X X, Metoda daje dobre wyniki, gdy wypłata jest bliska liniowej,

39 control variate Chcemy obliczyć E(X) (np. cena amerykańskiej opcji call), Wiemy o zmiennej losowej Y, której E(Y ) znamy, a która jest w pewnym sensie bliska E(X) (np. cena europejskiej opcji call) Przyjmujemy Z = X Y + E(Y ), skąd E(Z) = E(X) Obliczamy E(X) symulując wartości zmiennej Z. Korzyść odniesiemy gdy: Var(Z) = Var(X Y ) < Var(X). Intuicję wynikającą z tej metody można stosować nie tylko dla MC: z modelu wynikają oszacowania x = I N (X), y = I N (Y ), model popełnia błąd ε = y E(Y ) dla zmiennej Y, zakładamy, że dla zmiennej X popełnia ten sam błąd, lepsze oszacowanie dla X to: x ε = x y + E(Y ).

40 Metodę można dostroić dla θ R definiujemy Z θ = X + θ(e(y ) Y ) w dalszym ciągu E(Z θ ) = E(X) oraz Var(Z θ ) = Var(X) 2θ cov(x, Y ) + θ 2 Var(Y ) wariancja jest najmniejsza dla θ min = cov(x,y ) Var(Y ), wielkość cov(x, Y ) zwykle nie jest znana, ale można ją oszacować metodą MC (nie jest potrzebna duża dokładność)

41 importance sampling (metodę najlepiej wyjaśnić na przykładzie) chcemy wycenić opcję call (X = (S T K) + ), która jest głęboko out-of-the-money, większość wylosowanych próbek da zerową wypłatę, co jest stratą czasu obliczeniowego, trzeba zatem losować tylko te trajektorie, które wniosą wkład do ceny (zobacz slajd Rozkłady warunkowe ), Niech F (x) = P (S T x), G(x) = P (S T x S T > K) oraz k = P (S T > K) = 1 F (K). Wówczas dla x K mamy G(x) = P (K<S T x) P (S T >K) = P (S T x) P (S T K) P (S T >K) = F (x) 1 k + 1. Stąd G 1 (u) = F 1 (1 + k(u 1)), u (0, 1). Jeśli Z jest losowane z rozkładu o dystrybuancie G, to E[X] = P (S T K) E[X S T K] + P (S T > K) E[X S T > K] = = (1 k) 0 + k E[Z] = k E[Z].

42 Podejście ogólne: zakładamy, że losowana zmienna pochodzi z rozkładu o gęstości f, Zastąpimy tą gęstość przez g, która powinna być bliska f h (gęstości zmiennej h(x), którą całkujemy), wtedy E f (h(x)) = h(x)f(x) dx = h(x) f(x) g(x) g(x) dx = Eg (h(x) f(x) g(x) ), a funkcja podcałkowa w ostatniej całce ma małą wariancję.

43 Metody symulacji procesów stochastycznych symulacja dokładnego rozwiązania, symulacja z prawdopodobieństwa przejścia, przybliżanie dynamiki,

44 Symulacja dokładnego rozwiązania, Stosujemy, gdy znana jest jawna postać silnego rozwiązania SDE, to znaczy daje się ono zapisać jako funkcjonał procesu Wienera: X(t) = G(t, W [0,t] ). Ustalamy X 0 = x 0, Dla i = 1,..., N losujemy trajektorię (W (t i ) oraz obliczamy Przykład: w modelu Blacka-Scholesa rozwiązanie ma postać: X i = G(t i, {W (t 1 ),..., W (t i )}). ds(t) = r dt + σ dw (t) S(t) = S(0) exp((r σ 2 /2)t + σw (t)).

45 Symulacja z prawdopodobieństwa przejścia Możemy stosować, gdy znamy prawdopodobieństwa przejścia procesu między dwoma dowolnymi momentami czasu. Ustalamy X 0 = x 0. Dla i = 1,..., N losujemy X i p(t i, ; t i 1, X i 1 ) (rozkład prawdopodobieństwa X i w chwili t i pod warunkiem, że proces ma wartość X i 1 w chwili t i 1 ). Przykład: w modelu terminowych stóp procentowych Vasicka dr(t) = α(β r(t)) dt + σ dw (t), proces r(t) ma rozkład normalny z warunkową średnią i wariancją µ(t; s, x) = β + e α(t s) (x β), σ(t; s, x) = σ2 2α (1 e 2α(t s) ).

46 Przybliżanie dynamiki Dyskretyzujemy równanie różniczkowe, zamieniając je w równanie różnicowe. dx(t) = µ(t, X(t)) dt + σ(t, X(t)) dw (t) ( ) Schemat Eulera Równanie ( ) dyskretyzujemy do postaci X i+1 = X i + µ(t i, X i ) t + σ(t i, X i ) tz i ( ) gdzie Z i N(0, 1). Ustalamy X 0 = x 0, Dla i = 0,..., N 1 losujemy Z i i obliczamy X i+1 jak w ( ). Otrzymane w schemacie Eulera rozwiązania są zbieżne do prawdziwego: T > 0, C = C(T ) E( sup X N (t) X(t) 2 ) C t. t [0,T ]

47 przyrosty czasu nie muszą być równe ( t = t i+1 t i ). dla Z i = 2B i 1, gdzie B i mają rozkład Bernoulliego z p = 1/2, otrzymamy rozwiązania zbiegające do oryginalnego w sensie słabym, co wystarcza, gdy chcemy liczyć wartości oczekiwane regularnych funkcjonałów X. Przykład: Model Fonga-Vasicka zadany jest układem równań: dr(t) = α(µ r(t)) dt + v(t) dw 1 t, dv(t) = β( µ v(t)) dt + σ v(t) dw 2 t gdzie r jest modelowaną stopą procentową, a v jej ciągłą zmiennością. Dyskretyzacja ma postać: r i+1 = r i + α(µ r i ) t + v i tz 1 i, v i+1 = v i + β( µ v i ) t + σ v i tz 2 i gdzie (Z 1 i, Z 2 i ) N(0, Σ i ), a Σ i = cov(dw 1, dw 2 ).

48 Literatura [1] R. Seydel, Tools for Computational Finance, Springer [2] G. Fusai, A. Roncoroni, Implementing Models in Quantative Finance: Methods and Cases, Springer [3] P. Jackel, Monte Carlo Methods in Finance, Wiley [4] C. P. Robert, G. Casella, Introducing Monte Carlo Methods with R, Springer 2010.