Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa w pakiecie Matlab"

Transkrypt

1 Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/31

2 Ciągłe modele rynku Dotychczas rozważaliśmy dyskretne modele rynku. Transakcji można było dokonywać tylko w określonych momentach, a ceny instrumentów zmieniały się w sposób skokowy. Modele dyskretne są jednak tylko pewnym przybliżeniem prawdziwego rynku. Wykresy cen akcji, które znamy z gazet i telewizji nie przypominają wykorzystywanych przez nas drzewek dwumianowych. W rzeczywistości ceny zmieniają się w sposób ciągły, a nie skokowy. Wiemy też, że transakcje na giełdzie mogą być wykonywane w dowolnej chwili, a nie np. tylko o pełnych godzinach. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/31

3 Proces Wienera Głównym narzędziem wykorzystywanym do modelowania ewolucji cen akcji są procesy stochastyczne. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych {X t } t T określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Najczęściej parametr t interpretujemy jako czas, a T = R + lub T = [0, T ]. Jednym z najważniejszych procesów stochastycznych jest proces Wienera nazywany także ruchem Browna. Proces Wienera to proces określony na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) spełniający następujące warunki: proces startuje z 0, tzn. W 0 = 0 z prawdopodobieństwem 1, jest procesem o przyrostach niezależnych, tzn. W t W s i W v W u są niezależnymi zmiennymi losowymi dla 0 < s < t < u < v, jego przyrosty mają rozkład normalny W t W s N (0, t s) dla wszystkich 0 < s < t, jest procesem o ciągłych trajektoriach. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/31

4 Modelowanie ceny akcji W 1900 roku Louis Bachelier w swojej rozprawie doktorskiej Théorie de la spéculation zaproponował, żeby cenę akcji modelować za pomocą procesu postaci S t = S 0 + µt + σw t, gdzie µ R, σ > 0, a W t jest procesem Wienera. Praca Bacheliera była bardzo nowatorska i została doceniona dopiero po wielu latach. W 1965 roku Paul Samuelson, zaproponował żeby do modelowania cen akcji wykorzystać geometryczny proces Wienera, tzn. proces określony wzorem S t = S 0 exp ((µ 12 ) ) σ2 t + σw t, gdzie µ R, σ > 0, a W t jest procesem Wienera. Współczynnik µ nazywamy dryfem, odzwierciedla on pewne stałe tendencje zmian akcji, współczynnik σ określa zmienność cen akcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/31

5 Model Blacka-Scholesa Rozważmy rynek idealny, na którym funkcjonuje jeden instrument ryzykowny (akcja) o cenie zadanej wzorem S t = S 0 exp ((µ 12 ) ) σ2 t + σw t, oraz jeden instrument pozbawiony ryzyka (obligacja, rachunek bankowy) o cenie B t = e rt, gdzie r 0. Model ten nazywamy modelem Blacka-Scholesa. Jego nazwa pochodzi od Fishera Blacka i Myrona Scholesa, którzy w 1973 roku podali wzór na cenę sprawiedliwą europejskiej opcji kupna w tym modelu i skonstruowali odpowiednią strategię zabezpieczającą. W tym samym roku Robert C. Merton uogólnił ten wzór na przypadek akcji wypłacającej dywidendę. W 1997 roku Scholes i Merton otrzymali za te wyniki Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii (Black zmarł w 1995 roku). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/31

6 Wzór Blacka-Scholesa Black i Scholes pokazali, że cena sprawiedliwa w chwili t T europejskiej opcji kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T (na akcję niepłacącą dywidendy) zadana jest wzorem: gdzie d + = ln St K C t = S t Φ(d + ) Ke r(t t) Φ(d ), (1) σ2 + (r + 2 )(T t) σ T t, d = ln St K σ2 + (r 2 )(T t) σ T t a Φ(x) jest wartością dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego w punkcie x. Wzór ten nazywamy wzorem Blacka-Scholesa. Korzystając z parytetu kupna-sprzedaży, możemy łatwo otrzymać wzór na cenę europejskiej opcji sprzedaży P t = S t Φ( d + ) + Ke r(t t) Φ( d ), Zauważmy, że ceny opcji kupna ani opcji sprzedaży nie zależą od dryfu µ. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/31,

7 Wzór Blacka-Scholesa Wzór Blacka-Scholesa można wyprowadzić różnymi metodami. Black i Scholes doszli do niego, rozwiązując pewne równanie różniczkowe cząstkowe Alternatywne podejście polega na skonstruowaniu pewnej miary probabilistycznej Q nazywanej miarą martyngałową, takiej, że cena instrumentu finansowego jest zdyskontowaną wartością oczekiwaną funkcji wypłaty tego instrumentu względem miary Q, tzn: C 0 = e rt E Q f (S T ). Miara taka istnieje, jeżeli na rynku nie ma możliwości arbitrażu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/31

8 Wzór Blacka-Scholesa Dynamikę ceny akcji względem miary Q opisuje wzór S t = S 0 exp ((r 12 ) ) σ2 t + σ W t, gdzie W t jest procesem Wienera względem miary Q. Dryf µ został zastąpiony przez wolną od ryzyka stopę procentową r. Cena europejskiej opcji kupna wynosi więc: C 0 = e rt E Q (S T K) + = e rt E (S Q 0 exp ((r 12 ) ) + σ2 T + σ W T K). W powyższym wzorze tylko W T jest zmienną losową, pozostałe wielkości są deterministyczne. Ponieważ W T N (0, T ), to wykonując kilka standardowych przekształceń, możemy otrzymać wzór Blacka-Scholesa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/31

9 Cena opcji lookback w modelu Blacka-Scholesa W przypadku, gdy funkcja wypłaty ma bardziej skomplikowaną postać, wyprowadzenie wzoru na cenę instrumentu staje się trudne. Rozważmy na przykład europejską opcję kupna typu lookback o funkcji wypłaty f T (S t ) = (S T min t [0,T ] S t ) +. Wówczas wzór na cenę sprawiedliwą przyjmuje postać: ( ln(st /m) + r + (T t) C t =S t Φ σ σ ) 2 ( ) S t T t 2r Φ ln(m/st ) r + (T t) σ T t ( ) me r(t t) ln(st /m) + r (T t) Φ σ T t ( ) r(t t) σ2 m 2(T t)σ 2 ( ) ln(m/st ) + r (T t) + S t e 2r σ, T t S t gdzie m = min t [0,T ] S t, r + = r σ2, r = r 1 2 σ2. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/31

10 Model Blacka-Scholesa w Matlabie Pakiet Financial Derivatives Toolbox zawiera funkcję pozwalającą wyznaczać ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży w modelu Blacka- Scholesa. Price = optstockbybls(ratespec, StockSpec, Settle, Maturity, OptSpec, Strike) gdzie RateSpec obiekt zawierający strukturę opisującą ewolucję stopy procentowej, tworzymy ją za pomocą funkcji intenvset, StockSpec struktura opisująca parametry akcji, tworzymy ją za pomocą funkcji stockspec, Settle termin wyceny opcji, Maturity termin wygaśnięcia opcji, OptSpec typ opcji: Call lub Put, Strike cena wykonania opcji. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/31

11 Model Blacka-Scholesa w Matlabie przykład Załóżmy, że aktualna cena akcji (na dzień 1 lipca 2010) wynosi 100. Współczynnik zmienności σ = 0,2, a roczna stopa procentowa r = 0,1. Wyznaczymy cenę europejskiej opcji kupna o cenie wykonania K = 100 i terminie wykonania 1 lipca >> RateSpec = intenvset( Compounding, -1, Rates, 0.1, StartDates, 1-Jul-2010, EndDates, 1-Jul-2011 ); >> StockSpec = stockspec(0.2, 100); >> Price = optstockbybls(ratespec, StockSpec, 1-Jul-2010, 1-Jul-2011, Call, 100) Price = Oprócz standardowych opcji kupna i sprzedaży możemy również wyceniać opcje binarne typu asset-or-nothing funkcja assetbybls, lub typu cash-or-nothing funkcja cashbybls. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/31

12 Model Blacka-Scholesa w Matlabie Omówione funkcje nie są zbyt proste w użyciu, wymagają wcześniejszego zdefiniowania struktur StockSpec i RateSpec. Pakiet Financial Toolbox zawiera funkcję blsprice, za pomocą której możemy wyznaczyć cenę opcji w bardziej przyjazny sposób. [Call, Put] = blsprice(price, Strike, Rate, Time, Volatility, Yield) Price cena początkowa instrumentu bazowego, Strike cena wykonania opcji, Rate roczna stopa procentowa, Time czas do wygaśnięcia opcji (w latach), Volatility zmienność instrumentu bazowego, Yield parametr opcjonalny, jest to stopa dywidendy płaconej przez akcję (zakłada się, że dywidenda jest płacona w sposób ciągły). Funkcja zwraca ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/31

13 Model Blacka-Scholesa w Matlabie przykład Sprawdźmy, czy blspricedaje taki sam wynik jak funkcja optstockbybls. > > [Call, Put] = blsprice(100, 100, 0.1, 1, 0.2) Call = Put = Widzimy, że cena opcji kupna jest identyczna jak poprzednio. Funkcja ta jest bardzo wygodna w użyciu, jeżeli okres między terminem kupna opcji a terminem wygaśnięcia wyraża się w pełnych latach lub w prostych ułamkach. Jeżeli te dwa terminy są dowolne, to warto się zastanowić, czy łatwiej będzie przeliczyć okres między nimi na lata, czy wykorzystać funkcję optstockbybls. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/31

14 Aproksymacja modelu ciągłego modelami dwumianowymi Poznaliśmy dwa modele wyceny opcji: dyskretny model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) oparty na drzewach dwumianowych oraz ciągły model Blacka-Scholesa (BS) oparty na geometrycznym procesie Wienera. Powstaje naturalne pytanie o związki między tymi modelami. Czy jeżeli będziemy zwiększali liczbę poziomów drzewa dwumianowego, to czy model CRR będzie w jakimś sensie zbiegał do modelu BS i cena opcji w modelu CRR będzie się zbliżać do ceny opcji w modelu BS? Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/31

15 Aproksymacja modelu ciągłego modelami dwumianowymi Rozważmy ciąg modeli CRR skonstruowany w następujący sposób. Dzielimy przedział czasu [0, T ] na n równych części i zakładamy, że transakcji możemy dokonywać tylko w chwilach t k = kt n dla k = 0, 1,..., n. Ustalmy r > 0 i σ > 0 i określamy r n, a n i b n wzorami 1 + r n = e r T n, 1 + a n = e σ T n, 1 + b n = e σ T n. Zakładamy, że dynamikę cen instrumentu pozbawionego ryzyka opisują równania: B n t 0 = B n 0 = 1, B n t j = B n t j 1 (1 + r n ). Nietrudno zauważyć, że dla wszystkich t [0, T ] lim n Bn t = e rt Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/31

16 Aproksymacja modelu ciągłego modelami dwumianowymi Cena instrumentu ryzykownego wyraża się wzorem S n t 0 = S n 0 = s > 0, S n t j = S n t j 1 U n j, gdzie Uj n to niezależne zmienne losowe o rozkładzie dwupunktowym P(Uj n = 1 + b n ) = p n, P(Uj n = 1 + a n ) = 1 p n. Prawdopodobieństwo p n wzrostu ceny akcji zadajemy przez p n = r n a n b n a n. Wówczas, korzystając z centralnego twierdzenia granicznego, można pokazać, że dla wszystkich t [0, T ] ciąg St n zbiega według rozkładu do ) ) S t = S 0 exp ((r σ2 t + σz, 2 gdzie Z N (0, t). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/31

17 Aproksymacja modelu ciągłego modelami dwumianowymi Wynika stąd, że przy przejściu z n do nieskończoności ciąg modeli CRR zbiega (według rozkładu) do modelu Blacka-Scholesa. Korzystając z powyższych rozważań, możemy udowodnić, że jeżeli Ct n jest ceną sprawiedliwą europejskiej opcji kupna w n-tym modelu CRR, to cena ta zbiega do ceny określonej wzorem Blacka-Scholesa. Fakt ten jest również prawdziwy dla cen innych rodzajów opcji, w tym dla opcji zależnych od trajektorii. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/31

18 Potwierdzenie doświadczalne Spróbujemy potwierdzić doświadczalnie, że ceny w modelu CRR zbiegają (wraz ze wzrostem liczby poziomów drzewa) do cen w modelu BS. Umiemy już budować drzewa CRR i wyceniać opcje w oparciu o nie przy pomocy Matlaba. Możemy łatwo napisać funkcję > > MyCRRCallPrice(S0, K, r, t0, T, sigma, n) która będzie wyznaczać cenę europejskiej opcji kupna w oparciu o model CRR. Ostatni parametr tej funkcji określa liczbę poziomów drzewa (innymi słowy dokładność aproksymacji). Załóżmy, że S0 = 100 (na dzień 1 lipca 2010), σ = 0,15, a r = 0,1. Rozważmy europejska opcje kupna o cenie wykonania K = 90 i terminie wykonania T = 1 lipca Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/31

19 Potwierdzenie doświadczalne Wyznaczmy najpierw prawdziwą cenę Blacka-Scholesa. > > blsprice(100, 90, 0.1, 1, 0.15) ans = Cena tej opcji w modelu CRR dla n = 10, 100, 1000 to > > MyCRRCallPrice(100, 90, 0.1, 01-Jul-2010, 01-Jul-2011, 0.15, 10) ans = > > MyCRRCallPrice(100, 90, 0.1, 01-Jul-2010, 01-Jul-2011, 0.15, 100) ans = > > MyCRRCallPrice(100, 90, 0.1, 01-Jul-2010, 01-Jul-2011, 0.15, 1000) ans = Widzimy, że wraz Bartosz ze wzrostem Ziemkiewicz nmatematyka cena zbliża finansowa się wdo pakiecie cenymatlab 19/31

20 Potwierdzenie doświadczalne Widzimy, że wraz ze wzrostem n cena zbliża się do ceny Blacka-Scholesa. Dla n = 1000 błąd pojawia się dopiero na czwartym miejscu po przecinku. Zależność błędu od dokładności aproksymacji przedstawia rysunek. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/31

21 Metody Monte Carlo W przypadku opcji o skomplikowanej funkcji wypłaty, znalezienie ceny może być trudne niezależnie od tego, czy korzystamy z dwumianowego modelu CRR czy ciągłego modelu Blacka-Scholesa. Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują generowane komputerowo liczby pseudolosowe odpowiadające możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Idee tej metody przedstawili w latach 40. XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan: Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Metody Monte Carlo stosowane są w różnych dziedzinach, przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), bądź zjawisk ekonomicznych. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/31

22 Metody Monte Carlo Nie ma jednej metody Monte Carlo. Nazwa ta opisuje szeroką klasę różnych metod. Ogólny schemat ich działania jest jednak podobny. Należy określić przestrzeń możliwych wyników doświadczenia, powtórzyć doświadczenie określoną liczbę razy, przeprowadzić odpowiednie obliczenia (deterministyczne) na wynikach poszczególnych doświadczeń, zebrać wyniki pojedynczych obliczeń i przedstawić końcowy rezultat. W matematyce metody Monte Carlo stosujemy między innymi do obliczania całek, w szczególności wielowymiarowych, w których obszar całkowania ma skomplikowany kształt. Pewnego rodzaju całką jest również wartość oczekiwana zmiennej losowej. Ideę działania metody Monte Carlo pokażemy właśnie na przykładzie obliczania wartości oczekiwanej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/31

23 Metody Monte Carlo, a wartość oczekiwana Załóżmy, że mamy całkowalną zmienną losową X i chcemy wyznaczyć jej wartość oczekiwaną EX. Jeżeli umiemy wygenerować ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n o takim samym rozkładzie jak rozkład zmiennej X, to z mocnego prawa wielkich liczb wynika, że X 1 + X X n lim n n = EX. Oznacza, to że dobrym oszacowaniem wartości oczekiwanej jest średnia z pewnej (odpowiednio dużej) liczby elementów ciągu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/31

24 Wycena opcji metodą Monte Carlo Pokazaliśmy wcześniej, że cena opcji w modelu Blacka-Scholesa jest zdyskontowaną wartością oczekiwaną jej funkcji wypłaty f T względem pewnej miary probabilistycznej Q, tzn. C 0 = e rt E Q f T (S t ). Aby skorzystać z metody Monte Carlo, musimy wygenerować odpowiednio dużą liczbę trajektorii procesu ceny akcji S t i obliczyć wartość funkcji wypłaty dla każdej z tych trajektorii. Na koniec obliczymy średnią wartość funkcji wypłaty i zdyskontujemy ją. Otrzymana wartość powinna być zbliżona do sprawiedliwej ceny opcji. Jakość tego przybliżenia zależy od liczby symulacji i jakości używanego generatora liczb losowych. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/31

25 Wycena opcji metodą Monte Carlo Nie jesteśmy w stanie wygenerować wartości procesu ceny akcji w każdym punkcie z przedziału [0, T ]. Możemy jedynie symulować go w skończonej liczbie punktów 0 = t 0 < t 1 <... < t n = T i przyjąć, że funkcja wypłaty zależy tylko od wartości cen akcji w tych punktach. Po przeprowadzeniu n symulacji cenę opcji wyznaczamy ze wzoru [ ] C 0 = e rt 1 n f (St k n 0, St k 1,..., St k n ). k=1 Jest to kolejne potencjalne źródło niedokładności w wycenie. Jeżeli np. wypłata opcji zależy od maksymalnej ceny akcji w przedziale [0, T ], to może się zdarzyć, że cena osiąga maksimum w punkcie różnym od tych, w których symulujemy proces S t. Należy więc odpowiednio dobrać odległości pomiędzy punktami t 0, t 1,... t n. Jeżeli będą zbyt duże, to wynik będzie niedokładny, jeżeli zbyt małe, to obliczenia będą trwały za długo. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/31

26 Wycena opcji metodą Monte Carlo Spróbujemy teraz wyznaczyć za pomocą metody Monte Carlo cenę europejskiej opcji kupna o funkcji wypłaty f T = (S T K) +. Przypomnijmy, że w modelu Blacka-Scholesa cenę akcji modelujemy za pomocą geometrycznego procesu Wienera, tzn. S t = S 0 exp ((r 12 ) ) σ2 t + σw t, gdzie W t jest standardowym procesem Wienera względem miary Q. Pokazaliśmy wcześniej, że C 0 = e rt E (S Q 0 exp ((r 12 ) ) + σ2 T + σw T K). Jedyną losową wielkością w tym wzorze jest W T. Z własności procesu Wienera wiemy, że W T N (0, T ). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/31

27 Wycena opcji metodą Monte Carlo Cena europejskiej opcji kupna zależy tylko od ceny akcji w chwili T, nie musimy więc generować całej trajektorii procesu cen. Wystarczy generować wartości tego procesu w chwili T. Wystarczy więc wygenerować ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n o takim samym rozkładzie N (0, T ) i wyznaczyć cenę opcji z wzoru: [ C 0 = e rt 1 n ( S 0 exp ((r 12 ) ) ) ] + n σ2 T + σx k K. k=1 Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/31

28 Wycena opcji metodą Monte Carlo Oto prosta funkcja wyznaczająca ceny europejskiej opcji kupna o zadanych parametrach za pomocą metody Monte Carlo. function C = my_montecarlo(s0,k,r,t,sigma,n) % generujemy n zmiennych losowych o rozkładzie N(0,T) X = sqrt(t) * randn(1,n); % obliczamy wartosci funkcji wypłaty w chwili T % dla wszystkich wartosci zmiennej X f = max(s0*exp( (r-0.5*sigma^2) * T + sigma * X) - K,0); % obliczamy średnią wartość funkcji wypłaty i ją dyskont. C = exp(-r*t) * mean(f); Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/31

29 Wycena opcji metodą Monte Carlo Sprawdzimy działanie funkcji dla S0 = 100, K = 90, r = 0,1, T = 1 i σ = 0,15. Obliczymy najpierw dokładną cenę Blacka-Scholesa. > > blsprice(100, 90, 0.1, 1, 0.15) ans = Ustalmy liczbę symulacji n na i wywołajmy kilka razy funkcję. > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15,10000) ans = > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15,10000) ans = > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15,10000) ans = Widzimy, że błąd wynosi około 0,1 0,15. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/31

30 Wycena opcji metodą Monte Carlo Spróbujmy zwiększyć liczbę symulacji do > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15, ) ans = > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15, ) ans = > > my_montecarlo(100, 90, 0.1, 1, 0.15, ) ans = Po 100-krotnym zwiększeniu liczby symulacji błąd zmniejszył się około 10-krotnie do 0,01 0,02. Jest to charakterystyczna cecha metod Monte Carlo n-krotne zwiększenie liczby symulacji powoduje około n-krotne zmniejszenie wielkości błędu. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/31

31 Wycena opcji metodą Monte Carlo Spróbujemy teraz znaleźć cenę sprawiedliwą opcji typu lookback o funkcji wypłaty f (S t ) = (S T min t [0,T ] S t) +. Jest to opcja zależna od trajektorii i do wyznaczenia jej ceny będziemy potrzebować całych trajektorii procesu S t. Wyznaczanie ceny możemy podzielić na kilka etapów: Piszemy funkcję generującą trajektorie procesu Wienera W t. Korzystając z tej funkcji generujemy trajektorie procesu cen akcji. Dla każdej wygenerowanej trajektorii wyznaczamy wartość opcji w chwili T. Po wygenerowaniu liczby trajektorii obliczamy średnią wartość opcji. Dyskontujemy tę średnią i uzyskujemy cenę opcji (przybliżoną). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/31

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne?

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne? Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza

Bardziej szczegółowo

Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych rynek polski

Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych rynek polski Krzyszto Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Teoretyczna i rzeczywista wartość walutowych instrumentów pochodnych rynek polski 1. Wprowadzenie W ostatnim

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową

Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową Tomasz Romanowski Opis wycenianych instrumentów Caplet / Floorlet Jest to pojedyncza opcja kupna/sprzedaży stopy rynkowej L(T,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne - Zadania

Instrumenty pochodne - Zadania Jerzy A. Dzieża Instrumenty pochodne - Zadania 27 marca 2011 roku Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Zadania 1. Spekulant zajął krótką pozycję w kontrakcie forward USD/PLN zapadającym za 2 miesiące o nominale

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA FINANSOWA

MATEMATYKA FINANSOWA Matematyka Finansowa, 05 06 2006 1 Andrzej Spakowski MATEMATYKA FINANSOWA matematyka finansów i ubezpieczeń. Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego Wspó lczesna, szeroko rozumiana MF opisuje

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich)

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich) MATEMATYKA I EKONOMIA PROGRAM STUDIÓW DLA II STOPNIA Data: 2010-11-07 Opracowali: Krzysztof Rykaczewski Paweł Umiński Streszczenie: Poniższe opracowanie przedstawia projekt planu studiów II stopnia na

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

SYMULACJE MONTE CARLO JAKO METODA WYCENY OPCJI

SYMULACJE MONTE CARLO JAKO METODA WYCENY OPCJI Scientific Bulletin of Chełm Section of Mathematics and Computer Science No. 2/2006 SYMULACJE MONTE CARLO JAKO METODA WYCENY OPCJI KATARZYNA ZIĘTEK-KWAŚNIEWSKA Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20

Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20 Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20 (1) Dane wejściowe. Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych: S wartość indeksu WIG20

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 4. Instrumenty pochodne podstawy Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.

Bardziej szczegółowo

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A. OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem

Bardziej szczegółowo

Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa

Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa Bogusław Wróblewski Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa Raport i dokumentacja 06.06.0 Spis treści. Opis problemu.......................................................

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

OPCJE - PODSTAWY TEORETYCZNE cz.1

OPCJE - PODSTAWY TEORETYCZNE cz.1 OPCJE - PODSTAWY TEORETYCZNE cz.1 Opcja to prawo do kupna instrumentu bazowego po cenie, która jest z góry określona - głosi definicja opcji. Owa cena, które jest z góry określona to tzw. cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa Model Blacka-Scholesa Średnie giełdowe odzwierciedlaja wszystko za wyjatkiem działań Pana Boga I zasada Dow 1 Rafał Ciesielski 2 Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Warszawski Streszczenie W pracy

Bardziej szczegółowo

Część II teoretyczne modele wyceny opcji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Część II teoretyczne modele wyceny opcji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Część II teoretyczne modele wyceny opcji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Rozwiązanie zagadnienia z 16.04.15 I.) Kurs rozliczeniowy = 90-1 short 90 call = 0 + (8,45 x 1) = + 8,45-2 long 100 calls

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt AR-GARCH

Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt AR-GARCH Krzysztof Piontek Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wycena opcji w modelu uwzględniającym efekt AR-GARCH Wprowadzenie U podstaw modelu Blacka, Scholesa i Mertona

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ

Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Marcin Bartkowiak Krzysztof Echaust INSTRUMENTY POCHODNE WPROWADZENIE DO INŻYNIERII FINANSOWEJ Spis treści Przedmowa... 7 1. Rynek instrumentów pochodnych... 9 1.1. Instrumenty pochodne... 9 1.2. Rynek

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 18 października 2011 Zadanie 3.1 W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo -

Bardziej szczegółowo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo 1. Opis problemu Celem pracy jest policzenie jednodniowej wartości narażonej na ryzyko (Value-at- Risk) portfela składającego

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

STOPA KAPITALIZACJI Mnożnikowe metody wyceny:

STOPA KAPITALIZACJI Mnożnikowe metody wyceny: Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA KAPITALIZACJI (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer z 20 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW Romuald Mosdorf Joanicjusz Nazarko Nina Siemieniuk SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW EKONOMICZNYCH Z ZASTOSOWANIEM TEORII CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO Gospodarka rynkowa oparta jest na mechanizmach i instytucjach

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo

PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika

PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika PWSZ w Tarnowie Instytut Politechniczny Elektrotechnika METODY NUMERYCZNE WYKŁAD Andrzej M. Dąbrowski amd@agh.edu.pl Paw.C p.100e Konsultacje: środa 14 45-15 30 czwartek 14 45 - Wykład 2 godz. lekcyjne.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne 4.1 Wprowadzenie do modelowania Uwaga!!! Rzut monetą nie jest eksperymentem losowym. Znając warunki początkowe oraz wiedząc wszystko o otoczeniu, wyposażeni w znajomość zasad dynamiki jesteśmy w stanie

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo