Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
|
|
- Ludwik Góra
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6 płacimy4zł.czywartobraćudziałwtejgrze?czynadłuższą metę opłaca się grać?
2 Definicja Zmienna losowa X o wartościach w R ma wartość oczekiwaną (średnią, nadzieję matematyczną, esperancję), jeżeli jest całkowalna, czyli jeżeli X dp <. Ω W takim przypadku wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywamy liczbę(całka Lebesgue a) EX = XdP. Ω
3 Definicja Niech X będzie zmienną losową dyskretną o rozkładzie P(X = x i ) = p i, i =1,2,...Wartościąoczekiwanązmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = i x i p i, oile x i p i <. i Jeżeli i x i p i =,tomówimy,żezmiennalosowa Xniema wartości oczekiwanej.
4 Żądanie bezwzględnej zbieżności szeregu jest bardzo ważne. Gwarantuje ono, że wartość oczekiwana nie zależy od kolejności sumowania wyrazów. W przeciwnym razie wartość oczekiwana mogłaby zależeć nie tylko od rozkładu zmiennej losowej X, ale również od sposobu ponumerowania punktów skokowych. Nie byłaby więc w takiej sytuacji wyznaczona jednoznacznie.
5 Przykład(konieczność warunku bezwzględnej zbieżności) Ile wynosi wartość oczekiwana w następującym rozkładzie P(X = x k ) = p k, k =1,2,..., p k = 2 3 k, x k = ( 1)k 3 k. k
6 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie Bernoulliego) Ile wynosi E X w rozkładzie Bernoulliego? Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie geometrycznym) Ile wynosi E X w rozkładzie geometrycznym z parametrem p =1/2?
7 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie Bernoulliego) Ile wynosi E X w rozkładzie Bernoulliego? Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie geometrycznym) Ile wynosi E X w rozkładzie geometrycznym z parametrem p =1/2?
8 Definicja Niech X będzie zmienną losową ciągłą o gęstości f(x). Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = xf(x)dx, oile x f(x)dx <.
9 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym) IlewynosiEXwrozkładziejednostajnymnaodcinku [a,b]?
10 Twierdzenie Niech g : R n Rbędziefunkcjąborelowską,aXzmiennąlosową owartościachwr n.wtedy: E(g(X)) = g(x)dp. R n CzęstocałkiLebesque a R g(x)dpoznaczasięprzez R g(x)df i nazywa całkami Lebesque a-stieltjesa.
11 Twierdzenie Niech g : R n Rbędziefunkcjąborelowską,aXzmiennąlosową owartościachwr n.wtedy: E(g(X)) = g(x)dp. R n CzęstocałkiLebesque a R g(x)dpoznaczasięprzez R g(x)df i nazywa całkami Lebesque a-stieltjesa.
12 Twierdzenie Załóżmy,żeistniejąwartościoczekiwaneEXorazEY.Wtedy 1 Jeśli X 0,toEX 0. 2 EX <E X. 3 Dla a,b R 4 Jeżeli X Yna Ω,to E(aX +by) = aex +bey. EX EY 5 Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to EXY =EXEY
13 Przykład(wzór kombinatoryczny) Kupujemy klosównaloterii,wktórejjest Mlosów przegrywających i N wygrywających. Niech X będzie liczbą losów wygrywających wśród tych, które kupujemy. Ile wynosi wartość oczekiwana X? Przykład(E1) Niech X 1,X 2,...,X n będąniezależnymizmiennymilosowymi dodatnimi o jednakowych rozkładach. Wykazać, że dla każdego k n ( ) X X k E = k X X n n.
14 Przykład(wzór kombinatoryczny) Kupujemy klosównaloterii,wktórejjest Mlosów przegrywających i N wygrywających. Niech X będzie liczbą losów wygrywających wśród tych, które kupujemy. Ile wynosi wartość oczekiwana X? Przykład(E1) Niech X 1,X 2,...,X n będąniezależnymizmiennymilosowymi dodatnimi o jednakowych rozkładach. Wykazać, że dla każdego k n ( ) X X k E = k X X n n.
15 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli (X n )jestciągiemniemalejącymnieujemnychzmiennych losowych, to E(lim X n) = lim E(X n). n n Wniosek Niech (X n )będzieciągiemnieujemnychzmiennychlosowych. Wówczas ( ) E X n = E(X n ). n=1 n=1
16 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli (X n )jestciągiemniemalejącymnieujemnychzmiennych losowych, to E(lim X n) = lim E(X n). n n Wniosek Niech (X n )będzieciągiemnieujemnychzmiennychlosowych. Wówczas ( ) E X n = E(X n ). n=1 n=1
17 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeżeli (X n )jesttakimciągiemzmiennymlosowych,że X n Zdla pewnej całkowalnej zmiennej losowej Z, to E(lim n X n) = lim n E(X n). Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Jeżeliistniejetakaliczbarzeczywista c,że X n cna Ωoraz lim n X n = X,toEX < oraz E(lim n X n) =EX.
18 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeżeli (X n )jesttakimciągiemzmiennymlosowych,że X n Zdla pewnej całkowalnej zmiennej losowej Z, to E(lim n X n) = lim n E(X n). Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Jeżeliistniejetakaliczbarzeczywista c,że X n cna Ωoraz lim n X n = X,toEX < oraz E(lim n X n) =EX.
19 jest szczególnym przypadkiem grupy parametrów, które nazywamy momentami. Definicja Liczbę m k =E(X k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X. Liczbę β k =E( X k ) nazywamy momentem absolutnym rzędu k zmiennej losowej X.
20 Twierdzenie Jeśli moment zwykły rzędu s zmiennej losowej X jest skończony, to wszystkie momenty zwykłe rzędu r < s są również skończone.
21 jest jedną z charakterystyk liczbowych zmiennych losowych zwanych parametrami położenia. Mówi ona z grubsza, gdzie są skupione wartości przyjmowane przez zmienną losową. Odpowiada za średnią wartość przyjmowaną przez zmienną losową. Istnieją również inne parametry położenia. Definicja Wartość x spełniającą nierówności P(X x) p, P(X x) 1 p, dla0 < p <1nazywamykwantylemrzędu pzmiennejlosowej Xi oznaczamyprzez x p.
22 Równoważnie możemy zapisać p P(X = x) F(x) p. Zatem jeśli X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, to kwantylem rzędu pzmiennejlosowej Xjestwartość x p spełniającarówność F(x p ) = p. Warto jeszcze podkreślić, że kwantyl może nie być zdefiniowany jednoznacznie. W przypadku jednak gdy dystrybuanta jest rosnąca jest wyznaczony jednoznacznie.
23 Definicja Kwantyl rzędu 1/2 nazywamy medianą, kwantyl rzędu 1/4 i 3/4 nazywamy odpowiednio dolnym i górnym kwartylem. Dla zmiennej losowej Xoznaczmyodpowiednio Me(X), Q 1 (X)iQ 3 (X).
24 Przykład(M1) Ile wynosi mediana w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(M2) Ile wynosi mediana w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?
25 Przykład(M1) Ile wynosi mediana w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(M2) Ile wynosi mediana w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?
26 Definicja Dominantą(modą) zmiennej losowej X nazywamy: W przypadku zmiennej losowej dyskretnej wartość, której odpowiada największe prawdopodobieństwo. W przypadku zmiennej losowej ciągłej wartość dla której gęstość przyjmuje maksimum lokalne. Podobnie jak kwantyle dominanta może nie być wyznaczona jednoznacznie. W przypadku gdy zmienna losowa X ma dokładnie jedną wartość modalną jej rozkład nazywamy jednomodalny, w przeciwnym razie mówimy o rozkładach wielomodalnych.
27 Przykład(D1) Ile wynosi dominanta w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(D2) Ile wynosi dominanta w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?
28 Przykład(D1) Ile wynosi dominanta w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(D2) Ile wynosi dominanta w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?
29 Kolejną grupę parametrów zmiennej losowej stanowią parametry rozproszenia. Definicja Liczbę Var(X) =E([X EX] 2 ) nazywamy wariancją zmiennej losowej X, jeżeli wartość oczekiwana poprawejstronieistnieje.liczbę σ x = Var(X)nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. Uwaga Var(X) 0.
30 Kolejną grupę parametrów zmiennej losowej stanowią parametry rozproszenia. Definicja Liczbę Var(X) =E([X EX] 2 ) nazywamy wariancją zmiennej losowej X, jeżeli wartość oczekiwana poprawejstronieistnieje.liczbę σ x = Var(X)nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. Uwaga Var(X) 0.
31 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).
32 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).
33 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).
34 jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej X wokół jej wartości oczekiwanej E X. Zauważmy, że jeżeli X jest zmienną losową dyskretną, to Var(X) = [x k EX] 2 P(X = x k ). k=1 Jeżeli natomiast X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, to Var(X) = [x EX] 2 f X (x)dx, gdzie f X (x)jestgęstościązmiennejlosowej X.
35 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?
36 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?
37 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?
38 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?
39 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?
40 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?
41 Definicja Dla każdego naturalnego k liczbę µ k =E(X EX) k nazywamy momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X. Zauważmy, że wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.
42 Momenty wyższych rzędów wykorzystywane są do mierzenia asymetrii(skośności) oraz stopnia koncentracji wokół średniej. Definicja Wielkość E(X EX)3 α 3 = Var 3/2 (X) nazywamy współczynnikiem asymetrii. Definicja Wielkość E(X EX)4 α 4 = Var 2 3 (X) nazywamy współczynnikiem spłaszczenia(kurtozą).
43 Momenty wyższych rzędów wykorzystywane są do mierzenia asymetrii(skośności) oraz stopnia koncentracji wokół średniej. Definicja Wielkość E(X EX)3 α 3 = Var 3/2 (X) nazywamy współczynnikiem asymetrii. Definicja Wielkość E(X EX)4 α 4 = Var 2 3 (X) nazywamy współczynnikiem spłaszczenia(kurtozą).
44 Twierdzenie(Nierówność Cachy ego-schwarza) JeżeliEX 2 < orazey 2 <,to (EXY) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie(Nierówność Jensena) JeżeliE X < iniech gbędzietakąfunkcjąwypukłą,że E g(x) <.Wtedy g(ex) Eg(X).
45 Twierdzenie(Nierówność Cachy ego-schwarza) JeżeliEX 2 < orazey 2 <,to (EXY) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie(Nierówność Jensena) JeżeliE X < iniech gbędzietakąfunkcjąwypukłą,że E g(x) <.Wtedy g(ex) Eg(X).
46 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.
47 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.
48 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.
49 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Wartościąoczekiwanązmiennejlosowej X = (X 1,X 2,...,X n )o wartościachwr n nazywamywektor EX = (EX 1,EX 2,...,EX n ), o ile wszystkie współrzędne mają wartość oczekiwaną.
50 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę m lk =E(X l Y k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu l + k wektora losowego (X,Y). Definicja Liczbę µ lk =E[(X EX) l (Y EY) k ], gdzie l, k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, nazywamy momentemcentralnymrzędu l +kwektoralosowego (X,Y).
51 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę m lk =E(X l Y k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu l + k wektora losowego (X,Y). Definicja Liczbę µ lk =E[(X EX) l (Y EY) k ], gdzie l, k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, nazywamy momentemcentralnymrzędu l +kwektoralosowego (X,Y).
52 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę Cov(X,Y) =E[(X EX)(Y EY)] nazywamy kowariancją zmiennych losowych X i Y. Zauważmy, że kowariancja jest momentem centralnym rzędu 1 + 1, czyli µ 11. Uwaga Cov(X,Y) =EXY EXEY. Jeżeli istnieją odpowiednie wariancje, to istnieje również kowariancja.
53 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę Cov(X,Y) =E[(X EX)(Y EY)] nazywamy kowariancją zmiennych losowych X i Y. Zauważmy, że kowariancja jest momentem centralnym rzędu 1 + 1, czyli µ 11. Uwaga Cov(X,Y) =EXY EXEY. Jeżeli istnieją odpowiednie wariancje, to istnieje również kowariancja.
54 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Cov(X,X) =Var(X), Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y), Cov(a+X,Y) =Cov(X,Y), Cov(aX +by,z) = acov(x,z)+bcov(y,z).
55 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji JeżeliCov(X,Y) 0,tozmiennelosowe Xi Ysązależne.Jako ilościową charakterystykę stopnia tej zależności wykorzystuje się współczynnik korelacji. Definicja Liczbę ρ(x,y) = Cov(X,Y) Var(X)Var(Y) nazywamy współczynnikiem korelacji.
56 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Dlakażdejzdwóchzmiennychlosowych Xi Y,dlaktórych 0 <Var(X),Var(Y) < 1 1 ρ(x,y) 1, 2 ρ(x,y) =1 wtedyitylkowtedy,gdyistniejątakieliczby a 0ib,że P(Y = ax +b) =1.Jeżeli ρ(x,y) =1,to a >0ijeżeli ρ(x,y) = 1,to a <0. Uwaga Jeżelizmiennelosowe Xi Ysąniezależne,toCov(X,Y) =0i zmienne te są nieskorelowane. Z nieskorelowania zmiennych losowych X i Y nie wynika jednak ich niezależność. Jest to prawdą jedynie dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego.
57 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Dlakażdejzdwóchzmiennychlosowych Xi Y,dlaktórych 0 <Var(X),Var(Y) < 1 1 ρ(x,y) 1, 2 ρ(x,y) =1 wtedyitylkowtedy,gdyistniejątakieliczby a 0ib,że P(Y = ax +b) =1.Jeżeli ρ(x,y) =1,to a >0ijeżeli ρ(x,y) = 1,to a <0. Uwaga Jeżelizmiennelosowe Xi Ysąniezależne,toCov(X,Y) =0i zmienne te są nieskorelowane. Z nieskorelowania zmiennych losowych X i Y nie wynika jednak ich niezależność. Jest to prawdą jedynie dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego.
58 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(korelacja a niezależność) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie b(p). Pokazać, że zmiennelosowe Xoraz X 2 sąnieskorelowaneizależne.
59 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Dla wektora losowego odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji. Definicja JeśliVar(X i ) < dlakażdego i =1,2,...,n,tomacierz Σ = [σ ij ] n i,j=1,gdzie σ ij =Cov(X i,x j )nazywamymacierzą kowariancjiwektoralosowego X = (X 1,X 2,...X n ). Twierdzenie Macierz kowariancji ma następujące własności: jest symetryczna, jest nieujemnie określona, tzn. dla każdego skończonego ciągu liczbrzeczywistych t 1,t 2,...,t n mamy n i,j=1 t it j σ ij 0.
60 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Dla wektora losowego odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji. Definicja JeśliVar(X i ) < dlakażdego i =1,2,...,n,tomacierz Σ = [σ ij ] n i,j=1,gdzie σ ij =Cov(X i,x j )nazywamymacierzą kowariancjiwektoralosowego X = (X 1,X 2,...X n ). Twierdzenie Macierz kowariancji ma następujące własności: jest symetryczna, jest nieujemnie określona, tzn. dla każdego skończonego ciągu liczbrzeczywistych t 1,t 2,...,t n mamy n i,j=1 t it j σ ij 0.
61 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K1) Rozmieszczono n ponumerowanych kul w n ponumerowanych urnach w taki sposób, że każda urna zawiera dokładnie jedną kulę. Niech { 1, jeżelikula ijestwurnie i, X i = 0, wp.p. Ilewynosi ρ(x i,x j ),dla i j?
62 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K2) Dana jest gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) { 24x 2 y(1 x) dla0 x 1,0 y 1 f(x,y) = 0 w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymilosowymi Xoraz Y.
63 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K3) Niechwektorlosowy (X,Y)magęstośćpostaci(rozkład jednostajny na kole): { 1 f(x,y) = π dla x 2 +y w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymilosowymi Xoraz Y.
64 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Gdy znamy warunkowy rozkład zmiennej Y, czyli rozkład Y dla dowolnej wartości x zmiennej losowej X, to możemy wyznaczyć wartość oczekiwaną takiego rozkładu(o ile istnieje). Nazywamy ją warunkową wartością oczekiwaną Y pod warunkiem X = x i oznaczamy E(Y X = x). Dla rozkładów dyskretnych mamy: E(Y X = x) = j y j P(Y = y j X = x), natomiast dla ciągłych E(Y X = x) = yf Y X f(y x)dy.
65 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.
66 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.
67 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.
68 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE1) Łączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką Wyznaczyć E(Y X). Y = 1 Y =0 Y =2 X =0 1/4 1/4 0 X =1 1/6 1/6 1/6
69 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE2) Rozpatrzmy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jaka jest średnia liczba sukcesów w i-tej próbie, jeżeli wiadomo, ile zaszło sukcesów w całej serii? Przykład(CE3) Wektorlosowy (X,Y)marozkładogęstości: { 2(x +y) dla0 x 1,0 y x, f(x,y) = 0 wp.p. Wyznaczyć E(Y X).
70 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE2) Rozpatrzmy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jaka jest średnia liczba sukcesów w i-tej próbie, jeżeli wiadomo, ile zaszło sukcesów w całej serii? Przykład(CE3) Wektorlosowy (X,Y)marozkładogęstości: { 2(x +y) dla0 x 1,0 y x, f(x,y) = 0 wp.p. Wyznaczyć E(Y X).
71 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Niech (X,Y,Z)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żewartości oczekiwaneexieyistnieją.wtedy Jeśli X 0,toE(X Z) 0, E(X Z) E( X Z), E(aX +by Z) = ae(x Z)+bE(Y Z),dladowolnych a,b R. Twierdzenie Niech (X,Y)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żeistnieje wartośćoczekiwanaey.wtedy E(E(Y X)) =EY, Jeśli X,Ysąniezależne,toE(Y X) =EY.
72 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Niech (X,Y,Z)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żewartości oczekiwaneexieyistnieją.wtedy Jeśli X 0,toE(X Z) 0, E(X Z) E( X Z), E(aX +by Z) = ae(x Z)+bE(Y Z),dladowolnych a,b R. Twierdzenie Niech (X,Y)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żeistnieje wartośćoczekiwanaey.wtedy E(E(Y X)) =EY, Jeśli X,Ysąniezależne,toE(Y X) =EY.
73 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE4) Czas pracy T pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Koszt użytkowania urządzenia, które uległo awariiwchwili t,marozkład U(1,3 e t ).Jakajestwartość oczekiwana kosztów K użytkowania tego urządzenia?
74 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Analogicznie do warunkowej wartości oczekiwanej można zdefiniować warunkową wariancję Y pod warunkiem X = x którą oznaczamy Var(Y X = x). Dla rozkładów dyskretnych mamy: Var(Y X = x) = j (y j m(x)) 2 P(Y = y j X = x), natomiast dla ciągłych Var(Y X = x) = gdzie m(x) =E(Y X = x). (y m(x)) 2 f Y X f(y x)dy,
75 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).
76 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).
77 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).
78 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(suma losowa) Niech X 1,X 2,...będzieciągiemniezależnychzmiennychlosowych o jednakowym rozkładzie(i.i.d.). Niech N będzie indeksem losowymniezależnymodciągu (X i ).Sumąlosowąnazywamy zmienną losową N S = X i. i=1 Ile wynosi wartość oczekiwana oraz wariancja sumy losowej?
79 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli składowe wektora (X, Y) spełniają warunek P(Y = αx +β) =1,toprostą y = αx +β nazywa się prostą regresji. Pojęcie to można rozszerzyć na pojęcie linii regresji I rodzaju. Definicja Linią regresji zmiennej losowej Y względem X nazywamy krzywą o równaniu y = h(x) =E(Y X = x), a linią regresji zmiennej losowej X względem Y krzywą o równaniu x = g(y) =E(X Y = y).
80 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli składowe wektora (X, Y) spełniają warunek P(Y = αx +β) =1,toprostą y = αx +β nazywa się prostą regresji. Pojęcie to można rozszerzyć na pojęcie linii regresji I rodzaju. Definicja Linią regresji zmiennej losowej Y względem X nazywamy krzywą o równaniu y = h(x) =E(Y X = x), a linią regresji zmiennej losowej X względem Y krzywą o równaniu x = g(y) =E(X Y = y).
81 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli P(Y = αx +β) =1( ρ =1),toliniąregresjijest prosta regresji. Gdy powyższy warunek nie jest spełniony, to linia regresji nie jest prostą. Szukamy wówczas takiej funkcji liniowej, aby prawdopodobieństwo P(Y = αx + β) było możliwie duże. Zazwyczaj jako kryterium jakości przyjmuje się oczekiwany błąd kwadratowy aproksymacji e =E(Y αx β) 2. Wartości α, β, dla których e jest minimalne, wyznaczają prostą regresji II rodzaju.
82 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli P(Y = αx +β) =1( ρ =1),toliniąregresjijest prosta regresji. Gdy powyższy warunek nie jest spełniony, to linia regresji nie jest prostą. Szukamy wówczas takiej funkcji liniowej, aby prawdopodobieństwo P(Y = αx + β) było możliwie duże. Zazwyczaj jako kryterium jakości przyjmuje się oczekiwany błąd kwadratowy aproksymacji e =E(Y αx β) 2. Wartości α, β, dla których e jest minimalne, wyznaczają prostą regresji II rodzaju.
83 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Jeżeli ρ =1,toobydwielinieregresjiIiIIrodzajupokrywająsię. Twierdzenie Linia regresji II rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X ma postać: y = ρ σ Y σ X x + ( EY ρ σ ) Y EX, σ X gdzie ρ σ Y σ X jestwspółczynnikiemregresjiliniowej.błąd aproksymacji wynosi e = (1 ρ 2 )σ 2 Y.
84 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Jeżeli ρ =1,toobydwielinieregresjiIiIIrodzajupokrywająsię. Twierdzenie Linia regresji II rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X ma postać: y = ρ σ Y σ X x + ( EY ρ σ ) Y EX, σ X gdzie ρ σ Y σ X jestwspółczynnikiemregresjiliniowej.błąd aproksymacji wynosi e = (1 ρ 2 )σ 2 Y.
85 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(linie regresji) Jaką postać mają linie regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X gdy łączna gęstość prawdopodobieństwa jest postaci { x +ydla0 < x,y <1 f(x,y) = 0wp.p.
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 12.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 12. Rachunek prawdopodobieństwa Dariusz Wrzosek Zajęcia nr 12. 9 stycznia 2019 1 / 32 Zmienne losowe Przebieg różnych zjawisk losowych wygodnie jest opisywać za pomoca
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkłady łaczne wielu zmiennych losowych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 3 Motywacje Przykłady sytuacji z kilkoma zmiennymi losowymi: Antropometria: wzrost, waga ciała i grubość skóry przedramienia
Bardziej szczegółowo1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick]
1. Pojęcie normy, normy wektora [Kiełbasiński, Schwetlick] wektor x R d x =(x 1,x 2,..., x d ) T wektor, punkt w przestrzeni d-wymiarowej norma wektora własności (1) kxk > 0, kxk =0tylko wtedy, gdy x =0
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowo