Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych"

Transkrypt

1 Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6 płacimy4zł.czywartobraćudziałwtejgrze?czynadłuższą metę opłaca się grać?

2 Definicja Zmienna losowa X o wartościach w R ma wartość oczekiwaną (średnią, nadzieję matematyczną, esperancję), jeżeli jest całkowalna, czyli jeżeli X dp <. Ω W takim przypadku wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywamy liczbę(całka Lebesgue a) EX = XdP. Ω

3 Definicja Niech X będzie zmienną losową dyskretną o rozkładzie P(X = x i ) = p i, i =1,2,...Wartościąoczekiwanązmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = i x i p i, oile x i p i <. i Jeżeli i x i p i =,tomówimy,żezmiennalosowa Xniema wartości oczekiwanej.

4 Żądanie bezwzględnej zbieżności szeregu jest bardzo ważne. Gwarantuje ono, że wartość oczekiwana nie zależy od kolejności sumowania wyrazów. W przeciwnym razie wartość oczekiwana mogłaby zależeć nie tylko od rozkładu zmiennej losowej X, ale również od sposobu ponumerowania punktów skokowych. Nie byłaby więc w takiej sytuacji wyznaczona jednoznacznie.

5 Przykład(konieczność warunku bezwzględnej zbieżności) Ile wynosi wartość oczekiwana w następującym rozkładzie P(X = x k ) = p k, k =1,2,..., p k = 2 3 k, x k = ( 1)k 3 k. k

6 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie Bernoulliego) Ile wynosi E X w rozkładzie Bernoulliego? Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie geometrycznym) Ile wynosi E X w rozkładzie geometrycznym z parametrem p =1/2?

7 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie Bernoulliego) Ile wynosi E X w rozkładzie Bernoulliego? Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie geometrycznym) Ile wynosi E X w rozkładzie geometrycznym z parametrem p =1/2?

8 Definicja Niech X będzie zmienną losową ciągłą o gęstości f(x). Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX = xf(x)dx, oile x f(x)dx <.

9 Przykład(wartość oczekiwana w rozkładzie jednostajnym) IlewynosiEXwrozkładziejednostajnymnaodcinku [a,b]?

10 Twierdzenie Niech g : R n Rbędziefunkcjąborelowską,aXzmiennąlosową owartościachwr n.wtedy: E(g(X)) = g(x)dp. R n CzęstocałkiLebesque a R g(x)dpoznaczasięprzez R g(x)df i nazywa całkami Lebesque a-stieltjesa.

11 Twierdzenie Niech g : R n Rbędziefunkcjąborelowską,aXzmiennąlosową owartościachwr n.wtedy: E(g(X)) = g(x)dp. R n CzęstocałkiLebesque a R g(x)dpoznaczasięprzez R g(x)df i nazywa całkami Lebesque a-stieltjesa.

12 Twierdzenie Załóżmy,żeistniejąwartościoczekiwaneEXorazEY.Wtedy 1 Jeśli X 0,toEX 0. 2 EX <E X. 3 Dla a,b R 4 Jeżeli X Yna Ω,to E(aX +by) = aex +bey. EX EY 5 Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to EXY =EXEY

13 Przykład(wzór kombinatoryczny) Kupujemy klosównaloterii,wktórejjest Mlosów przegrywających i N wygrywających. Niech X będzie liczbą losów wygrywających wśród tych, które kupujemy. Ile wynosi wartość oczekiwana X? Przykład(E1) Niech X 1,X 2,...,X n będąniezależnymizmiennymilosowymi dodatnimi o jednakowych rozkładach. Wykazać, że dla każdego k n ( ) X X k E = k X X n n.

14 Przykład(wzór kombinatoryczny) Kupujemy klosównaloterii,wktórejjest Mlosów przegrywających i N wygrywających. Niech X będzie liczbą losów wygrywających wśród tych, które kupujemy. Ile wynosi wartość oczekiwana X? Przykład(E1) Niech X 1,X 2,...,X n będąniezależnymizmiennymilosowymi dodatnimi o jednakowych rozkładach. Wykazać, że dla każdego k n ( ) X X k E = k X X n n.

15 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli (X n )jestciągiemniemalejącymnieujemnychzmiennych losowych, to E(lim X n) = lim E(X n). n n Wniosek Niech (X n )będzieciągiemnieujemnychzmiennychlosowych. Wówczas ( ) E X n = E(X n ). n=1 n=1

16 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności monotonicznej) Jeżeli (X n )jestciągiemniemalejącymnieujemnychzmiennych losowych, to E(lim X n) = lim E(X n). n n Wniosek Niech (X n )będzieciągiemnieujemnychzmiennychlosowych. Wówczas ( ) E X n = E(X n ). n=1 n=1

17 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeżeli (X n )jesttakimciągiemzmiennymlosowych,że X n Zdla pewnej całkowalnej zmiennej losowej Z, to E(lim n X n) = lim n E(X n). Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Jeżeliistniejetakaliczbarzeczywista c,że X n cna Ωoraz lim n X n = X,toEX < oraz E(lim n X n) =EX.

18 Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej) Jeżeli (X n )jesttakimciągiemzmiennymlosowych,że X n Zdla pewnej całkowalnej zmiennej losowej Z, to E(lim n X n) = lim n E(X n). Twierdzenie( Lebesgue a o zbieżności ograniczonej) Jeżeliistniejetakaliczbarzeczywista c,że X n cna Ωoraz lim n X n = X,toEX < oraz E(lim n X n) =EX.

19 jest szczególnym przypadkiem grupy parametrów, które nazywamy momentami. Definicja Liczbę m k =E(X k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X. Liczbę β k =E( X k ) nazywamy momentem absolutnym rzędu k zmiennej losowej X.

20 Twierdzenie Jeśli moment zwykły rzędu s zmiennej losowej X jest skończony, to wszystkie momenty zwykłe rzędu r < s są również skończone.

21 jest jedną z charakterystyk liczbowych zmiennych losowych zwanych parametrami położenia. Mówi ona z grubsza, gdzie są skupione wartości przyjmowane przez zmienną losową. Odpowiada za średnią wartość przyjmowaną przez zmienną losową. Istnieją również inne parametry położenia. Definicja Wartość x spełniającą nierówności P(X x) p, P(X x) 1 p, dla0 < p <1nazywamykwantylemrzędu pzmiennejlosowej Xi oznaczamyprzez x p.

22 Równoważnie możemy zapisać p P(X = x) F(x) p. Zatem jeśli X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, to kwantylem rzędu pzmiennejlosowej Xjestwartość x p spełniającarówność F(x p ) = p. Warto jeszcze podkreślić, że kwantyl może nie być zdefiniowany jednoznacznie. W przypadku jednak gdy dystrybuanta jest rosnąca jest wyznaczony jednoznacznie.

23 Definicja Kwantyl rzędu 1/2 nazywamy medianą, kwantyl rzędu 1/4 i 3/4 nazywamy odpowiednio dolnym i górnym kwartylem. Dla zmiennej losowej Xoznaczmyodpowiednio Me(X), Q 1 (X)iQ 3 (X).

24 Przykład(M1) Ile wynosi mediana w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(M2) Ile wynosi mediana w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?

25 Przykład(M1) Ile wynosi mediana w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(M2) Ile wynosi mediana w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?

26 Definicja Dominantą(modą) zmiennej losowej X nazywamy: W przypadku zmiennej losowej dyskretnej wartość, której odpowiada największe prawdopodobieństwo. W przypadku zmiennej losowej ciągłej wartość dla której gęstość przyjmuje maksimum lokalne. Podobnie jak kwantyle dominanta może nie być wyznaczona jednoznacznie. W przypadku gdy zmienna losowa X ma dokładnie jedną wartość modalną jej rozkład nazywamy jednomodalny, w przeciwnym razie mówimy o rozkładach wielomodalnych.

27 Przykład(D1) Ile wynosi dominanta w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(D2) Ile wynosi dominanta w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?

28 Przykład(D1) Ile wynosi dominanta w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]? Przykład(D2) Ile wynosi dominanta w rozkładzie o funkcji gęstości postaci f(x) = k x k+1i [1, )(x), gdzie k > 0 jest rzeczywistym parametrem?

29 Kolejną grupę parametrów zmiennej losowej stanowią parametry rozproszenia. Definicja Liczbę Var(X) =E([X EX] 2 ) nazywamy wariancją zmiennej losowej X, jeżeli wartość oczekiwana poprawejstronieistnieje.liczbę σ x = Var(X)nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. Uwaga Var(X) 0.

30 Kolejną grupę parametrów zmiennej losowej stanowią parametry rozproszenia. Definicja Liczbę Var(X) =E([X EX] 2 ) nazywamy wariancją zmiennej losowej X, jeżeli wartość oczekiwana poprawejstronieistnieje.liczbę σ x = Var(X)nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. Uwaga Var(X) 0.

31 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).

32 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).

33 Wniosek Var(X) =EX 2 E 2 X. Twierdzenie Dladowolnychliczb aoraz bzachodziwzór Var(aX +b) = a 2 Var(X). Twierdzenie Jeżeli X oraz Y są niezależnymi zmiennymi losowymi to zachodzi wzór Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y).

34 jest miarą rozrzutu wartości zmiennej losowej X wokół jej wartości oczekiwanej E X. Zauważmy, że jeżeli X jest zmienną losową dyskretną, to Var(X) = [x k EX] 2 P(X = x k ). k=1 Jeżeli natomiast X jest zmienną losową absolutnie ciągłą, to Var(X) = [x EX] 2 f X (x)dx, gdzie f X (x)jestgęstościązmiennejlosowej X.

35 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?

36 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?

37 Twierdzenie Jeśli XjestzmiennąlosowądlaktórejEX 2 <,toistnieje Var(X). Przykład(W1) Ile wynosi wariancja w rozkładzie dwumianowym? Przykład(W2) Ile wynosi wariancja w rozkładzie jednostajnym na odcinku [a, b]?

38 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?

39 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?

40 Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejVar(X) =1nazywasięzmienną losową unormowaną. Definicja Zmiennalosowa X,dlaktórejEX =0iVar(X) =1nazywasię zmienną losową standaryzowaną. Przykład(standaryzacja) Czy zmienna losowa Y = X EX Var(X), gdy Var(X) > 0 jest zmienną losową standaryzowaną?

41 Definicja Dla każdego naturalnego k liczbę µ k =E(X EX) k nazywamy momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X. Zauważmy, że wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.

42 Momenty wyższych rzędów wykorzystywane są do mierzenia asymetrii(skośności) oraz stopnia koncentracji wokół średniej. Definicja Wielkość E(X EX)3 α 3 = Var 3/2 (X) nazywamy współczynnikiem asymetrii. Definicja Wielkość E(X EX)4 α 4 = Var 2 3 (X) nazywamy współczynnikiem spłaszczenia(kurtozą).

43 Momenty wyższych rzędów wykorzystywane są do mierzenia asymetrii(skośności) oraz stopnia koncentracji wokół średniej. Definicja Wielkość E(X EX)3 α 3 = Var 3/2 (X) nazywamy współczynnikiem asymetrii. Definicja Wielkość E(X EX)4 α 4 = Var 2 3 (X) nazywamy współczynnikiem spłaszczenia(kurtozą).

44 Twierdzenie(Nierówność Cachy ego-schwarza) JeżeliEX 2 < orazey 2 <,to (EXY) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie(Nierówność Jensena) JeżeliE X < iniech gbędzietakąfunkcjąwypukłą,że E g(x) <.Wtedy g(ex) Eg(X).

45 Twierdzenie(Nierówność Cachy ego-schwarza) JeżeliEX 2 < orazey 2 <,to (EXY) 2 EX 2 EY 2. Twierdzenie(Nierówność Jensena) JeżeliE X < iniech gbędzietakąfunkcjąwypukłą,że E g(x) <.Wtedy g(ex) Eg(X).

46 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.

47 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.

48 Twierdzenie(Nierówność Markowa) P( X ε) E X. ε Twierdzenie(Nierówność Czebyszewa) Przykład(NC) P( X EX ε) VarX ε 2. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach symetryczną monetą uzyskamy pomiędzy 40 a 60 orłów.

49 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Wartościąoczekiwanązmiennejlosowej X = (X 1,X 2,...,X n )o wartościachwr n nazywamywektor EX = (EX 1,EX 2,...,EX n ), o ile wszystkie współrzędne mają wartość oczekiwaną.

50 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę m lk =E(X l Y k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu l + k wektora losowego (X,Y). Definicja Liczbę µ lk =E[(X EX) l (Y EY) k ], gdzie l, k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, nazywamy momentemcentralnymrzędu l +kwektoralosowego (X,Y).

51 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę m lk =E(X l Y k ) nazywamy momentem zwykłym rzędu l + k wektora losowego (X,Y). Definicja Liczbę µ lk =E[(X EX) l (Y EY) k ], gdzie l, k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, nazywamy momentemcentralnymrzędu l +kwektoralosowego (X,Y).

52 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę Cov(X,Y) =E[(X EX)(Y EY)] nazywamy kowariancją zmiennych losowych X i Y. Zauważmy, że kowariancja jest momentem centralnym rzędu 1 + 1, czyli µ 11. Uwaga Cov(X,Y) =EXY EXEY. Jeżeli istnieją odpowiednie wariancje, to istnieje również kowariancja.

53 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Liczbę Cov(X,Y) =E[(X EX)(Y EY)] nazywamy kowariancją zmiennych losowych X i Y. Zauważmy, że kowariancja jest momentem centralnym rzędu 1 + 1, czyli µ 11. Uwaga Cov(X,Y) =EXY EXEY. Jeżeli istnieją odpowiednie wariancje, to istnieje również kowariancja.

54 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Cov(X,X) =Var(X), Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Var(X +Y) =Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y), Cov(a+X,Y) =Cov(X,Y), Cov(aX +by,z) = acov(x,z)+bcov(y,z).

55 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji JeżeliCov(X,Y) 0,tozmiennelosowe Xi Ysązależne.Jako ilościową charakterystykę stopnia tej zależności wykorzystuje się współczynnik korelacji. Definicja Liczbę ρ(x,y) = Cov(X,Y) Var(X)Var(Y) nazywamy współczynnikiem korelacji.

56 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Dlakażdejzdwóchzmiennychlosowych Xi Y,dlaktórych 0 <Var(X),Var(Y) < 1 1 ρ(x,y) 1, 2 ρ(x,y) =1 wtedyitylkowtedy,gdyistniejątakieliczby a 0ib,że P(Y = ax +b) =1.Jeżeli ρ(x,y) =1,to a >0ijeżeli ρ(x,y) = 1,to a <0. Uwaga Jeżelizmiennelosowe Xi Ysąniezależne,toCov(X,Y) =0i zmienne te są nieskorelowane. Z nieskorelowania zmiennych losowych X i Y nie wynika jednak ich niezależność. Jest to prawdą jedynie dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego.

57 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Dlakażdejzdwóchzmiennychlosowych Xi Y,dlaktórych 0 <Var(X),Var(Y) < 1 1 ρ(x,y) 1, 2 ρ(x,y) =1 wtedyitylkowtedy,gdyistniejątakieliczby a 0ib,że P(Y = ax +b) =1.Jeżeli ρ(x,y) =1,to a >0ijeżeli ρ(x,y) = 1,to a <0. Uwaga Jeżelizmiennelosowe Xi Ysąniezależne,toCov(X,Y) =0i zmienne te są nieskorelowane. Z nieskorelowania zmiennych losowych X i Y nie wynika jednak ich niezależność. Jest to prawdą jedynie dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego.

58 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(korelacja a niezależność) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie b(p). Pokazać, że zmiennelosowe Xoraz X 2 sąnieskorelowaneizależne.

59 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Dla wektora losowego odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji. Definicja JeśliVar(X i ) < dlakażdego i =1,2,...,n,tomacierz Σ = [σ ij ] n i,j=1,gdzie σ ij =Cov(X i,x j )nazywamymacierzą kowariancjiwektoralosowego X = (X 1,X 2,...X n ). Twierdzenie Macierz kowariancji ma następujące własności: jest symetryczna, jest nieujemnie określona, tzn. dla każdego skończonego ciągu liczbrzeczywistych t 1,t 2,...,t n mamy n i,j=1 t it j σ ij 0.

60 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Dla wektora losowego odpowiednikiem wariancji jest macierz kowariancji. Definicja JeśliVar(X i ) < dlakażdego i =1,2,...,n,tomacierz Σ = [σ ij ] n i,j=1,gdzie σ ij =Cov(X i,x j )nazywamymacierzą kowariancjiwektoralosowego X = (X 1,X 2,...X n ). Twierdzenie Macierz kowariancji ma następujące własności: jest symetryczna, jest nieujemnie określona, tzn. dla każdego skończonego ciągu liczbrzeczywistych t 1,t 2,...,t n mamy n i,j=1 t it j σ ij 0.

61 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K1) Rozmieszczono n ponumerowanych kul w n ponumerowanych urnach w taki sposób, że każda urna zawiera dokładnie jedną kulę. Niech { 1, jeżelikula ijestwurnie i, X i = 0, wp.p. Ilewynosi ρ(x i,x j ),dla i j?

62 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K2) Dana jest gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) { 24x 2 y(1 x) dla0 x 1,0 y 1 f(x,y) = 0 w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymilosowymi Xoraz Y.

63 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(K3) Niechwektorlosowy (X,Y)magęstośćpostaci(rozkład jednostajny na kole): { 1 f(x,y) = π dla x 2 +y w pozostałych przypadkach. Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymilosowymi Xoraz Y.

64 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Gdy znamy warunkowy rozkład zmiennej Y, czyli rozkład Y dla dowolnej wartości x zmiennej losowej X, to możemy wyznaczyć wartość oczekiwaną takiego rozkładu(o ile istnieje). Nazywamy ją warunkową wartością oczekiwaną Y pod warunkiem X = x i oznaczamy E(Y X = x). Dla rozkładów dyskretnych mamy: E(Y X = x) = j y j P(Y = y j X = x), natomiast dla ciągłych E(Y X = x) = yf Y X f(y x)dy.

65 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.

66 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.

67 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie JeżeliistniejeEY,toistniejerównieżE(Y X = x). Definicja Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy gdzie m(x) =E(Y X = x). E(Y X) = m(x), Uwaga Warunkowa wartość oczekiwana E(Y X) jest pewną funkcją zmiennej losowej X, jest zatem również zmienną losową.

68 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE1) Łączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką Wyznaczyć E(Y X). Y = 1 Y =0 Y =2 X =0 1/4 1/4 0 X =1 1/6 1/6 1/6

69 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE2) Rozpatrzmy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jaka jest średnia liczba sukcesów w i-tej próbie, jeżeli wiadomo, ile zaszło sukcesów w całej serii? Przykład(CE3) Wektorlosowy (X,Y)marozkładogęstości: { 2(x +y) dla0 x 1,0 y x, f(x,y) = 0 wp.p. Wyznaczyć E(Y X).

70 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE2) Rozpatrzmy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jaka jest średnia liczba sukcesów w i-tej próbie, jeżeli wiadomo, ile zaszło sukcesów w całej serii? Przykład(CE3) Wektorlosowy (X,Y)marozkładogęstości: { 2(x +y) dla0 x 1,0 y x, f(x,y) = 0 wp.p. Wyznaczyć E(Y X).

71 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Niech (X,Y,Z)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żewartości oczekiwaneexieyistnieją.wtedy Jeśli X 0,toE(X Z) 0, E(X Z) E( X Z), E(aX +by Z) = ae(x Z)+bE(Y Z),dladowolnych a,b R. Twierdzenie Niech (X,Y)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żeistnieje wartośćoczekiwanaey.wtedy E(E(Y X)) =EY, Jeśli X,Ysąniezależne,toE(Y X) =EY.

72 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Twierdzenie Niech (X,Y,Z)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żewartości oczekiwaneexieyistnieją.wtedy Jeśli X 0,toE(X Z) 0, E(X Z) E( X Z), E(aX +by Z) = ae(x Z)+bE(Y Z),dladowolnych a,b R. Twierdzenie Niech (X,Y)będziewektoremlosowym.Załóżmy,żeistnieje wartośćoczekiwanaey.wtedy E(E(Y X)) =EY, Jeśli X,Ysąniezależne,toE(Y X) =EY.

73 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(CE4) Czas pracy T pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Koszt użytkowania urządzenia, które uległo awariiwchwili t,marozkład U(1,3 e t ).Jakajestwartość oczekiwana kosztów K użytkowania tego urządzenia?

74 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Analogicznie do warunkowej wartości oczekiwanej można zdefiniować warunkową wariancję Y pod warunkiem X = x którą oznaczamy Var(Y X = x). Dla rozkładów dyskretnych mamy: Var(Y X = x) = j (y j m(x)) 2 P(Y = y j X = x), natomiast dla ciągłych Var(Y X = x) = gdzie m(x) =E(Y X = x). (y m(x)) 2 f Y X f(y x)dy,

75 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).

76 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).

77 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Definicja Warunkową wariancją zmiennej losowej Y pod warunkiem zmiennej losowej X nazywamy Var(Y X) =E[(Y E(Y X)) 2 X] = σ 2 (X), gdzie σ 2 (x) =Var(Y X = x). Twierdzenie Var(Y X) =E(Y 2 X) E 2 (Y X). Twierdzenie VarY =E(Var(Y X))+Var(E(Y X)).

78 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(suma losowa) Niech X 1,X 2,...będzieciągiemniezależnychzmiennychlosowych o jednakowym rozkładzie(i.i.d.). Niech N będzie indeksem losowymniezależnymodciągu (X i ).Sumąlosowąnazywamy zmienną losową N S = X i. i=1 Ile wynosi wartość oczekiwana oraz wariancja sumy losowej?

79 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli składowe wektora (X, Y) spełniają warunek P(Y = αx +β) =1,toprostą y = αx +β nazywa się prostą regresji. Pojęcie to można rozszerzyć na pojęcie linii regresji I rodzaju. Definicja Linią regresji zmiennej losowej Y względem X nazywamy krzywą o równaniu y = h(x) =E(Y X = x), a linią regresji zmiennej losowej X względem Y krzywą o równaniu x = g(y) =E(X Y = y).

80 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli składowe wektora (X, Y) spełniają warunek P(Y = αx +β) =1,toprostą y = αx +β nazywa się prostą regresji. Pojęcie to można rozszerzyć na pojęcie linii regresji I rodzaju. Definicja Linią regresji zmiennej losowej Y względem X nazywamy krzywą o równaniu y = h(x) =E(Y X = x), a linią regresji zmiennej losowej X względem Y krzywą o równaniu x = g(y) =E(X Y = y).

81 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli P(Y = αx +β) =1( ρ =1),toliniąregresjijest prosta regresji. Gdy powyższy warunek nie jest spełniony, to linia regresji nie jest prostą. Szukamy wówczas takiej funkcji liniowej, aby prawdopodobieństwo P(Y = αx + β) było możliwie duże. Zazwyczaj jako kryterium jakości przyjmuje się oczekiwany błąd kwadratowy aproksymacji e =E(Y αx β) 2. Wartości α, β, dla których e jest minimalne, wyznaczają prostą regresji II rodzaju.

82 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Jeżeli P(Y = αx +β) =1( ρ =1),toliniąregresjijest prosta regresji. Gdy powyższy warunek nie jest spełniony, to linia regresji nie jest prostą. Szukamy wówczas takiej funkcji liniowej, aby prawdopodobieństwo P(Y = αx + β) było możliwie duże. Zazwyczaj jako kryterium jakości przyjmuje się oczekiwany błąd kwadratowy aproksymacji e =E(Y αx β) 2. Wartości α, β, dla których e jest minimalne, wyznaczają prostą regresji II rodzaju.

83 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Jeżeli ρ =1,toobydwielinieregresjiIiIIrodzajupokrywająsię. Twierdzenie Linia regresji II rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X ma postać: y = ρ σ Y σ X x + ( EY ρ σ ) Y EX, σ X gdzie ρ σ Y σ X jestwspółczynnikiemregresjiliniowej.błąd aproksymacji wynosi e = (1 ρ 2 )σ 2 Y.

84 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Uwaga Jeżeli ρ =1,toobydwielinieregresjiIiIIrodzajupokrywająsię. Twierdzenie Linia regresji II rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X ma postać: y = ρ σ Y σ X x + ( EY ρ σ ) Y EX, σ X gdzie ρ σ Y σ X jestwspółczynnikiemregresjiliniowej.błąd aproksymacji wynosi e = (1 ρ 2 )σ 2 Y.

85 Kowariancja i korelacja Warunkowa wartość oczekiwana Warunkowa wariancja Prosta regresji Przykład(linie regresji) Jaką postać mają linie regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X gdy łączna gęstość prawdopodobieństwa jest postaci { x +ydla0 < x,y <1 f(x,y) = 0wp.p.

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Współczynnik zmienności Klasycznym współczynnikiem (wskaźnikiem) zmienności zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie gdzie E(X) 0. v k z (X) = D(X) E(X), Klasyczny

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III) Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne:

Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),

Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x), Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa II

Rachunek prawdopodobieństwa II Leszek Słomiński achunek prawdopodobieństwa II Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki przygotowane w ramach projektu IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe

Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej

Wykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo