Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych"

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Informatyki kierunek: informatyka Grzegorz Świderski Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr. hab. Pawła Woźnego Wrocław 2015

2 Oświadczam, że pracę magisterską wykonałem samodzielnie i zgłaszam ją do oceny. Data:... Podpis autora pracy:... Oświadczam, że praca jest gotowa do oceny przez recenzenta. Data:... Podpis opiekuna pracy:...

3 Spis treści 1. Wstęp Notacja i oznaczenia Wielomiany ortogonalne Wielomiany Jacobiego Wielomiany Laguerre a Wielomiany Hermite a Rozkłady zmiennych losowych Rozkład Beta Rozkład Gamma Rozkład Normalny Kwadratury Sformułowanie zadania Kwadratura Gaussa Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) Kwadratura Clenshawa-Curtisa Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Kubatury Sformułowanie zadania Kubatury tensorowe Kubatura Smolyaka Chaos wielomianowy Przypadek jednej zmiennej losowej Przypadek ogólny Obliczanie statystyk Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu Metoda różnic skończonych dla stacjonarnego równania dyfuzji Metoda pseudospektralna Algorytmy numeryczne użyte w implementacji Algorytm Clenshawa Obliczanie zmodyfikowanych momentów Czebyszewa Momenty pierwszego rodzaju Momenty drugiego rodzaju Algorytm Olivera-Loziera Obliczanie wag kwadratur Przypadek kwadratury Gaussa Obliczanie dyskretnej transformaty sinusowej I rodzaju Przypadek kwadratury Clenshawa-Curtisa Przypadek kwadratury Fejéra Przykłady Model Malthusa Ujemny współczynnik wzrostu Dodatni współczynnik wzrostu Niestabilność numeryczna Stacjonarne równanie dyfuzji Mieszane rozkłady

4 4 1. Wstęp Rozkłady Beta Pewien model pracy transformatora Rozkłady Beta Mieszane rozkłady Testy pozostałych algorytmów numerycznych Obliczanie zmodyfikowanych momentów Kwadratury na przedziale ( 1, 1) Kubatury w kostce ( 1, 1) d Zamiana zmiennych na ( 1, 1) Zamiana zmiennych na ( 1, 1) d Dokumentacja programisty Plik momenty.mpl Plik kwadratury.mpl Plik kubatury.mpl Plik wielomianyortogonalne.mpl Plik rozkladyzmiennychlosowych.mpl Plik wektorylosowe.mpl Plik kolokacja.mpl Dokumentacja użytkownika Literatura Wstęp Rozważmy przykładowy model przepływu ładunku w obwodzie elektrycznym. Ładunek Q(t) w chwili t spełnia równanie różniczkowe L Q (t) + R Q (t) + 1 Q(t) = F (t), C Q(0) = Q 0, Q (0) = I 0, (1.1) gdzie R opór, L to indukcyjność, C pojemność a F (t) to potencjał źródła w chwili t. Jak widzimy w równaniu (1.1) występują parametry będące liczbami: R, L, C, Q 0 i I 0 oraz parametr F (t) będący funkcją. W praktyce powyższe parametry są dobierane poprzez eksperymentalny pomiar odpowiednich wielkości. Każdy pomiar jest obarczony pewnym błędem. Z tego powodu nawet jeśli model (1.1) jest adekwatny, to rozwiązania nie będą dokładnie odpowiadać obserwowanemu zjawisku. Z praktycznego punktu widzenia ważnym zadaniem jest zbadanie na ile błędy pomiaru powodują zmianę trajektorii rozwiązania. Jeśli zmiana jest duża, to ze względu na błędy pomiaru nie będziemy w stanie dobrze przewidzieć ewolucji badanego układu. W statystyce pomiar to realizacja pewnej zmiennej losowej ze znanej rodziny rozkładów, ale o nieznanych parametrach. Często używaną rodziną rozkładów jest na przykład rodzina rokładów normalnych {N (m, σ 2 ): m R, σ 2 > 0} o nieznanej wartości oczekiwanej m oraz nieznanej wariancji σ 2. Statystyka podaje metody jak powtarzając wielokrotnie eksperyment, można otrzymać przybliżenie nieznanych parametrów. Używając powyższej statystycznej interpretacji możemy rozumieć równanie (1.1) w ten sposób, że nieznane parametry liczbowe są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie. Wtedy rozwiązanie równania (1.1) przestaje być deterministyczne i staje się tzw. procesem stochastycznym. Wówczas możemy zapytać się o różne statystyki rozwiązania tego

5 równania. Na przykład wielkość wariancji mówi, na ile trajektorie rozwiązań są wrażliwe na niepewność pomiaru. Istnieje wiele metod rozwiązywania takich równań. Popularnym podejściem są tzw. metody Monte-Carlo (zob. [20]) polegające na (wielokrotnym) generowaniu wartości niezależnych zmiennych losowych mających rozkłady naszych parametrów. Następnie obliczane są rozwiązania równania dla tak ustalonej wartości parametrów. W końcu metodami statystycznymi obliczamy z nich szukane statystyki. Znaną wadą metody Monte-Carlo jest jej wolne tempo zbieżności. Poza tym ze względu na jej losowość nie można mieć pewności na ile otrzymany wynik nie jest przypadkowy. Innym podejściem są metody deterministyczne. Jedną z możliwości jest metoda Galerkina (zob. [20]), która polega na rozwiązywaniu odpowiednio zbudowanego układu równań różniczkowych związanych z badanym równaniem. W tym wypadku czasami rozwiązywany układ jest dużo bardziej skomplikowany i wymaga tworzenia (czasami zupełnie) nowych metod numerycznych. Czyli w tym przypadku do konkretnego równania i rozkładów musimy podchodzić indywidualnie. Metoda prezentowana w tej pracy jest deterministyczna i jest oparta na pomyśle rozwinięcia rozwiązania w postaci sumy wielomianów ortogonalnych względem odpowiedniego iloczynu skalarnego. W tym celu zakładamy, że wszystkie występujące parametry da się sparametryzować za pomocą skończonej ilości niezależnych zmiennych losowych. Prezentowana metoda jest podobna do metody Monte-Carlo w tym sensie, że musimy jedynie umieć rozwiązywać równanie z ustalonymi wartościami parametrów. Dla takich równań mamy zazwyczaj dobre metody numeryczne je rozwiązujące. Jedną z jej zalet jest szybsze tempo zbieżności (przy umiarkowanej liczbie parametrów) do rozwiązania w porównaniu do metod Monte-Carlo (zob. [4]). Inną zaletą jest to, że jest ona deterministyczna. Założenie, że parametry zależą od skończonej liczby zmiennych losowych z matematycznego punktu widzenia wydaje się dość restrykcyjne. Jednakże bardziej ogólne równania stochastyczne (zob. [11]) da się w pewnym stopniu przybliżać za pomocą tego modelu. W wypadku procesów gaussowskich da się to zrobić za pomocą tzw. transformaty Karhunena Loève (zob. [20]). W ogólnym wypadku metody dyskretyzacji prowadzą również do opisywanego modelu (zob. [21]). Teraz parę słów o strukturze pracy. W rozdziale 2 zamieszczamy podstawowe oznaczenia używane dalej. Następnie. w rozdziale 3, przedstawiamy podstawy ogólnej teorii wielomianów ortogonalnych oraz ich szczególne przypadki. Dalej, w rozdziale 4, podajemy podstawowe definicje teorii prawdopodobieństwa, najważniejsze rozkłady oraz ich związki z wielomianami ortogonalnymi. Zadanie obliczania statystyk wymagać będzie umiejętności obliczania całek po wielowymiarowym obszarze. Pokażemy jak to wykonać: w rozdziale 5 rozpatrzymy przypadek jednowymiarowy, natomiast w rozdziale 6 zbadamy ogólny przypadek. W rozdziale 7 przedstawimy jak przybliżać funkcje za pomocą wielomianów oraz jak wówczas z tego przybliżenia obliczać poszukiwane statystyki. W rozdziale 8 przedstawimy używane w pracy metody rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych, natomiast w rozdziale 9 jak zebrane w ten sposób informacje użyć do rozwiązania głównego zadania. W rozdziale 10 przedstawiono pewne pomocnicze algorytmy numeryczne. W rozdziale 11, na kilku przykładach, przedstawiono, jak skuteczna jest opisana metoda rozwiązywania równań. Natomiast w rozdziale 12 pokazano testy pomocniczych algorytmów numerycznych. Dokumentację programisty zamieszczono w rozdziale 13, natomiast sposób obsługi przygotowanego programu zamieszczono w rozdziale 14. 5

6 6 2. Notacja i oznaczenia 2. Notacja i oznaczenia Niech µ będzie miarą na przestrzeni X, a B(X) niech będzie rodziną zbiorów borelowskich na X (por. np. [14, rozdz. 1]). Dla każdej funkcji f : X C oraz p [1, ) normę związaną z miarą µ definiujemy wzorem: ( 1/p f L p (µ) := f(x) dµ(x)) p. X Zbiór wszystkich funkcji f spełniających warunek f L p (µ) < oznaczamy poprzez L p (µ). Jeśli miara µ ma gęstość w względem miary Lebesgue a (por. np. [14, rozdz. 2, rozdz. 6]), to będziemy używać również oznaczenia L p (w(x)dx). Jeżeli miara µ jest znana z kontekstu będziemy pisać po prostu L p. Dla funkcji f, g L 2 (µ) ich iloczyn skalarny definiujemy wzorem f, g := f(x)g(x)dµ(x). (2.1) Wówczas X f L 2 (µ) = f, f. Można pokazać, że L 2 (µ) z iloczynem skalarnym (2.1) jest przestrzenią Hilberta (zob. np. [14, rozdz. 4]). Dla funkcji określonych na R będziemy używać następujących oznaczeń: C c (R) zbiór funkcji ciągłych o zwartym nośniku, Cc (R) zbiór wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych o zwartym nośniku. Dla a > 0, b > 0 oraz z C definiujemy funkcję hipergeometryczną F (a; b; z) wzorem F (a; b; z) = k=0 a k b k z k k!, (2.2) gdzie dla x R definiujemy potęgę przyrastającą poprzez x k = x(x + 1)... (x + k 1). Dla a > 0 funkcja Gamma zadana jest wzorem natomiast Γ(a) := B(α, β) := x a 1 e x dx, x α 1 (1 x) β 1 dx, to funkcja Beta określona dla α > 0, β > 0. Można sprawdzić, że funkcje Gamma i Beta łączy następująca zależność: B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). Symbol dwumianowy ( ) x y określamy wzorem ( ) x := y 1 (x + 1)B(x y + 1, y + 1).

7 7 Dla zbioru A funkcję indykatorową 1 A określamy wzorem 1 jeśli x A, 1 A (x) := 0 w p.p. Wielowskaźnikiem nazywamy d wyrazowy ciąg i = (i 1, i 2,..., i d ) liczb całkowitych nieujemnych. Długość wielowskaźnika i to suma jego wyrazów, tzn. i 1 := i 1 + i i d. Dla wektora x = (x 1, x 2,..., x d ) oraz wielowskaźnika i = (i 1, i 2,..., i d ) definiujemy jednomian x i wzorem x i := x i 1 1 x i x i d d, wówczas jego stopniem nazywamy ciąg i. Wprowadzamy relację częściowego porządku pomiędzy stopniami długości d. Mówimy, że i j, jeśli j k i k 0 (k = 1, 2,..., d). Przestrzeń wszystkich wielomianów d zmiennych całkowitego stopnia co najwyżej N określamy jako P d N := c i x i : c i R. (2.3) i 1 N Jeżeli d = 1, to będziemy również używać oznaczenia P N. Dla wielomianu p jego stopniem całkowitym nazywamy najmniejszą liczbę N taką, że p P d N. Wówczas jego stopniem nazywamy najmniejsze ograniczenie górne ze względu na porządek zbioru {i: c i 0}, gdzie c i to współczynniki występujące w reprezentacji (2.3). Deltą Kroneckera δ ij nazywamy funkcję postaci 1 jeśli i = j, δ ij := 0 w p.p. Dla wielowskaźników i oraz j symbol δ ij rozumiemy w następujący sposób: δ ij := δ i1 j 1 δ i2 j 2... δ id j d. Będziemy używać następujących oznaczeń: n k=m n k=m a k := 1 2 a m + a k := 1 2 a m + n k=m+1 n 1 k=m+1 a k, (2.4) a k a n. (2.5) 3. Wielomiany ortogonalne Podane w tej części fakty i definicje przywołujemy za monografią [2]. Dla miary µ określonej na R jej n-tym momentem nazywamy liczbę m n := x n dµ(x) (n = 0, 1,...). (3.1) R

8 8 3. Wielomiany ortogonalne Załóżmy, że dla miary µ wszystkie jej momenty m n są skończone, a jej nośnik jest zbiorem nieskończonym. Wówczas możemy wykonać ortogonalizację Grama-Schmidta (zob. np. [2, rozdz. 1.3]) dla ciągu (x n : n N) względem iloczynu skalarnego (2.1). Otrzymamy wówczas ciąg {p n } n=0 wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ), tzn: p n, p m = γ n δ nm (γ n := p n 2 L 2 (µ) 0; n, m N) (por. (2.1)). Warto zauważyć, że dla każdych niezerowych stałych {a n } n=0 ciąg {a n p n } n=0 jest również ciągiem wielomianów ortogonalnych. W szczególności, mnożąc miarę przez stałą otrzymujemy te same wielomiany ortogonalne. Zauważmy, że bezpośrednio z ortogonalizacji Grama-Schmidta wynika, że zbiór {p 0, p 1,..., p N } tworzy bazę przestrzeni P N. Miarę µ nazywamy zdeterminowaną, jeśli nie istnieje inna miara, o takich samych momentach co miara µ. Wówczas wielomiany {p n } n=0 tworzą bazę ortogonalną w L 2 (µ). Wszystkie pojawiające się w tej pracy miary są miarami zdeterminowanymi. Każdy ciąg wielomianów ortogonalnych {p n } spełnia zależność rekurencyjną p 0 (x) α 0, p 1 (x) = α 1 x + β 1, p n (x) = (α n x + β n )p n 1 (x) γ n p n 2 (x) (n 2), dla pewnych stałych α k, β k, γ k. Zobacz [2, rozdz. 1.4, Tw. 4.1] Wielomiany Jacobiego (3.2) Niech miara µ ma gęstość w(x) := (1 x) α (1 + x) β dla x ( 1, 1) oraz stałych α, β > 1. Wówczas otrzymany ciąg wielomianów {P n (α,β) } nazywamy ciągiem wielomianów Jacobiego z parametrami α, β. Wielomiany te spełniają zależność rekurencyjną (3.2) dla α 0 = 1, α 1 = 1 + α + β, α n = 2 β 1 = α β 2 γ n = (2n + α + β 1)(2n + α + β), 2n(n + α + β), β n = (2n + α + β 1)(α2 β 2 ) 2n(n + α + β)(2n + α + β 2), (n + α 1)(n + β 1)(2n + α + β), n(n + α + β)(2n + α + β 2) p n (x) := P n (α,β) (x). Wielomiany Czebyszewa I rodzaju T n (n 0) są szczególnym przypadkiem wielomianów Jacobiego z parametrami α = β = 1/2. Wyrażają się one wzorem i spełniają zależność rekurencyjną postaci T n (x) = cos(n arccos(x)), x [ 1, 1] T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) (n 2). Warto zaznaczyć, że ze względów historycznych używamy tutaj nieco innego normowania niż w przypadku P n ( 1/2, 1/2), tzn. ( ) 1 n 1/2 T n (x) = P n ( 1/2, 1/2) (x). n

9 3.2. Wielomiany Laguerre a 9 Rysunek 1. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Kolejnym ważnym wypadkiem wielomianów Jacobiego są tzw. wielomiany Czebyszewa II rodzaju (dla α = β = 1/2) wyrażające się wzorem U n (x) = sin((n + 1) arccos(x)), x [ 1, 1]. sin(arccos(x)) W tym wypadku mamy U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U n (x) = 2xU n 1 (x) U n 2 (x) (n 2). I tutaj używamy innego normowania, dokładniej U n (x) = 1 ( ) 1 n + 1/2 2 P n (1/2,1/2) (x). n 3.2. Wielomiany Laguerre a Miarze µ o gęstości w(x) := x α e x dla x (0, ), gdzie α > 1, odpowiada tzw. ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n } dla parametru α. Jego wyrazy spełniają zależność rekurencyjną postaci L (α) 0 (x) 1, L (α) 1 (x) = α + 1 x, (x) = 2n + α 1 x L (α) n n L (α) n 1(x) n + α 1 n L (α) n 2(x) (n 2).

10 10 3. Wielomiany ortogonalne Rysunek 2. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa II rodzaju. Rysunek 3. Wykres pierwszych czterech wielomianów Laguerre a L (1).

11 3.3. Wielomiany Hermite a 11 Rysunek 4. Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite a Wielomiany Hermite a Jeśli miara µ ma gęstość w(x) := e x2 dla x R, to otrzymujemy wielomiany Hermite a {H n }, spełniające zależność rekurencyjną: H 0 (x) 1, H 1 (x) = 2x, H n (x) = 2xH n 1 (x) 2(n 1)H n 2 (x) (n 2). 4. Rozkłady zmiennych losowych Podaną niżej teorię przytaczamy za [6]. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilityczną (zob. [6, rozdz. 1]). Wówczas rozkładem zmiennej losowej X (zob. [6, rozdz. 5]) nazywamy miarę na R określoną wzorem µ X (A) := P (ω Ω: X(ω) A) (A B(R)). Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład µ będziemy oznaczać symbolem X µ. Zmienne losowe X, Y nazywamy (stochastycznie) niezależnymi, jeżeli dla wszystkich zbiorów A, B B(R) zachodzi P (ω : X(ω) A, Y (ω) B) = P (ω : X(ω) A) P (ω : Y (ω) B). Dla zmiennej losowej X jej wartość oczekiwaną E [X] definiujemy wzorem E [X] := Ω X(ω)dP (ω),

12 12 4. Rozkłady zmiennych losowych a jej wariancję VarX wzorem VarX := E [ (X E [X]) 2] = E [ X 2] (E [X]) 2. Jeżeli zmienne losowe X, Y są niezależne, a R, to zachodzą równości E [XY ] = E [X] E [Y ], Var(XY ) = E [ X 2] E [ Y 2] (E [X] E [Y ]) 2, Var(aX) = a 2 Var(X), Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Dla zmiennej losowej X jej funkcja tworząca momenty M X wyraża się wzorem (4.1) M X (t) := E [exp(tx)], (4.2) dla wszystkich t R takich, że powyższe wyrażenie jest skończone. Dla rozkładu µ o nośniku w przedziale (a, b) i gęstości f definiujemy nowy rozkład o gęstości τ c,d a,b f danej wzorem ( ) (τ c,d b a b a a,b f)(x) := d c f ad bc x +. (4.3) d c d c Tak zdefiniowany rozkład ma nośnik w przedziale (c, d). Operację tą nazywamy przesunięciem rozkładu µ do przedziału (c, d) Rozkład Beta Rozkład B(α, β) (α, β > 1) ma gęstość postaci f B α,β(x) := W tym wypadku mamy E [X B ] = β + 1 α + β + 2, VarX B = 1 B(α + 1, β + 1) xβ (1 x) α 1 (0,1) (x). (α + 1)(β + 1) (α + β + 2) 2 (α + β + 3). Natomiast jej funkcja tworząca momenty M XB wyraża się poprzez funkcję hipergeometryczną (por. (2.2)) w następujący sposób M XB (t) = F (α + 1; α + β + 2; t), (t R). (4.4) Warto zaznaczyć, że podana tu definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametrów α oraz β. Dokładniej, aby uzyskać standardową definicję musimy użyć parametrów α = β +1 oraz β = α+1. Zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. {P (α,β) n Zauważmy, że gęstości τ 1,1 0,1 fα,β B (por. (4.3)) odpowiada ciąg wielomianów Jacobiego }. W ogólności wielomiany { ( P n (α,β) 2 b+a (x b a 2 ))} są ortogonalne względem gęstości τ a,b 0,1f B α,β bo b a P (α,β) n ( ( 2 x b + a b a 2 = 2 b a 1 1 )) (τ a,b 0,1f B α,β)(x)dx ( b a P n (α,β) (y)(τ0,1f a,b α,β) B = 2 y + b + a ) dy P (α,β) n (y)(τ 1,1 0,1 f B α,β)(y)dy. (4.5)

13 4.2. Rozkład Gamma 13 Rysunek 5. Wykres gęstości rozkładu Beta dla różnych parametrów. Rozkład B(α, β) przesunięty do przedziału (a, b) będziemy oznaczać przez B(α, β, a, b). W szczególności, jeśli Y B(α, β, a, b), to Y = (b a)x B + a, (4.6) dla pewnej zmiennej X B B(α, β). Szczególnym przypadkiem powyższego rozkładu jesy rozkład jednostajny U(a, b), który uzyskujemy dla α = β = Rozkład Gamma Rozkład o gęstości postaci f G α,λ(x) := λα+1 Γ(α + 1) xα e λx 1 (0, ) (x) (α > 1, λ > 0) nazywamy rozkładem Gamma i oznaczamy symbolem Γ(α, λ). Można sprawdzić, że oraz E [X G ] = α + 1 λ, VarX G = α + 1 λ 2 M XG (t) = ( 1 t λ) α 1 (t < λ). Dla niezależnych zmiennych X Γ(α 1, λ) i Y Γ(α 1, λ) oraz liczby c > 0 mamy X + Y Γ(α 1 + α 2 1, λ), cx Γ(α 1, λ/c). (4.7)

14 14 4. Rozkłady zmiennych losowych Rysunek 6. Wykres gęstości rozkładu Gamma dla różnych parametrów. Oznacza to, że wystarczy rozpatrywać zmienne o ustalonej wartości λ (np. Γ(α, 1)). Zauważmy, że gęstości fα,1 G odpowiada ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n }. Natomiast wielomiany {L (α) n (λx)} są ortogonalne względem fα,1, G bo 0 L (α) n (λx)fα,λ(x)dx G = 1 λ 0 ( y L (α) n (y)fα,λ λ) G dy = L (α) n (y)fα,1(y)dy. G (4.8) 0 Warto zaznaczyć, że podana definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametru α, tzn. aby uzyskać standardową definicję musimy przyjąć α = α + 1). I w tym wypadku, zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. Szczególnym wariantem rozkładu Gamma jest rozkład wykładniczy Ex(λ) := Γ(0, λ) Rozkład Normalny oraz Rozkład N (m, σ 2 ) jest zdefiniowany dla m R, σ > 0. Ma on gęstość postaci Mamy fm,σ N 1 2(x) := e (x m)2 /(2σ 2). 2πσ E [X N ] = m, VarX N = σ 2. ( M XN (t) = exp µt + σ2 t 2 ) 2 Dla zmiennej X N (m, σ 2 ) oraz c > 0 zachodzi (t R). X m σ N (0, 1), cx N (cm, c 2 σ 2 ). Stąd wystarczy rozpatrywać zmienne o średniej zero i ustalonej wariancji (np. N (0, 1/2)).

15 15 Rysunek 7. Wykres gęstości Rozkładu Normalnego dla różnych parametrów. Ciąg wielomianów Hermite a {H n } związany jest z gęstością f 0,1/2. Natomiast wielomiany { ( )} H x m n 2σ są ortogonalne względem gęstości f N m,σ 2, bo ( ) x m H n fm,σ N 2(x)dx = 2σ H n (y)f N m,σ 2( 2σy + m)dy = H n (y)f N 0,1/2(y)dy. (4.9) 5. Kwadratury 5.1. Sformułowanie zadania Definicja 1. Funkcję w : R [0, + ) nazywamy funkcją wagową, jeżeli dla każdego k N zachodzi R x k w(x)dx <. Dla ustalonej funkcji wagowej definiujemy funkcjonał liniowy I : L 1 (w(x)dx) R postaci I(f) := f(x)w(x)dx. (5.1) R Głównym zadaniem, którym zajmujemy się w tym rozdziale jest obliczenie wartości I(f) dla danej funkcji f. Zazwyczaj nie potrafimy zrobić tego analitycznie, więc próbujemy zrobić to w sposób przybliżony. Niech ciąg funkcjonałów {Q n } n=1 wyraża się wzorem Q n (f) := p(n) j=1 w n j f(x n j ), (5.2) dla pewnej monotonicznej funkcji p, ciągów wag {w n i } p(n) i=1 oraz węzłów {x n i } p(n) i=1. Funkcjonał Q n nazywamy kwadraturą.

16 16 5. Kwadratury Z praktycznego punktu widzenia, ważne jest to, aby lim Q n(f) = I(f), (5.3) n dla każdej funkcji f z pewnego zbioru (np. f C c (R) lub f C c (R)). Definicja 2. Dla kwadratury Q zbiorem dokładnym nazywamy zbiór E(Q) := {f : Q(f) = I(f)}. W praktyce często używa się kwadratur Q, których zbiór dokładny zawiera zbiór wielomianów stopnia nie większego niż n, tzn. E(Q) P n. Jeżeli n jest maksymalne, to liczbę n nazywamy rzędem kwadratury Q. Definicja 3. Niech {Q n } n=1 będzie ciągiem kwadratur postaci (5.2). Mówimy, że {Q n } n=1 ma zagnieżdżone węzły, jeżeli {x n i } p(n) i=1 {x n+1 i } p(n+1) i=1, (n 1). Kwadratury posiadające zagnieżdżone węzły okażą się później istotne w kubaturze Smolyaka, o której piszemy w rozdziale Kwadratura Gaussa Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość całki postaci R f(x)dµ(x), (5.4) dla pewnej miary µ mającej skończone wszystkie momenty (por. (3.1)). Niech {p k } k=0 będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ). Wówczas dla każdego n wielomian p n ma dokładnie n pojedyńczych, rzeczywistych miejsc zerowych t n1 < t n2 <... < t nn (zob. [2, rozdz. 1.5, Tw. 5.2]). Dla ustalonej liczby n niech I f n 1 będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach x n j = t nj (j = 1, 2,..., n). (5.5) Całkując I f n 1 otrzymujemy dla pewnego ciągu liczb {w n j } n j=1. Określamy kwadraturę Gaussa wzorem: n In 1(x)dµ(x) f = wj n f(x n j ), (5.6) R j=1 n Q G n (f) := wj n f(x n j ). j=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.4): R f(x)dµ(x) Q G n (f).

17 5.3. Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) 17 Kwadratura Gaussa ma największy możliwy rząd i wynosi on 2n 1 (zob. [2, rozdz. 1.6, ćw. 6.7]). W rozdziale omówimy efektywny algorytm obliczania wartości ciągów {w n j } n j=1 oraz {x n k} n j=1. W ogólności kwadratury Gaussa nie mają zagnieżdżonych węzłów (por. def. 3), co jest ich istotną wadą w kontekście kubatury Smolyaka (patrz rozdz. 6.3). Jednakże, istnieją modyfikacje kwadratur Gaussa (tzw. kwadratury Gaussa Pattersona), które mają tą pożądaną własność (patrz [4]) Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) W dalszym ciągu zajmiemy się obliczaniem wartości (5.1) dla funkcji wagowych, które są niezerowe tylko na przedziale ( 1, 1). Aby zamienić ogólny przedział całkowania na odcinek ( 1, 1) będziemy korzystać z następującej zamiany zmiennych: b f(x)dx = b a ( 1 b a f a y + b + a ) dy, (5.7) 2 f(x)dx = 2 ( ) 1 1 y dy f, (λ > 0) (5.8) 0 λ 1 λ(1 + y) (1 + y) 2 ( ) 1 2σy 2σdy f(x)dx = f + m (σ > 0, m R). (5.9) 1 1 y 2 (1 y 2 ) 3/ Kwadratura Clenshawa-Curtisa Chcemy obliczyć wartość całki postaci 1 f(x)w(x)dx, (5.10) 1 gdzie w jest funkcją wagową. Niech n > 1 oraz niech Jn 1(x) f będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach (k 1)π y k = cos, k = 1, 2,..., n. n 1 Można pokazać, że wielomian J f n 1(x) wyraża się wzorem gdzie b j := 2 n 1 Zobacz np. [10]. Całkując J f n 1 otrzymujemy J f n 1(x) = n k=1 n 1 j=0 b j T j (x), f(y k )T j (y k ) (j = 0, 1,..., n 1). gdzie 1 1 J n 1 f(x)w(x)dx = m j [w] := 1 1 n 1 j=0 b j m j [w], T j (x)w(x)dx, (5.11)

18 18 5. Kwadratury jest zmodyfikowanym momentem Czebyszewa I rodzaju funkcji wagowej w. Jeżeli n = 1, to przyjmujemy y 1 = 0 oraz w 1 = m 0 [w]. Określamy kwadraturę Clenshawa-Curtisa wzorem: Q CC n (f) := n 1 n w j f(y j ) = 1=0 j=0 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q CC n (f). 1 b j m j [w]. (5.12) Ze względu na to, że kwadratura Clenshawa-Curtisa jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. W testach pokażemy, że czasami jest on większy, lecz w ogólności jest równy n 1. Przyjmując 1, gdy n = 1, p(n) := 2 n 1 + 1, w p.p. otrzymujemy ciąg kwadratur {Q CC p(n) } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3) Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Tak jak w przypadku kwadratury Clenshawa-Curtisa rozważanym zadaniem jest obliczenie wartości całki (5.10). Wykorzystujemy w tym celu wielomian I f n 1 interpolujący wartości funkcji f w węzłach kπ z k := cos, k = 1, 2,... n. n + 1 Należy zauważyć, że użyte węzły różnią się od węzłów kwadratury Clenshawa-Curtisa tylko brakiem wartości brzegowych 1 oraz 1. Jest to przydatna własność w przypadku, gdy funkcja f ma osobliwości na końcach przedziału [ 1, 1]. W [16] pokazano, że całkując I f n 1 otrzymujemy następujące wagi gdzie w k = 2(1 y2 k) n + 1 λ j [w] := 1 1 n 1 j=0 U j (z k )λ j [w], (5.13) U j (x)w(x)dx (5.14) jest tzw. zmodyfikowanym momentem Czebyszewa II rodzaju funkcji wagowej w. Kwadraturę Fejéra (II rodzaju) określamy wzorem: n Q F n II (f) := w k f(z k ). k=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q F n II (f). 1 Ze względu na to, że kwadratura Fejéra jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. Przyjmując p(n) := 2 n 1, otrzymujemy, ciąg kwadratur {Q F p(n) II } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3).

19 19 6. Kubatury Poniższą teorię przytaczamy za artykułem [3] Sformułowanie zadania Dla danych funkcji wagowych {w (i) } d i=1, wprowadzamy funkcjonały {I (i) } d i=1 postaci I (i) f := f(x i )w (i) (x i )dx i (f : R R) (6.1) R (por. z (5.1)). Rozważane tu zadanie polega na obliczeniu wartości funkcjonału postaci I(f) := (I (1) I (2)... I (d) )(f) := f(x)w(x)dx, (6.2) R d gdzie f : R d R oraz 6.2. Kubatury tensorowe x := (x 1, x 2,..., x d ), w(x) := w (1) (x 1 )w (2) (x 2 )... w (d) (x d ). Poniżej podajemy definicję iloczynu tensorowego dla kilku szczególnych przypadków. Definicja 4. Niech {Q (i) } d i=1 będzie ciągiem funkcjonałów postaci Wówczas funkcjonał gdzie p (i) Q (i) (g) := j=1 w (i) j g(x (i) j ) (i = 1, 2,..., d; g : R R). (Q (1) Q (2)... Q (d) )(f) := w j = w (1) j 1 w (2) j 2 nazywamy iloczynem tensorowym ciągu {Q (i) } d i=1. Definicja 5. Niech f, g : R R. Wówczas funkcję 1 j i p (i) 1 i d w j f(x j ),... w (d) j d, x j = (x j1, x j2,..., x jd ), (f g)(x, y) := f(x) g(y) nazywamy iloczynem tensorowym funkcji f i g. Zauważmy, że iloczyn tensorowy nie jest w ogólności przemienny, ale jest łączny i wieloliniowy. Iloczyn tensorowy jest prostym sposobem na to, aby z kwadratur jednowymiarowych utworzyć tzw. kubaturę, czyli funkcjonał, który ma przybliżać wartość (6.2). O znaczeniu tej uwagi mówi następujący fakt. Fakt 1 ([3, Lemma 2.2]). Niech {Q (i) } d i=1 będą kwadraturami. Wówczas dla Q Q (1) Q (2)... Q (d) mamy następujące zawieranie zbiorów dokładnych (por. def. 2). E(Q (1) ) E(Q (2) )... E(Q (d) ) E(Q) Problemem w korzystaniu z kubatur tensorowych jest to, że przy d liczba węzłów zazwyczaj szybko rośnie.

20 20 6. Kubatury 6.3. Kubatura Smolyaka Zacznijmy od następującego przykładu. Niech będzie f(x, y) := x 16 + y 16 + x 5 y 2. Wówczas, aby dokładnie obliczyć wartość I(f) za pomocą iloczynu tensorowego kwadratur Clenshawa-Curtisa (patrz rozdział 5.4) potrzebujemy aż węzłów. Za pomocą uzyskanej w ten sposób kubatury można dokładnie obliczać całki z każdego wielomianu o stopniu nie większym niż (16, 16) (por. rozdz. 2). Z drugiej strony, aby obliczyć całki poszczególnych składników wystarczą kwadratury tensorowe o liczbie węzłów odpowienio: 17 1, 1 17 oraz 6 3. Poniżej przedstawimy metodę, która pozwala na dobranie węzłów kubatury w sposób bardziej oszczędny niż w przypadku kwadratury tensorowej. W poniższej konstrukcji będziemy zakładać, że dla każdego i = 1, 2,..., d dany jest ciąg kwadratur {Q (i) n } n=1 postaci (5.2). Definicja 6. Przy powyższych założeniach, operator różnicowy definiujemy wzorem (i) 0 := Q (i) 0 := 0, (6.3) (i) n := Q (i) n Zauważmy, że dla każdego i możemy zapisać Q (i) N = N n=1 Q (i) n Q (i) n 1, (n > 0). (6.4) Q (i) n 1 = Zatem z wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Q (1) N 1 Q (2) N 2... Q (d) N d = N 1 n 1 =1 (1) n N 2 n 2 =1 (2) n 2 N n=1... (i) n. N d n d =1 = 1 n i N i 1 i d (d) n d (1) n 1 (2) n 2... (d) n d. Obcinając odpowiednio ostatnią sumę, otrzymujemy tzw. kubaturę Smolyaka (por. [15]). Precyzuje to następująca definicja. Definicja 7. Kubaturą Smolyaka nazywamy funkcjonał liniowy określony wzorem Sn d := (1) l 1 (2) l 2... (d) l d. l 1 n+d 1 Liczbę n nazywamy wówczas rozdzielczością tejże kubatury. Zauważmy, że wprost z definicji S d n oraz łączności i wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Sn d = (1) l 1 (2) l 2... (d) l d l 1 n+d 1 n = (1) l 1 (2) l 2 l d =1 (l 1,l 2,...,l d 1 ) 1 n+d 1 l d... (d 1) l d 1 = (d) l d n l d =1 S d 1 n+1 l d (d) l d.

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Obliczanie całek. Instytut Fizyki Akademia Pomorska w Słupsku

Obliczanie całek. Instytut Fizyki Akademia Pomorska w Słupsku Obliczanie całek. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobami i możliwościami przybliżonego obliczania całek w środowisku GNU octave. Wprowadzenie Kwadratury Zajmijmy się przybliżonym

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo