Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych"

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Informatyki kierunek: informatyka Grzegorz Świderski Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr. hab. Pawła Woźnego Wrocław 2015

2 Oświadczam, że pracę magisterską wykonałem samodzielnie i zgłaszam ją do oceny. Data:... Podpis autora pracy:... Oświadczam, że praca jest gotowa do oceny przez recenzenta. Data:... Podpis opiekuna pracy:...

3 Spis treści 1. Wstęp Notacja i oznaczenia Wielomiany ortogonalne Wielomiany Jacobiego Wielomiany Laguerre a Wielomiany Hermite a Rozkłady zmiennych losowych Rozkład Beta Rozkład Gamma Rozkład Normalny Kwadratury Sformułowanie zadania Kwadratura Gaussa Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) Kwadratura Clenshawa-Curtisa Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Kubatury Sformułowanie zadania Kubatury tensorowe Kubatura Smolyaka Chaos wielomianowy Przypadek jednej zmiennej losowej Przypadek ogólny Obliczanie statystyk Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu Metoda różnic skończonych dla stacjonarnego równania dyfuzji Metoda pseudospektralna Algorytmy numeryczne użyte w implementacji Algorytm Clenshawa Obliczanie zmodyfikowanych momentów Czebyszewa Momenty pierwszego rodzaju Momenty drugiego rodzaju Algorytm Olivera-Loziera Obliczanie wag kwadratur Przypadek kwadratury Gaussa Obliczanie dyskretnej transformaty sinusowej I rodzaju Przypadek kwadratury Clenshawa-Curtisa Przypadek kwadratury Fejéra Przykłady Model Malthusa Ujemny współczynnik wzrostu Dodatni współczynnik wzrostu Niestabilność numeryczna Stacjonarne równanie dyfuzji Mieszane rozkłady

4 4 1. Wstęp Rozkłady Beta Pewien model pracy transformatora Rozkłady Beta Mieszane rozkłady Testy pozostałych algorytmów numerycznych Obliczanie zmodyfikowanych momentów Kwadratury na przedziale ( 1, 1) Kubatury w kostce ( 1, 1) d Zamiana zmiennych na ( 1, 1) Zamiana zmiennych na ( 1, 1) d Dokumentacja programisty Plik momenty.mpl Plik kwadratury.mpl Plik kubatury.mpl Plik wielomianyortogonalne.mpl Plik rozkladyzmiennychlosowych.mpl Plik wektorylosowe.mpl Plik kolokacja.mpl Dokumentacja użytkownika Literatura Wstęp Rozważmy przykładowy model przepływu ładunku w obwodzie elektrycznym. Ładunek Q(t) w chwili t spełnia równanie różniczkowe L Q (t) + R Q (t) + 1 Q(t) = F (t), C Q(0) = Q 0, Q (0) = I 0, (1.1) gdzie R opór, L to indukcyjność, C pojemność a F (t) to potencjał źródła w chwili t. Jak widzimy w równaniu (1.1) występują parametry będące liczbami: R, L, C, Q 0 i I 0 oraz parametr F (t) będący funkcją. W praktyce powyższe parametry są dobierane poprzez eksperymentalny pomiar odpowiednich wielkości. Każdy pomiar jest obarczony pewnym błędem. Z tego powodu nawet jeśli model (1.1) jest adekwatny, to rozwiązania nie będą dokładnie odpowiadać obserwowanemu zjawisku. Z praktycznego punktu widzenia ważnym zadaniem jest zbadanie na ile błędy pomiaru powodują zmianę trajektorii rozwiązania. Jeśli zmiana jest duża, to ze względu na błędy pomiaru nie będziemy w stanie dobrze przewidzieć ewolucji badanego układu. W statystyce pomiar to realizacja pewnej zmiennej losowej ze znanej rodziny rozkładów, ale o nieznanych parametrach. Często używaną rodziną rozkładów jest na przykład rodzina rokładów normalnych {N (m, σ 2 ): m R, σ 2 > 0} o nieznanej wartości oczekiwanej m oraz nieznanej wariancji σ 2. Statystyka podaje metody jak powtarzając wielokrotnie eksperyment, można otrzymać przybliżenie nieznanych parametrów. Używając powyższej statystycznej interpretacji możemy rozumieć równanie (1.1) w ten sposób, że nieznane parametry liczbowe są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie. Wtedy rozwiązanie równania (1.1) przestaje być deterministyczne i staje się tzw. procesem stochastycznym. Wówczas możemy zapytać się o różne statystyki rozwiązania tego

5 równania. Na przykład wielkość wariancji mówi, na ile trajektorie rozwiązań są wrażliwe na niepewność pomiaru. Istnieje wiele metod rozwiązywania takich równań. Popularnym podejściem są tzw. metody Monte-Carlo (zob. [20]) polegające na (wielokrotnym) generowaniu wartości niezależnych zmiennych losowych mających rozkłady naszych parametrów. Następnie obliczane są rozwiązania równania dla tak ustalonej wartości parametrów. W końcu metodami statystycznymi obliczamy z nich szukane statystyki. Znaną wadą metody Monte-Carlo jest jej wolne tempo zbieżności. Poza tym ze względu na jej losowość nie można mieć pewności na ile otrzymany wynik nie jest przypadkowy. Innym podejściem są metody deterministyczne. Jedną z możliwości jest metoda Galerkina (zob. [20]), która polega na rozwiązywaniu odpowiednio zbudowanego układu równań różniczkowych związanych z badanym równaniem. W tym wypadku czasami rozwiązywany układ jest dużo bardziej skomplikowany i wymaga tworzenia (czasami zupełnie) nowych metod numerycznych. Czyli w tym przypadku do konkretnego równania i rozkładów musimy podchodzić indywidualnie. Metoda prezentowana w tej pracy jest deterministyczna i jest oparta na pomyśle rozwinięcia rozwiązania w postaci sumy wielomianów ortogonalnych względem odpowiedniego iloczynu skalarnego. W tym celu zakładamy, że wszystkie występujące parametry da się sparametryzować za pomocą skończonej ilości niezależnych zmiennych losowych. Prezentowana metoda jest podobna do metody Monte-Carlo w tym sensie, że musimy jedynie umieć rozwiązywać równanie z ustalonymi wartościami parametrów. Dla takich równań mamy zazwyczaj dobre metody numeryczne je rozwiązujące. Jedną z jej zalet jest szybsze tempo zbieżności (przy umiarkowanej liczbie parametrów) do rozwiązania w porównaniu do metod Monte-Carlo (zob. [4]). Inną zaletą jest to, że jest ona deterministyczna. Założenie, że parametry zależą od skończonej liczby zmiennych losowych z matematycznego punktu widzenia wydaje się dość restrykcyjne. Jednakże bardziej ogólne równania stochastyczne (zob. [11]) da się w pewnym stopniu przybliżać za pomocą tego modelu. W wypadku procesów gaussowskich da się to zrobić za pomocą tzw. transformaty Karhunena Loève (zob. [20]). W ogólnym wypadku metody dyskretyzacji prowadzą również do opisywanego modelu (zob. [21]). Teraz parę słów o strukturze pracy. W rozdziale 2 zamieszczamy podstawowe oznaczenia używane dalej. Następnie. w rozdziale 3, przedstawiamy podstawy ogólnej teorii wielomianów ortogonalnych oraz ich szczególne przypadki. Dalej, w rozdziale 4, podajemy podstawowe definicje teorii prawdopodobieństwa, najważniejsze rozkłady oraz ich związki z wielomianami ortogonalnymi. Zadanie obliczania statystyk wymagać będzie umiejętności obliczania całek po wielowymiarowym obszarze. Pokażemy jak to wykonać: w rozdziale 5 rozpatrzymy przypadek jednowymiarowy, natomiast w rozdziale 6 zbadamy ogólny przypadek. W rozdziale 7 przedstawimy jak przybliżać funkcje za pomocą wielomianów oraz jak wówczas z tego przybliżenia obliczać poszukiwane statystyki. W rozdziale 8 przedstawimy używane w pracy metody rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych, natomiast w rozdziale 9 jak zebrane w ten sposób informacje użyć do rozwiązania głównego zadania. W rozdziale 10 przedstawiono pewne pomocnicze algorytmy numeryczne. W rozdziale 11, na kilku przykładach, przedstawiono, jak skuteczna jest opisana metoda rozwiązywania równań. Natomiast w rozdziale 12 pokazano testy pomocniczych algorytmów numerycznych. Dokumentację programisty zamieszczono w rozdziale 13, natomiast sposób obsługi przygotowanego programu zamieszczono w rozdziale 14. 5

6 6 2. Notacja i oznaczenia 2. Notacja i oznaczenia Niech µ będzie miarą na przestrzeni X, a B(X) niech będzie rodziną zbiorów borelowskich na X (por. np. [14, rozdz. 1]). Dla każdej funkcji f : X C oraz p [1, ) normę związaną z miarą µ definiujemy wzorem: ( 1/p f L p (µ) := f(x) dµ(x)) p. X Zbiór wszystkich funkcji f spełniających warunek f L p (µ) < oznaczamy poprzez L p (µ). Jeśli miara µ ma gęstość w względem miary Lebesgue a (por. np. [14, rozdz. 2, rozdz. 6]), to będziemy używać również oznaczenia L p (w(x)dx). Jeżeli miara µ jest znana z kontekstu będziemy pisać po prostu L p. Dla funkcji f, g L 2 (µ) ich iloczyn skalarny definiujemy wzorem f, g := f(x)g(x)dµ(x). (2.1) Wówczas X f L 2 (µ) = f, f. Można pokazać, że L 2 (µ) z iloczynem skalarnym (2.1) jest przestrzenią Hilberta (zob. np. [14, rozdz. 4]). Dla funkcji określonych na R będziemy używać następujących oznaczeń: C c (R) zbiór funkcji ciągłych o zwartym nośniku, Cc (R) zbiór wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych o zwartym nośniku. Dla a > 0, b > 0 oraz z C definiujemy funkcję hipergeometryczną F (a; b; z) wzorem F (a; b; z) = k=0 a k b k z k k!, (2.2) gdzie dla x R definiujemy potęgę przyrastającą poprzez x k = x(x + 1)... (x + k 1). Dla a > 0 funkcja Gamma zadana jest wzorem natomiast Γ(a) := B(α, β) := x a 1 e x dx, x α 1 (1 x) β 1 dx, to funkcja Beta określona dla α > 0, β > 0. Można sprawdzić, że funkcje Gamma i Beta łączy następująca zależność: B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). Symbol dwumianowy ( ) x y określamy wzorem ( ) x := y 1 (x + 1)B(x y + 1, y + 1).

7 7 Dla zbioru A funkcję indykatorową 1 A określamy wzorem 1 jeśli x A, 1 A (x) := 0 w p.p. Wielowskaźnikiem nazywamy d wyrazowy ciąg i = (i 1, i 2,..., i d ) liczb całkowitych nieujemnych. Długość wielowskaźnika i to suma jego wyrazów, tzn. i 1 := i 1 + i i d. Dla wektora x = (x 1, x 2,..., x d ) oraz wielowskaźnika i = (i 1, i 2,..., i d ) definiujemy jednomian x i wzorem x i := x i 1 1 x i x i d d, wówczas jego stopniem nazywamy ciąg i. Wprowadzamy relację częściowego porządku pomiędzy stopniami długości d. Mówimy, że i j, jeśli j k i k 0 (k = 1, 2,..., d). Przestrzeń wszystkich wielomianów d zmiennych całkowitego stopnia co najwyżej N określamy jako P d N := c i x i : c i R. (2.3) i 1 N Jeżeli d = 1, to będziemy również używać oznaczenia P N. Dla wielomianu p jego stopniem całkowitym nazywamy najmniejszą liczbę N taką, że p P d N. Wówczas jego stopniem nazywamy najmniejsze ograniczenie górne ze względu na porządek zbioru {i: c i 0}, gdzie c i to współczynniki występujące w reprezentacji (2.3). Deltą Kroneckera δ ij nazywamy funkcję postaci 1 jeśli i = j, δ ij := 0 w p.p. Dla wielowskaźników i oraz j symbol δ ij rozumiemy w następujący sposób: δ ij := δ i1 j 1 δ i2 j 2... δ id j d. Będziemy używać następujących oznaczeń: n k=m n k=m a k := 1 2 a m + a k := 1 2 a m + n k=m+1 n 1 k=m+1 a k, (2.4) a k a n. (2.5) 3. Wielomiany ortogonalne Podane w tej części fakty i definicje przywołujemy za monografią [2]. Dla miary µ określonej na R jej n-tym momentem nazywamy liczbę m n := x n dµ(x) (n = 0, 1,...). (3.1) R

8 8 3. Wielomiany ortogonalne Załóżmy, że dla miary µ wszystkie jej momenty m n są skończone, a jej nośnik jest zbiorem nieskończonym. Wówczas możemy wykonać ortogonalizację Grama-Schmidta (zob. np. [2, rozdz. 1.3]) dla ciągu (x n : n N) względem iloczynu skalarnego (2.1). Otrzymamy wówczas ciąg {p n } n=0 wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ), tzn: p n, p m = γ n δ nm (γ n := p n 2 L 2 (µ) 0; n, m N) (por. (2.1)). Warto zauważyć, że dla każdych niezerowych stałych {a n } n=0 ciąg {a n p n } n=0 jest również ciągiem wielomianów ortogonalnych. W szczególności, mnożąc miarę przez stałą otrzymujemy te same wielomiany ortogonalne. Zauważmy, że bezpośrednio z ortogonalizacji Grama-Schmidta wynika, że zbiór {p 0, p 1,..., p N } tworzy bazę przestrzeni P N. Miarę µ nazywamy zdeterminowaną, jeśli nie istnieje inna miara, o takich samych momentach co miara µ. Wówczas wielomiany {p n } n=0 tworzą bazę ortogonalną w L 2 (µ). Wszystkie pojawiające się w tej pracy miary są miarami zdeterminowanymi. Każdy ciąg wielomianów ortogonalnych {p n } spełnia zależność rekurencyjną p 0 (x) α 0, p 1 (x) = α 1 x + β 1, p n (x) = (α n x + β n )p n 1 (x) γ n p n 2 (x) (n 2), dla pewnych stałych α k, β k, γ k. Zobacz [2, rozdz. 1.4, Tw. 4.1] Wielomiany Jacobiego (3.2) Niech miara µ ma gęstość w(x) := (1 x) α (1 + x) β dla x ( 1, 1) oraz stałych α, β > 1. Wówczas otrzymany ciąg wielomianów {P n (α,β) } nazywamy ciągiem wielomianów Jacobiego z parametrami α, β. Wielomiany te spełniają zależność rekurencyjną (3.2) dla α 0 = 1, α 1 = 1 + α + β, α n = 2 β 1 = α β 2 γ n = (2n + α + β 1)(2n + α + β), 2n(n + α + β), β n = (2n + α + β 1)(α2 β 2 ) 2n(n + α + β)(2n + α + β 2), (n + α 1)(n + β 1)(2n + α + β), n(n + α + β)(2n + α + β 2) p n (x) := P n (α,β) (x). Wielomiany Czebyszewa I rodzaju T n (n 0) są szczególnym przypadkiem wielomianów Jacobiego z parametrami α = β = 1/2. Wyrażają się one wzorem i spełniają zależność rekurencyjną postaci T n (x) = cos(n arccos(x)), x [ 1, 1] T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) (n 2). Warto zaznaczyć, że ze względów historycznych używamy tutaj nieco innego normowania niż w przypadku P n ( 1/2, 1/2), tzn. ( ) 1 n 1/2 T n (x) = P n ( 1/2, 1/2) (x). n

9 3.2. Wielomiany Laguerre a 9 Rysunek 1. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Kolejnym ważnym wypadkiem wielomianów Jacobiego są tzw. wielomiany Czebyszewa II rodzaju (dla α = β = 1/2) wyrażające się wzorem U n (x) = sin((n + 1) arccos(x)), x [ 1, 1]. sin(arccos(x)) W tym wypadku mamy U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U n (x) = 2xU n 1 (x) U n 2 (x) (n 2). I tutaj używamy innego normowania, dokładniej U n (x) = 1 ( ) 1 n + 1/2 2 P n (1/2,1/2) (x). n 3.2. Wielomiany Laguerre a Miarze µ o gęstości w(x) := x α e x dla x (0, ), gdzie α > 1, odpowiada tzw. ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n } dla parametru α. Jego wyrazy spełniają zależność rekurencyjną postaci L (α) 0 (x) 1, L (α) 1 (x) = α + 1 x, (x) = 2n + α 1 x L (α) n n L (α) n 1(x) n + α 1 n L (α) n 2(x) (n 2).

10 10 3. Wielomiany ortogonalne Rysunek 2. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa II rodzaju. Rysunek 3. Wykres pierwszych czterech wielomianów Laguerre a L (1).

11 3.3. Wielomiany Hermite a 11 Rysunek 4. Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite a Wielomiany Hermite a Jeśli miara µ ma gęstość w(x) := e x2 dla x R, to otrzymujemy wielomiany Hermite a {H n }, spełniające zależność rekurencyjną: H 0 (x) 1, H 1 (x) = 2x, H n (x) = 2xH n 1 (x) 2(n 1)H n 2 (x) (n 2). 4. Rozkłady zmiennych losowych Podaną niżej teorię przytaczamy za [6]. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilityczną (zob. [6, rozdz. 1]). Wówczas rozkładem zmiennej losowej X (zob. [6, rozdz. 5]) nazywamy miarę na R określoną wzorem µ X (A) := P (ω Ω: X(ω) A) (A B(R)). Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład µ będziemy oznaczać symbolem X µ. Zmienne losowe X, Y nazywamy (stochastycznie) niezależnymi, jeżeli dla wszystkich zbiorów A, B B(R) zachodzi P (ω : X(ω) A, Y (ω) B) = P (ω : X(ω) A) P (ω : Y (ω) B). Dla zmiennej losowej X jej wartość oczekiwaną E [X] definiujemy wzorem E [X] := Ω X(ω)dP (ω),

12 12 4. Rozkłady zmiennych losowych a jej wariancję VarX wzorem VarX := E [ (X E [X]) 2] = E [ X 2] (E [X]) 2. Jeżeli zmienne losowe X, Y są niezależne, a R, to zachodzą równości E [XY ] = E [X] E [Y ], Var(XY ) = E [ X 2] E [ Y 2] (E [X] E [Y ]) 2, Var(aX) = a 2 Var(X), Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Dla zmiennej losowej X jej funkcja tworząca momenty M X wyraża się wzorem (4.1) M X (t) := E [exp(tx)], (4.2) dla wszystkich t R takich, że powyższe wyrażenie jest skończone. Dla rozkładu µ o nośniku w przedziale (a, b) i gęstości f definiujemy nowy rozkład o gęstości τ c,d a,b f danej wzorem ( ) (τ c,d b a b a a,b f)(x) := d c f ad bc x +. (4.3) d c d c Tak zdefiniowany rozkład ma nośnik w przedziale (c, d). Operację tą nazywamy przesunięciem rozkładu µ do przedziału (c, d) Rozkład Beta Rozkład B(α, β) (α, β > 1) ma gęstość postaci f B α,β(x) := W tym wypadku mamy E [X B ] = β + 1 α + β + 2, VarX B = 1 B(α + 1, β + 1) xβ (1 x) α 1 (0,1) (x). (α + 1)(β + 1) (α + β + 2) 2 (α + β + 3). Natomiast jej funkcja tworząca momenty M XB wyraża się poprzez funkcję hipergeometryczną (por. (2.2)) w następujący sposób M XB (t) = F (α + 1; α + β + 2; t), (t R). (4.4) Warto zaznaczyć, że podana tu definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametrów α oraz β. Dokładniej, aby uzyskać standardową definicję musimy użyć parametrów α = β +1 oraz β = α+1. Zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. {P (α,β) n Zauważmy, że gęstości τ 1,1 0,1 fα,β B (por. (4.3)) odpowiada ciąg wielomianów Jacobiego }. W ogólności wielomiany { ( P n (α,β) 2 b+a (x b a 2 ))} są ortogonalne względem gęstości τ a,b 0,1f B α,β bo b a P (α,β) n ( ( 2 x b + a b a 2 = 2 b a 1 1 )) (τ a,b 0,1f B α,β)(x)dx ( b a P n (α,β) (y)(τ0,1f a,b α,β) B = 2 y + b + a ) dy P (α,β) n (y)(τ 1,1 0,1 f B α,β)(y)dy. (4.5)

13 4.2. Rozkład Gamma 13 Rysunek 5. Wykres gęstości rozkładu Beta dla różnych parametrów. Rozkład B(α, β) przesunięty do przedziału (a, b) będziemy oznaczać przez B(α, β, a, b). W szczególności, jeśli Y B(α, β, a, b), to Y = (b a)x B + a, (4.6) dla pewnej zmiennej X B B(α, β). Szczególnym przypadkiem powyższego rozkładu jesy rozkład jednostajny U(a, b), który uzyskujemy dla α = β = Rozkład Gamma Rozkład o gęstości postaci f G α,λ(x) := λα+1 Γ(α + 1) xα e λx 1 (0, ) (x) (α > 1, λ > 0) nazywamy rozkładem Gamma i oznaczamy symbolem Γ(α, λ). Można sprawdzić, że oraz E [X G ] = α + 1 λ, VarX G = α + 1 λ 2 M XG (t) = ( 1 t λ) α 1 (t < λ). Dla niezależnych zmiennych X Γ(α 1, λ) i Y Γ(α 1, λ) oraz liczby c > 0 mamy X + Y Γ(α 1 + α 2 1, λ), cx Γ(α 1, λ/c). (4.7)

14 14 4. Rozkłady zmiennych losowych Rysunek 6. Wykres gęstości rozkładu Gamma dla różnych parametrów. Oznacza to, że wystarczy rozpatrywać zmienne o ustalonej wartości λ (np. Γ(α, 1)). Zauważmy, że gęstości fα,1 G odpowiada ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n }. Natomiast wielomiany {L (α) n (λx)} są ortogonalne względem fα,1, G bo 0 L (α) n (λx)fα,λ(x)dx G = 1 λ 0 ( y L (α) n (y)fα,λ λ) G dy = L (α) n (y)fα,1(y)dy. G (4.8) 0 Warto zaznaczyć, że podana definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametru α, tzn. aby uzyskać standardową definicję musimy przyjąć α = α + 1). I w tym wypadku, zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. Szczególnym wariantem rozkładu Gamma jest rozkład wykładniczy Ex(λ) := Γ(0, λ) Rozkład Normalny oraz Rozkład N (m, σ 2 ) jest zdefiniowany dla m R, σ > 0. Ma on gęstość postaci Mamy fm,σ N 1 2(x) := e (x m)2 /(2σ 2). 2πσ E [X N ] = m, VarX N = σ 2. ( M XN (t) = exp µt + σ2 t 2 ) 2 Dla zmiennej X N (m, σ 2 ) oraz c > 0 zachodzi (t R). X m σ N (0, 1), cx N (cm, c 2 σ 2 ). Stąd wystarczy rozpatrywać zmienne o średniej zero i ustalonej wariancji (np. N (0, 1/2)).

15 15 Rysunek 7. Wykres gęstości Rozkładu Normalnego dla różnych parametrów. Ciąg wielomianów Hermite a {H n } związany jest z gęstością f 0,1/2. Natomiast wielomiany { ( )} H x m n 2σ są ortogonalne względem gęstości f N m,σ 2, bo ( ) x m H n fm,σ N 2(x)dx = 2σ H n (y)f N m,σ 2( 2σy + m)dy = H n (y)f N 0,1/2(y)dy. (4.9) 5. Kwadratury 5.1. Sformułowanie zadania Definicja 1. Funkcję w : R [0, + ) nazywamy funkcją wagową, jeżeli dla każdego k N zachodzi R x k w(x)dx <. Dla ustalonej funkcji wagowej definiujemy funkcjonał liniowy I : L 1 (w(x)dx) R postaci I(f) := f(x)w(x)dx. (5.1) R Głównym zadaniem, którym zajmujemy się w tym rozdziale jest obliczenie wartości I(f) dla danej funkcji f. Zazwyczaj nie potrafimy zrobić tego analitycznie, więc próbujemy zrobić to w sposób przybliżony. Niech ciąg funkcjonałów {Q n } n=1 wyraża się wzorem Q n (f) := p(n) j=1 w n j f(x n j ), (5.2) dla pewnej monotonicznej funkcji p, ciągów wag {w n i } p(n) i=1 oraz węzłów {x n i } p(n) i=1. Funkcjonał Q n nazywamy kwadraturą.

16 16 5. Kwadratury Z praktycznego punktu widzenia, ważne jest to, aby lim Q n(f) = I(f), (5.3) n dla każdej funkcji f z pewnego zbioru (np. f C c (R) lub f C c (R)). Definicja 2. Dla kwadratury Q zbiorem dokładnym nazywamy zbiór E(Q) := {f : Q(f) = I(f)}. W praktyce często używa się kwadratur Q, których zbiór dokładny zawiera zbiór wielomianów stopnia nie większego niż n, tzn. E(Q) P n. Jeżeli n jest maksymalne, to liczbę n nazywamy rzędem kwadratury Q. Definicja 3. Niech {Q n } n=1 będzie ciągiem kwadratur postaci (5.2). Mówimy, że {Q n } n=1 ma zagnieżdżone węzły, jeżeli {x n i } p(n) i=1 {x n+1 i } p(n+1) i=1, (n 1). Kwadratury posiadające zagnieżdżone węzły okażą się później istotne w kubaturze Smolyaka, o której piszemy w rozdziale Kwadratura Gaussa Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość całki postaci R f(x)dµ(x), (5.4) dla pewnej miary µ mającej skończone wszystkie momenty (por. (3.1)). Niech {p k } k=0 będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ). Wówczas dla każdego n wielomian p n ma dokładnie n pojedyńczych, rzeczywistych miejsc zerowych t n1 < t n2 <... < t nn (zob. [2, rozdz. 1.5, Tw. 5.2]). Dla ustalonej liczby n niech I f n 1 będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach x n j = t nj (j = 1, 2,..., n). (5.5) Całkując I f n 1 otrzymujemy dla pewnego ciągu liczb {w n j } n j=1. Określamy kwadraturę Gaussa wzorem: n In 1(x)dµ(x) f = wj n f(x n j ), (5.6) R j=1 n Q G n (f) := wj n f(x n j ). j=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.4): R f(x)dµ(x) Q G n (f).

17 5.3. Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) 17 Kwadratura Gaussa ma największy możliwy rząd i wynosi on 2n 1 (zob. [2, rozdz. 1.6, ćw. 6.7]). W rozdziale omówimy efektywny algorytm obliczania wartości ciągów {w n j } n j=1 oraz {x n k} n j=1. W ogólności kwadratury Gaussa nie mają zagnieżdżonych węzłów (por. def. 3), co jest ich istotną wadą w kontekście kubatury Smolyaka (patrz rozdz. 6.3). Jednakże, istnieją modyfikacje kwadratur Gaussa (tzw. kwadratury Gaussa Pattersona), które mają tą pożądaną własność (patrz [4]) Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) W dalszym ciągu zajmiemy się obliczaniem wartości (5.1) dla funkcji wagowych, które są niezerowe tylko na przedziale ( 1, 1). Aby zamienić ogólny przedział całkowania na odcinek ( 1, 1) będziemy korzystać z następującej zamiany zmiennych: b f(x)dx = b a ( 1 b a f a y + b + a ) dy, (5.7) 2 f(x)dx = 2 ( ) 1 1 y dy f, (λ > 0) (5.8) 0 λ 1 λ(1 + y) (1 + y) 2 ( ) 1 2σy 2σdy f(x)dx = f + m (σ > 0, m R). (5.9) 1 1 y 2 (1 y 2 ) 3/ Kwadratura Clenshawa-Curtisa Chcemy obliczyć wartość całki postaci 1 f(x)w(x)dx, (5.10) 1 gdzie w jest funkcją wagową. Niech n > 1 oraz niech Jn 1(x) f będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach (k 1)π y k = cos, k = 1, 2,..., n. n 1 Można pokazać, że wielomian J f n 1(x) wyraża się wzorem gdzie b j := 2 n 1 Zobacz np. [10]. Całkując J f n 1 otrzymujemy J f n 1(x) = n k=1 n 1 j=0 b j T j (x), f(y k )T j (y k ) (j = 0, 1,..., n 1). gdzie 1 1 J n 1 f(x)w(x)dx = m j [w] := 1 1 n 1 j=0 b j m j [w], T j (x)w(x)dx, (5.11)

18 18 5. Kwadratury jest zmodyfikowanym momentem Czebyszewa I rodzaju funkcji wagowej w. Jeżeli n = 1, to przyjmujemy y 1 = 0 oraz w 1 = m 0 [w]. Określamy kwadraturę Clenshawa-Curtisa wzorem: Q CC n (f) := n 1 n w j f(y j ) = 1=0 j=0 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q CC n (f). 1 b j m j [w]. (5.12) Ze względu na to, że kwadratura Clenshawa-Curtisa jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. W testach pokażemy, że czasami jest on większy, lecz w ogólności jest równy n 1. Przyjmując 1, gdy n = 1, p(n) := 2 n 1 + 1, w p.p. otrzymujemy ciąg kwadratur {Q CC p(n) } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3) Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Tak jak w przypadku kwadratury Clenshawa-Curtisa rozważanym zadaniem jest obliczenie wartości całki (5.10). Wykorzystujemy w tym celu wielomian I f n 1 interpolujący wartości funkcji f w węzłach kπ z k := cos, k = 1, 2,... n. n + 1 Należy zauważyć, że użyte węzły różnią się od węzłów kwadratury Clenshawa-Curtisa tylko brakiem wartości brzegowych 1 oraz 1. Jest to przydatna własność w przypadku, gdy funkcja f ma osobliwości na końcach przedziału [ 1, 1]. W [16] pokazano, że całkując I f n 1 otrzymujemy następujące wagi gdzie w k = 2(1 y2 k) n + 1 λ j [w] := 1 1 n 1 j=0 U j (z k )λ j [w], (5.13) U j (x)w(x)dx (5.14) jest tzw. zmodyfikowanym momentem Czebyszewa II rodzaju funkcji wagowej w. Kwadraturę Fejéra (II rodzaju) określamy wzorem: n Q F n II (f) := w k f(z k ). k=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q F n II (f). 1 Ze względu na to, że kwadratura Fejéra jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. Przyjmując p(n) := 2 n 1, otrzymujemy, ciąg kwadratur {Q F p(n) II } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3).

19 19 6. Kubatury Poniższą teorię przytaczamy za artykułem [3] Sformułowanie zadania Dla danych funkcji wagowych {w (i) } d i=1, wprowadzamy funkcjonały {I (i) } d i=1 postaci I (i) f := f(x i )w (i) (x i )dx i (f : R R) (6.1) R (por. z (5.1)). Rozważane tu zadanie polega na obliczeniu wartości funkcjonału postaci I(f) := (I (1) I (2)... I (d) )(f) := f(x)w(x)dx, (6.2) R d gdzie f : R d R oraz 6.2. Kubatury tensorowe x := (x 1, x 2,..., x d ), w(x) := w (1) (x 1 )w (2) (x 2 )... w (d) (x d ). Poniżej podajemy definicję iloczynu tensorowego dla kilku szczególnych przypadków. Definicja 4. Niech {Q (i) } d i=1 będzie ciągiem funkcjonałów postaci Wówczas funkcjonał gdzie p (i) Q (i) (g) := j=1 w (i) j g(x (i) j ) (i = 1, 2,..., d; g : R R). (Q (1) Q (2)... Q (d) )(f) := w j = w (1) j 1 w (2) j 2 nazywamy iloczynem tensorowym ciągu {Q (i) } d i=1. Definicja 5. Niech f, g : R R. Wówczas funkcję 1 j i p (i) 1 i d w j f(x j ),... w (d) j d, x j = (x j1, x j2,..., x jd ), (f g)(x, y) := f(x) g(y) nazywamy iloczynem tensorowym funkcji f i g. Zauważmy, że iloczyn tensorowy nie jest w ogólności przemienny, ale jest łączny i wieloliniowy. Iloczyn tensorowy jest prostym sposobem na to, aby z kwadratur jednowymiarowych utworzyć tzw. kubaturę, czyli funkcjonał, który ma przybliżać wartość (6.2). O znaczeniu tej uwagi mówi następujący fakt. Fakt 1 ([3, Lemma 2.2]). Niech {Q (i) } d i=1 będą kwadraturami. Wówczas dla Q Q (1) Q (2)... Q (d) mamy następujące zawieranie zbiorów dokładnych (por. def. 2). E(Q (1) ) E(Q (2) )... E(Q (d) ) E(Q) Problemem w korzystaniu z kubatur tensorowych jest to, że przy d liczba węzłów zazwyczaj szybko rośnie.

20 20 6. Kubatury 6.3. Kubatura Smolyaka Zacznijmy od następującego przykładu. Niech będzie f(x, y) := x 16 + y 16 + x 5 y 2. Wówczas, aby dokładnie obliczyć wartość I(f) za pomocą iloczynu tensorowego kwadratur Clenshawa-Curtisa (patrz rozdział 5.4) potrzebujemy aż węzłów. Za pomocą uzyskanej w ten sposób kubatury można dokładnie obliczać całki z każdego wielomianu o stopniu nie większym niż (16, 16) (por. rozdz. 2). Z drugiej strony, aby obliczyć całki poszczególnych składników wystarczą kwadratury tensorowe o liczbie węzłów odpowienio: 17 1, 1 17 oraz 6 3. Poniżej przedstawimy metodę, która pozwala na dobranie węzłów kubatury w sposób bardziej oszczędny niż w przypadku kwadratury tensorowej. W poniższej konstrukcji będziemy zakładać, że dla każdego i = 1, 2,..., d dany jest ciąg kwadratur {Q (i) n } n=1 postaci (5.2). Definicja 6. Przy powyższych założeniach, operator różnicowy definiujemy wzorem (i) 0 := Q (i) 0 := 0, (6.3) (i) n := Q (i) n Zauważmy, że dla każdego i możemy zapisać Q (i) N = N n=1 Q (i) n Q (i) n 1, (n > 0). (6.4) Q (i) n 1 = Zatem z wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Q (1) N 1 Q (2) N 2... Q (d) N d = N 1 n 1 =1 (1) n N 2 n 2 =1 (2) n 2 N n=1... (i) n. N d n d =1 = 1 n i N i 1 i d (d) n d (1) n 1 (2) n 2... (d) n d. Obcinając odpowiednio ostatnią sumę, otrzymujemy tzw. kubaturę Smolyaka (por. [15]). Precyzuje to następująca definicja. Definicja 7. Kubaturą Smolyaka nazywamy funkcjonał liniowy określony wzorem Sn d := (1) l 1 (2) l 2... (d) l d. l 1 n+d 1 Liczbę n nazywamy wówczas rozdzielczością tejże kubatury. Zauważmy, że wprost z definicji S d n oraz łączności i wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Sn d = (1) l 1 (2) l 2... (d) l d l 1 n+d 1 n = (1) l 1 (2) l 2 l d =1 (l 1,l 2,...,l d 1 ) 1 n+d 1 l d... (d 1) l d 1 = (d) l d n l d =1 S d 1 n+1 l d (d) l d.

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-2)

Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-2) Jacek Złydach (JW) Wstęp Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-) Implementacja praktyczna Poniższa praktyczna implementacja stanowi uzupełnienie teoretycznych rozważań na temat interpolacji

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM Potęgi, pierwiastki i logarytmy 23 h DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH:

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo