Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Informatyki kierunek: informatyka Grzegorz Świderski Metoda pseudospektralna dla stochastycznych równań różniczkowych Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr. hab. Pawła Woźnego Wrocław 2015

2 Oświadczam, że pracę magisterską wykonałem samodzielnie i zgłaszam ją do oceny. Data:... Podpis autora pracy:... Oświadczam, że praca jest gotowa do oceny przez recenzenta. Data:... Podpis opiekuna pracy:...

3 Spis treści 1. Wstęp Notacja i oznaczenia Wielomiany ortogonalne Wielomiany Jacobiego Wielomiany Laguerre a Wielomiany Hermite a Rozkłady zmiennych losowych Rozkład Beta Rozkład Gamma Rozkład Normalny Kwadratury Sformułowanie zadania Kwadratura Gaussa Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) Kwadratura Clenshawa-Curtisa Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Kubatury Sformułowanie zadania Kubatury tensorowe Kubatura Smolyaka Chaos wielomianowy Przypadek jednej zmiennej losowej Przypadek ogólny Obliczanie statystyk Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu Metoda różnic skończonych dla stacjonarnego równania dyfuzji Metoda pseudospektralna Algorytmy numeryczne użyte w implementacji Algorytm Clenshawa Obliczanie zmodyfikowanych momentów Czebyszewa Momenty pierwszego rodzaju Momenty drugiego rodzaju Algorytm Olivera-Loziera Obliczanie wag kwadratur Przypadek kwadratury Gaussa Obliczanie dyskretnej transformaty sinusowej I rodzaju Przypadek kwadratury Clenshawa-Curtisa Przypadek kwadratury Fejéra Przykłady Model Malthusa Ujemny współczynnik wzrostu Dodatni współczynnik wzrostu Niestabilność numeryczna Stacjonarne równanie dyfuzji Mieszane rozkłady

4 4 1. Wstęp Rozkłady Beta Pewien model pracy transformatora Rozkłady Beta Mieszane rozkłady Testy pozostałych algorytmów numerycznych Obliczanie zmodyfikowanych momentów Kwadratury na przedziale ( 1, 1) Kubatury w kostce ( 1, 1) d Zamiana zmiennych na ( 1, 1) Zamiana zmiennych na ( 1, 1) d Dokumentacja programisty Plik momenty.mpl Plik kwadratury.mpl Plik kubatury.mpl Plik wielomianyortogonalne.mpl Plik rozkladyzmiennychlosowych.mpl Plik wektorylosowe.mpl Plik kolokacja.mpl Dokumentacja użytkownika Literatura Wstęp Rozważmy przykładowy model przepływu ładunku w obwodzie elektrycznym. Ładunek Q(t) w chwili t spełnia równanie różniczkowe L Q (t) + R Q (t) + 1 Q(t) = F (t), C Q(0) = Q 0, Q (0) = I 0, (1.1) gdzie R opór, L to indukcyjność, C pojemność a F (t) to potencjał źródła w chwili t. Jak widzimy w równaniu (1.1) występują parametry będące liczbami: R, L, C, Q 0 i I 0 oraz parametr F (t) będący funkcją. W praktyce powyższe parametry są dobierane poprzez eksperymentalny pomiar odpowiednich wielkości. Każdy pomiar jest obarczony pewnym błędem. Z tego powodu nawet jeśli model (1.1) jest adekwatny, to rozwiązania nie będą dokładnie odpowiadać obserwowanemu zjawisku. Z praktycznego punktu widzenia ważnym zadaniem jest zbadanie na ile błędy pomiaru powodują zmianę trajektorii rozwiązania. Jeśli zmiana jest duża, to ze względu na błędy pomiaru nie będziemy w stanie dobrze przewidzieć ewolucji badanego układu. W statystyce pomiar to realizacja pewnej zmiennej losowej ze znanej rodziny rozkładów, ale o nieznanych parametrach. Często używaną rodziną rozkładów jest na przykład rodzina rokładów normalnych {N (m, σ 2 ): m R, σ 2 > 0} o nieznanej wartości oczekiwanej m oraz nieznanej wariancji σ 2. Statystyka podaje metody jak powtarzając wielokrotnie eksperyment, można otrzymać przybliżenie nieznanych parametrów. Używając powyższej statystycznej interpretacji możemy rozumieć równanie (1.1) w ten sposób, że nieznane parametry liczbowe są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie. Wtedy rozwiązanie równania (1.1) przestaje być deterministyczne i staje się tzw. procesem stochastycznym. Wówczas możemy zapytać się o różne statystyki rozwiązania tego

5 równania. Na przykład wielkość wariancji mówi, na ile trajektorie rozwiązań są wrażliwe na niepewność pomiaru. Istnieje wiele metod rozwiązywania takich równań. Popularnym podejściem są tzw. metody Monte-Carlo (zob. [20]) polegające na (wielokrotnym) generowaniu wartości niezależnych zmiennych losowych mających rozkłady naszych parametrów. Następnie obliczane są rozwiązania równania dla tak ustalonej wartości parametrów. W końcu metodami statystycznymi obliczamy z nich szukane statystyki. Znaną wadą metody Monte-Carlo jest jej wolne tempo zbieżności. Poza tym ze względu na jej losowość nie można mieć pewności na ile otrzymany wynik nie jest przypadkowy. Innym podejściem są metody deterministyczne. Jedną z możliwości jest metoda Galerkina (zob. [20]), która polega na rozwiązywaniu odpowiednio zbudowanego układu równań różniczkowych związanych z badanym równaniem. W tym wypadku czasami rozwiązywany układ jest dużo bardziej skomplikowany i wymaga tworzenia (czasami zupełnie) nowych metod numerycznych. Czyli w tym przypadku do konkretnego równania i rozkładów musimy podchodzić indywidualnie. Metoda prezentowana w tej pracy jest deterministyczna i jest oparta na pomyśle rozwinięcia rozwiązania w postaci sumy wielomianów ortogonalnych względem odpowiedniego iloczynu skalarnego. W tym celu zakładamy, że wszystkie występujące parametry da się sparametryzować za pomocą skończonej ilości niezależnych zmiennych losowych. Prezentowana metoda jest podobna do metody Monte-Carlo w tym sensie, że musimy jedynie umieć rozwiązywać równanie z ustalonymi wartościami parametrów. Dla takich równań mamy zazwyczaj dobre metody numeryczne je rozwiązujące. Jedną z jej zalet jest szybsze tempo zbieżności (przy umiarkowanej liczbie parametrów) do rozwiązania w porównaniu do metod Monte-Carlo (zob. [4]). Inną zaletą jest to, że jest ona deterministyczna. Założenie, że parametry zależą od skończonej liczby zmiennych losowych z matematycznego punktu widzenia wydaje się dość restrykcyjne. Jednakże bardziej ogólne równania stochastyczne (zob. [11]) da się w pewnym stopniu przybliżać za pomocą tego modelu. W wypadku procesów gaussowskich da się to zrobić za pomocą tzw. transformaty Karhunena Loève (zob. [20]). W ogólnym wypadku metody dyskretyzacji prowadzą również do opisywanego modelu (zob. [21]). Teraz parę słów o strukturze pracy. W rozdziale 2 zamieszczamy podstawowe oznaczenia używane dalej. Następnie. w rozdziale 3, przedstawiamy podstawy ogólnej teorii wielomianów ortogonalnych oraz ich szczególne przypadki. Dalej, w rozdziale 4, podajemy podstawowe definicje teorii prawdopodobieństwa, najważniejsze rozkłady oraz ich związki z wielomianami ortogonalnymi. Zadanie obliczania statystyk wymagać będzie umiejętności obliczania całek po wielowymiarowym obszarze. Pokażemy jak to wykonać: w rozdziale 5 rozpatrzymy przypadek jednowymiarowy, natomiast w rozdziale 6 zbadamy ogólny przypadek. W rozdziale 7 przedstawimy jak przybliżać funkcje za pomocą wielomianów oraz jak wówczas z tego przybliżenia obliczać poszukiwane statystyki. W rozdziale 8 przedstawimy używane w pracy metody rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych, natomiast w rozdziale 9 jak zebrane w ten sposób informacje użyć do rozwiązania głównego zadania. W rozdziale 10 przedstawiono pewne pomocnicze algorytmy numeryczne. W rozdziale 11, na kilku przykładach, przedstawiono, jak skuteczna jest opisana metoda rozwiązywania równań. Natomiast w rozdziale 12 pokazano testy pomocniczych algorytmów numerycznych. Dokumentację programisty zamieszczono w rozdziale 13, natomiast sposób obsługi przygotowanego programu zamieszczono w rozdziale 14. 5

6 6 2. Notacja i oznaczenia 2. Notacja i oznaczenia Niech µ będzie miarą na przestrzeni X, a B(X) niech będzie rodziną zbiorów borelowskich na X (por. np. [14, rozdz. 1]). Dla każdej funkcji f : X C oraz p [1, ) normę związaną z miarą µ definiujemy wzorem: ( 1/p f L p (µ) := f(x) dµ(x)) p. X Zbiór wszystkich funkcji f spełniających warunek f L p (µ) < oznaczamy poprzez L p (µ). Jeśli miara µ ma gęstość w względem miary Lebesgue a (por. np. [14, rozdz. 2, rozdz. 6]), to będziemy używać również oznaczenia L p (w(x)dx). Jeżeli miara µ jest znana z kontekstu będziemy pisać po prostu L p. Dla funkcji f, g L 2 (µ) ich iloczyn skalarny definiujemy wzorem f, g := f(x)g(x)dµ(x). (2.1) Wówczas X f L 2 (µ) = f, f. Można pokazać, że L 2 (µ) z iloczynem skalarnym (2.1) jest przestrzenią Hilberta (zob. np. [14, rozdz. 4]). Dla funkcji określonych na R będziemy używać następujących oznaczeń: C c (R) zbiór funkcji ciągłych o zwartym nośniku, Cc (R) zbiór wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych o zwartym nośniku. Dla a > 0, b > 0 oraz z C definiujemy funkcję hipergeometryczną F (a; b; z) wzorem F (a; b; z) = k=0 a k b k z k k!, (2.2) gdzie dla x R definiujemy potęgę przyrastającą poprzez x k = x(x + 1)... (x + k 1). Dla a > 0 funkcja Gamma zadana jest wzorem natomiast Γ(a) := B(α, β) := x a 1 e x dx, x α 1 (1 x) β 1 dx, to funkcja Beta określona dla α > 0, β > 0. Można sprawdzić, że funkcje Gamma i Beta łączy następująca zależność: B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). Symbol dwumianowy ( ) x y określamy wzorem ( ) x := y 1 (x + 1)B(x y + 1, y + 1).

7 7 Dla zbioru A funkcję indykatorową 1 A określamy wzorem 1 jeśli x A, 1 A (x) := 0 w p.p. Wielowskaźnikiem nazywamy d wyrazowy ciąg i = (i 1, i 2,..., i d ) liczb całkowitych nieujemnych. Długość wielowskaźnika i to suma jego wyrazów, tzn. i 1 := i 1 + i i d. Dla wektora x = (x 1, x 2,..., x d ) oraz wielowskaźnika i = (i 1, i 2,..., i d ) definiujemy jednomian x i wzorem x i := x i 1 1 x i x i d d, wówczas jego stopniem nazywamy ciąg i. Wprowadzamy relację częściowego porządku pomiędzy stopniami długości d. Mówimy, że i j, jeśli j k i k 0 (k = 1, 2,..., d). Przestrzeń wszystkich wielomianów d zmiennych całkowitego stopnia co najwyżej N określamy jako P d N := c i x i : c i R. (2.3) i 1 N Jeżeli d = 1, to będziemy również używać oznaczenia P N. Dla wielomianu p jego stopniem całkowitym nazywamy najmniejszą liczbę N taką, że p P d N. Wówczas jego stopniem nazywamy najmniejsze ograniczenie górne ze względu na porządek zbioru {i: c i 0}, gdzie c i to współczynniki występujące w reprezentacji (2.3). Deltą Kroneckera δ ij nazywamy funkcję postaci 1 jeśli i = j, δ ij := 0 w p.p. Dla wielowskaźników i oraz j symbol δ ij rozumiemy w następujący sposób: δ ij := δ i1 j 1 δ i2 j 2... δ id j d. Będziemy używać następujących oznaczeń: n k=m n k=m a k := 1 2 a m + a k := 1 2 a m + n k=m+1 n 1 k=m+1 a k, (2.4) a k a n. (2.5) 3. Wielomiany ortogonalne Podane w tej części fakty i definicje przywołujemy za monografią [2]. Dla miary µ określonej na R jej n-tym momentem nazywamy liczbę m n := x n dµ(x) (n = 0, 1,...). (3.1) R

8 8 3. Wielomiany ortogonalne Załóżmy, że dla miary µ wszystkie jej momenty m n są skończone, a jej nośnik jest zbiorem nieskończonym. Wówczas możemy wykonać ortogonalizację Grama-Schmidta (zob. np. [2, rozdz. 1.3]) dla ciągu (x n : n N) względem iloczynu skalarnego (2.1). Otrzymamy wówczas ciąg {p n } n=0 wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ), tzn: p n, p m = γ n δ nm (γ n := p n 2 L 2 (µ) 0; n, m N) (por. (2.1)). Warto zauważyć, że dla każdych niezerowych stałych {a n } n=0 ciąg {a n p n } n=0 jest również ciągiem wielomianów ortogonalnych. W szczególności, mnożąc miarę przez stałą otrzymujemy te same wielomiany ortogonalne. Zauważmy, że bezpośrednio z ortogonalizacji Grama-Schmidta wynika, że zbiór {p 0, p 1,..., p N } tworzy bazę przestrzeni P N. Miarę µ nazywamy zdeterminowaną, jeśli nie istnieje inna miara, o takich samych momentach co miara µ. Wówczas wielomiany {p n } n=0 tworzą bazę ortogonalną w L 2 (µ). Wszystkie pojawiające się w tej pracy miary są miarami zdeterminowanymi. Każdy ciąg wielomianów ortogonalnych {p n } spełnia zależność rekurencyjną p 0 (x) α 0, p 1 (x) = α 1 x + β 1, p n (x) = (α n x + β n )p n 1 (x) γ n p n 2 (x) (n 2), dla pewnych stałych α k, β k, γ k. Zobacz [2, rozdz. 1.4, Tw. 4.1] Wielomiany Jacobiego (3.2) Niech miara µ ma gęstość w(x) := (1 x) α (1 + x) β dla x ( 1, 1) oraz stałych α, β > 1. Wówczas otrzymany ciąg wielomianów {P n (α,β) } nazywamy ciągiem wielomianów Jacobiego z parametrami α, β. Wielomiany te spełniają zależność rekurencyjną (3.2) dla α 0 = 1, α 1 = 1 + α + β, α n = 2 β 1 = α β 2 γ n = (2n + α + β 1)(2n + α + β), 2n(n + α + β), β n = (2n + α + β 1)(α2 β 2 ) 2n(n + α + β)(2n + α + β 2), (n + α 1)(n + β 1)(2n + α + β), n(n + α + β)(2n + α + β 2) p n (x) := P n (α,β) (x). Wielomiany Czebyszewa I rodzaju T n (n 0) są szczególnym przypadkiem wielomianów Jacobiego z parametrami α = β = 1/2. Wyrażają się one wzorem i spełniają zależność rekurencyjną postaci T n (x) = cos(n arccos(x)), x [ 1, 1] T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x) (n 2). Warto zaznaczyć, że ze względów historycznych używamy tutaj nieco innego normowania niż w przypadku P n ( 1/2, 1/2), tzn. ( ) 1 n 1/2 T n (x) = P n ( 1/2, 1/2) (x). n

9 3.2. Wielomiany Laguerre a 9 Rysunek 1. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa I rodzaju. Kolejnym ważnym wypadkiem wielomianów Jacobiego są tzw. wielomiany Czebyszewa II rodzaju (dla α = β = 1/2) wyrażające się wzorem U n (x) = sin((n + 1) arccos(x)), x [ 1, 1]. sin(arccos(x)) W tym wypadku mamy U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U n (x) = 2xU n 1 (x) U n 2 (x) (n 2). I tutaj używamy innego normowania, dokładniej U n (x) = 1 ( ) 1 n + 1/2 2 P n (1/2,1/2) (x). n 3.2. Wielomiany Laguerre a Miarze µ o gęstości w(x) := x α e x dla x (0, ), gdzie α > 1, odpowiada tzw. ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n } dla parametru α. Jego wyrazy spełniają zależność rekurencyjną postaci L (α) 0 (x) 1, L (α) 1 (x) = α + 1 x, (x) = 2n + α 1 x L (α) n n L (α) n 1(x) n + α 1 n L (α) n 2(x) (n 2).

10 10 3. Wielomiany ortogonalne Rysunek 2. Wykres pierwszych czterech wielomianów Czebyszewa II rodzaju. Rysunek 3. Wykres pierwszych czterech wielomianów Laguerre a L (1).

11 3.3. Wielomiany Hermite a 11 Rysunek 4. Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite a Wielomiany Hermite a Jeśli miara µ ma gęstość w(x) := e x2 dla x R, to otrzymujemy wielomiany Hermite a {H n }, spełniające zależność rekurencyjną: H 0 (x) 1, H 1 (x) = 2x, H n (x) = 2xH n 1 (x) 2(n 1)H n 2 (x) (n 2). 4. Rozkłady zmiennych losowych Podaną niżej teorię przytaczamy za [6]. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilityczną (zob. [6, rozdz. 1]). Wówczas rozkładem zmiennej losowej X (zob. [6, rozdz. 5]) nazywamy miarę na R określoną wzorem µ X (A) := P (ω Ω: X(ω) A) (A B(R)). Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład µ będziemy oznaczać symbolem X µ. Zmienne losowe X, Y nazywamy (stochastycznie) niezależnymi, jeżeli dla wszystkich zbiorów A, B B(R) zachodzi P (ω : X(ω) A, Y (ω) B) = P (ω : X(ω) A) P (ω : Y (ω) B). Dla zmiennej losowej X jej wartość oczekiwaną E [X] definiujemy wzorem E [X] := Ω X(ω)dP (ω),

12 12 4. Rozkłady zmiennych losowych a jej wariancję VarX wzorem VarX := E [ (X E [X]) 2] = E [ X 2] (E [X]) 2. Jeżeli zmienne losowe X, Y są niezależne, a R, to zachodzą równości E [XY ] = E [X] E [Y ], Var(XY ) = E [ X 2] E [ Y 2] (E [X] E [Y ]) 2, Var(aX) = a 2 Var(X), Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Dla zmiennej losowej X jej funkcja tworząca momenty M X wyraża się wzorem (4.1) M X (t) := E [exp(tx)], (4.2) dla wszystkich t R takich, że powyższe wyrażenie jest skończone. Dla rozkładu µ o nośniku w przedziale (a, b) i gęstości f definiujemy nowy rozkład o gęstości τ c,d a,b f danej wzorem ( ) (τ c,d b a b a a,b f)(x) := d c f ad bc x +. (4.3) d c d c Tak zdefiniowany rozkład ma nośnik w przedziale (c, d). Operację tą nazywamy przesunięciem rozkładu µ do przedziału (c, d) Rozkład Beta Rozkład B(α, β) (α, β > 1) ma gęstość postaci f B α,β(x) := W tym wypadku mamy E [X B ] = β + 1 α + β + 2, VarX B = 1 B(α + 1, β + 1) xβ (1 x) α 1 (0,1) (x). (α + 1)(β + 1) (α + β + 2) 2 (α + β + 3). Natomiast jej funkcja tworząca momenty M XB wyraża się poprzez funkcję hipergeometryczną (por. (2.2)) w następujący sposób M XB (t) = F (α + 1; α + β + 2; t), (t R). (4.4) Warto zaznaczyć, że podana tu definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametrów α oraz β. Dokładniej, aby uzyskać standardową definicję musimy użyć parametrów α = β +1 oraz β = α+1. Zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. {P (α,β) n Zauważmy, że gęstości τ 1,1 0,1 fα,β B (por. (4.3)) odpowiada ciąg wielomianów Jacobiego }. W ogólności wielomiany { ( P n (α,β) 2 b+a (x b a 2 ))} są ortogonalne względem gęstości τ a,b 0,1f B α,β bo b a P (α,β) n ( ( 2 x b + a b a 2 = 2 b a 1 1 )) (τ a,b 0,1f B α,β)(x)dx ( b a P n (α,β) (y)(τ0,1f a,b α,β) B = 2 y + b + a ) dy P (α,β) n (y)(τ 1,1 0,1 f B α,β)(y)dy. (4.5)

13 4.2. Rozkład Gamma 13 Rysunek 5. Wykres gęstości rozkładu Beta dla różnych parametrów. Rozkład B(α, β) przesunięty do przedziału (a, b) będziemy oznaczać przez B(α, β, a, b). W szczególności, jeśli Y B(α, β, a, b), to Y = (b a)x B + a, (4.6) dla pewnej zmiennej X B B(α, β). Szczególnym przypadkiem powyższego rozkładu jesy rozkład jednostajny U(a, b), który uzyskujemy dla α = β = Rozkład Gamma Rozkład o gęstości postaci f G α,λ(x) := λα+1 Γ(α + 1) xα e λx 1 (0, ) (x) (α > 1, λ > 0) nazywamy rozkładem Gamma i oznaczamy symbolem Γ(α, λ). Można sprawdzić, że oraz E [X G ] = α + 1 λ, VarX G = α + 1 λ 2 M XG (t) = ( 1 t λ) α 1 (t < λ). Dla niezależnych zmiennych X Γ(α 1, λ) i Y Γ(α 1, λ) oraz liczby c > 0 mamy X + Y Γ(α 1 + α 2 1, λ), cx Γ(α 1, λ/c). (4.7)

14 14 4. Rozkłady zmiennych losowych Rysunek 6. Wykres gęstości rozkładu Gamma dla różnych parametrów. Oznacza to, że wystarczy rozpatrywać zmienne o ustalonej wartości λ (np. Γ(α, 1)). Zauważmy, że gęstości fα,1 G odpowiada ciąg wielomianów Laguerre a {L (α) n }. Natomiast wielomiany {L (α) n (λx)} są ortogonalne względem fα,1, G bo 0 L (α) n (λx)fα,λ(x)dx G = 1 λ 0 ( y L (α) n (y)fα,λ λ) G dy = L (α) n (y)fα,1(y)dy. G (4.8) 0 Warto zaznaczyć, że podana definicja różni się od tej przyjętej w rachunku prawdopodobieństwa znaczeniem parametru α, tzn. aby uzyskać standardową definicję musimy przyjąć α = α + 1). I w tym wypadku, zrobiono tak, aby uwypuklić związki z teorią wielomianów ortogonalnych. Szczególnym wariantem rozkładu Gamma jest rozkład wykładniczy Ex(λ) := Γ(0, λ) Rozkład Normalny oraz Rozkład N (m, σ 2 ) jest zdefiniowany dla m R, σ > 0. Ma on gęstość postaci Mamy fm,σ N 1 2(x) := e (x m)2 /(2σ 2). 2πσ E [X N ] = m, VarX N = σ 2. ( M XN (t) = exp µt + σ2 t 2 ) 2 Dla zmiennej X N (m, σ 2 ) oraz c > 0 zachodzi (t R). X m σ N (0, 1), cx N (cm, c 2 σ 2 ). Stąd wystarczy rozpatrywać zmienne o średniej zero i ustalonej wariancji (np. N (0, 1/2)).

15 15 Rysunek 7. Wykres gęstości Rozkładu Normalnego dla różnych parametrów. Ciąg wielomianów Hermite a {H n } związany jest z gęstością f 0,1/2. Natomiast wielomiany { ( )} H x m n 2σ są ortogonalne względem gęstości f N m,σ 2, bo ( ) x m H n fm,σ N 2(x)dx = 2σ H n (y)f N m,σ 2( 2σy + m)dy = H n (y)f N 0,1/2(y)dy. (4.9) 5. Kwadratury 5.1. Sformułowanie zadania Definicja 1. Funkcję w : R [0, + ) nazywamy funkcją wagową, jeżeli dla każdego k N zachodzi R x k w(x)dx <. Dla ustalonej funkcji wagowej definiujemy funkcjonał liniowy I : L 1 (w(x)dx) R postaci I(f) := f(x)w(x)dx. (5.1) R Głównym zadaniem, którym zajmujemy się w tym rozdziale jest obliczenie wartości I(f) dla danej funkcji f. Zazwyczaj nie potrafimy zrobić tego analitycznie, więc próbujemy zrobić to w sposób przybliżony. Niech ciąg funkcjonałów {Q n } n=1 wyraża się wzorem Q n (f) := p(n) j=1 w n j f(x n j ), (5.2) dla pewnej monotonicznej funkcji p, ciągów wag {w n i } p(n) i=1 oraz węzłów {x n i } p(n) i=1. Funkcjonał Q n nazywamy kwadraturą.

16 16 5. Kwadratury Z praktycznego punktu widzenia, ważne jest to, aby lim Q n(f) = I(f), (5.3) n dla każdej funkcji f z pewnego zbioru (np. f C c (R) lub f C c (R)). Definicja 2. Dla kwadratury Q zbiorem dokładnym nazywamy zbiór E(Q) := {f : Q(f) = I(f)}. W praktyce często używa się kwadratur Q, których zbiór dokładny zawiera zbiór wielomianów stopnia nie większego niż n, tzn. E(Q) P n. Jeżeli n jest maksymalne, to liczbę n nazywamy rzędem kwadratury Q. Definicja 3. Niech {Q n } n=1 będzie ciągiem kwadratur postaci (5.2). Mówimy, że {Q n } n=1 ma zagnieżdżone węzły, jeżeli {x n i } p(n) i=1 {x n+1 i } p(n+1) i=1, (n 1). Kwadratury posiadające zagnieżdżone węzły okażą się później istotne w kubaturze Smolyaka, o której piszemy w rozdziale Kwadratura Gaussa Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość całki postaci R f(x)dµ(x), (5.4) dla pewnej miary µ mającej skończone wszystkie momenty (por. (3.1)). Niech {p k } k=0 będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych w L 2 (µ). Wówczas dla każdego n wielomian p n ma dokładnie n pojedyńczych, rzeczywistych miejsc zerowych t n1 < t n2 <... < t nn (zob. [2, rozdz. 1.5, Tw. 5.2]). Dla ustalonej liczby n niech I f n 1 będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach x n j = t nj (j = 1, 2,..., n). (5.5) Całkując I f n 1 otrzymujemy dla pewnego ciągu liczb {w n j } n j=1. Określamy kwadraturę Gaussa wzorem: n In 1(x)dµ(x) f = wj n f(x n j ), (5.6) R j=1 n Q G n (f) := wj n f(x n j ). j=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.4): R f(x)dµ(x) Q G n (f).

17 5.3. Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) 17 Kwadratura Gaussa ma największy możliwy rząd i wynosi on 2n 1 (zob. [2, rozdz. 1.6, ćw. 6.7]). W rozdziale omówimy efektywny algorytm obliczania wartości ciągów {w n j } n j=1 oraz {x n k} n j=1. W ogólności kwadratury Gaussa nie mają zagnieżdżonych węzłów (por. def. 3), co jest ich istotną wadą w kontekście kubatury Smolyaka (patrz rozdz. 6.3). Jednakże, istnieją modyfikacje kwadratur Gaussa (tzw. kwadratury Gaussa Pattersona), które mają tą pożądaną własność (patrz [4]) Zamiana przedziału całkowania na przedział ( 1, 1) W dalszym ciągu zajmiemy się obliczaniem wartości (5.1) dla funkcji wagowych, które są niezerowe tylko na przedziale ( 1, 1). Aby zamienić ogólny przedział całkowania na odcinek ( 1, 1) będziemy korzystać z następującej zamiany zmiennych: b f(x)dx = b a ( 1 b a f a y + b + a ) dy, (5.7) 2 f(x)dx = 2 ( ) 1 1 y dy f, (λ > 0) (5.8) 0 λ 1 λ(1 + y) (1 + y) 2 ( ) 1 2σy 2σdy f(x)dx = f + m (σ > 0, m R). (5.9) 1 1 y 2 (1 y 2 ) 3/ Kwadratura Clenshawa-Curtisa Chcemy obliczyć wartość całki postaci 1 f(x)w(x)dx, (5.10) 1 gdzie w jest funkcją wagową. Niech n > 1 oraz niech Jn 1(x) f będzie wielomianem interpolującym wartości funkcji f w węzłach (k 1)π y k = cos, k = 1, 2,..., n. n 1 Można pokazać, że wielomian J f n 1(x) wyraża się wzorem gdzie b j := 2 n 1 Zobacz np. [10]. Całkując J f n 1 otrzymujemy J f n 1(x) = n k=1 n 1 j=0 b j T j (x), f(y k )T j (y k ) (j = 0, 1,..., n 1). gdzie 1 1 J n 1 f(x)w(x)dx = m j [w] := 1 1 n 1 j=0 b j m j [w], T j (x)w(x)dx, (5.11)

18 18 5. Kwadratury jest zmodyfikowanym momentem Czebyszewa I rodzaju funkcji wagowej w. Jeżeli n = 1, to przyjmujemy y 1 = 0 oraz w 1 = m 0 [w]. Określamy kwadraturę Clenshawa-Curtisa wzorem: Q CC n (f) := n 1 n w j f(y j ) = 1=0 j=0 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q CC n (f). 1 b j m j [w]. (5.12) Ze względu na to, że kwadratura Clenshawa-Curtisa jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. W testach pokażemy, że czasami jest on większy, lecz w ogólności jest równy n 1. Przyjmując 1, gdy n = 1, p(n) := 2 n 1 + 1, w p.p. otrzymujemy ciąg kwadratur {Q CC p(n) } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3) Kwadratura Fejéra (II rodzaju) Tak jak w przypadku kwadratury Clenshawa-Curtisa rozważanym zadaniem jest obliczenie wartości całki (5.10). Wykorzystujemy w tym celu wielomian I f n 1 interpolujący wartości funkcji f w węzłach kπ z k := cos, k = 1, 2,... n. n + 1 Należy zauważyć, że użyte węzły różnią się od węzłów kwadratury Clenshawa-Curtisa tylko brakiem wartości brzegowych 1 oraz 1. Jest to przydatna własność w przypadku, gdy funkcja f ma osobliwości na końcach przedziału [ 1, 1]. W [16] pokazano, że całkując I f n 1 otrzymujemy następujące wagi gdzie w k = 2(1 y2 k) n + 1 λ j [w] := 1 1 n 1 j=0 U j (z k )λ j [w], (5.13) U j (x)w(x)dx (5.14) jest tzw. zmodyfikowanym momentem Czebyszewa II rodzaju funkcji wagowej w. Kwadraturę Fejéra (II rodzaju) określamy wzorem: n Q F n II (f) := w k f(z k ). k=1 Daje ona następujące przybliżenie całki (5.10): 1 f(x)w(x)dx Q F n II (f). 1 Ze względu na to, że kwadratura Fejéra jest kwadraturą interpolacyjną, jej rząd wynosi co najmniej n 1. Przyjmując p(n) := 2 n 1, otrzymujemy, ciąg kwadratur {Q F p(n) II } n=1 o zagnieżdżonych węzłach (por. def. 3).

19 19 6. Kubatury Poniższą teorię przytaczamy za artykułem [3] Sformułowanie zadania Dla danych funkcji wagowych {w (i) } d i=1, wprowadzamy funkcjonały {I (i) } d i=1 postaci I (i) f := f(x i )w (i) (x i )dx i (f : R R) (6.1) R (por. z (5.1)). Rozważane tu zadanie polega na obliczeniu wartości funkcjonału postaci I(f) := (I (1) I (2)... I (d) )(f) := f(x)w(x)dx, (6.2) R d gdzie f : R d R oraz 6.2. Kubatury tensorowe x := (x 1, x 2,..., x d ), w(x) := w (1) (x 1 )w (2) (x 2 )... w (d) (x d ). Poniżej podajemy definicję iloczynu tensorowego dla kilku szczególnych przypadków. Definicja 4. Niech {Q (i) } d i=1 będzie ciągiem funkcjonałów postaci Wówczas funkcjonał gdzie p (i) Q (i) (g) := j=1 w (i) j g(x (i) j ) (i = 1, 2,..., d; g : R R). (Q (1) Q (2)... Q (d) )(f) := w j = w (1) j 1 w (2) j 2 nazywamy iloczynem tensorowym ciągu {Q (i) } d i=1. Definicja 5. Niech f, g : R R. Wówczas funkcję 1 j i p (i) 1 i d w j f(x j ),... w (d) j d, x j = (x j1, x j2,..., x jd ), (f g)(x, y) := f(x) g(y) nazywamy iloczynem tensorowym funkcji f i g. Zauważmy, że iloczyn tensorowy nie jest w ogólności przemienny, ale jest łączny i wieloliniowy. Iloczyn tensorowy jest prostym sposobem na to, aby z kwadratur jednowymiarowych utworzyć tzw. kubaturę, czyli funkcjonał, który ma przybliżać wartość (6.2). O znaczeniu tej uwagi mówi następujący fakt. Fakt 1 ([3, Lemma 2.2]). Niech {Q (i) } d i=1 będą kwadraturami. Wówczas dla Q Q (1) Q (2)... Q (d) mamy następujące zawieranie zbiorów dokładnych (por. def. 2). E(Q (1) ) E(Q (2) )... E(Q (d) ) E(Q) Problemem w korzystaniu z kubatur tensorowych jest to, że przy d liczba węzłów zazwyczaj szybko rośnie.

20 20 6. Kubatury 6.3. Kubatura Smolyaka Zacznijmy od następującego przykładu. Niech będzie f(x, y) := x 16 + y 16 + x 5 y 2. Wówczas, aby dokładnie obliczyć wartość I(f) za pomocą iloczynu tensorowego kwadratur Clenshawa-Curtisa (patrz rozdział 5.4) potrzebujemy aż węzłów. Za pomocą uzyskanej w ten sposób kubatury można dokładnie obliczać całki z każdego wielomianu o stopniu nie większym niż (16, 16) (por. rozdz. 2). Z drugiej strony, aby obliczyć całki poszczególnych składników wystarczą kwadratury tensorowe o liczbie węzłów odpowienio: 17 1, 1 17 oraz 6 3. Poniżej przedstawimy metodę, która pozwala na dobranie węzłów kubatury w sposób bardziej oszczędny niż w przypadku kwadratury tensorowej. W poniższej konstrukcji będziemy zakładać, że dla każdego i = 1, 2,..., d dany jest ciąg kwadratur {Q (i) n } n=1 postaci (5.2). Definicja 6. Przy powyższych założeniach, operator różnicowy definiujemy wzorem (i) 0 := Q (i) 0 := 0, (6.3) (i) n := Q (i) n Zauważmy, że dla każdego i możemy zapisać Q (i) N = N n=1 Q (i) n Q (i) n 1, (n > 0). (6.4) Q (i) n 1 = Zatem z wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Q (1) N 1 Q (2) N 2... Q (d) N d = N 1 n 1 =1 (1) n N 2 n 2 =1 (2) n 2 N n=1... (i) n. N d n d =1 = 1 n i N i 1 i d (d) n d (1) n 1 (2) n 2... (d) n d. Obcinając odpowiednio ostatnią sumę, otrzymujemy tzw. kubaturę Smolyaka (por. [15]). Precyzuje to następująca definicja. Definicja 7. Kubaturą Smolyaka nazywamy funkcjonał liniowy określony wzorem Sn d := (1) l 1 (2) l 2... (d) l d. l 1 n+d 1 Liczbę n nazywamy wówczas rozdzielczością tejże kubatury. Zauważmy, że wprost z definicji S d n oraz łączności i wieloliniowości iloczynu tensorowego mamy Sn d = (1) l 1 (2) l 2... (d) l d l 1 n+d 1 n = (1) l 1 (2) l 2 l d =1 (l 1,l 2,...,l d 1 ) 1 n+d 1 l d... (d 1) l d 1 = (d) l d n l d =1 S d 1 n+1 l d (d) l d.