Example. reprezentuji znalosti v jazyce logiky z nich odvozuji znalosti nové dnes výroková logika. program v čistém Prologu MIZAR knihovna matematiky

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Example. reprezentuji znalosti v jazyce logiky z nich odvozuji znalosti nové dnes výroková logika. program v čistém Prologu MIZAR knihovna matematiky"

Transkrypt

1 Strojové dokazování založené na výrokové logice Example reprezentuji znalosti v jazyce logiky z nich odvozuji znalosti nové dnes výroková logika příště bude predikátová logika, obecnější a složitější program v čistém Prologu MIZAR knihovna matematiky ontologie popis termínů určité domény

2 Výroková logika výrokové proměnné a, b, c, Wumpus na 3,3, Smrdí na 5,5,w 3,3,s 5,5 logické spojky,, &,, formule def. indukcí, výrok. proměnné a formule složené spojkami

3 Pravdivost, teorie, model Máme ohodnocení proměnných v : P {true, false}. Formule je pravdivá při ohodnocení... Teorie je množina formuĺı. Ohodnocení je modelem teorie, pokud jsou v něm pravdivé všechny formule teorie. Formule je logickým důsledkem teorie (pravdivá v teorii), pokud je pravdivá v každém modelu teorie.

4 Wumpus World Example (Wumpus) Vjemy Táhne (Breeze), Třpytí se (Glitter), Smrdí (Smell) 4 Stench Breeze PIT Akce Otoč se doleva (Left), Otoč se doprava (Right), Krok (Step), Zvedni (Grab), Polož (Put), Vystřel (Shoot) 3 2 Stench Breeze Stench Gold PIT Breeze Breeze Cíl Donést zlato na start aniž bychom spadli do díry nebo nás sežral Wumpus 1 Breeze START PIT Breeze

5 Prostředí Čtverce sousedící (hranou) s Wumpusem smrdí Ve čtvercích sousedících s dírou táhne Třpyt vidíme právě když stojíme na poĺıčku se zlatem Střela zabije Wumpuse právě když Wumpus stojí přímo před námi Střelba vystřeĺı naši jedinou střelu Zvednutím získám zlato, je li na stejném poĺıčku jako já Položením odložím zlato na zem na poĺıčku, kde stojím.

6 Reprezentace znalostí ve výrokové logice 1,3 1,2 2,2 Báze znalostí (KB): S A non B 1,1 2,1 non S non S non B B { s 2,1, s 1,2,..., s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }

7 Reprezentace znalostí ve výrokové logice 1,3 1,2 2,2 Báze znalostí (KB): S A non B 1,1 2,1 non S non S non B B { s 2,1, s 1,2,..., s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } Reprezentace znalostí ve výrokové logice výhoda: snadno se ověřuje pravdivost nevýhoda: pro každé poĺıčko musím psát pravidla zvlášť, takže je báze znalostí neúnosně velká

8 Jak odvodit w 3,1? z logiky organizovaněji (bude) sémanticky tabulkou sémantický strom syntakticky z axiomů a MP rezolucí

9 Důkaz tabulkou pro každé ohodnocení výrokových proměnných spočtu ohodnocení formuĺı v bázi znalostí KB vyberu jen modely KB, tj. všechna ohodnocení, při kterých jsou pravdivé všechny formule KB Ověřím, zda je formule dotazu pravdivá ve všech modelech KB. ANO Formule je logickým důsledkem KB. NE Existuje model KB, kde je formule nepravdivá, tj. není z KB dokazatelná.

10 Důkaz w 1,3 tabulkou ohodnocení proměnných pravdivost prvků KB w s 2,1 &s 2,2 s 1,2 w w 1,1 w 1,3 s 2,1, s 2,1 ( w 1,1 & s 1,2 (w 1, 1,2 3,1 w 2,2 & w 3,1 ) w 1,1 w 2, true true true true false true true true false true false true true false true true true true true false false true true false false true true false?? false true false false?? false false true false?? false false false false??

11 Důkaz tabulkou Tabulka má velikost 2 n, což může být dost (ale splnitelnost je NP úplná úloha) tabulka se nedá použít v predikátové logice (nekonečné modely)

12 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }

13 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1

14 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1

15 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP)

16 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL)

17 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2

18 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2

19 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP)

20 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP) KB (w 2,2 w 1,1 ) w 1,3 (věta VL)

21 Důkaz z axiomů a vět logiky KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB s 2,1 KB s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 KB w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (MP) KB w 1,1 & w 2,2 (věta VL) KB s 1,2 KB s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB w 1,3 w 1,1 w 2,2 (MP) KB (w 2,2 w 1,1 ) w 1,3 (věta VL) KB w 1,3 (MP)

22 Důkaz z axiomů a vět logiky Dá se použít i v predikátové logice ale těch možností na prozkoušení výpočetně příliš náročné. Robinzon zavedl rezoluční princip, který velice usnadní odvozování.

23 Jiný zápis rezolučního pravidla Jiný zápis základní rezoluce vychází z toho, že se literál L vyskytuje v klauzuli C 1 a literál L v C 2. Značí li množinový rozdíl, odvodíme rezolventu (C 1 L) (C 2 L), tj. C 1 C 2 (C 1 L) (C 2 L)

24 Rezoluční pravidlo nahradí MP a axiomy Podstatně zjednoduší prohledávání. Aby šlo použít, musíme dostat bázi znalostí do vhodné formy (seznamu klauzuĺı).

25 Klauzule, množina klauzuĺı Definition (Klauzule) Klauzule je disjunkce literálů Definition (Literál) Literál je buď výroková proměnná nebo její negace (ve výrok. logice) Theorem (z výrok. logiky) Každou formuli můžeme převést na Konjunktivně disjunktivní tvar Nahradíme konjunkce & čárkami a máme množinu klauzuĺı, se kterou bude pracovat rezoluce.

26 Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }

27 Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } KB = { s 2,1, s 1,2, }

28 Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (s 2,1 w 1,1 )&(s 2,1 w 2,2 )&(s 2,1 w 3,1 ) KB = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), }

29 Příklad klauzule, množina klauzuĺı KB = { s 2,1, s 1,2, s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1, s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 } s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 s 2,1 w 1,1 & w 2,2 & w 3,1 (s 2,1 w 1,1 )&(s 2,1 w 2,2 )&(s 2,1 w 3,1 ) s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 KB = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 }

30 Prázdná klauzule Klauzule (disjunkce) je pravdivá, je li pravdivý aspoň jeden její literál. Klauzule neobsahující žádný literál nemůže být pravdivá, tj. je nesplnitelná. Klauzuli neobsahující žádný literál nazýváme prázdná klauzule, značíme.

31 Základní rezoluce (ve výrokové logice) Definition (Jednotková základní rezoluce) Z klauzuĺı A L a L odvodíme klauzuli A, schematicky A L L A Definition (Základní rezoluce) Z klauzuĺı A L a L B odvodíme klauzuli A B, tj. A L A B L B Definition (Rezolventa) Formule (A B) se nazývá rezolventa formuĺı (A L) a ( L B).

32 Rezoluční dedukce, rezoluční zamítnutí Definition ((Rezoluční) dedukce) Je li S množina klauzuĺı, nazveme (rezoluční) dedukcí klauzule D z S konečnou posloupnost klauzuĺı C 1,..., C n takovou, že C n D a každá C i je buď prvem S nebo resolventou některých předchozích klauzuĺı C j, C k, j, k < i. Definition (Rezoluční zamítnutí) Rezoluční zamítnutí množiny S je dedukce prázdné klauzule z množiny S.

33 Použití rezolučního zamítnutí Chceme dokázat w 1,3. K bázi znalostí KB přidáme negaci dokazovaného tvrzení, tj. KB + = KB { w 1,3 }. najdeme rezoluční zamítnutí a ukážeme, že KB + = KB { w 1,3 } je sporná, proto w 1,3 je pravdivá ve všech modelech KB.

34 Rezoluční zamítnutí KB + = { s 2,1, s 1,2, (s 2,1 w 1,1 ), (s 2,1 w 2,2 ), (s 2,1 w 3,1 ), ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 ), w 1,3 s 1,2 s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 s 2,1 s 2,1 w 2,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,1 s 2,1 s 2,1 w 1,1 w 1,1 w 1,3 w1,3

35 Existuje rez. zamítnutí, pak ex. důkaz sporu Theorem Nechť klauzule C je resolventou klauzuĺı C 1 a C 2. Pak C je logickým důsledkem C 1 a C 2. Proof. C 1 (A L), C 2 (B L), C (A B) L, A L L A L, A L A L, A L A B Z věty o důkazu rozborem případů: L, B L L B L, B L B L, B L A B A L, B L A B

36 S sporná. Najdeme rezoluční zamítnutí? Důkaz oklikou. z logiky organizovaněji (bude) sémanticky tabulkou uzavřený sémantický strom syntakticky z axiomů a MP rezolucí

37 Definition ((jednoduchý) sémantický strom pro S, částečná realizace) Nechť S je množina klauzuĺı. Sémantický strom pro S je kořenový binární strom T, kde: z každého uzlu N vycházejí dvě hrany označené komplementárními literály (L a L) pro každý uzel N označme I (N) množinu všech literálů, které ohodnocují hrany cesty z kořene do N, pak I (N) neobsahuje žádnou komplementární dvojici. Množinu I (N) nazýváme částečná realizace. Pozn: Částečná realizace odpovídá ohodnocení některých výrokových proměnných z S; pro L I (N) považujeme v(l) = 1, pro L I (N) dáme v(l) = 0. Ohodnocení všech proměnných budeme nazývat realizace.

38 Sémantický strom pro KB s 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 w 1,1 w 1,1 w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w w1,3 w1,3 w w1,3 2,2 w 2,2 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2, w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3

39 Definition (Úplný sémantický strom) Nechť A je množina výrokových proměnných použitých v množině S. Sémantický strom pro S je úplný, jestliže pro každý jeho list N množina I (N) obsahuje A i nebo A i pro každé A i A. Definition (Uzel selhání) Uzel N je uzel selhání, jestliže existuje nějaká klauzule z S, která je nepravdivá v I (N) a současně žádná klauzule z S není nepravdivá v žádné I (N ), kde N je předchůdce uzlu N. Definition (Uzavřený sémantický podstrom) Podstrom T sémantického stromu je uzavřený, jestliže list každé větve T je uzel selhání. Definition (Uzel odvození) Uzel odvození je takový uzel v semantickém stromě, že obě jeho děti jsou uzlem selhání.

40 Uzavřený sémantický strom a uzly selhání s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w w1,3 w1,3 w w1,3 2,2 w 2,2 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2, w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )

41 Uzel odvození, rezoluční krok s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )

42 Herbrandova věta, verze 0 Theorem (Herbrandova věta, verze 0) Množina klauzuĺı S je nesplnitelná právě když ke každému úplnému sémantickému stromu pro S existuje (konečný) uzavřený podstrom se stejným kořenem. = Nechť T je úplný sémantický strom pro S. Pro každou větev B označme I B množinu všech literálů na ní. I B je realizace S. Jelikož je S nesplnitelná, tak existuje klauzule C S nepravdivá v I B. C je konečná disjunkce, tedy existuje uzel selhání N B na větvi B. Proto je na každé větvi uzel selhání, tedy T obsahuje (konečný) uzavřený sémantický podstrom. = Nechť pro každý strom T existuje uzavřený podstrom. Pak každá větev T obsahuje uzel selhání, tedy v každé interpretaci není splněna některá klauzule z S, tedy S je nesplnitelná.

43 Robinsonova věta pro VL Theorem (Robinsonova věta pro VL:) Libovolná množina klauzuĺı S je sporná právě tehdy, je-li z ní odvoditelná prázdná klauzule po konečném počtu aplikací rezolučního pravidla. = (bylo) Nechť existuje dedukce. Protože resolventa je logickým důsledkem a odvodili jsme false, množina S je sporná, tj. nemá model. = Z Herbrandovy věty víme, že S je sporná právě když každý úplný semantický strom má konečný uzavřený podstrom. Zkonstruujeme úplný semantický strom, najdeme k němu uzavřený podstrom a k tomu podstromu vytvoříme rezoluční odvození.

44 s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 )

45 KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )} s s 1,2 1,2 s 1,2 s 2,1 s2,1 s 2,1 s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 1,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3 w 1,3 w1,3

46 KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 s 1,2 s2,1 s 1,2 s 1,2 s 2,1 s 2,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2, w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 (s 2,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 )

47 KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ), ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 s 1,2 s2,1 s 1,2 s 1,2 s 2,1 s 2,1 Rezoluce w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 w1,3 (s 2,1 w 1,1 ) w 1,1 w 1,1 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2, w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) (s 2,1 w 1,1 ) ( s 1,2 s 2,1 )

48 KB + {( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ), ( s 1,2 s 2,1 ), ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 )} s 2,1 s 2,1 w w 1,1 1,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 w 2,1 s 1,2 s2,1 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 w 2,2 ( s 1,2 s 2,1 ) s 1,2 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,1 w 1,1 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 w 1,3 Rezoluce s 1,2 s 2,1 s 2,1 w 1,3 ( s 1,2 w 1,3 w 1,1 w 2,2 ) ( s 1,2 w 1,1 w 2,2 ) (s 2,1 w 2,2 ) s 1,2 s 2,1 ( s 1,2 w 1,1 s 2,1 ) (s 2,1 w 1,1 ) ( s 1,2 ) ( s 1,2 s 2,1 )

49 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty.

50 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2.

51 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N).

52 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1.

53 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1. Resolventou C složek C 1 a C 2 je C = (C 1 L 1 ) (C 2 L 2 ).

54 Robinsonova věta pokračování důkazu Vezmu uzavřený semantický strom z Herbrandovy věty. Existuje aspoň jeden uzel odvození (jinak strom není konečný uzavřený). Jeden zvoĺım, nazvu N a děti N 1 a N 2. Protože N 1 a N 2 jsou uzly selhání ale N není uzel selhání, musí existovat klauzule C 1 a C 2 takové, že jsou nepravdivé v I (N 1 ) a I (N 2 ), ale obě nejsou nepravdivé v I (N). Jediné, co se změnilo, je literál na poslední hraně. Proto C 1 musí obsahovat literál L 1 = m n+1 a C 2 literál L 2 = m n+1. Resolventou C složek C 1 a C 2 je C = (C 1 L 1 ) (C 2 L 2 ). C je nepravdivá v I (N), protože jak C 1 L 1 tak C 2 L 2 jsou nepravdivé v I (N).

55 Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M).

56 Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T.

57 Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T. Opakováním tohoto postupu dostaneme uzavřený semantický strom obsahující jediný vrchol (kořen).

58 Robinsonova věta pokračování důkazu Označme T uzavřený semantický strom pro S {C }, vzniklý z T odstraněním všech uzlů a hran ležících pod prvním (od kořene) uzlem M takokvým, že C je nepravdivá v I (M). Počet uzlů T je jistě menší než počet uzlů T. Opakováním tohoto postupu dostaneme uzavřený semantický strom obsahující jediný vrchol (kořen). To je ale možné pouze tak, že postupným odvozováním rezosvent jsme dostali.

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování

Bardziej szczegółowo

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Bardziej szczegółowo

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a

Bardziej szczegółowo

1 Soustava lineárních rovnic

1 Soustava lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační

Bardziej szczegółowo

Linea rnı (ne)za vislost

Linea rnı (ne)za vislost [1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce

Bardziej szczegółowo

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)

Bardziej szczegółowo

Kompaktnost v neklasických logikách

Kompaktnost v neklasických logikách Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.

Bardziej szczegółowo

Logický agent, výroková logika

Logický agent, výroková logika , výroková logika leš Horák E-mail: hales@fimunicz http://nlpfimunicz/uui/ Obsah: Logika Výroková logika Úvod do umělé inteligence 8/ / 30 znalosti prohledávání stavového prostoru jen zadané funkce (přechodová

Bardziej szczegółowo

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst

Bardziej szczegółowo

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a

Bardziej szczegółowo

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou. Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.

Bardziej szczegółowo

Úvodní informace. 18. února 2019

Úvodní informace. 18. února 2019 Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

Numerické metody minimalizace

Numerické metody minimalizace Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace

Bardziej szczegółowo

Logický agent, výroková logika

Logický agent, výroková logika Logický agent, výroková logika leš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Logický agent Logika Výroková logika Inference důkazové metody Úvod do umělé inteligence 8/2 / 33 Logický

Bardziej szczegółowo

Petr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156

Petr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html

Bardziej szczegółowo

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

Bardziej szczegółowo

(13) Fourierovy řady

(13) Fourierovy řady (13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx

Bardziej szczegółowo

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální

Bardziej szczegółowo

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010

Bardziej szczegółowo

Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;

Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ; Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text

Bardziej szczegółowo

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body. Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:

Bardziej szczegółowo

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f

Bardziej szczegółowo

DFT. verze:

DFT. verze: Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály

Bardziej szczegółowo

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010

Bardziej szczegółowo

Nekomutativní Gröbnerovy báze

Nekomutativní Gröbnerovy báze Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní

Bardziej szczegółowo

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých

Bardziej szczegółowo

Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 1 / 26

Bardziej szczegółowo

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv

Bardziej szczegółowo

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací 02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................

Bardziej szczegółowo

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A 1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}

Bardziej szczegółowo

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2 GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova

Bardziej szczegółowo

Tabulky, součin tabulek

Tabulky, součin tabulek Výpočet marginálních podmíněných pravděpodobností v bayesovské síti Úmluva: Zajímáme se pouze o bayesovské sítě, jejichž graf je spojitý. Jinak uvažujeme každou komponentu zvlášť. Tabulky, součin tabulek

Bardziej szczegółowo

NDMI002 Diskrétní matematika

NDMI002 Diskrétní matematika NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné

Bardziej szczegółowo

CA CZ, s.r.o. May 21, Radek Mařík Testování řídicích struktur May 21, / 45

CA CZ, s.r.o. May 21, Radek Mařík Testování řídicích struktur May 21, / 45 Testování řídicích struktur Radek Mařík CA CZ, s.r.o. May 21, 2010 Radek Mařík (radek.marik@ca.com) Testování řídicích struktur May 21, 2010 1 / 45 Obsah 1 Testování cest Princip Kritéria pokrytí Demo

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy. 1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny

Bardziej szczegółowo

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25

Bardziej szczegółowo

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme

Bardziej szczegółowo

Matematika 2, vzorová písemka 1

Matematika 2, vzorová písemka 1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět

Bardziej szczegółowo

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Bardziej szczegółowo

ČVUT FEL, K Radek Mařík Strukturované testování 20. října / 52

ČVUT FEL, K Radek Mařík Strukturované testování 20. října / 52 Strukturované testování Radek Mařík ČVUT FEL, K13132 20. října 2016 Radek Mařík (radek.marik@fel.cvut.cz) Strukturované testování 20. října 2016 1 / 52 Obsah 1 Návrh testů řízené modelem Principy 2 Testování

Bardziej szczegółowo

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Bardziej szczegółowo

Shrnutí. Vladimír Brablec

Shrnutí. Vladimír Brablec Řešení problému SAT s využitím lokálního prohledávání Vladimír Brablec Seminář z umělé inteligence II, 2010 Motivace Obsah referátů Články, podle nichž je prezentace vytvořena 1 Selman B., Kautz H., Cohen

Bardziej szczegółowo

Obsah: CLP Constraint Logic Programming. Úvod do umělé inteligence 6/12 1 / 17

Obsah: CLP Constraint Logic Programming. Úvod do umělé inteligence 6/12 1 / 17 Problémy s omezujícími podmínkami Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Průběžná písemná práce Problémy s omezujícími podmínkami Úvod do umělé inteligence 6/12 1 / 17 Průběžná

Bardziej szczegółowo

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě

Bardziej szczegółowo

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace) Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice

Bardziej szczegółowo

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument) KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A

Bardziej szczegółowo

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

Minimalizace automatů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 2. října / 53

Minimalizace automatů. Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 2. října / 53 Minimlizce utomtů Z. Sw (VŠB-TUO) Teoretická informtik 2. říjn 2018 1/ 53 Minimlizce konečného utomtu Předpokládejme deterministický konečný utomt A = (Q,Σ,δ,q 0,F). Definice Stvy q,q Q nzýváme ekvivlentní,

Bardziej szczegółowo

Matematika III Stechiometrie stručný

Matematika III Stechiometrie stručný Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup

Bardziej szczegółowo

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky

Bardziej szczegółowo

Hry. šachy, backgammon, poker

Hry. šachy, backgammon, poker Hry šachy, backgammon, poker Hry vs. Prohledávání stavového prostoru Máme dva hráče, kteří se střídají na tahu definované možné tahy, cílové pozice, výhru 1.hráče v cílových pozicích, protihráč má výhru

Bardziej szczegółowo

3. Problémy s omezujícími podmínkami (CSP Constraint Satisfaction Problems)

3. Problémy s omezujícími podmínkami (CSP Constraint Satisfaction Problems) Základy umělé inteligence 3. Problémy s omezujícími podmínkami (CSP Constraint Satisfaction Problems) Jiří Kubaĺık Katedra kybernetiky, ČVUT-FEL http://cw.felk.cvut.cz/doku.php/courses/y33zui/start pproblémy

Bardziej szczegółowo

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme

Bardziej szczegółowo

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52 í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr

Bardziej szczegółowo

6 Dedekindovy řezy (30 bodů)

6 Dedekindovy řezy (30 bodů) Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind

Bardziej szczegółowo

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,

Bardziej szczegółowo

Ústav teorie informace a automatizace. Tato prezentace je k dispozici na:

Ústav teorie informace a automatizace. Tato prezentace je k dispozici na: Aplikace bayesovských sítí Jiří Vomlel Ústav teorie informace a automatizace Akademie věd České republiky Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Obsah přednášky Podmíněná pravděpodobnost,

Bardziej szczegółowo

1 Dedekindovy řezy (30 bodů)

1 Dedekindovy řezy (30 bodů) Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval

Bardziej szczegółowo

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární

Bardziej szczegółowo

Matematické Základy Informatiky (FI: IB000)

Matematické Základy Informatiky (FI: IB000) Fakulta Informatiky Masarykova Univerzita Matematické Základy Informatiky (FI: IB000) Prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. hlineny@fi.muni.cz. září 06 Obsažný a dobře přístupný úvod do nezbytných formálních

Bardziej szczegółowo

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Bardziej szczegółowo

Reprezentace a vyvozování znalostí

Reprezentace a vyvozování znalostí Reprezentace a vyvozování znalostí Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Reprezentace a vyvozování znalostí Logika rezoluční pravidlo Extralogické informace Pravidlové systémy

Bardziej szczegółowo

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 (1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,

Bardziej szczegółowo

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z

Bardziej szczegółowo

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Bardziej szczegółowo

Zobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky

Zobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky 12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další

Bardziej szczegółowo

Formálne jazyky Automaty. Formálne jazyky. 1 Automaty. IB110 Podzim

Formálne jazyky Automaty. Formálne jazyky. 1 Automaty. IB110 Podzim Formálne jazyky 1 Automaty 2 Generatívne výpočtové modely IB110 Podzim 2010 1 Jednosmerné TS alebo konečné automaty TS sú robustné voči modifikáciam existuje modifikácia, ktorá zmení (zmenší) výpočtovú

Bardziej szczegółowo

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité

Bardziej szczegółowo

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Obor: Matematické inženýrství Optimální výrobní program Semestrální práce - matematika a byznys Vypracovala: Radka Zahradníková

Bardziej szczegółowo

ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Bardziej szczegółowo

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:

Bardziej szczegółowo

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan

Bardziej szczegółowo

Register and win! www.kaercher.com

Register and win! www.kaercher.com Register and win! www.kaercher.com A B A, B A B 2 6 A régi készülékek értékes újrahasznosítható anyagokat tartalmaznak, amelyeket tanácsos újra felhasználni. Szárazelemek, olaj és hasonló anyagok ne kerüljenek

Bardziej szczegółowo

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,

Bardziej szczegółowo

Základy obecné algebry

Základy obecné algebry . Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy

Bardziej szczegółowo

Úvod do umělé inteligence Prohledávání stavového prostoru -mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ bsah: Problém osmi dam Prohledávání stavového prostoru Prohledávání do hloubky Prohledávání

Bardziej szczegółowo

Úvod do Informatiky (FI:IB000)

Úvod do Informatiky (FI:IB000) Fakulta Informatiky Masarykova Univerzita Úvod do Informatiky (FI:IB000) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. hlineny@fi.muni.cz 15. března 2010 Obsažný a dobře přístupný úvod do nezbytných formálních matematických

Bardziej szczegółowo

Úvod do umělé inteligence, jazyk Prolog

Úvod do umělé inteligence, jazyk Prolog Úvod do umělé inteligence, jazyk Prolog Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Organizace předmětu PB016 Co je umělá inteligence Úvod do umělé inteligence 1/12 1 / 21 Organizace

Bardziej szczegółowo

Reprezentace a vyvozování znalostí

Reprezentace a vyvozování znalostí Reprezentace a vyvozování znalostí Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Reprezentace a vyvozování znalostí Logika rezoluční pravidlo Extralogické informace Pravidlové systémy

Bardziej szczegółowo

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T

Bardziej szczegółowo

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Bardziej szczegółowo

Reprezentace a vyvozování znalostí

Reprezentace a vyvozování znalostí Reprezentace a vyvozování znalostí Aleš Horák E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Reprezentace a vyvozování znalostí Pravidlové systémy Nejistota a pravděpodobnost Úvod do umělé

Bardziej szczegółowo

Reprezentace a vyvozování znalostí.

Reprezentace a vyvozování znalostí. Úvod do umělé inteligence Reprezentace a vyvozování znalostí E-mail: hales@fi.muni.cz http://nlp.fi.muni.cz/uui/ Obsah: Reprezentace a vyvozování znalostí Logika rezoluční pravidlo Extralogické informace

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza 2. Kubr Milan

Matematická analýza 2. Kubr Milan Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................

Bardziej szczegółowo

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7 Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.

Bardziej szczegółowo

Rozvíjení matematických talentů. kolektiv autorů. Praha 2019

Rozvíjení matematických talentů. kolektiv autorů. Praha 2019 Rozvíjení matematických talentů na středních školách I kolektiv autorů Praha 2019 Publikace byla vydána v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání (OP VVV) a jeho projektu Zvyšování kvality

Bardziej szczegółowo

Výzvy, které před matematiku staví

Výzvy, které před matematiku staví 1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny. MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:

Bardziej szczegółowo