NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ

Transkrypt

1 NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ

2 PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO

3 METODY ELIMINACYJNE METODA GAUSSA [A]{X}{P} X P X P

4 I ETAP- eliminacja ETAPY ROZWIĄZANIA UKŁADU RÓWNAŃ: a ij (k) a ij (k-1) -[(a ik (k-1) / a kk (k-1) )* a kj (k-1) ] Gdzie k1,2,,n-1 ik+1,k+2,,n jk+1,k+2,,n+1 Przybliżona ilość operacji: n 3 /3 II ETAP- rekursja x j (1/ a ii (i-1) )[a in+1 -Σ ji+1n (a ij (i-1) x a i )] Gdzie in,n-1,,1 Przybliżona ilość operacji: n 2 /2 Liczba wszystkich operacji w przybliżeniu: n 3

5 PRZYKŁAD X W pierwszym kroku odejmujemy stronami pierwsze równanie pomnożone przez 2 od drugiego X4 X3 X Pomnożone przez ½ odejmujemy od trzeciego I pomnożone przez -1 od czwartego Liczby 2, ½ i -1 nazywamy mnożnikami dla pierwszego kroku eliminacji Liczbę 6 używaną jako dzielnik przy ich obliczaniu-elementem głównym X3 X Odejmujemy drugi wiersz pomnożony razy 3 od trzeciego wiersza i pomnożony razy -1/2 od czwartego

6 X3 X W ostatnim kroku odejmujemy trzecie równanie pomnożone przez 2 od czwartego. Otrzymaliśmy układ o macierzy trójkątnej górnej Nowy układ łatwo rozwiązać wyznaczając niewiadome od ostatniej do pierwszej (rekursja) Rozwiązanie układu: X

7 ZNACZENIE ELEMNTÓW GŁOWNYCH Algorytm Gaussa zawodzi w wielu układach, które maja w istocie bardzo łatwe rozwiązanie. 1) Wspomniany sposób rozwiązania zawodzi gdyż już pierwszy element główny jest równy 0. 2) E Gdzie E jest małą liczbą rożną od 0. Układ nie powinien stwarzać kłopotów jak poprzedni.

8 Po przekształceniu za pomocą algorytmu Gaussa otrzymujemy: E E^ E^-1 Ma on rozwiązanie : (2-E^-1)/(1-E^-1), (1-x2)E^-1 W obliczeniach komputerowych, gdy E jest dostatecznie małe, wartością obu różnic jest E^-1. Otrzymujemy więc x21, a więc x10. Jednak rozwiązanie dokładne jest inne 1/(1-E) 1 (1-2E)/(1-E) 1

9 Trudności jakie napotkaliśmy w tych przykładach, znikają po przestawieniu równań: 1 1 E Stosując tu eliminację Gaussa otrzymamy: E 2 1-2E Obliczone x21, ale x12-x2 Więc x11 Powyższe przykłady pokazują, że dobry algorytm musi uwzględniać przestawienie równań układu, gdy wymagają tego okoliczności.

10 METODA JORDANA X P X P

11 ETAPY ROZWIĄZANIA UKŁADU RÓWNAŃ w metodzie tej mamy tylko eliminacje a kj (k) (a kj (k-1) / a kk (k-1) ) Gdzie j-1,2,,n+1 a ij (k) a ij (k-1) -a ik (k-1) * a kj (k) Gdzie j1,2,,n+1 i1,2,,n (i k)

12 METODY DEKOMPOZYCYJNE Przypuśćmy, że macierz A można wyrazić jako iloczyn macierzy trójkątnej dolnej L i trójkątnej górnej U: AL*U Dla danej macierzy stopnia n szukamy: *

13 Wtedy rozwiązanie układu równań Axb dzieli się na dwa etapy: LzP względem z, Uxz względem x. AxP LUxP Uxz LzP z Uxz Rozkładowi zostaje poddana tylko macierz A, niezmieniony pozostaje wektor P. Mamy tutaj dwie rekursje Dla każdego i można wybrać dowolną wartość różną od zera dla jednej z liczb l ii albo u ii (ale nie dla obu) Możemy więc przyjąć -l ii 1 dla i1,2,,n mamy wtedy macierz jednynkową trójkątną dolna. -u ii 1 dla i1,2,,n mamy wtedy macierz jednynkową trójkątną górną.

14 METODA GAUSSA-DOOLITTLE A Zakładamy w niej jedynyki na głównej przekątnej macierzy L * u kj a kj Σ r1 k-1 (l kr u rj ) jk,k+1,,n l ik a ik -Σ r1 k-1 ((l ir u rk )/u kk ik+1,k+2,,n

15 METODA GAUSSA-CROUT A Zakładamy w niej jedynyki na głównej przekątnej macierzy U * l ik a ik -Σ r1 k-1 (l ir u rk ) ik+1,k+2,,n u kj ( a kj Σ r1 k-1 (l ir u rj ))/l kk jk,k+1,,n

16 METODA CHOLESKY EGO Andre Louis Cholesky zaproponował jedną z wersji rozkładu macierzy na czynniki typu LL T. Udowodnił on że: TW. Jeżeli macierz A jest rzeczywista, symetryczna i dodatnio określona, to ma ona rozkład na czynniki A LL T, gdzie L jest macierzą trójkątną o elementach dodatnich na głównej przekątnej. A L*L T *

17 L kk (a kk -Σ r1 k-1 (s kr^2))^1/2 u ik (a ik Σ r1 k-1 (s ir s kr ))/s kk ik+1,,n Wadą tej metody jest występowanie pierwiastka, który znacznie wydłuża czas obliczeń.

18 PRZYKŁAD Rozwiązanie za pomocą metody Gauusa-Crout a X L U 2-1 0,5 3 3, ,5 0, u12a12/l11-5/2-2,5 u13a13/l111/20,5 l22a22-l21*u123-(-1)*(-2,5)0,5 l32a32-l31*u12-4-3*(-2,5)3,5 u23(a23-l21*u13)/l22(-1-(-1)*0,5)/0,5-1 l33a33-l31*u13-l32*u232-3*0,5-3,5*(-1)4

19 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Źródła: Wykłady dr hab. inż. Pawła Kłosowskiego prof. ndzw. PG Kincaid David, Cheney Ward, Analiza numeryczna, WNT, Warszawa 2006