WYKŁADY. Matematyka. dla studentów I roku Farmacji WUM. dr Justyna Kurkowiak

Transkrypt

1 WYKŁADY Matematyka dla studentów I roku Farmacji WUM dr Justyna Kurkowiak

2 WARUNKI ZALICZENIA Matematyka (I semestr) W semestrze można zdobyć 00 punktów. PUNKTACJA Kolokwium I Kolokwium II Kartkówki 0 35 pkt 0 35 pkt 0 30 pkt RAZEM: 0 00 pkt Uwaga. Przedmiot zalicza uzyskanie minimum 60% możliwych do zdobycia punktów. Uwaga 2. Kolokwiów i kartkówek poprawiać nie można. Uwaga 3. Dla osób, które nie uzyskają zaliczenia w trakcie semestru/sesji zostanie wyznaczony termin w sesji poprawkowej z całości materiału. SKALA OCEN ZALICZENIA PRZEDMIOTU OCENA Przedmiot nie zaliczony LICZBA PUNKTÓW 0 59, ,5 3½ 68 75, ,5 4½ 84 9,

3 Funkcje elementarne Funkcja liniowa y 2 tgα = a = y y 2 x 2 x α y x x 2 Jaki jest współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(; 3) oraz B( ; 5)? O czym mówi współczynnik kierunkowy prostej? y = ax + b a > 0, funkcja rosnąca a < 0, funkcja malejaca y = ax + b a > a Im większa wartość a tym funkcja jest bardziej stroma szybciej rośnie/maleje a szybkość zmian 2

4 Przykłady funkcji liniowej w przyrodzie: Zależność między temperatura w skali Celsjusza T C a temperaturą w skali Kelwina T K : T K = T C + 273,5 Zależność między temperatura w skali Farenheita T F a temperaturą w skali Celsjusza T C : T F =,8 T C + 32 Zależność między stężeniem substancji czynnej we krwi (dla określonego typu podania) a czasem: C = 00 0t dla t 0; 8 INTERPRETCJA WSPÓŁCZYNNIKÓW PROSTEJ O czym mówi współczynnik kierunkowy a? Jak zmieni się wartość zmiennej y, jeśli wartość zmiennej x zmieni się o jedną jednostkę y = ax + b x x+ y = a(x + ) + b y = ax + b + a O czym mówi wyraz wolny b? Jeśli zmienną niezależną jest np. czas, to wówczas b jest to wartość początkowa zmiennej zależnej (np. stężenia). Przykład. Przypuśćmy, że larwy pewnego gatunku owadów zwiększają swoją masę liniowo od t = 0 do t = 48 godzin. Larwy początkowo ważące 8 gramów po 48 godzinach ważyły 2 gramów. Znajdź funkcję opisującą zmianę wagi larwy w ustalonym przedziale. Mamy dwa punkty (0;8) oraz (48;2) zatem b = 8, natomiast a = = 2. Zatem y = t + 8 dla t 0; 8 2 co godzinę larwa przybiera 2 g na początku larwa ważyła 8g 3

5 Funkcja liniowa pojawia się w farmakokinetyce w procesach tzw. zerowego rzędu (szybkość zmian stężenia jest stała): infuzja leków ze stałą szybkością, większość procesów enzymatycznych. Przykład 2. Jak z wykresu funkcji oczytać/ jak obliczyć biologiczny okres półtrwania t? Tzn. 2 czas po jakim stężenie leku spadnie o połowę? ZNACZENIE FUNKCJI LINIOWEJ tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(t) w chwili t określa szybkość procesu w chwili t. C(t) tgα = szybkość zmiany stężenia w chwili t α t t UWAGA: w praktyce będziemy tangens nachylenia stycznej liczyć używając pochodnej. 4

6 Funkcja kwadratowa Postać ogólna y = ax 2 + bx + c, a 0. a > 0 a < 0 gałęzie ku górze gałęzie ku dołowi > 0 dwa miejsca zerowe y = a(x x )(x x 2 ) Wyróżnik trójmianu = b 2 4ac = 0 jedno miejsce zerowe Postać iloczynowa y = a(x x 0 ) 2 < 0 brak miejsc zerowych nie istnieje x = b b +, x 2a 2 = 2a x 0 = b 2a Postać kanoniczna y = a(x x w ) 2 + y w Przykład 3 x w = b 2a, y w = f(x w ) = 4a. Podane funkcje sprowadź do postaci kanonicznej i podaj współrzędne wierzchołka: y = x 2 + 2x 3 y = 3x 2 6x + 2. Znajdź rozwiązania: x 2 + 2x 3 = 0 3x 2 6x + = 0 5

7 Przykład 4 Zmieszano 5 moli etanolu i 8 moli kwasu octowego. Jakie będą liczby moli poszczególnych reagentów w stanie równowagi, jeżeli stała stężeniowa reakcji estryfikacji k = 4? CH 3 COOH + C 2 H 5 OH CH 3 COOC 2 H 5 + H 2 O początkowa liczba moli Liczba moli po reakcji CH 3 COOH C 2 H 5 OH CH 3 COOC 2 H 5 H 2 O x 5 x x x k = x x (8 x)(5 x) 4 = x 2 (8 x)(5 x) 4(8 x)(5 x) = x 2 3x 2 52x + 60 = 0 x = 40 3 x 2 = 4 Pierwsze rozwiązanie odrzucamy (oznaczałoby to ujemne wartości substratów). UWAGA Najczęściej równania tego typu mają niecałkowitą deltę. 4 = ( + x) (5 + x) ( x)( x) 3x 2 4x = 0 x = x 2 = KALKULATOR: MODE EQN wprowadzamy a, b, c otrzymujemy pierwiastki 6

8 Funkcje wielomianowe Wielomianem n-tego stopnia nazywamy funkcję: W(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 ; a n 0 Jak wyglądają funkcje f(x) = x n? y = x 2 y = x 4 y = x 8 y = x 3 y = x 5 y = x 9 7

9 Przykłady funkcji wielomianowych: 8

10 Rozwiązywanie nierówności wielomianowych: Przedstawiamy wielomian w najprostszej postaci iloczynowej (tylko składniki liniowe i/lub nierozkładalne kwadratowe); Rysujemy graficzną wersję siatki znaków; Odczytujemy rozwiązanie Przykład 5 (x )(x + 2)(x 3)(x + 5) > 0 x ( ; 5) ( 2; ) (3; ) (x ) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5) x 5; 2 {} 3; ) (x ) 4 (x + 2) 7 (x 3)(x + 5) 2 < x ( 2; ) (; 3) ( x)(x + 2)(x 3)(x + 5) x 5; 2 ; 3 9

11 ( x) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5) x ( ; 5 2; 3 Funkcja homograficzna y = ax + b cx + d ad bc 0 Założenie wyklucza przypadek kiedy funkcje z licznika i mianownika byłyby proporcjonalne i skróciłyby się do stałej. Funkcja ma dwie asymtoty: Pionowa x = d c ; Pozioma x = a c ; W zagadnieniach praktycznych w naukach farmaceutycznych oś OX jest zwykle osią czasu, a zatem rozważamy tylko część wykresu dla t 0. Przykład 6 Zmiany stężenia substancji czynnej przebiegają zgodnie z równaniem, tzw. reakcja drugiego rzędu: C C 0 = kt, k stała eliminacji, C 0 steżenie początkowe 0

12 Funkcja hiperboliczna pojawia się w: niektórych procesach wiązania leków z białkiem w surowicy; eliminacji przeciwciał po immunizacji; procesy uwalniania substancji czynnej z tabletek o przedłużonym działaniu otrzymywanych metodą powlekania. LINEARYZACJA FUNKCJI HOMOGRAFICZNEJ (dla t 0) Przykład 7 Rozkład pewnej substancji w temperaturze 35 C zachodzi według reakcji drugiego rzędu. W odstępach czasu od 0 do 373 min. mierzono stężenie reagującej substancji [ mol dm3] i uzyskano zależność: C =, ,003t. Naszkicuj wykres C = f(t) oraz C = f(t). C 0,632 0,37 Jakie jest stężenie początkowe C 0? Dla t=0 wartość C 0 =,582 zatem C 0 = 0,632. Jaka jest jest wartość stężenia dla t = 373? C 373 =, , , zatem C 373 = 2,70, czyli C 373 =0,370. HIPERBOLA C 2, t =, ,003t C y =, ,003t,582 t = 0 C =,582 t = 373 C = 2, t PROSTA

13 Jak z rysunku odczytać stałą szybkość eliminacji? tangens nachylenia postaci zlinearyzowanej Jak z rysunku odczytać biologiczny okres półtrwania? Jak znaleźć wzór na biologiczny okres półtrwania? C = kt C 0 C = + kt = + kt = kt t C 0 C = 0 C 0 2 C kc 0 Funkcja wykładnicza y = a x, a > 0 UWAGA: Funkcja nie ma miejsc zerowych. Przyjmuje zawsze wartości dodatnie. Przykład 8 Zmiana stężenia (aktywności) penicyliny bez stabilizatorów, w temperaturze pokojowej w zależności od czasu przechowywania (w tygodniach). C [mol/l] 0, t 2

14 Rysowanie wykresów funkcji Jeżeli wykres funkcji y = 2 x odbijemy symetrycznie względem osi OY, to jaką funkcję otrzymamy? Dodatnie x staje się ujemne, ujemne x staje się dodatnie, czyli x zmienia znak: y = 2 x = ( 2 ) x Przesuwanie wykresów funkcji: y = a u =[p;q] x y = a x p + q Przykład 9 Jak narysować wykres funkcji? y = ( 2 )x+ 2 y = ( 2 )x u =[ ; 2] y = ( 2 )x+ 2 y = 3 3 x symetria względem osi OX u =[0;3] x x y = 3 y = 3 y = 3 x + 3 3

15 Przykład 0 Liczba bakterii pewnej kultury podwaja się każdego dnia. Zakładając, że na początku było 00 bakterii, napisz równanie opisujace liczbę bakterii (N) po t dniach. t = 0 > N = 00 t = > N = 200 = 2 00 t = 2 > N = 400 = Ogólnie: N = 2 t 00 t = 3 > N = 600 = Jak wygląda równanie, jeśli populacja podwaja się co 4 dni? t = 0 > N = 00 t = 4 > N = 200 = 2 00 t = 8 > N = 400 = t = 2 > N = 600 = Liczba Eulera ZAPIS e 2,782 e x = exp (x) Ogólnie: N = 2 t 4 00 Przykłady funkcji wykładniczych o podstawie e: Równanie Arheniusa k = A exp ( E a R T ) Zmiany stężenia leku we krwi po podaniu jednorazowej dawki dożylnie C = C 0 e kt Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych: Jeśli a x = a y, to x = y Jeśli a x < a y i a >, to x < y Jeśli a x < a y i 0 < a <, to x > y Przykład 4 2x = 4 42x = 4 2x = x = 0 ( 3 2 )x2 < ( 4 )x ( )x2 3 < ( 2 2 )2x x 2 3 > 2x (x 3)(x + ) > 0 exp { 2x 2x } > exp {2x } > exp{0} > 0 (2x )(x + ) > 0 x+ x+ x+ 4