Andrzej Komisarski. O pewnych deskryptywnych własnościach relacji izomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha. Praca magisterska Maj 1999
|
|
- Ludwika Andrzejewska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Andrzej Komisarski O pewnych deskryptywnych własnościach relacji izomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha Praca magisterska Maj 1999 Promotor: prof. dr hab. Roman Pol
2 2
3 Spis treści 1 Wprowadzenie i główny wynik 5 2 Przestrzenie borelowskie, zbiory analityczne i przestrzenie Effrosa Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne Przestrzenie Effrosa F(E), V(E) i H(E) Relacja izomorfizmu na V(E) Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy parametryzowalne Liczby porządkowe Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona Indeksy parametryzowalne Przygotowanie do dowodu: przekształcenie Φ 17 5 Dowód głównego wyniku 21 6 Wnioski i komentarz do Twierdzenia Inny wariant dowodu Twierdzenia
4 4 SPIS TREŚCI
5 Rozdział 1 Wprowadzenie i główny wynik Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się, mówiąc w dużym uproszczeniu, badaniem złożoności struktury podzbiorów i przekształceń ośrodkowych, metryzowalnych przestrzeni topologicznych. Rozwija w tym celu pojęcia zbiorów i funkcji borelowskich, zbiorów analitycznych, koanalitycznych oraz, bardziej skomplikowanych, zbiorów rzutowych wyższych klas, ustala ich regularne własności i wzajemne powiązania. W wielu przypadkach topologia rozpatrywanych przestrzeni nie jest istotna, a znaczenie ma jedynie generowane przez nią σ-ciało zbiorów borelowskich. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni borelowskich, będących podstawowymi obiektami w naszej pracy. Na szczególną uwagę zasługują te wątki teorii deskryptywnej, w których analizuje się z punktu widzenia tej teorii obiekty pojawiające się w naturalny sposób w innych gałęziach matematyki. Przedmiotem niniejszej pracy są pewne deskryptywne własności relacji liniowego homeomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha, badanie których zapoczątkował B. Bossard [Bo]. Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, oznaczmy przez V(E) rodzinę domkniętych podprzestrzeni liniowych przestrzeni E, wyposażoną w strukturę borelowską Effrosa. Struktura Effrosa na V(E) to σ-ciało generowane przez zbiory {F V(E) : F U }, gdzie U jest otwartym podzbiorem E. Podzbiór produktu V(E) V(E) nazywamy analitycznym, jeśli jest rzutem borelowskiego podzbioru produktu V(E) V(E) [0, 1]. Podobnie, podzbiór przestrzeni V(E) jest analityczny, gdy jest rzutem zbioru borelowskiego w produkcie V(E) [0, 1]. Pojęcia te są bardziej szczegółowo omówione w części 2.1 pracy. Bossard [Bo] badał deskryptywne własności relacji izomorfizmu między przestrzeniami Banacha, będącymi elementami przestrzeni V(E) i dowiódł, że relacja ta jest analitycznym podzbiorem produktu V(E) V(E). Ponadto, jeśli E = C(2 N ) jest przestrzenią funkcji ciągłych na zbiorze Cantora, wówczas 5
6 6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE I GŁÓWNY WYNIK nie istnieje analityczny selektor dla rodziny klas abstrakcji tej relacji ([Bo], Theorem 2). Celem pracy jest dowód następującego wzmocnienia twierdzenia Bossarda o selektorach. Twierdzenie 1.1. Niech E będzie dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha i niech A V(E) będzie zbiorem analitycznym takim, że dla każdej przestrzeni Banacha L o przestrzeni sprzężonej l 1,istnieje izomorficzna kopia L w A. Wówczas A zawiera nieprzeliczalnie wiele parami izomorficznych elementów, mających jako przestrzeń sprzężoną l 1. Układ pracy jest następujący. W Rozdziałach 2 i 3 przedstawiam pojęcia oraz podstawowe fakty używane w dalszej części pracy. W Rozdziale 4 wprowadzone zostanie przekształcenie Φ, wiążące przestrzeń borelowską Effrosa V(C(2 N )) z hiperprzestrzenią kostki Hilberta. Przekształcenie to wykorzystane będzie w dowodzie Twierdzenia 1.1, który stanowi treść Rozdziału 5. W Rozdziale 6 wyjaśniam związki Twierdzenia 1.1 z pewnymi klasycznymi zagadnieniami dotyczącymi konstytuent Łuzina. W ostatnim rozdziale naszkicuję inne ujęcie dowodu Twierdzenia 1.1, nie odwołujące się do przekształcenia Φ z Rozdziału 4.
7 Rozdział 2 Przestrzenie borelowskie, zbiory analityczne i przestrzenie Effrosa Występująca w pracy terminologia dotycząca deskryptywnej teorii mnogości pochodzi z książek A. S. Kechrisa [Ke] i K. Kuratowskiego [Ku1]. Materiał związany z przestrzeniami Banacha i liczbami porządkowymi (zwłaszcza w ich topologicznym ujęciu) jest szerzej opisany w książce Z. Semadeniego [Se]. Pozostałe fakty odnoszące się do liczb porządkowych można znaleźć w książce K. Kuratowskiego ia.mostowskiego[k-m]. 2.1 Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne Przestrzeń borelowska (lub mierzalna) to para (A, S), gdziea jest dowolnym zbiorem, a S jestσ-ciałem, którego elementami są podzbiory A. ElementyS nazywać będziemy zbiorami borelowskimi. Jeśli σ-ciało S podzbiorów A jest ustalone, zwykle będziemy mówić o przestrzeni mierzalnej A, zamiast oparze(a, S). Każda przestrzeń topologiczna ma naturalną strukturę borelowską σ-ciało generowane przez zbiory otwarte. Przestrzeń borelowska (A, S) jest standardowa gdy istnieje ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny topologia na A taka, że rodzina zbiorów borelowskich tej topologii pokrywa się z rodziną S. Będziemy zatem traktować każdą przestrzeń topologiczną jako przestrzeń borelowską, a każdą ośrodkową zupełną przestrzeń metryczną jako standardową przestrzeń borelowską. Podprzestrzenią przestrzeni borelowskiej (A, S) nazywamy każdą przestrzeń borelowską (C, S C ) taką, że C A oraz S C = {C S : S S}.RodzinęS C nazywamy indukowaną strukturą borelowską na C. Każdy borelowski podzbiór standardowej przestrzeni borelowskiej wyposażony w indukowaną 7
8 8ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską. Produktem przestrzeni borelowskich (A, S) i (B,T ) jest przestrzeń borelowska (A B,S T), gdzie rodzina S T jest σ-ciałem podzbiorów iloczynu kartezjańskiego A B, generowanym przez zbiory postaci S T,gdzieS SiT T. Produkt standardowych przestrzeni borelowskich jest standardową przestrzenią borelowską. Uwaga. W klasie przestrzeni topologicznych pojęcie podprzestrzeni borelowskiej jest zgodne z pojęciem podprzestrzeni topologicznej. Dokładniej, jeśli A jest przestrzenią topologiczną oraz C A jest jej dowolnym podzbiorem, wówczas struktury borelowskie na zbiorze C, rozpatrywanym jako podprzestrzeń borelowska lub jako podprzestrzeń topologiczna A, są identyczne. W przypadku produktu (A B,S T), struktura borelowska S T jest generowana przez topologię produktową, jeśli przestrzenie A i B mają przeliczalne bazy (choć w ogólnej sytuacji tak być nie musi). Dla dowolnych dwu przestrzeni borelowskich (A, S) i (B,T ) przekształcenie f : A B jest borelowskie, gdy f 1 (T ) S dla T T. Zbiór K B jest suslinowski w przestrzeni borelowskiej (B,T ), gdy jest rzutem zbioru borelowskiego w produkcie (B [0, 1], T B), gdzie[0, 1] jest odcinkiem jednostkowym, a B rodziną zbiorów borelowskich topologii odcinka. Każdy zbiór borelowski jest suslinowski. Zbiory suslinowskie w standardowych przestrzeniach borelowskich nazywa się zbiorami analitycznymi. Zbiory analityczne są jednymi z najważniejszych obiektów rozpatrywanych w deskryptywnej teorii mnogości. Przypomnę kilka związanych z nimi podstawowych faktów. Dla dowolnej standardowej przestrzeni borelowskiej (A, S) rodzina zbiorów analitycznych w A zawiera zbiór pusty i całą przestrzeń A oraz jest zamknięta za względu na przeliczalne sumy i przecięcia. Nie jest jednak zamknięta ze względu na dopełnienia. Zbiory analityczne, których dopełnienia są także analityczne są zbiorami borelowskimi (Twierdzenie Suslina). Dla dowolnego przekształcenia borelowskiego między dwiema standardowymi przestrzeniami borelowskimi zarówno obrazy, jak i przeciwobrazy zbiorów analitycznych są analityczne. Więcej informacji na temat zbiorów analitycznych i przestrzeni borelowskich oraz dowody przytoczonych tu faktów można znaleźć w książce A. Kechrisa [Ke]. 2.2 Przestrzenie Effrosa F(E), V(E) i H(E) Ważnym pojęciem, które pozwala rozpatrywać rodziny ośrodkowych przestrzeni Banacha i relacje między nimi z punktu widzenia deskryptywnej teorii mnogości jest struktura borelowska Effrosa, wprowa-
9 2.2. PRZESTRZENIE EFFROSA F(E), V(E) I H(E) 9 dzona w pracy Effrosa [Eff]. Poniżej wyjaśniam najważniejsze dla nas fakty związane z tym pojęciem. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej E symbolem F(E) będę oznaczać przestrzeń borelowską niepustych, domkniętych podzbiorów E, wyposażoną w σ-ciało generowane przez zbiory postaci B U = {F F(E) :F U }, (2.1) gdzie U jest zbiorem otwartym w E. OkreślonetaknaF(E) σ-ciało nazywamy strukturą borelowską Effrosa, a przestrzeń F(E) przestrzenią borelowską Effrosa. Uwaga. Gdy topologia przestrzeni E ma bazę przeliczalną, wówczas we wzorze (2.1) wystarczy ograniczyć się do U należących do dowolnej bazy topologii przestrzeni E. Jeśli dodatkowo przestrzeń E jest metryzowalna w sposób zupełny, przestrzeń Effrosa F(E) jest standardową przestrzenią borelowską, zob. [Ke], Theorem Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E niech V(E) F(E) będzie zbiorem, którego elementami są domknięte podprzestrzenie liniowe przestrzeni E. Udowodnię teraz następujący fakt: Twierdzenie Zbiór V(E) jest borelowski w F(E), zatem przestrzeń V(E) wyposażona w indukowaną strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską. Dowód. Przestrzeń E jest przestrzenią metryczną ośrodkową, więc jej topologia ma przeliczalną bazę B. NiechponadtoC będzie przeliczalną bazą prostej rzeczywistej R. ZbiórF F(E) nie jest podprzestrzenią liniową E gdy jest pusty, lub gdy istnieją f,g F takie, że f + g F, lub też gdy istnieją f F i t R, dla których tf F. Jeśli f,g F i f + g F, wówczas, ponieważ F E jest domknięte, istnieje W B, dla którego f + g W oraz W F =. Z ciągłości dodawania w przestrzeni Banacha E wynika istnienie U, V B takich, że f U, g V (zatem U F i V F ) orazu + V W,gdzie U + V = {u + v : u U, v V }. Na odwrót, jeśli istnieją zbiory U, V, W B spełniające warunki U F, V F, W F = i U + V W, wówczas zbiór F nie jest zamknięty ze względu na dodawanie. Analogicznie brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie przez skalar jest równoważny istnieniu zbiorów U, W B oraz V C takich, że U F, V, W F = i VU W,gdzie VU = {ru : r V,u U}. Zbiór elementów F(E) nie będących podprzestrzeniami liniowymi E może być zatem zapisany w postaci F(E) \V(E) ={ } {F : F U } {F : F V } {F : F W = } (U,V,W ) (U,V,W ) {F : F U } {F : F W = },
10 10ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) B B B takich, że U + V W,adruga po trójkach (U, V, W ) B C B takich, że VU W oraz V. Obie te sumy są przeliczalne, składniki są borelowskie, więc F(E) \V(E) jest zbiorem borelowskim. Ostatecznie, zbiór V(E) jest borelowski w standardowej przestrzeni borelewskiej F(E). Po wyposażeniu go w indukowaną strukturę podprzestrzeni staje się więc standardową przestrzenią borelowską. Niech C(2 N ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych na zbiorze Cantora. Przestrzeń ta jest uniwersalna w klasie ośrodkowych przestrzeni Banacha, tzn. C(2 N ) jest ośrodkowa i dla każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha E istnieje domknięta podprzestrzeń liniowa C(2 N ) izomorficzna z E. Pozwala to, dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, taktować przestrzeń V(E) jako zbiór borelowski w V(C(2 N )), identyfikując E z pewną kopią E w C(2 N ). Niech C(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, określonych na zwartej przestrzeni topologicznej X, wyposażoną w normę supremum. Algebra C(X) ma jedynkę funkcję 1 X tożsamościowo równą 1. PodalgebręalgebryC(X) będę nazywał podalgebrą z jedynką, jeśli zawiera funkcję 1 X. Jeśli E = C(X), symbolemh(e) oznaczać będziemy podzbiór V(E) złożony z domkniętych podalgebr z jedynką w C(X). Twierdzenie Dla E = C(X), H(E) jest zbiorem borelowskim w V(E), a więc jest standardową przestrzenią borelowską, z indukowaną strukturą borelowską. Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii przestrzeni E. ZbiórF V(E) nie jest podalgebrą z jedynką algebry E, gdy nie jest zamknięty ze względu na mnożenie lub nie zawiera 1 X. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 2.2.1, brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie jest równoważne istnieniu U, V, W B takich, że U F, V F, W F = oraz UV W. Zbiór F nie zawiera funkcji 1 X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie U B, żeu F = i 1 X U. Zbiór V(E) \H(E) może być więc zapisany w postaci V(E) \H(E) = {F : F U } {F : F V } {F : F W = } (U,V,W ) {F : F U = }, U gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) B B B takich, że UV W, a druga po zbiorach U B zawierających 1 X. Dowodzi to borelowskości H(E) w V(E), a więc i standardowości H(E).
11 2.3. RELACJA IZOMORFIZMU NA V(E) 11 Ponieważ w dalszej części pracy będę rozważał głównie algebrę E = C(2 N ), wygodnie jest więc ustalić następujące oznaczenia F = F(C(2 N )), V = V(C(2 N )) oraz H = H(C(2 N )). 2.3 Relacja izomorfizmu na V(E) Dwie przestrzenie Banacha nazywamy izomorficznymi, gdy są liniowo homeomorficzne. Niech R E będzie relacją izomorfizmu na V(E), to znaczy para przestrzeni Banacha (L, M) V(E) V(E) jest wrelacjir E wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie L i M są izomorficzne. Deskryptywną charakteryzację relacji R E jako podzbioru produktu V(E) V(E) podaje następujące, pochodzące od Bossarda twierdzenie ([Bo] Theorem 2). Twierdzenie (Bossard) Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E relacja izomorfizmu R E określona na przestrzeni Effrosa V(E) jest analitycznym podzbiorem produktu V(E) V(E). Ponieważ w pracy Bossarda [Bo] nie ma uzasadnienia tego faktu, podaję poniżej szkic dowodu. Niech S V(E) V(E) V(E E) będzie zbiorem trójek (L, M, N), dla których N jest zanurzonym w E E wykresem pewnego izomorfizmu między przestrzeniami L i M. Ponieważ R E jest rzutem zbioru S na pierwsze dwie współrzędne, więc wystarczy pokazać, że S jest borelowskim podzbiorem produktu V(E) V(E) V(E E). Zauważmy w tym celu, że trójka (L, M, N) jest elementem zbioru S gdy spełnia następujące warunki: i) dla każdego zbioru otwartego V E przecinającego podprzestrzeń M istnieje otwarte U E takie, że U L, N (U Int(E \ V )) = oraz N (U V ), ii) dla każdego zbioru otwartego U E przecinającego podprzestrzeń L istnieje otwarte V E takie, że V M, N (Int(E \ U) V )= oraz N (U V ), iii) dla dowolnego zbioru otwartego V E takiego, że V M = przecięcie N (E V ) jest zbiorem pustym, iv) dla dowolnego zbioru otwartego U E takiego, że U L = przecięcie N (U E) jest zbiorem pustym,
12 12ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA przy czym wystarczy ograniczyć się do zbiorów U i V będących elementami dowolnej przeliczalnej bazy topologii przestrzeni E. Istotną rolę w sprawdzeniu, że wymienione warunki charakteryzują zbiór S odgrywa zupełność przestrzeni E oraz liniowość N. Zbiór S można zatem opisać używając jedynie przeliczalnych sum i przecięć zbiorów borelowskich. Dowodzi to tezy twierdzenia.
13 Rozdział 3 Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy parametryzowalne 3.1 Liczby porządkowe Liczbę porządkową będę utożsamiać z uporządkowanym zbiorem wszystkich liczb porządkowych mniejszych od niej, tzn. ξ = {α : α < ξ}. Najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, typ porządkowy zbioru liczb naturalnych, będę oznaczać symbolem ω, a najmniejszą liczbę nieprzeliczalną, a więc zbiór wszystkich liczb porządkowych przeliczalnych symbolem ω 1. Każda liczba porządkowa ξ może być traktowana jako przestrzeń topologiczna. Jej elementami są liczby porządkowe mniejsze od ξ natomiast topologia jest określona przez bazę składającą się z przedziałów postaci (α, β) i [0,β), gdzieα<β ξ. Jest to tak zwana topologia porządkowa. Przestrzeń postaci ξ +1,gdzieξ < ω 1 jest przeliczalną przestrzenią zwartą. Z kolei każda przeliczalna przestrzeń zwarta jest homeomorficzna z przestrzenią postaci ω ξ n +1,gdzieξ < ω 1 i n<ω. Indeks Cantora-Bendixsona (patrz część 3.2) takiej przestrzeni jest równy ξ, ajejξ-ta pochodna jest zbiorem składającym się z n punktów. Dowód tego faktu znaleźć można w książce Semadeniego [Se]. Następujące twierdzenie Bessagi i Pełczyńskiego, pochodzące z pracy [B-P], będzie odgrywało istotną rolę w dowodzie Twierdzenia 1.1. Twierdzenie (Bessaga, Pełczyński) Dla dowolnych przeliczalnych, nieskończonych liczb porządkowych ξ i ζ przestrzenie Banacha C(ξ +1) i C(ζ +1) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ξ<ζ ω oraz ζ<ξ ω. Potrzebny nam będzie także następujący prosty fakt, opisujący przestrzenie sprzężone (C(ξ +1)) 13
14 14 ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE dla ξ przeliczalnych. Twierdzenie Dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ ω przestrzeń (C(ξ +1)) jest izomorficzna z l 1. Szkic dowodu. Przestrzeń ξ+1 jest zwarta, więc w myśl twierdzenia Riesza (C(ξ+1)) jest izomorficzna z przestrzenią ograniczonych, przeliczalnie addytywnych, regularnych miar rzeczywistych na ξ +1. Ponieważ ξ +1 jest przeliczalna, więc wszystkie jej podzbiory są borelowskie, a miary przeliczalnie addytywne są regularne i atomowe, tzn. wyznaczone przez wartości na zbiorach jednoelementowych. Zatem każdą taką miarę można utożsamić z funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na ξ +1, dla której suma modułów jej wartości jest skończona. Obserwacje te pozwalają utożsamiać przestrzeń (C(ξ +1)) z l 1. Zbiór A ω 1 nazywamy c.u.b. zbiorem gdy jest nieprzeliczalny oraz domknięty w ω 1,rozpatrywanej z topologią porządkową. Przecięcie dowolnych dwóch c.u.b. podzbiorów ω 1 (a nawet dowolnej przeliczalnej rodziny c.u.b. zbiorów) jest c.u.b. zbiorem. Niech Λ ω 1 będzie zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych ξ takich, że ξ = ω ξ. Oczywiście zbiór Λ jest domknięty w ω 1. Ponadto dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ liczba lim(ξ,ω ξ,ω ωξ,...) ξ jest elementem zbioru Λ, który jest wobec tego nieograniczony w ω 1.Takwięc Λ jest c.u.b. zbiorem. Jeżeli λ Λ, ξ<λin<ω,to(ω ξ n) ω (ω ξ+1 ) ω = ω (ξ+1)ω ω ωξ+1ω = ω ωξ+2 ω ωλ = ω λ i z Twierdzenia otrzymujemy następujący Wniosek Dla dowolnych λ Λ, ξ<λi n<ωprzestrzenie Banacha C(ω λ +1) i C(ω ξ n +1) nie są izomorficzne. 3.2 Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni metrycznej X jej hiperprzestrzenią K(X) nazywamy przestrzeń zwartych podzbiorów X z metryką Hausdorffa, zob. [Ke], 4.F. Jeśli X jest przestrzenią ośrodkową, zupełną, wówczas K(X) teżmatąwłasność. GdyX jest przestrzenią zwartą, struktura borelowska hiperprzestrzeni K(X) jest identyczna ze strukturą Effrosa opisaną w części 2.2. W dalszej części pracy szczególną rolę będzie odgrywać hiperprzestrzeń K([ 1, 1] N ) kostki Hilberta, dla oznaczenia której rezerwuję literę K.
15 3.3. INDEKSY PARAMETRYZOWALNE 15 Dla dowolnego K K(X) pochodną Cantora-Bendixsona zbioru K nazywamy zbiór K K(X) wszystkich punktów skupienia zbioru K. PonieważK jest domknięte w X, więck K. Ogólniej, jeśli ξ jest liczbą porządkową, dla dowolnego K K(X) definiujemy indukcyjnie ξ-tą pochodną Cantora- Bendixsona D ξ CB (K) w następujący sposób: D0 CB (K) =K, Dξ CB (K) =(Dζ CB (K)) gdy ξ = ζ +1 oraz D ξ CB (K) = ζ<ξ Dζ CB (K) gdy ξ jest liczbą graniczną. Pozaskończony ciąg {D ξ CB (K)} ξ zwartych podzbiorów przestrzeni X jest zstępujący, więc od pewnego miejsca stabilizuje się, tzn. D ξ CB (K) =Dξ+1 CB (K) =..., dla pewnej liczby porządkowej ξ. Liczbaξ jest wówczas przeliczalna, a zbiór D ξ CB (K) jest albo pusty, albo w sobie gęsty, czyli każdy jego element jest jego punktem skupienia. Indeksem Cantora-Bendixsona na hiperprzestrzeni K(X) nazywamy przekształcenie δ CB : K(X) ω 1 { } takie, że δ CB (K) jest najmniejszą liczbą porządkową ξ spełniającą warunek D ξ+1 CB (K) =, jeślitakieξ istnieje, lub δ CB(K) =, jeślid ξ CB (K) dla każdej liczby porządkowej ξ. oraz W dalszym ciągu przydatne będą następujące oznaczenia: K < (X) ={K K(X) :δ CB (K) < } K < = K < ([ 1, 1] N ). Lemat K < jest rodziną zwartych, przeliczalnych podzbiorów kostki Hilberta [ 1, 1] N. Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii kostki [ 1, 1] N. Gdy K Kjest zbiorem przeliczalnym, wówczas jest on homeomorficzny z pewną liczbą porządkową postaci ω ξ n +1,gdzieξ<ω 1, n<ωiwtedyδ CB (K) =ξ (patrz część 3.1). Zatem K K <. Niech teraz K Kbędzie nieprzeliczalne. Oznaczmy przez B K rodzinę tych elementów bazy B, których przecięcie ze zbiorem K jest przeliczalne. Wówczas K \ U B K U K jest nieprzeliczalnym, domkniętym, w sobie gęstym podzbiorem K. Zatemδ CB (K) = i K K < 3.3 Indeksy parametryzowalne Przytoczę teraz pewne fakty i pojęcia pochodzące z prac [Ch-P] i [CGP], które będą potrzebne w dalszej części pracy, stanowiąc podstawowe narzędzie wykorzystywane w dowodzie Twierdzenia 1.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią metryczną. Funkcję δ : E ω 1 nazywać będę indeksem parametryzowalnym, jeśli istnieje zupełna metryczna przestrzeń M, ciągłasurjekcjaπ : M E (parametryzacja indeksu δ) orazrodzina{p ξ } ξ ω1 podzbiorów M, spełniające następujące warunki:
16 16 ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE i) P ξ są parami rozłączne i M = ζ ω 1 P ζ, ii) ζ ξ P ζ jest podzbiorem ośrodkowym i domkniętym w M, dlaξ ω 1, iii) ζ ξ P ζ = ζ<ξ P ζ, dla każdej granicznej liczby porządkowej ξ ω 1, iv) (δ π) 1 ({ξ}) =P ξ i ζ<ξ (δ π) 1 ({ξ}) = ζ<ξ P ξ,dlaξ z pewnego c.u.b. zbioru w ω 1. Ważnym przykładem indeksu parametryzowalnego jest opisany w części 3.2 indeks Cantora-Bendixsona δ CB : K < (X) ω 1,gdzieX jest przestrzenią zwartą. W pracy [Ch-P] J. Chaber i R. Pol dowiedli następujące twierdzenie dotyczące indeksów parametryzowalnych. Twierdzenie Niech δ : E ω 1 będzie indeksem parametryzowalnym określonym na ośrodkowej przestrzeni metrycznej E iniecha będzie zbiorem suslinowskim w E. Ponadto, niech Z A przecina δ 1 ({ξ}) dla każdego ξ z pewnego c.u.b. podzbioru ω 1. Wówczas istnieje c.u.b. zbiór Θ ω 1 taki, że dla każdego ξ Θ, każdy zbiór typu F σ zawierający A δ 1 ({ξ}) przecina zbiory Z α<ξ δ 1 ({α}) oraz Z α>ξ δ 1 ({α}).
17 Rozdział 4 Przygotowanie do dowodu: przekształcenie Φ W tym rozdziale określę przekształcenie borelowskie Φ:H Ktakie, że dla każdego H H, algebryh i C(Φ(H)) są izomorficzne. Istotnym elementem tej konstrukcji jest następujący wniosek z twierdzenia Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego o selekcjach borelowskich (zob. [Ke], Theorem 12.13). Twierdzenie 4.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas ciąg funkcji borelowskich e n : F(E) E takich, że dla każdego niepustego F F(E) zbiór {e n (F ):n N} jest gęsty w F. Twierdzenie to pozwala określić funkcje borelowskie d n : H C(2 N ) takie, że dla każdej algebry H Hzbiór {d n (H) :n N} jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w H. Niech bowiem k : H Fbędzie przekształceniem przyporządkowującym elementom H ich kule jednostkowe i niech e n : F C(2 N ) będą funkcjami otrzymanymi przez zastosowanie Twierdzenia 4.1 do przestrzeni E = C(2 N ). Wówczas przekształcenia d n można określić formułą d n = e n k. Przekształcenia te są borelowskie, gdyż zarówno e n jak i k są borelowskie. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy d H n = d n(h). Określam teraz przekształcenie Φ:H Kwzorem Φ(H) ={(d H 1 (x),dh 2 (x),...) [ 1, 1]N : x 2 N }, (4.1) przy czym inkluzja Φ(H) [ 1, 1] N jest konsekwencją nierówności d H i 1, a niepustość i zwartość Φ(H) wynika z tego, że jest to obraz niepustego, zwartego zbioru 2 N przy przekształceniu ciągłym x (d H 1 (x),dh 2 (x),...). 17
18 18 ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ Dowód własności przekształcenia Φ, które będą nam potrzebne, rozbiję na kilka lematów. Dla dowolnej algebry H Hokreślmy relację równoważności H 2 N 2 N,przyjmując x 1 H x 2 h H h(x 1 )=h(x 2 ) dla x 1,x 2 2 N. (4.2) Lemat 4.2. Niech H H. Wówczas przestrzeń Φ(H) jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową 2 N / H. Dowód. Określam przekształcenie f :2 N / H Φ(H) wzorem f([x]) = (d H 1 (x),dh 2 (x),...). Z definicji relacji H izbioruφ(h) wynika, że f jest dobrze określoną surjekcją. Jeśli f([x 1 ]) = f([x 2 ]), to d H i (x 1)=d H i (x 2) dla i N oraz, z gęstości {d H i : i N} w kuli jednostkowej w H, h(x 1 )=h(x 2 ) dla h H, czyli [x 1 ]=[x 2 ].Zatemf jest także przekształceniem różnowartościowym. Przestrzeń 2 N / H jest zwarta, a Φ(H) jest przestrzenią Hausdorffa, więc aby dowieść, że f jest homeomorfizmem wystarczy pokazać, że jest funkcją ciągłą. Rozpatrzmy podzbiory przestrzeni Φ(H) postaci A U,k =Φ(H) ([ 1, 1] k 1 U [ 1, 1] N ),gdzieu jest otwarty w [ 1, 1] oraz k N. Φ(H) jest podprzestrzenią kostki Hilberta [ 1, 1] N,więczbioryA U,k tworzą podbazę topologii Φ(H). Zbiory B U,k = {x 2 N : d H k (x) U} są otwarte w 2N, gdyż d H k : 2 N [ 1, 1] są funkcjami ciągłymi oraz nasycone ze względu na relację H (to znaczy x 1 B U,k, x 1 H x 2 pociąga x 2 B U,k ), więc przeciwobrazy f 1 (A U,k )={[x] 2 N / H : x B U,k } są otwarte w 2 N / H. To kończy dowód lematu. Lemat 4.3. Dla dowolnego H Halgebra C(2 N / H ) jest izometrycznie izomorficzna z algebrą H. Dowód. Określam żądany izomorfizm ψ : H C(2 N / H ) przyjmując dla h H i [x] 2 N / H ψ(h)([x]) = h(x). Z definicji (4.2) relacji H, określenie to nie zależy od wyboru x. Aby dla ustalonego h dowieść ciągłości odwzorowania ψ(h) :2 N / H R, rozważmy dowolny zbiór otwarty U R. Zbiór {x 2 N : ψ(h)([x]) U} = {x 2 N : h(x) U} jest otwarty w 2 N i nasycony ze względu na relację H, zatem zbiór (ψ(h)) 1 (U) ={[x] 2 N / H : ψ(h)([x]) U} jest otwarty. Tak więc przekształcenie ψ(h) jest ciągłe i ψ jest dobrze określone. Oczywiście, ψ jest zachowującym normę homomorfizmem algebr (obie algebry są wyposażone w normę supremum). Zauważmy ponadto, że ψ(h) jest domkniętą podalgebrą C(2 N / H ) zawierającą wszystkie funkcje stałe i rozdzielającą elementy 2 N / H. Z twierdzenia Stone a-weierstrassa ψ(h) =C(2 N / H ), czyli ψ jest także surjekcją.
19 19 Podsumowując, ψ jest zachowującym normę izomorfizmem algebr, a więc algebry H i C(2 N / H ) są izometrycznie izomorficzne. Z Lematów 4.2 i 4.3 otrzymujemy natychmiast Wniosek 4.4. Dla dowolnego H H, algebry C(Φ(H)) i H są izometrycznie izomorficzne. Lemat 4.5. Niech h :2 N X będzie ciągłym przekształceniem zbioru Cantora na przestrzeń topologiczną Hausdorffa X. Wówczas, dla algebry Banacha H h = {f h : f C(X)}, przestrzeniex i 2 N / Hh są homeomorficzne. Dowód. Zauważmy, że relacja Hh utożsamia te punkty zbioru Cantora, na których funkcja h przyjmuje tą samą wartość. Istotnie, jeżeli x 1,x 2 2 N oraz h(x 1 )=h(x 2 ), wówczas oczywiście f h(x 1 )=f h(x 2 ) dla każdego f C(X) i x 1 Hh x 2. Jeśli z kolei h(x 1 ) h(x 2 ), wtedy z normalności przestrzeni zwartej X istnieje funkcja f C(X) taka, że f(h(x 1 )) f(h(x 2 )) ipara(x 1,x 2 ) nie jest w relacji Hh. Ponieważ zbiór Cantora 2 N jest przestrzenią zwartą, a funkcja h jest surjekcją, więc przestrzenie X i 2 N / Hh są homeomorficzne. Lemat 4.6. Przekształcenie Φ:H Kokreślone formułą (4.1) jest borelowskie. Dowód. Niech M 2 N będzie przeliczalnym, gęstym podzbiorem zbioru Cantora. Strukturą borelowską hiperprzestrzeni K([ 1, 1] N ) kostki Hilberta jest struktura Effrosa generowana przez zbiory B U1,...,U k = {K K([ 1, 1] N ):K (U 1 U k [ 1, 1] N ) }, gdzieu 1,...,U k [ 1, 1] otwarte, k N (patrz części 2.2 i 3.2). Algebra H Hjest elementem przeciwobrazu Φ 1 (B U1,...,U k ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x 2 N takie, że d H 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k. Ponieważ funkcje d H i są ciągłe, a zbiór M jest gęsty w 2 N, więc istnienie x 2 N takiego, że d H 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k jest równoważne istnieniu x M mającego tą własność. Zatem Φ 1 (B U1,...,U k )= x M {H H: dh 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k} = k x M i=1 {H H: dh i (x) U i} Dla ustalonego x 2 N zbiory U i,x = {H H: d H i (x) U i} są borelowskie, ponieważ są przeciwobrazami zbiorów otwartych U i przy przekształceniu, będącym złożeniem funkcji borelowskiej H d H i i ciągłej ewaluacji f f(x). Ostatecznie, zbiór Φ 1 (B U1,...,U k ) jest borelowski jako przeliczalna suma skończonych przecięć zbiorów borelowskich U i,x. To kończy dowód lematu.
20 20 ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ
21 Rozdział 5 Dowód głównego wyniku Zauważmy, że dla dowodu Twierdzenia 1.1 wystarczy ograniczyć się do przypadku E = C(2 N ). Jeśli bowiem E jest dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha, wówczas, dzięki uniwersalności C(2 N ),można traktować E jako domkniętą podprzestrzeń C(2 N ).ZbiórV(E) jest wówczas borelowski w przestrzeni V(C(2 N )), azatemzbióra jest w niej analityczny (zob. część 2.2) i spełnia założenia Twierdzenia 1.1 dla E = C(2 N ). Na mocy Twierdzenia przestrzeń V jest standardową przestrzenią borelowską, czyli jej struktura borelowska jest σ-algebrą generowaną przez pewną ośrodkową, metryzowalną w sposób zupełny topologię. W dalszym ciągu będę traktował V jako ośrodkową, zupełną przestrzeń metryczną. Niech R = R C(2 N ) V Vbędzie relacją izomorfizmu między należącymi do V przestrzeniami Banacha. Ponieważ, na mocy Twierdzenia R jest zbiorem analitycznym w V V, więczbiór R (V H) jest analityczny w V H. Przyjmijmy R =(Id V Φ)(R (V H)), gdzie Φ jest przekształceniem określonym wzorem (4.1), a Id V jest identycznością na V. R jest zbiorem analitycznym w V Kjako obraz zbioru analitycznego w standaedowej przestrzeni borelowskiej V H przy przekształceniu borelowskim (Id V Φ) : V H V K. Z określenia zbioru R oraz Wniosku 4.4 wynika, że jego elementami są dokładnie te pary (L, K) V K, dla których L jest izomorficzne z C(K) oraz istnieje algebra H Htaka, że Φ(H) =K. Na przestrzeni V Kokreślam indeks δ : V K ω 1 { }wzorem δ(l, K) =δ CB (K), (5.1) gdzie δ CB jest indeksem Cantora-Bendixsona na K, opisanym w części 3.2. Indeks δ V K< : V K < ω 1 21
22 22 ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU jest parametryzowalny (zob. część 3.3). Jeśli bowiem π : M K < jest parametryzacją indeksu δ CB, to Id V π : V M V K < jest parametryzacją indeksu δ V K<. Dowód Twierdzenia 1.1 (przypadek E = C(2 N )). Niech A będzie zbiorem analitycznym w V, zawierającym izomorficzne kopie wszystkich przestrzeni Banacha, których przestrzeń sprzężona jest izomorficzna z l 1 iniech  = R (A K). Zbiór  jest analityczny w V K. Ponieważ, jak zauważyliśmy w Twierdzeniu 3.1.2, dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ>0, przestrzenie C(ω ξ +1)mają przestrzeń sprzężoną l 1,więczbiórA zawiera element L ξ izomorficzny z C(ω ξ +1). Ponadto istnieje algebra H ξ Htaka, że Φ(H ξ ) jest homeomorficzne z ω ξ +1. Istotnie, możemy określić H ξ jako {f h : f C(ω ξ +1)}, gdzieh :2 N ω ξ +1jest ciągłą surjekcją. Homeomorficzność Φ(H ξ ) i ω ξ +1 wynika z Lematów 4.2 i 4.5. Mamy więc (L ξ, Φ(H ξ ))  oraz δ(l ξ, Φ(H ξ )) = ξ. Zatem dla każdej nieskończonej liczby porządkowej ξ ω 1 przecięcie  δ 1 ({ξ}) jest niepuste i spełnione są założenia Twierdzenia dla E = V K <, indeksu δ V K< oraz A = Z =  (V K < ). Teza Twierdzenia mówi, że istnieje c.u.b. zbiór Θ ω 1 taki, że dla wszystkich ξ Θ każdy zbiór typu F σ zawierający  δ 1 ({ξ}) przecina  ζ<ξ δ 1 ({ζ}). Niech Λ będzie zbiorem określonym w 3.1. Pokażę, że jeżeli 0 <ξ Λ Θ, tozbióra zawiera nieprzeliczalnie wiele izomorficznych kopii C(ω ξ +1). To zakończy dowód twierdzenia, gdyż zbiór Λ Θ jest niepusty jako c.u.b. zbiór. Załóżmy przeciwnie, że istnieje 0 <ξ Λ Θ takie, że zbiór I ξ = {L A: L jest izomorficzne z C(ω ξ +1)} jest przeliczalny. Zauważmy, że  δ 1 ({ξ}) I ξ K <. Niech bowiem (L, K)  δ 1 ({ξ}). Wówczas δ CB (K) =ξ i przestrzenie L i C(K) są izomorficzne. Oznacza to, że zbiór K jest homeomorficzny z ω ξ n+1 dla pewnego n<ωizgodnie z Twierdzeniem przestrzenie L i C(K) są izomorficzne z C(ω ξ +1), czyli (L, K) I ξ K < Ponieważ zbiór I ξ K < V K < jest typu F σ izawieraâ δ 1 ({ξ}), więc musi istnieć ζ<ξ spełniające warunek (I ξ K < )  δ 1 ({ζ}). Ostatnie stwierdzenie oznacza, że istnieje L I ξ
23 23 izomorficzne z C(ω ζ n+1) dla pewnego n<ω.wtakimraziec(ω ξ +1) jest izomorficzne z C(ω ζ n+1), a to przeczy Wnioskowi Otrzymana sprzeczność kończy dowód naszego twierdzenia.
24 24 ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU
25 Rozdział 6 Wnioski i komentarz do Twierdzenia 1.1 Selektorem dla rodziny {P i } i I parami rozłącznych podzbiorów dowolnego zbioru A nazywamy zbiór B A taki, że B i I P i oraz przecięcia B P i są jednoelementowe dla i I. Wniosek 6.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha, zawierającą jako liniowe podprzestrzenie domknięte izomorficzne kopie wszystkich ośrodkowych przestrzeni Banacha, których przestrzenie sprzężone są izomorficzne z l 1. Niech ponadto L V(E) będzie rodziną wszystkich takich podprzestrzeni. Wówczas nie istnieje zbiór suslinowski w L, będący selektorem dla rodziny klas abstrakcji relacji izomorfizmu między elementami L. Dowód. Załóżmy, dążąc do sprzeczności, że S L jest suslinowskim selektorem, o którym mowa w sformułowaniu wniosku. Wówczas, z definicji zbioru suslinowskiego i podprzestrzeni borelowskiej podanych w części 2.1, wynika istnienie zbioru analitycznego A V(E) takiego, że A L = S. Zbiór A zawiera wówczas dokładnie po jednej izomorficznej kopii każdej przestrzeni Banacha, mającej przestrzeń sprzężoną izomorficzną z l 1. Przeczy to Twierdzeniu 1.1, kończąc dowód wniosku. Twierdzenie 1.1 i Wniosek 6.1 są związane z pewnymi rezultatami dotyczącymi konstytuent Łuzina oraz relacji homeomorfizmu między elementami hiperprzestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej. Niech 2 Q będzie zbiorem Cantora wszystkich podzbiorów zbioru liczb wymiernych Q (każdy podzbiór utożsamiamy z jego funkcją charakterystyczną). Elementy 2 Q, traktowane jako podzbiory Q, są zbiorami uporządkowanymi. Rozważmy na 2 Q relację równoważności taką, że dwa elementy 2 Q są w relacji wtedy i tylko wtedy gdy mają ten sam typ porządkowy. Klasa abstrakcji dobrze uporządkowanego zbioru typu porządkowego α nosi nazwę α-tej konstytuenty Łuzina (patrz [Ku1], [Ke]). W pracy [Ka], V. G. Kanovei pokazał, odpowiadając na pytanie Łuzina, że żaden analityczny podzbiór 2 Q nie może przecinać każdej konstytuenty Łuzina w dokładnie jednym punkcie. Inny, prostszy 25
26 26 ROZDZIAŁ 6. WNIOSKI I KOMENTARZ DO TWIERDZENIA?? dowód tego faktu znajduje się w pracy [CGP]. Polega on na pokazaniu, że każdy zbiór analityczny w 2 Q przecinający każdą konstytuentę Łuzina musi mieć z którąś z nich nieprzeliczalną część wspólną. Analogiczne wyniki dotyczące pochodnej Cantora-Bendixsona są rozważane w pracy [Ch-P]. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej zwartej X zawierającej zbiór Cantora rozważamy hiperprzestrzeń K(X) i relację homeomorfizmu między jej elementami. Z faktów opisanych w pracy wynika, że nie istnieje zbiór analityczny w K(X) przecinający każdą z klas abstrakcji tej relacji w dokładnie jednym punkcie. Co więcej, każdy zbiór analityczny przecinający wszystkie klasy abstrakcji zbiorów przeliczalnych ma nieprzeliczalne przecięcie z którąś z nich. Oba te fakty można udowodnić opierając się na Twierdzeniu zastosowanym do naturalnych indeksów określonych na rozpatrywanych przestrzeniach: w pierwszym przypadku rozważa się indeks przyporządkowujący α-tej konstytuencie Łuzina liczbę porządkową α, natomiast w drugim indeks Cantora-Bendixsona. Niniejsza praca pokazuje, że podobne własności wykazuje relacja izomorfizmu między przestrzeniami Banacha mającymi ośrodkową przestrzeń sprzężoną.
27 Rozdział 7 Inny wariant dowodu Twierdzenia 1.1 Przedstawię teraz pewną modyfikację dowodu Twierdzenia 1.1, nie korzystającą z przekształcenia Φ opisanego w Rozdziale 4. Podobnie jednak jak poprzedni dowód, wykorzystuje ona pewne fakty z pracy [Ch-P], opisane w części 3.3. Idea modyfikacji oparta jest na następującej obserwacji. Przekształcenie Φ służy do zdefiniowania, a następnie uzasadnienia analityczności zbioru R, rozpatrywanego w Rozdziale 5. Pokażę, że omijając użycie przekształcenia Φ, zbiór R można zastąpić większym zbiorem złożonym z par (L, K) V K([ 1, 1] N ) takich, że przestrzenie L i C(K) są izomorficzne, przy czym z kolei wygodniej będzie posłużyć się hiperprzestrzenią zbioru Cantora 2 N, niż hiperprzestrzenią kostki Hilberta [ 1, 1] N. Możliwość takiej modyfikacji wynika z następujących lematów. Będziemy rozpatrywać zbiór Cantora z ustaloną metryką. Oznaczmy przez C(2 N, 2 N ) przestrzeń funkcji ciągłych zbioru Cantora w siebie, wyposażoną w metrykę supremum. Przestrzeń ta jest ośrodkową przestrzenią zupełną. Lemat 7.1. Każdemu niepustemu, domkniętemu podzbiorowi K zbioru Cantora 2 N można przyporządkować funkcję ciągłą f K :2 N K, spełniającą równość f K (x) =x dla x K, w taki sposób, że przyporządkowanie to, traktowane jako funkcja z K(2 N ) \ { } w C(2 N, 2 N ), jest borelowskie. Nie będę dowodził tego lematu, gdyż wymagałoby to dokładnego przyjrzenia się strukturze zbioru Cantora co, ze względu na uzupełniający charakter tego rozdziału, jest niecelowe. Ograniczę się jedynie do uwagi, że jako funkcje f K można wykorzystać retrakcje zbioru Cantora na zbiory K, opisane w książce [Ku2] Rozdział XVI 9. Lemat 7.2. Dla dowolnej funkcji h C(2 N, 2 N ) niech K h oznacza zbiór jej wartości. Wówczas przekształcenie T : C(2 N, 2 N ) V określone formułą T (h) ={f h : f C(K h )} jest borelowskie. 27
28 28 ROZDZIAŁ 7. INNY WARIANT DOWODU TWIERDZENIA?? Istotnie, rodzina zbiorów borelowskich w V jest σ-ciałem generowanym przez zbiory postaci {L V: L U }, gdzieu jest otwarte w C(2 N ) (patrz część 2.2). Łatwo sprawdzić, że przeciwobrazy takich zbiorów przy przekształceniu T są otwartymi podzbiorami przestrzeni C(2 N, 2 N ). Lematy 7.1, 7.2, 4.3 oraz 4.5 pozwalają nam rozważać funkcję borelowską ϕ : K(2 N ) \ { } V, (7.1) przyporządkowującą każdemu niepustemu zwartemu podzbiorowi K kostki Hilberta domkniętą podprzestrzeń liniową przestrzeni C(2 N ) izomorficzną z C(K). Funkcja ta przejmuje rolę przekształcenia Φ, określonego w Rozdziale 4, pozwala bowiem związać w regularny sposób elementy hiperprzestrzeni K(2 N ) z elementami przestrzeni V. Zakończę ten rozdział dowodem faktu, który pozwala na powtórzenie argumentów użytych w zamieszczonym w Rozdziale 5 dowodzie bez żadnych istotnych zmian. Lemat 7.3. Zbiór R = {(L, K) V K(2 N ):L jest izomorficzne z C(K)} (7.2) jest analityczny w V K(2 N ). Dowód. Rozważmy zbiór S K(2 N ) V V trójek (K, H, L) spełniających warunki: i) K, ii) H = ϕ(k), gdzieϕ : K(2 N ) \ { } V jest opisane w (7.1), iii) H jest izomorficzne z L. Tak określony zbiór S jest analityczny w K(2 N ) V V jako przecięcie dwóch zbiorów analitycznych: S 1 = {(K, H, L) K(2 N ) V V : H = ϕ(k)} oraz S 2 = {(K, H, L) K(2 N ) V V : H jest izomorficzne z L}. Analityczność zbioru S 1 wynika z borelowskości przekształcenia ϕ, natomiast analityczność S 2 ztwierdzenia Niech π : K(2 N ) V V V K(2 N ) będzie rzutem na ostatnią i pierwszą współrzędną, to znaczy π(k, H, L) =(L, K). Wówczas przekształcenie π jest borelowskie oraz R = π(s). Dowodzi to analityczności zbioru R.
29 Bibliografia [B-P] [Bo] C. Bessaga, A. Pełczyński Spaces of continuous functions (IV) (On isomorphical classification of spaces of continuous functions), Studia Mathematica, 19(1960), B. Bossard, Codages des espaces de Banach séparables. Familles analytiques ou coanalytiques d espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, t.316, Série I (1993), [CGP] J. Chaber, G. Gruenhage, R. Pol, On a perfect set theorem of A. H. Stone and N. N. Lusin s constituents, Fundamenta Mathematicae 148(1995), [Ch-P] J. Chaber, R. Pol, On the Cantor-Bendixson derivative, resolvable ranks and perfect set theoremsofa.h.stone, Israel Journal of Mathematics 20(1999), [Eff] [Ka] E. G. Effros, Convergence of closed subsets in a topological space, Proceedings of the American Mathematical Society 16(1965), V. G. Kanovei, On uncountable sequences of sets determined by sieve operations, Doklady Akademii Nauk SSSR 257(1981), [Ke] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer Verlag, New York, [Ku1] K. Kuratowski, Topology, Vol. I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, [Ku2] [K-M] [Se] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, K. Kuratowski, A. Mostowski Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa,
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.
ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoCiągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoTopologiczne i liniowe własności przestrzeni funkcji ciągłych
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk Mikołaj Krupski Topologiczne i liniowe własności przestrzeni funkcji ciągłych Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Witolda Marciszewskiego
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoZadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.
Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoFiltry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoUltrafiltry. Dominik KWIETNIAK, Kraków. 1. Ultrafiltry
W niniejszym artykule zero nie jest liczbą naturalną! Ultrafiltry Dominik KWIETNIAK, Kraków Artykuł ten stanowi zapis referatu jaki został wygłoszony na XLVII Szkole Matematyki Poglądowej Ekstrema. Przedstawiono
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoSpektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoInformatyka, I stopień
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Informatyka, I stopień Sylabus modułu: Podstawy logiki i teorii mnogości (LTM200.2) wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoTopologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących
Bardziej szczegółowo