Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych"

Szymon Wiśniewski
4 lat temu
Przeglądów:

1 Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Dzięki uprzejmości: Paweł Korecki Instytut Fizyki UJ pok pawel.korecki@uj.edu.pl

2 Po co nam to? Postęp dokonuje się dzięki zwiększaniu zrozumienia Zrozumienie wynika z budowania coraz doskonalszych teorii Teorie mogą być doskonalone wyłącznie w oparciu o dobre wyniki doświadczalne

3 Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne wykonywanie doświadczeń. M21 E5 C1 O7 F10

4 Po co jest Pracownia Fizyczna? 2. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych przyrządów pomiarowych

5 Po co jest Pracownia Fizyczna? 3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów a) Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych b) Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisu c) Nauka poprawnej prezentacji wyników Niniejszy wykład stanowi wstęp do tego punktu

6 Pomiar bezpośredni doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy ze wzorcem) interesującą nas wielkość fizyczną: Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką

wielkości fizycznych związanych z dana wielkością znanym związkiem

7 Pomiar pośredni doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości fizycznych związanych z dana wielkością znanym związkiem funkcyjnym Przykład: pomiar średniej prędkości poprzez pomiar drogi i czasu V=s/t

8 Niepewność pomiaru [błąd pomiaru] Wszystkie pomiary mogą być wykonywane tylko ze skończoną dokładnością! Powód: niedoskonałość przyrządów pomiarowych nieprecyzyjność naszych zmysłów szumy, zakłócenia Terminów niepewność i błąd używamy często wymiennie, ale nie zawsze jest to to samo!

9 Jedyny sensowny zapis wyniku pomiaru (wartość ± niepewność pomiarowa) jednostka np.: S= (2.20 ± 0.11) mm Niepewność pomiarowa ma taki sam wymiar [jednostkę] jak mierzona wielkość!

Wynik pomiaru bez podania niepewności pomiaru nie jest wartością w pełni użyteczną Przykład: eksperyment Galileusza Swobodny spadek kuli z żelaza i ołowiu: (55.6 1.

10 Wynik pomiaru bez podania niepewności pomiaru nie jest wartością w pełni użyteczną Przykład: eksperyment Galileusza Swobodny spadek kuli z żelaza i ołowiu: ( )m Uzyskujemy wyniki: t żelazo = 3.31 s t ołow = 3.28 s Moglibyśmy zatem wnioskować t zelazo > t ołów Jeżeli wyniki podamy uwzględniając niepewność t zelazo = ( ) s t ołów = ( ) s to widać, że t żelazo t ołów =0.03 s < <0.20 s Jak było naprawdę?

11 Niepewność względna i bezwzględna niepewność bezwzględna niepewność względna niepewność procentowa L=(100 1)mm ; DL/ L =0.01 lub 1%

12 Rodzaje niepewności pomiarowych GRUBE Drastycznie duże odchyłki. Nieumiejętność obsługi, pomyłki przy odczycie lub zapisie [ELIMINACJA!] SYSTEMATYCZNE W przybliżeniu ta sama różnica (w jedną stronę) pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikami pomiarów Np: skończona dokładność przyrządów PRZYPADKOWE Spowodowane przez wiele niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu nieprecyzyjność naszych zmysłów, szumy, zakłócenia symetryczny przypadkowy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej

13 Błędy grube t=239s

Niepewności systematyczne Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości = najmniejsza działka (w tym przypadku 1mm, 1 o

14 Niepewności systematyczne Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości = najmniejsza działka (w tym przypadku 1mm, 1 o C) Taki zapis oznacza, że prawdziwa wartość prawie na pewno [ z prawdopodobieństwem bliskim 100%] znajdzie się w tym przedziale [niepewność maksymalna]

15 Niepewności systematyczne przyrządów cyfrowych = specyfikacja urządzenia! to nie jest ostatnia cyfra znacząca!!!

D s C = 1) C=0.010mF [200nF] 2%rdg=0.0002 mf 3dgt=0.003 mf D s C=0.003 mf 2) C=10.00mF [20mF] 3%rdg=0.

16 D s C = 1) C=0.010mF [200nF] 2%rdg= mf 3dgt=0.003 mf D s C=0.003 mf 2) C=10.00mF [20mF] 3%rdg=0.30 mf 5dgt=0.05 mf D s C=0.35 mf Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźć specyfikację!!!

17 Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.2s

18 Wyniki kolejnych pomiarów okresu i-ty T pomiar i [s] Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności

19 Analiza statystyczna niepewności przypadkowych Niepewności przypadkowe opisane są rozkładem normalnym (Gaussa). Wiemy z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy daną wartość x. [podobnie jak przy rzucie kostką wiemy jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia n oczek]. - wartość mierzona -wartość oczekiwana [prawdziwa] -odchylenie standartowe [miara niepewności]

20 Analiza statystyczna niepewności przypadkowych

21 Wynik pomiaru średnia arytmetyczna wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej [estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów.

22 Niepewność pojedynczego pomiaru Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedynczego pomiaru jest rozrzut pomiarów wokół wartości średniej [estymator odchylenia standartowego] 68% następnych pomiarów będzie mieściło się w przedziale

Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej

23 Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej W 68% identycznych doświadczeń otrzymamy średnią arytmetyczną mieszczącą się w przedziale można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n

24 Małe serie pomiarów Dla małej liczby pomiarów: daje zaniżoną wartość niepewności Współczynnik Studenta ( vel. W.Gosset - browary Guiness a) Liczba pomiarów Poziom ufności n a= a=0.95 a= Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.

25 Całkowita niepewność Zamiana niepewności systematycznej na odchylenie standartowe Całkowita niepewność standartowa

26 Średnia ważona Dwa pomiary tej samej wielkości: WAGI Można łatwo uogólnić dla wielu pomiarów

Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące estymatora niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry.

27 Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące estymatora niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. notatki Sprawozdanie Bez sensu

28 Zapis niepewności prezentacja Z użyciem odchylenia standardowego [poziom ufności 68%] lub

Zapis niepewności prezentacja Z użyciem Uwaga!

Dlatego należy użyć dwa razy szerszego przedziału lub

29 Zapis niepewności prezentacja Z użyciem Uwaga!: symbol zarezerwowany jest dla niepewności rozszerzonej [maksymalnej]. Z grubsza: dla poziomu ufności co najmniej 95%. Dlatego należy użyć dwa razy szerszego przedziału lub innego współczynnika Studenta. Symbol najczęściej występuje w medycynie, przemyśle, instrukcjach Niepewności systematyczne:

30 Zapis niepewności prezentacja Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do Można używać: przedrostków, [m,m,m, G] itd. lub notacji potęgowej typu 2x10 6, 2x10-6 I= A A I=( ) ma I=( ) x 10-6 A

31 Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja jednej zmiennej Przykład pomiar objętości kuli poprzez pomiar średnicy A.Zięba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, 2002

32 Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja jednej zmiennej Najprostszy przykład [zmniejszanie niepewności] T=3.02s S T =0.10 T=3.02(10)s T 100 = S T100 =0.10 T =T 100 /100= S T =S T100 /100= T =3.0252(10) Uwaga na moduł! Czy tu OK.?

33 Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych (tutaj tylko dwie)

34 Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych Suma i różnica Średnia geometryczna Niepewności przypadkowe Średnia arytmetyczna Niepewności systematyczne Pojedyncze pomiary

35 Propagacja błędów statystycznych Pomiary pośrednie - funkcja wielu zmiennych Iloczyn i iloraz [różniczka logarytmiczna, Skrypt, IPF] Czego tu brak?

36 Porównywanie zmierzonych wielkości porównanie z wielkością tablicową zgodność porównanie dwóch zmierzonych wielkości zgodność

37 Wykresy

38 Wykresy źle dobrze

39 Regresja liniowa metoda pozwalająca na zbadanie związku pomiędzy mierzonymi wielkościami Nazwa regresja historia. F. Galton (1886) Regresja do średniej w dziedziczeniu postury [tendencja, że dzieci wysokich rodziców mają wzrost bliższy średniej]

40 Regresja liniowa [dzisiaj zwykle rozumiana jako metoda najmniejszych kwadratów] pomiary Model np.: [a,b parametry] Metoda minimalizacji odchyleń: Najprostszy linowy model bez wag

41 Wynik regresji Wartości oczekiwane parametrów i ich niepewności Dla zależności liniowej przepisy na a i b są proste! Współczynnik korelacji [im bliższy 1 tym lepiej] Suma kwadratów dla dobrego dopasowania n-liczba danych, m-liczba parametrów]

42 Regresja liniowa oznacza, że parametry modelu są w pierwszej potędze Model: wraz z niepewnościami

43 Oprogramowanie do opracowania wyników Płatne: Mathematica, Maple, Matlab, Origin, MSOffice/? Bezpłatne: OpenOffice/?, Qtiplot (ograniczony), Extrema, Fityk, Gnuplot, Grace, Kst Jest więc czym opracować

44 Literatura I Pracownia fizyczna, red. A.Magiera, OWI Kraków 2006 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999 A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str

Podobne dokumenty

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii 2007 Paweł Korecki 2013 Andrzej Kapanowski Po co jest Pracownia Fizyczna? 1. Obserwacja zjawisk i