ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 3 REZONANS AKUSTYCZNY W trakcie doświadczenia przeprowadzono sześć pomiarów rezonansu akustycznego: dla dwóch różnych gazów (powietrza i CO), pięć pomiarów dla powietrza oraz jeden pomiar dla CO. Wyniki tego doświadczenia zawarto tabeli 1. Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 obliczono okresy drgań, średnie położenia słupa wody w rezonansie oraz średnie długości ali dla poszczególnych częstotliwości. Przyjęto następujące oszacowanie błędów pomiaru częstotliwości: dla częstotliwości przyjęto, że błąd wynosi =0Hz. Niepewność wyznaczenia okresu ali akustycznej obliczono na podstawie pochodnej logarytmicznej jest ona różna dla różnych częstotliwości al: Δ Δ = 0Hz = Δ 1 1, zatem Δ 1 =. Niepewność wyznaczenia średniej długości ali oblicziono ze wzoru na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej: n i 1 ( x i x) n( n 1). W przypadku, gdy niepewność przypadkowa osiąga wartość mniejszą niż 1 cm (dokładność odczytywania położenia słupa wody), przyjęto jako niepewność pomiaru wartość większą, zatem niepewność maksymalną Δ = 1cm (dla częstotliwości 100, 1300 i 1400 Hz). Obliczenia niepewności przypadkowych długości ali akustycznej (tylko dla CO) są podane w Tabeli 3, wklejonej z programu Excell. Zestawienie wszystkich danych zawiera tabela. Niepewności wyznaczenia częstotliwości oraz długości ali są obliczane w celu dokonania poprawnego zapisu tych wielkości w tabeli (ilość cyr znaczących), oraz w celu umieszczenia ich na wykresie w postaci wąsów. Tabela 1. Dane pomiarowe położenie słupa wody [Hz] [cm] dla CO: 100 7, 49, 74, 94 8, 5, 75, 94 5, 46, 66, 85 0, 45, 66, 87, 41, 57, 77 35, 58, 74, 91 0, 35, 50, 67, 81, 94 0, 3, 48, 64, 79, 98 17, 3, 46, 61, 76, 90 15, 31, 46, 60, 76, 88 17, 30, 44, 57, 70, 84, 95 15, 8, 40, 53, 65, 8, 95 15, 8, 40, 5, 65, 78, 89 14, 5, 35, 50, 6, 75, 87 14, 5, 36, 47, 57, 67, 81, 91 λ [m] 0., 0.5, 0.0, 0.4, 0.3, , 0.0, 0.19, 0.5, 0.1, , 0.16, 0.0, 0,16, 0.3, 0.16, , 0.15, 0.17, 0.14, 0.13, 0.1, 0.16, 0.16, 0.15, , 0.14, 0.15, 0.15, 0.14, 0.16, 0.15, 0.14, 0.16, , 0.14, 0.13, 0.13, 0.14, 0.11, 0.13, 0.1, 0.13, 0.1, 0.17, , 0.1, 0.1, 0.13, 0.13, 0.11, 0.11, 0.10, 0.15, 0.1, 0.13, , 0.11, 0.11, 0.10, 0.10, 0.14, 0.10 [m] 0.44, 0.50, 0.40, 0.48, 0.46, , 0.40, 0.38, 0.50, 0.4, , 0.3, 0.40, 0.3, 0.46, 0.3, , 0.30, 0.34, 0.8, 0.6, 0.4, 0.3, 0.3, 0.30, , 0.8, 0.30, 0.30, 0.8, 0.3, 0.30, 0.8, 0.3, , 0.8, 0.6, 0.6, 0.8, 0., 0.6, 0.4, 0.6, 0.4, 0.34, , 0.4, 0.4, 0.6, 0.6, 0., 0., 0.0, 0.30, 0.4, 0.6, , 0., 0., 0.0, 0.0, 0.8, 0.0 1

2 Tabela. Obliczenia T = 1 [ms] śr [m] u( śr) [m] ± ± ± ± ± Δ = ± Δ = ± Δ = dla CO: ± Tabela 3. Obliczenia niepewności wyznaczenia długości ali dla pomiarów rezonansu akustycznego w CO. Na podstawie danych zawartych w tabeli sporządzono wykresy zależności długości ali od okresu, uwzględniając niepewność wyznaczenia częstotliwości oraz niepewność średniej długości ali. Dzięki wyznaczeniu metodą najmniejszych kwadratów prostej najlepiej dopasowanej do punktów doświadczalnych możliwe stało się wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu, jako współczynnika kierunkowego prostej będącej wykresem zależności λ 1 teoretycznej: v = λ = λ T, gdzie v prędkość dźwięku., co wynika z zależności

3 Rysunek 1. Zależność długości ali od okresu T dla al akustycznych rozchodzących się w powietrzu i dwutlenku węgla. Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu: Wyznaczona metodą najmniejszych kwadratów prosta przechodząca przez punkty doświadczalne wyznacza prędkość al akustycznych w powietrzu (współczynnik nachylenia prostej zależności długości ali od okresu). Wynosi ona 343±0 m/s. Niepewność pomiaru wynika z dopasowania prostej regresji. Wyznaczanie prędkości dźwięku w CO: Prędkość dźwięku w dwutlenku węgla obliczono z wzoru: v = λ = 0.0 m s = 64 m s Ponieważ dokonany został tylko jeden pomiar, w związku z tym w celu oszacowania niepewności wyznaczenia prędkości dźwięku w dwutlenku węgla, skorzystano z różniczki zupełnej. Jako niepewność wyznaczenia długości ali akustycznej w CO przyjęto niepewność przypadkową u( )=0.011m, gdyż jest ona większa niż niepewność maksymalna Δ = 0.01m. 3

4 Δv = v λ Δλ + v Δ = Δλ + λδ = s m m 0 1 s = 17.6 m s Zatem zmierzona wartość prędkości ali akustycznej w dwutlenku węgla wynosi: v = 64 ± 18 m s Wyznaczanie współczynnika i liczby stopni swobody: Współczynnik Poissona : Prędkość dźwięku na podstawie praw gazowych jest opisana wzorem: v = κrt μ Dla danego gazu jego skład, a zatem masa molowa jest znana, więc znając temperaturę T można obliczyć współczynnik κ = C p CV. Wartość współczynnika Poissona zależy jedynie od liczby stopni swobody molekuł gazu i, która jest liczbą naturalną: κ = i+ wyznaczyć liczbę stopni swobody. i - z tego wzoru można 1. dla powietrza Masa molowa powietrza wynosi około = g/mol Stała gazowa R = ± J mol K Temperatura w rurze rezonansowej wynosiła ok. 15 C z dokładnością do 5 C, czyli T = 88 ± 5 K Zatem dla powietrza: κ = μv = 0.09 kg mol 343 m s RT J mol K 88K = Niepewność wyznaczenia współczynnika (z pochodnej logaytmicznej): κ = μ μ + Δv v + ΔR R + ΔT T κ κ = = zatem: pow = 1.4 ± 0.0 4

5 . dla dwutlenku węgla Masa molowa CO około = 44, g/mol Zatem dla CO: κ = μv = kg mol 64 m s RT J mol K 88K = Niepewność wyznaczenia współczynnika : κ = = zatem: CO = 1.8 ± 0.0 Liczba stopni swobody: i = κ 1 1. dla powietrza i = = Niepewność wyznaczenia liczby stopni swobody i: i = κ κ 1 = = =.68 Stąd: i pow = 4.7 ±.3. dla CO i = = Niepewność wyznaczenia liczby stopni swobody i: i = κ κ 1 = = = Stąd: i CO = 7.1 ± 5.1 5

6 Zestawienie wyników i wnioski: Tabela 4. Wyniki powietrze CO doświadczalne teoretyczne doświadczalne teoretyczne prędkość dźwięku 343 ± 0 m s m s 64 ± 18 m s m s współczynnik Poissona 1.4 ± ± ilość stopni swobody 4.7 ± ± Wartości tablicowe prędkości dźwięku w powietrzu są następujące: v = [ (0.6 T)]m/s, gdzie temperatura podawana jest w stopniach Celsjusza. Wzór ten wynika z równania gazu doskonałego. W laboratorium temperatura wynosiła około 0 C, natomiast pomiary dokonywane były w rurze rezonansowej, gdzie temperatura była niższa o około 5 stopni, z powodu ciągłego chłodzenia zimną wodą z rurociągów. Zatem dla T=15 C: v = m/s. Uzyskana doświadczalnie prędkość dźwięku w powietrzu zgadza się w granicach niepewności z wartością tablicową. Dla temperatury pokojowej (0 C) prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 343.5, czyli idealnie zgadza się z danymi eksperymentalnymi. Tablicowe wartości prędkości dźwięku w dwutlenku węgla wahają się od 60 m/s do 68 m/s. Otrzymany doświadczalnie wynik zgadza się w granicach błędu z obiema tymi wartościami. Współczynnik Poissona dla powietrza wynosi κ = 7 = 1.4, zgodnie z założeniem, że powietrze 5 składa się głównie z gazów dwuatomowych, których liczba stopni swobody wynosi 5. W przypadku dwutlenku węgla mamy do czynienia z gazem składającym się z cząsteczek trójatomowych, o nieliniowym położeniu, zatem liczba stopni swobody teoretycznie wynosi 6, a współczynnik Poissona κ = 8 6 = Obliczone na podstawie wyników doświadczalnych liczba stopni swobody oraz współczynnik Poissona, zarówno dla powietrza, jak i dla dwutlenku węgla, są zgodne w granicach niepewności z danymi teoretycznymi. Duża wartość niepewności wynika głównie z niepewności wyznaczenia prędkości dźwięku, w mniejszym stopniu z niepewności temperatury (która była przyjęta jako 5K). Aby zminimalizować powyższe niepewności należałoby dokładniej wyznaczyć położenia słupa wody w rezonansie, lub/i wielokrotnie powtórzyć pomiary dla tej samej częstotliwości dźwięku, tak, aby podnieść statystykę, a tym samym dokładniej określić jaka długość ali akustycznej odpowiada danej częstotliwości. Niemniej jednak, zbieżność danych doświadczalnych z wartościami teoretycznymi jest zadowalająca, w związku z tym można uznać używaną w eksperymencie metodę wyznaczania prędkości dźwięku w gazach za poprawną. 6