Zajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów

Transkrypt

1 wielkość mierzona wartość wielkości jednostka miary pomiar wzorce miary wynik pomiaru niedokładność pomiaru Zajęcia wprowadzające W-1 termin I temat: Sposób zapisu wyników pomiarów 1. Pojęcia podstawowe - właściwość zjawiska, ciała lub substancji, którą można rozróżnić jakościowo i wyznaczyć ilościowo - wyrażenie wielkości w postaci liczby i odpowiedniej jednostki miar - umownie przyjęta wartość jednostkowa wielkości - zespół czynności mających na celu wyznaczenie wartości wielkości; polega na porównaniu wielkości mierzonej z wzorem tej wielkości i wyznaczeniu ilościowej relacji między nimi. Pomiary wykonywane są za pomocą narzędzi pomiarowych, czyli przyrządów pomiarowych i wzorców. - narzędzie pomiarowe odtwarzające jednostkę miary wielkości; mogą też odtwarzać inne wartości. - wartość wielkości otrzymana w czasie pomiaru; odczyt wskazania przyrządu nazywa się wynikiem surowym - termin zwykle stosowany w znaczeniu ogólnym, wyrażający stopień zgodności wyniku pomiaru z wartością prawdziwą (poprawną) wielkości mierzonej; do ścisłej oceny niedokładności pomiaru obecnie mamy dwie metody: 1. metodę opartą na pojęciu błędu i błędu granicznego, 2. metodę opartą na pojęciu niepewności standardowej. pomiar metodą bezpośrednią - wynik pomiaru uzyskany bezpośrednio ze wskazań przyrządu pomiarowego (np. pomiar napięcia woltomierzem) pomiar metodą pośrednią - wynik pomiaru uzyskany z pomiarów innych wielkości, powiązanych formalnym związkiem z wielkością mierzoną (np. pomiar rezystancji metodą woltomierza i amperomierza, gdzie wynik pomiaru wynika z prawa Ohma: R= U/I). 2. Sposób przedstawienia wyniku pomiaru Wynik pomiaru przedstawia wartości mierzonej wielkości i niepewność jej wyznaczenia. Prawidłowa forma zapisu wyniku pomiaru ma postać w której: X symbol mierzonej wielkości x wartość mierzonej wielkości x U, p =... U - niepewność pomiaru, przedstawiona wartością bezwzględną - jednostka miary zmierzonej wielkości p - przyjęty w obliczeniach wyniku pomiaru poziom ufności. Przykład 1: U = (236,8 1,2)V, p=0.99 Przykład 2: R = (7,6 0,3), p=0,95 1

2 Zapis wyniku pomiaru wyznacza przedział wartości [x - U(X)]... [x +U(X)], wewnątrz którego prawdopodobnie występuje wartość rzeczywista - przy czym, prawdopodobieństwo jej wystąpienia jest określone podanym poziomem ufności. W obliczeniach niepewności przyjmuje się typowe wartości poziomów ufności p: 0.68; 0,95; 0,99; 0,997. Poziom ufności 0,997 graniczy z pewnością i w pomiarach jest rzadko przyjmowany. Dla pomiarów wykonywanych z umiarkowaną dokładnością najczęściej przyjmuje się p = Liczby przybliżone cyfry znaczące liczby Na skutek ograniczonej dokładności przyrządów pomiarowych otrzymuje się w wyniku pomiaru liczby przybliżone o określonej dokładności. Wyniki pomiarów uzyskane bezpośrednio z odczytów bądź pośrednio z obliczeń są tzw. wynikami surowymi, czyli liczbami zwykle o zbyt dużej liczbie cyfr znaczących. Na takich liczbach należy przeprowadzić rachunek ich uproszczenia inaczej mówiąc, należy je zaokrąglić. O dokładności przybliżenia liczby świadczy liczba występujących w niej cyfr znaczących. W zapisie dziesiętnym liczby, cyframi znaczącymi są jej wszystkie cyfry z pominięciem początkowych zer. Przykład 3: Liczba 102,70 ma 5 cyfr znaczących Przykład 4: Liczba 0,0123 ma 3 cyfry znaczące Przykład 5: Liczba 1000,5 ma 5 cyfr znaczących W praktyce mogą też wystąpić liczby przybliżone, dla których nie można ściśle podać liczby cyfr znaczących, czyli dokładności ich uproszczenia. Występuje to dla liczb całkowitych z zerami na końcu, np. 3800, 9000, itp. W takich liczbach końcowe zera mogą być cyframi znaczącymi lub nieznaczącymi. Przykład 6: Liczba 1000, traktowana jako przybliżona, może mieć 1, 2 lub 3 cyfry znaczące. Nie znając,,historii jej upraszczania nie można tego uściślić. Chcąc wyeliminować tą niejednoznaczność należy taką liczbę przedstawić za pomocą zapisu potęgowego liczby 10 z wykładnikiem całkowitym (dodatnim lub ujemnym). Przykład 7: Liczba 1000 w zapisie z 1 cyfrą znaczącą ma postać Przykład 8: Liczba 1000 w zapisie z 2 cyframi znaczącymi ma postać 1, Przykład 9: Liczba 1000 w zapisie z 3 cyframi znaczącymi ma postać 1, Przykład.10: Liczba 0, w zapisie z 3 cyframi znaczącymi ma postać 0,706. Przykład.11: Liczba 125,0 w zapisie z 2 cyframi znaczącymi wynosi 120 = 1, Zasady upraszczania (zaokrąglania) liczb Z danej liczby uzyskujemy jej przybliżenie zmniejszając w niej liczbę cyfr znaczących. O liczbie pominiętych cyfr znaczących decyduje pożądaną dokładność przybliżenia, wynikająca z różnych potrzeb, występujących np. przy dawaniu napiwków, ale też przy opracowaniu wyników pomiarów. W upraszczaniu liczb należy posługiwać się ogólnymi regułami. Reguła I Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest mniejsza niż 5, to liczba zaokrąglona pozostaje bez zmian. Przykład 12: Liczbę 1263,5 uprościć do liczby z trzema cyframi znaczącymi. 2

3 Liczba w zapisie potęgowym 1, , więc będzie 1, Przykład 13: Liczbę jw. uprościć do liczby z jedną cyfrą znaczącą. Jest 1, , więc będzie Przykład 14: Liczbę 0, uprościć do liczby z 4 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 0,7500 Przykład 15: Liczbę 1,8205 uprościć do liczby z 2 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 1,8 Reguła II Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr jest większa niż 5, to ostatnią cyfrę liczby uproszczonej zwiększamy o 1. Przykład 16: Liczbę 0,7635 zapisać liczbą z 1 cyfrą znaczącą. Wynik zaokrąglenia: 0,8 Przykład 17: Liczbę 126,8 przedstawić liczbą z 2 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 130 ; prawidłowy zapis: 1, Przykład 18: Liczbę 996,52 przedstawić liczbą z 2 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 1000 ; prawidłowy zapis: 1, Przykład 19: Liczbę 1626,8 przedstawić liczbą z 3 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 1630 ; prawidłowy zapis: 1, Reguła III Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr równa jest 5, a między pozostałymi cyframi znajdują się cyfry niezerowe, to ostatnią cyfrę liczby zaokrąglonej zwiększa się o 1. Przykład 20. Liczbę przedstawić liczbą z 3 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 1270 ; prawidłowy zapis: 1, Przykład 21. Liczbę 0,78658 przedstawić liczbą z 3 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 0,787 Przykład 22. Liczbę 5,5200 przedstawić liczbą z 1 cyfrą znaczącą. Wynik zaokrąglenia: 6 Reguła IV Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr równa jest 5, a wszystkie pozostałe cyfry są zerami, to ostatnia cyfra liczby przybliżonej - pozostaje bez zmian, gdy jest parzysta, - zostaje zwiększona o 1, gdy jest nieparzysta. Zwyczajowo mówi się o zaokrąglaniu do parzystej Przykład 20. Liczbę przedstawić liczbą z 3 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: ; prawidłowy zapis: 1, Przykład 21. Liczbę 0, przedstawić liczbą z 3 cyframi znaczącymi. Wynik zaokrąglenia: 0, Reguły zaokrąglania wyników pomiarów Przystępując do opracowania wyniku pomiaru, w pierwszej kolejności należy uprościć obliczoną niepewności pomiaru, zaś w dalszej to samo zrobić z wartością surową wielkości mierzonej. W uproszczeniu niepewności należy kierować się poniższymi regułami. 3

4 Reguła V Niepewność przedstawia się liczbą z 2 cyframi znaczącymi. Jeżeli rozdzielczość pomiaru nie pozwala na taki zapis, to należy niepewność przedstawić liczbą z 1 cyfrą znaczącą. Co to jest rozdzielczość pomiaru Jest w pomiarach ważną wielkością, gdyż wynika z niej tzw. błąd rozdzielczości, wpływający na dokładność pomiarów. Rozdzielczość pomiaru jest wyrażana w jednostkach wielkości mierzonej i określa najmniejszą zmianę wartości mierzonej, na którą reaguje przyrząd. Dla przyrządów wskazówkowych rozdzielczość pomiaru zależy od ich klasy dokładności i jest związana z dokładnością odczytu. Dla klas laboratoryjnych (0,2 i 0,5) rozdzielczość pomiaru odpowiada wartości 0,1 lub 0,2 działki elementarnej. Dla klas technicznych, czyli 1 i większych, rozdzielczość pomiaru odpowiada zwykle wartości 1/2 działki elementarnej. Dla przyrządów cyfrowych, rozdzielczość pomiaru określona jest wartością odpowiadającą zmianie o jednostkę wskazania ostatniego wskaźnika pola odczytowego. Przykład. 22: Przyrząd wskazówkowy o zakresie U z =10V, max =100dz, i dokładności odczytu o = 0,2dz, ma rozdzielczość pomiaru U z 10V r U o 0,2dz 0,02V 100dz max Przykład 23: Wynik odczytu z omomierza cyfrowego: R=0,983, dokonany został z rozdzielczością 1 m. Przykład 24: Przykłady zapisu surowych niepewności pomiaru: U(I) = 0,1203A=0,12A U(U) = 126,8mV = 130mV=1,310 2 mv U(R) = 67,5 = 68 Przykład 25: Przy upraszczaniu niepewności względnych, postępowanie jest podobne: U r (I) = 1,365% = 1,4% U r (U) = 0,3551% = 0,36% U r (R) = 0,01365% = 0,014% = 1,410-2 % Sposób uproszczenia wartości mierzonej wynika z poniższej reguły: Reguła VI Ostatnia cyfra znacząca wartości zmierzonej powinna występować na pozycji dziesiętnej ostatniej cyfry znaczącej niepewności. Przykład 26: Zapisać wynik pomiaru jeżeli: U(R) =63,3 = 63, R = 1263,85 = Wynik pomiaru: R = ( ) Przykład 27: Zapisać wynik pomiaru jeżeli: U(U) = 0,07305V = 0,073V, U = 76,3581V =76,358V. Wynik pomiaru: U = (76,358 0,073)V Przykład 28: Zapisać wynik pomiaru jeżeli: U(l) =72,63m = 73m, l = 5326,5m = 5326m. Wynik pomiaru: l = ( )m = (5,326 0,073)km. Przykład 29: Zapisać wynik pomiaru jeżeli: U(U) = 374,2V = 370V = 3, V, U = 18243V =18240V. Wynik pomiaru: U = (182,4 3,7) 10 2 V = (18,24 0,37)kV. 4

5 Jak już stwierdzono wcześniej, w pomiarach o małej rozdzielczości, zwykle też mało dokładnych, wynik pomiaru należy przedstawić z niepewnością zapisaną 1 cyfrą znaczącą. Wtedy w poprawnym zapisie wyniku pomiaru należy uwzględnić następująca regułę: Reguła VII Niepewność przedstawiona 1 cyfrą znaczącą powinna mieć wartość większą niż przed zaokrągleniem (mówimy o zaokrągleniu liczby,,w górę ). Wyjątek: Niepewność należy zaokrąglić w dół, jeżeli jej wartość nie zmniejszy się więcej niż o 10%. Przykład 30: Dokonano odczytu napięcia U=126V. Obliczona dla tego pomiaru niepewność wynosiła: U(U) =1,65V. Ze względu na występującą rozdzielczość odczytu, wynoszącą 1V, niepewność należy zaokrąglić do liczby z 1 cyfrą znaczącą, czyli U=(126 2 )V Uwaga: Nie ma sensu przedstawiać wyniku pomiaru z niepewnością zapisaną 2 cyframi znaczącymi i dopisanym do wartości mierzonej zerem, czyli U=(126,0 1,6)V. Zapis ten sugeruje, że rozdzielczość pomiaru jest o jeden rząd wartości większa od rzeczywistej, co w konsekwencji prowadzi do błędnej oceny dokładności przyrządu. Przykład 31: Zapisać wynik pomiaru, jeżeli R = 1, i U(R) = 65,2 = 70. Wynik pomiaru: R = ( ) = (1,22 0,07)10 3 = (1,22 0,07)k 5.Uwagi końcowe Przeprowadzone na wynikach surowych obliczenia rachunkowe powinny być na tyle dokładne, aby nie wpływały na końcowy wynik pomiaru. Stąd w każdej fazie obliczeń występuje problem właściwego przybliżania liczb, a więc ich przedstawiania z odpowiednia ilością cyfr znaczących. Ścisłe reguły postępowania zawierają podręczniki matematyki dla inżynierów. Dla celów laboratorium studenckiego można podać kilka wskazówek, jakimi należy kierować się w obliczeniach: 1. Nie można stosować do wyników pośrednich reguł upraszczania przewidzianych dla zapisu końcowego wyniku pomiaru. Potrzebne w dalszych obliczeniach wyniki powinny mieć stosownie większą dokładność zapisu. 2. Obliczenia niepewności powinny być prowadzone z dokładnością co najmniej do 3 cyfr znaczących. Pozwala to na zaokrąglenie niepewność do liczby z 2 cyframi znaczącymi. 3. Obliczenia wartości mierzonej powinny być na tyle dokładne, aby wynik miał liczbę cyfr znaczących co najmniej równą dokonanym odczytom. 4. Stosując w obliczeniach kalkulator zwykle uzyskuje się wyniki z bardzo dużą liczbą cyfr znaczących. Przepisywanie ich do tabel pomiarowych bez wstępnego zaokrąglenia nie ma uzasadnienia. Przykład 32: Jaką dokładność ma liczba zapisana z trzema cyframi znaczącymi Błąd przybliżenia (względny) ma wartość 3, 14 p 100% 0,051% Wniosek: Wykonując obliczenia z liczbę przedstawioną trzema cyframi znaczącymi należy rozważyć wpływ na wynik jej błędu przybliżenia. 5